高考数学(四海八荒易错集)专题18 不等式选讲 文
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式选讲》单元汇编含答案解析
高中数学《不等式选讲》知识点归纳一、141．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．a b a c b c -≤-+- B ．2212a a+≥C ．12a b a b-+≥- D 【答案】C 【解析】 【分析】A.用a b a b a b -≤±≤+来判断.B.用基本不等式来判断.C.用特殊值当1,2a b ==时来判断.D.==，再比较. 【详解】A. 因为-=-+-≤-+-a b a c c b a c b c 恒成立，故正确.B.因为 2212+≥=a a ，当且仅当221a a =即1a =±时取等号，故正确. C.当1,2a b ==时，1110-+=-=-a b a b，原不等式不成立，故错误.D.==>≤确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式的比较及其应用，还考查了转化化归的思想，属于中档题.2．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C.【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.3．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知不等式()222cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．04m ≤≤ B ．14m ≤≤C ．4m ≥或0m ≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C 【解析】试题分析：原不等式可转化为, 令，所以所以在上恒成立所以，，解得4m ≥或0m ≤.考点：不等式的恒成立问题.5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-，C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦， D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++.所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9- B ．9C ．10D ．0【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9． 当且仅当xy 2xy=即xy= 时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．7．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b aab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.8．不等式的解集是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.【详解】恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.9．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．设全集U =R ，已知23{|0}2x A x x +=>-，{||1|2}B x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．3(,1)2-- B ．(12]-， C ．(23]， D ．[2)3，【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，由此求得U A ð，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()U A B I ð.【详解】由A 中不等式变形得：()()2320x x +->， 解得：32x <-或2x >，即3,(2,)2A ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，∴U3A ,22⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ð， 由B 中不等式变形得：212x -<-<，解得：13x -<<，即1()3B =-，， ∴()(]12U A B =-I ，ð， 故选：B ． 【点睛】本小题主要考查集合交集交集、补集的概念和运算，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.11．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得：x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.12．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．2211x x x x++≥B C ．12x y x y-+≥- D ．x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立；由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x+>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x++≥正确，即A 正确；=<=,故B 恒成立，若1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．13．函数y =的最大值是( )A B C ．3D ．5【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为y =≤==，即265x =时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.14．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）A BC ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx =所以()f x cosx =…=当且仅当cosx =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.15．不等式33log log x x x x +<+的解集（ ） A ．(),-∞+∞ B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】依题意知,0x >,32log 0x x <,原不等式等价于3log 0x <,解不等式即可. 【详解】根据对数的意义可知,0x >, 因为33log log x x x x +<+,两边同时平方可得,332log 2log x x x x <, 即32log 0x x <,因为0x >, 所以原不等式等价于3log 0x <, 所以原不等式的解集为}{01x x <<, 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法;熟练掌握对数函数的定义域和单调性是求解本题的关键;属于中档题.16．若不等式53x x a -+->恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．2a > B ．2a ≥C ．2a ≤D ．2a <【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式53x x -+-的最小值，即可得解。
高三数学一轮总复习 第十八章 不等式选讲文教师用书 试题
第十八章不等式选讲制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
高考导航知识网络18.1 绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)假设f(x)＞a对x∈R恒成立，务实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23xxxxx所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；当1≤x≤2时，f(x)＞3无解；当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23xxxxx所以f(x)min＝1.因为f(x)＞a恒成立，所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2)假设函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】函数f(x)＝|x －1|＋|x －2|，假设不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)对a≠0，a 、b ∈R 恒成立，务实数x 的范围.【解析】由|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)且a≠0得|a ＋b|＋|a －b||a|≥f(x).又因为|a ＋b|＋|a －b||a|≥|a ＋b ＋a －b||a|＝2，那么有2≥f(x).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x≤52.【变式训练2】(2021)假设不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a＋4a 对任意的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是 . 【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2021)设函数f(x)＝|x －1|＋|x －a|. (1)假设a ＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)假如∀x ∈R ，f(x)≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f(x)＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f(x)≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x≤－1时，不等式化为1－x －1－x≥3，即－2x≥3， 不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤ x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x≥3， 不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f(x)≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)假设a ＝1，f(x)＝2|x －1|不满足题设条件.假设a ＜1，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf(x)的最小值为1－a.由题意有1－a≥2，即a≤－1.假设a ＞1，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf(x)的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a≥3. 综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a∈⊆B的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x－12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a≤x≤a2＋1，于是A ＝{x|2a≤x≤a2＋1}.由不等式x2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0， ①当3a ＋1≥2，即a≥13时，B ＝{x|2≤x≤3a＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x|3a ＋1≤x≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或者1≤a≤3. 总结进步1.“绝对值三角不等式〞的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a)；||x ＞a 的解集是(－∞，－a)∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x－1⇒1－x≤3x＋1≤x－1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的根底，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.18.2 不等式的证明(一) 典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 假设a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c.【证明】 由a ，b ，c 为正数，得lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac.而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a2b2c2＝lg(abc)＝lg a ＋lg b＋lg c.即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c.【点拨】 此题采用了综合法证明，其中根本不等式是证明不等式的一个重要根据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足. 【变式训练1】a ，b ，c ，d 都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求证：|ac ＋bd|≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd|≤|ac|＋|bd|≤a2＋c22＋b2＋d22＝a2＋b2＋c2＋d22.又因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac ＋bd|≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a2＋b2＋c2＜2(ab ＋bc ＋ca). 【证明】a2＋b2＋c2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2－a2－b2－c2＝[(a －b)2－c2]＋[(b －c)2－a2]＋[(c －a)2－b2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b)2＜c2，即(a －b)2－c2＜0.同理(a －c)2－b2＜0，(b －c)2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2(ab ＋bc ＋ca)＜0. 故a2＋b2＋c2＜2(ab ＋bc ＋ca).【点拨】 不等式的证明中，比拟法特别是作差比拟法是最根本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a2m ＋b2n ≥(a＋b)2.【证明】因为a2m ＋b2n －(a ＋b)2＝na2＋mb2mn －nm(a2＋2ab ＋b2)mn＝na2(1－m)＋mb2(1－n)－2mnabmn＝n2a2＋m2b2－2mnab mn ＝(na －mb)2mn≥0，所以不等式a2m ＋b2n ≥(a＋b)2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立， 即证[(a ＋b ＋c)＋a][(a ＋b ＋c)＋b][(a ＋b ＋c)＋c] ≥8[(a＋b ＋c)－a][(a ＋b ＋c)－b][(a ＋b ＋c)－c]，也就是证[(a ＋b)＋(c ＋a)][(a ＋b)＋(b ＋c)][(c ＋a)＋(b ＋c)]≥8(b＋c)(c ＋a)(a ＋b).① 因为(a ＋b)＋(b ＋c)≥2(a ＋b)(b ＋c)＞0， (b ＋c)＋(c ＋a)≥2(b ＋c)(c ＋a)＞0， (c ＋a)＋(a ＋b)≥2(c ＋a)(a ＋b)＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 此题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因〞.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f(x)＝x －a(x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a≥0). (1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m)n ＜(1＋n)m. 【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；②当a ＞0时，f(x)在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa -1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m)n ＜(1＋n)m ，只需证nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需证ln(1＋m)m ＜ln(1＋n)n .设g(x)＝ln(1＋x)x (x ＞0)，那么g′(x)＝x1＋x －ln(1＋x)x2＝x －(1＋x)ln(1＋x)x2(1＋x).由(1)知x －(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)单调递减，所以x －(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是减函数， 而m ＞n ，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立. 总结进步1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比拟法，它是最根本的不等式的证明方法.比拟法一般有“作差比拟法〞和“作商比拟法〞，用得较多的是“作差比拟法〞，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的根据一般是定义、公理、定理、性质等，如根本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为条件或者一个明显成立的事实(定义、公理或者已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法〞、“分析法〞其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比拟法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种详细的证明方法(或者者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.18.3 不等式的证明(二) 典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b)＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，那么 a2＋b2＋4(a ＋b)＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a2＋(1－a)2＋12＜252. 所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a2 ＋ b2≥ 2(a ＋ b2)2来证明比拟好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小. 而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然此题也可以用分析法和作差比拟法来证明. 【变式训练1】设a0，a1，a2，…，an －1，an 满足a0＝an ＝0，且有 a0－2a1＋a2≥0， a1－2a2＋a3≥0， …an －2－2an －1＋an≥0， 求证：a1，a2，…，an －1≤0.【证明】由题设a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0. 同理，an －an －1≥an－1－an －2≥…≥a2－a1≥a1－a0.假设a1，a2，…，an －1中存在大于0的数，假设ar 是a1，a2，…，an －1中第一个出现的正数. 即a1≤0，a2≤0，…，ar －1≤0，ar ＞0，那么有ar －ar －1＞0，于是有an －an －1≥an－1－an －2≥…≥ar－ar －1＞0. 并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.这与题设an ＝0矛盾.由此证得a1，a2，…，an －1≤0成立.题型二 用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设an ＝1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)，n ∈N*，求证：n(n ＋1)2＜an ＜(n ＋1)22. 【证明】 方法一：(放缩法)n2＜n(n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n(n ＋1)＜2n ＋12. 所以1＋2＋…＋n ＜an ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)]. 所以n(n ＋1)2＜an ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2， 即n(n ＋1)2＜an ＜(n ＋1)22. 方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k≥1)时，不等式成立，即k(k ＋1)2＜ak ＜(k ＋1)22. 那么当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜ak ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2). 而k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k(k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2， (k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜ak ＋1＜(k ＋2)22. 故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N*，都有n(n ＋1)2＜an ＜(n ＋1)22. 【点拨】 在用放缩法时，常利用根本不等式n(n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进展放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目的来寻找思路.【变式训练2】数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，Sn 为其前n 项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，观察上述结果推测出计算Sn 的公式且用数学归纳法加以证明. 【解析】猜测Sn ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋). 证明：①当n ＝1时，S1＝32－132＝89，等式成立. ②假设当n ＝k(k≥1)时等式成立，即Sk ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2. 那么Sk ＋1＝Sk ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2. ①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立.题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因消费建立的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设an 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求an 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，假如b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？假设会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a1＝a(1＋14)－b ＝54a －b ， a2＝54a1－b ＝54(54a －b)－b ＝(54)2a －(54＋1)b ， a3＝54a2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ， 由此猜测an ＝(54)na －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b ＝(54)na －4[(54)n －1]b(n ∈N ＋). 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a1＝54a －b ，猜测成立. ②假设n ＝k(k≥2)时猜测成立，即ak ＝(54)ka －4[(54)k －1]b 成立. 那么当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝54ak －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)ka －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，假设该地区今后发生水土流失，那么森林木材存量必须少于79a ， 所以(54)na －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5， 两边取对数得nlg 54＞lg 5， 所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7. 故经过8年该地区就开场水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y ＝920v v2＋3v ＋1 600(v ＞0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(准确到0.1千辆/时)(2)假设要求在该时段内车流量超过10千辆/时，那么汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v )≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以ymax ＝92083≈11.1(千辆/时). (2)由条件得920v v2＋3v ＋1 600＞10，整理得v2－89v ＋1 600＜0， 即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.假如要求在该时段内车流量超过10千辆/时，那么汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结进步1.有些不等式，从正面证假如不易说清，可以考虑反证法，但凡含有“至少〞、“唯一〞或者者其他否认词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进展命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目的，目的在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或者舍去一些项，如a2＋1＞||a ，n(n ＋1)＞n ；(2)将分子或者分母放大(或者缩小)；(3)利用根本不等式，如n(n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2； (4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k ， 1k2＜1k(k －1)＝1k －1－1k ； 1k2＞1k(k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k2＜1k2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进展假设与推理，二者缺一不可.18.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，…，an 都为正实数，证明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n －1an ＋a2n a1≥a1＋a2＋…＋an. 【证明】方法一：由柯西不等式，有(a21a2＋a22a3＋…＋a2n －1an ＋a2n a1)(a2＋a3＋…＋an ＋a1)≥ (a1a2·a2＋a2a3·a3＋…＋an a1·a1)2＝(a1＋a2＋…＋an)2. 不等式两边约去正数因式a1＋a2＋…＋an 即得所证不等式.方法二：不妨设a1≤a2≤…≤an，那么a21≤a 2≤…≤a 2n ，1a1≥1a2≥…≥1an. 由排序不等式有a21·1a2＋a22·1a3＋…＋a2n －1·1an ＋a2n ·1a1≥a 21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n ·1an＝a1＋a2＋…＋an ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有a21a2＋a2≥2a1，a22a3＋a3≥2a2，…，a2n a1＋a1≥2an，将这n 个不等式相加得 a21a2＋a22a3＋…＋a2n －1an ＋a2n a1＋a2＋a3＋…＋an ＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的构造形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的构造形式或者有相似之处.将其配成相关构造形式是解决问题的打破口，有时往往要进展添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9. 【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c)](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a) ＝[(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9， (或者左边＝[(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a) ＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b a c b c b b a ++++•＋2b a a c a c b a ++++•＋2c b a c a c c b ++++•＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9. 题型二 用柯西不等式求最值【例2】 假设实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y ＋3z)2＝4(当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)， 所以14(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥27. 故x2＋y2＋z2的最小值为27. 【点拨】 根据柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要给x2＋y2＋z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】x2＋2y2＋3z2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值. 【解析】因为(x2＋2y2＋3z2)[32＋(2)2＋(13)2] ≥(3x＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x＋2y ＋z)2， 所以(3x ＋2y ＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y ＋z≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3.题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：顺序和≥反序和得1·1＋x ·x ＋x2·x2＋…＋xn ·xn≥1·xn ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋xn ·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为x ，x2，…，xn ，1为序列1，x ，x2，…，xn 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x2＋…＋xn －1·xn ＋xn ·1≥1·xn ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋xn ·1，即x ＋x3＋…＋x2n －1＋xn≥(n＋1)xn ，②将①和②相加得1＋x ＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x2＞…＞xn.由①②仍然成立，于是③也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，那么a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934⇒S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结进步1.柯西不等式是根本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的根底，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是根本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式那么可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜测——证明——应用〞的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或者排序不等式常常根据所求解(证)的式子构造入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于详细明确的大小顺序、数目一样的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.制卷人：打自企；成别使；而都那。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式选讲》全集汇编及答案解析
【高中数学】数学《不等式选讲》复习知识点一、141．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(],0-∞D ．][(),01,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.2．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.3．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.4．设n *∈N） A>BC=D ．不能确定【答案】B 【解析】 【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】22-===.22-===.*n N∈ 42,31n n n n +>++>+>>><<成立，因此本题选B ． 【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-， C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b aab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.8．不等式222log 2log x x x x -<+的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出0x >，分2log 0x >和2log 0x ≤两种情况讨论，结合222log 2log x x x x -<+可得出2log 0x >，解出该不等式即可.【详解】由题意得出0x >，当2log 0x ≤时，则222log 2log x x x x -=+. 当2log 0x >时，222log 2log x x x x -<+，解不等式2log 0x >得1x >. 因此，不等式222log 2log x x x x -<+的解集为()1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.9．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ） A 3B ．13C 2D 6 【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．10．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（ ）A ．42-B ．4C ．不存在D ．52【答案】D 【解析】 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x ==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.11．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.12．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1- BC 1 D【答案】C 【解析】 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.13．不等式||x x x <的解集是（ ） A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10x x -<<或1}x >【答案】C 【解析】 【分析】原不等式即()||10x x -<，等价转化为①010x x >⎧⎨-<⎩，或 ②010x x <⎧⎨->⎩．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：不等||x x x <，即()||10x x -<，∴①010x x >⎧⎨-<⎩或 ②010x x <⎧⎨->⎩．解①可得01x <<，解②可得1x <-．把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{|01x x <<或1}x <-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．14．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．2211x x x x++≥B C ．12x y x y-+≥- D ．x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x+>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x++≥正确，即A 正确；=<=,故B 恒成立，若1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．15．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零【答案】B【解析】 【分析】设0a b c >厖，所以333a b c 厖，根据排序不等式即可得出答案.【详解】设0a b c >厖，所以333a b c 厖根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++…又ab ac bc 厖，222a b c 厖，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++….所以444222a b c a bc b ca c ab ++++… 即()()()2222220aabc b b ac c c ab -+-+-….故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.16．若不等式53x x a -+->恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．2a > B ．2a ≥C ．2a ≤D ．2a <【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式53x x -+-的最小值，即可得解。
高考数学第一部分专题十八不等式选讲理(重点生,含解析)(选修45)高三选修45数学教案
专题十八不等式选讲卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝对值函数的图象与绝对值不等式恒成立问题2017含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法含绝对值不等式的解法、函数最值的求解2016含绝对值不等式的解法、分段函数的图象及应用含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式及应用含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质纵向把握趋势考题主要涉及绝对值不等式的解法及绝对值不等式的恒成立问题、由不等式的解集求参问题．预计2019年仍以考查绝对值不等式的解法为主，同时兼顾最值或恒成立问题的考查考题涉及绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题以及不等式的证明，难度适中．预计2019年会考查含绝对值不等式的解法、不等式的证明问题考题涉及绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题、函数最值的求解，难度适中．预计2019年仍会考查绝对值不等式的解法，同时要关注不等式的证明问题横向把握重点1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.含绝对值不等式的解法[典例](2018·福州模拟)设函数f (x)＝|x－1|，x∈R.(1)求不等式f (x)≤3－f (x－1)的解集；(2)已知关于x的不等式f (x)≤f (x＋1)－|x－a|的解集为M，若⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32时， f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|≤|x －x ＋1|＝1，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. [类题通法] 含绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)，|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式，可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤：(ⅰ)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (ⅱ)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； (ⅲ)由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；(ⅳ)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．②利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．解：(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12， 即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)．不等式的证明1．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[典例] (2018·沈阳质监)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |.(1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1；(2)若函数f (x )的最大值为2，求证：1a ＋1b≥2. [解] (1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ≥1，2x ，－1≤x <1，－2，x <－1，①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立，此时不等式的解集为{x |x ≥1}；②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >12， 此时不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <1； ③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解． 综上所述，不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >12. (2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得|x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0，∴a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ，∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |＝|x －(－a )|－|x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ，x ≥b ，2x ＋a －b ，－a ≤x <b ，－a ＋b ，x <－a ，结合图象易得函数f (x )的最大值为a ＋b ，∴a ＋b ＝2.∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．[类题通法] 证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[应用通关]1．(2018·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A .(1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1. 解：(1)由已知，令 f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |， 即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1. 2．(2018·陕西质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t . 解：(1)依题意，得f (x )＝⎝ ⎛ －3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12， ∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1≥3t， ∵t ∈[3，＋∞)，∴t 2－3t ≥0，∴t 2－3t ＋1≥1，又∵3t ≤1，∴t 2－3t ＋1≥3t ，∴t 2＋1≥3t＋3t .含绝对值不等式的恒成立问题[典例] (2018·郑州第一次质量预测)设函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝|2x －1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)由已知，可得|x ＋3|<|2x －1|，即|x ＋3|2<|2x －1|2，∴3x 2－10x －8>0，解得x <－23或x >4. 故所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(4，＋∞)． (2)由已知，设h (x )＝2f (x )＋g (x )＝2|x ＋3|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －5，x ≤－3，7，－3<x <12，4x ＋5，x ≥12. 当x ≤－3时，只需－4x －5>ax ＋4恒成立， 即ax <－4x －9恒成立， ∵x ≤－3<0，∴a >－4x －9x ＝－4－9x恒成立， ∴a >⎝⎛⎭⎪⎫－4－9x max ，∴a >－1； 当－3<x <12时，只需7>ax ＋4恒成立，即ax －3<0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ －3a －3≤0，12a －3≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，a ≤6，∴－1≤a ≤6；当x ≥12时，只需4x ＋5>ax ＋4恒成立， 即ax <4x ＋1恒成立．∵x ≥12>0，∴a <4x ＋1x ＝4＋1x恒成立． ∵4＋1x >4，且x →＋∞时，4＋1x→4，∴a ≤4. 综上，a 的取值范围是(－1,4]．[类题通法] 绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．(4)得结论．[应用通关]1．(2018·南宁模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |.(1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解：(1)因为函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，故f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1－3－2x ≥1，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，2x ＋1－3－2x ≥1，② 或⎩⎪⎨⎪⎧ x >32，2x ＋1－2x －3≥1. ③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f(x )max .∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4，∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|.∴|a ＋1|≥4，∴a ＋1≥4或a ＋1≤－4，解得a ≥3或a ≤－5.故a 的取值范围为(－∞，－5]∪[3，＋∞)．2．(2019届高三·洛阳第一次联考)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R ，g (x )＝x 2－2x －4＋4x －12. (1)若f (2a 2－1)>4|a －1|，求实数a 的取值范围；(2)若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (2a 2－1)>4|a －1|，∴|2a 2－2a |＋|a 2－1|>4|a －1|，∴|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)>0，∴|2a |＋|a ＋1|>4且a ≠1.①若a ≤－1，则－2a －a －1>4，∴a <－53； ②若－1<a <0，则－2a ＋a ＋1>4，∴a <－3，此时无解； ③若a ≥0且a ≠1，则2a ＋a ＋1>4，∴a >1.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(1，＋∞)． (2)∵g (x )＝(x －1)2＋4x －12－5≥ 2 x －12·4x －12－5＝－1，显然可取等号，∴g (x )min ＝－1.于是，若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，只需f (x )min ≤1. 又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2，∴(a －1)2≤1，∴－1≤a －1≤1，∴0≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[0,2]．[专题跟踪检测](对应配套卷P209)1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1；当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·兰州模拟)设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋g (x )<2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3.解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|<2.①当x <2时，原不等式可化为3－x ＋2－x <2，解得x >32.所以32<x <2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2<2，解得1<2.所以2≤x ≤3.③当x >3时，原不等式可化为x －3＋x －2<2，解得x <72.所以3<x <72. 由①②③可知，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 32<x <72. (2)证明：因为f (x )≤1，g (y )≤1，即|x －3|≤1，|y －2|≤1，所以|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3时等号成立．3．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|，f (－x )＝|x －1|，设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x <1，2x ，x ≥1，G (x )＝2－x ，由F (x )≥G (x )，解得x ≤－2或x ≥0，所以不等式f (x )＋f (－x )≥2－x 的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <m 2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ， 则－m 2<g (x )<－m ； 当x ≥m 2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ， 则g (x )≥－m 2. 所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞， 若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，只需1>－m 2，解得m >－2， 又m <0，所以m 的取值范围是(－2,0)．4．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.5．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．解：(1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1. 综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0.因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立．6．(2018·广东五市联考)已知函数 f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)．(1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a. ∵f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |， ∴当且仅当|m |≤1时，f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立， ∴－1≤m ≤1，即实数m 的最大值为1.(2)当a <12时， g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋12a ＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－2a 2＋a ＋1≥0， 解得－12≤a <0， ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.7．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0＜a ＜5)．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集；(2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x ＜12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，所以f (x )≥9⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤x ＜5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5， 即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)∵0<a <5，∴5a ＞1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2x ＋6，x <12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a ，a ＋2x －6，x ＞5a .∵当x ＜12时，f (x )单调递减，当x >5a时，f (x )单调递增，∴f (x )的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得．∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0＜a ≤2时，f (x )单调递增，当2＜a ≤5时，f (x )单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ 2＜a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4. 解得a ＝2.8．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R.(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值；(2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值．解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4.当x >2时，原不等式可化为2x <5，∴2<x <52； 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，∴－1≤x ≤2. 当x <－1时，原不等式可化为－2x <3，∴－32<x <－1； 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1. (2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立． 当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3. 当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x， ∴k <3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。
高考数学(四海八荒易错集)专题18 不等式选讲 文
专题18 不等式选讲1．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 专题18 不等式选讲由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 3．解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解 ①当x <－3时，原不等式转化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式转化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式转化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为{x |x <－25或x >2}．4．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，并说明等号成立的条件．5．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， 所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. 所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 故a 、b 、c 中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法 例1、已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3【变式探究】已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3.【名师点睛】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 【锦囊妙计，战胜自我】 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 易错起源2、不等式的证明例2 (1)已知x，y均为正数，且x>y.求证：2x ＋1 x2－2xy＋y2≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<518.证明(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2【变式探究】(1)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：a2b＋b2c＋c2a≥1.证明(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.【名师点睛】(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 易错起源3、柯西不等式的应用例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 【变式探究】已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.【名师点睛】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件． 【锦囊妙计，战胜自我】 柯西不等式(1)设a ， b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解 设y ＝|x －3|－|x －4|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则(|x －3|－|x －4|)min <a . 由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集． 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞)．2．设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y≥0恒成立，求实数λ的最小值．解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·xy＝4， 当且仅当x ＝y 时等号成立．∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]．4．设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 5．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；6．已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围．解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2，∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立． ∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}． 7．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}．由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．。
2019高考数学一轮复习第十八章不等式选讲18不等式选讲课时练理
2019高考数学一轮复习第十八章不等式选讲18不等式选讲课时练理1.[2016·枣强中学期中]不等式|x |＋x ≤2的解集为________． 答案 (－∞，1]解析 当x ≥0时，原不等式即2x ≤2，得x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，原不等式即0≤2，总成立．综上知原不等式的解集为(－∞，1]．2．[2016·冀州中学期末]函数y ＝|2x －1|－2|x ＋1|的最大值为________． 答案 3解析 因为y ＝|2x －1|－2|x ＋1|＝|2x －1|－|2x ＋2|≤|2x －1－(2x ＋2)|＝3(当x ≤－1时取等号)，所以函数的最大值为3.3．[2016·衡水中学预测]不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >14 解析 解法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)，解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >14. 解法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12－x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧x >1x ＋－x －.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >14.4．[2016·枣强中学热身]不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________． 答案 {x |x ≥1}解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2, 故原不等式的解集为{x |x ≥1}．5．[2016·衡水中学猜题]若a >b >1，则a ＋1a 与b ＋1b的大小关系是________．答案 a ＋1a >b ＋1b解析 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －aab＝a －bab －ab.由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以a －bab －ab >0.即a ＋1a>b ＋1b.6．[2016·衡水中学一轮检测]若1a <1b<0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a 2b<2a －b ，其中正确的是________． 答案 ②③④解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0，∴|b |>|a |，①错；∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，②对；ba＋a b >2b a ·a b＝2，③对；由b <0，④变形为a 2＋b 2>2ab 恒成立，④对． 7．[2016·冀州中学模拟]已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥ 2x －a2x －a ＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32. 8．[2016·衡水二中周测]以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<23，其中正确命题的序号是________．答案 ①②③解析 ①|a |－|b |≤|a －b |<1，所以|a |<|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ③|x |<2，|y |>3，所以1|y |<13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x |·1|y |<23.故三个命题都正确． 9．[2016·枣强中学仿真]若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析 若|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，即不等式恒成立，则|x －1|＋|x ＋m |≥|(x ＋m )－(x －1)|＝|m ＋1|>3， 解得m >2或m <－4.10．[2016·衡水二中月考]对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x－1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．答案 －1≤x ≤3解析 不等式恒成立，只需不等式的左边的最小值≥|a ||x －1|，由绝对值三角不等式得|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |＝2|a |，故只需求解2|a |≥|a ||x －1|即可，解得－1≤x ≤3.11．[2016·武邑中学热身]已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，原不等式为|x －2|＋|x －1|≥2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <21≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥22x －3≥2，即x ≥52或x ≤12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥52或x ≤12. (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0，又a >0，∴实数a 的取值范围为a ≥4.12．[2016·冀州中学猜题]在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边边长的倒数成等差数列，求证：∠B <90°.证明 假设∠B <90°不成立， 即∠B ≥90°，从而∠B 是△ABC 的最大角， ∴b 是△ABC 的最大边， 即b >a ，b >c . ∴1a >1b ，1c >1b，相加得1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b .这与已知1a ＋1c ＝2b矛盾， 故∠B ≥90°不成立， 从而∠B <90°.能力组13.[2016·武邑中学仿真]若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z1＋z (x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________．答案 P <3解析 ∵1＋x >0,1＋y >0,1＋z >0， ∴x1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z <1＋x 1＋x ＋1＋y 1＋y ＋1＋z 1＋z＝3. 即P <3.14．[2016·衡水中学模拟]设函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|，则f (x )的最小值是________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．答案 3 [0,5]解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ，x <1，3， 1≤x ≤4，2x －5，x >4，x <1时，5－2x >3，x >4时，2x －5>3，得f (x )min ＝3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <1，5－2x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≤5，求并集得x 的取值范围是[0,5]．15. [2016·冀州中学期中]已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式：1≤f (x )＋f (x －1)≤2； (2)若a >0，求证：f (ax )－af (x )≤f (a )．解 (1)由题f (x )＋f (x －1)＝|x －1|＋|x －2|≥|x －1＋2－x |＝1. 因此只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2； 当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52.综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52. (2)证明：由题f (ax )－af (x )＝|ax －1|－a |x －1|. 当a >0时，f (ax )－af (x )＝|ax －1|－|ax －a | ＝|ax －1|－|a －ax |≤|ax －1＋a －ax | ＝|a －1|＝f (a )．16.[2016·衡水中学仿真]已知x ＋y >0，且xy ≠0. (1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 恒成立，试求实数m 的取值范围．解 (1)证明：∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0， ∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x .(2)①若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≥x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy，又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝x ＋y 2－3xy xy <－3xy xy ＝－3，即x 3＋y 3xy x ＋y <－3，∴m >－6；②若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≤x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy ，又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy x ＋y≥1，∴m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－6,2]．。
2020衡水名师文科数学专题卷专题十八不等式选讲 Word版含答案
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题十八不等式选讲考点56：绝对值不等式（1-18题）考点57：不等式的证明（19-22题）a)1,26(?|ax?2|?等于的解集为( ，则实数 ) 1、若不等式A．8 B．2 C．－4 D．－8 5|?|x?2 2、不等式）的解集是（2}x?3}?|?7?x{x1{x|x?或A.B.3?x9}?|?|x??75?x{x{x或C.D.2?1?3a?|x?5|?a?|x?2|ax的取值范的解集为3、若关于实数，则实数的不等式( )围是(1,4)1,4)(?1)∪(3,??)(?1,3)(??,? D. A. B.C.|x?1|?|x?2|?m mx的取值范围为（4、关于的不等式）R上恒成立，则实数在(1,??)(?????(3,???(????? A.C. D. B.|x?a|?|x?1|?3x成立，则实数a使的取值范围是5、若存在实数( ) ,[?2,1][?2,2][?2,3][?2,4] B.D. C.A.1?2x?1的解集是（6 ）、不等式111,0)?(0,1)(,0)((0,)? CD A．B ．．．22x?1?x?2?5的所有实数??????4,1?,3?13,2?,? B． C． D．A．??解的集合是（）、不等式 737??22??6?x4xy???( ) 的最小值为、函数8622 C.4 D.A. B.1?x2?|1|）的解集是（、不等式9．111,0)(?(0,1),0))((0,? B．C．DA．．221??x2x?1) 、不等式 ( 10 的解集是2}??x{x|0 A.2}??x{x|0 B.??1x?x|0? C.??3x?x|1? D.01?yx???2y?x??yx ,满足不等式组 ,则目标函数11、若实数) 的最大值是( 0?yx??1?z?4x??0y?4?2x??1 A.1? B. 45? C. 45 D. 4ì?+0,xy???0,?y+1y,x y-x( )的最大值为12、若满足则í??6,y?2x???A.0 B.1 C.2 D.42x?1|?1||2x??|_______________.、不等式的解集为13a?8|?|x2|?|x?ax________. 上恒成立，则的最大值为的不等式在R14、关于0|??1|?|5?x|2x______________. 的解集为15、不等式0?1?x?22x?_______.、不等式的解集为16R??1,xf(x)?2x 17、已知函数．1??f(x)?2x解不等式1.；11 1R,(fy,?x?)x??xy1y2??1?，．有2.若对于，求证：63．f(x)?x?a?x?1(a?R)．、已知函数18a?2f(x)?2的解集；时，求不等式当 1.aa?2f(x)的取值范围．的解集不是空集，求实数若不等式 2.???xf?x1 19、已知函数?????46fx2x??f 1.解不等式????1?aab??fb?a,b?R,a?1,b1f :,2.若证明0?a a?5?a?3?a?6?a?4: 已知,求证20、求证:] ：不等式选讲21、[选修4-5Rx,y,z?.设，且1??zx?y2221)?(z((x?1)?y?1)?求的最小值；1.12221??a??3a?a)1)??(z?(x2)(?y?若. 或2.成立，证明：31113c4??2a?b c,b,a??的最小值，并指出取，求均为正数，且22、已知1?b1?c1a?a,b,c的值得最小值时答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：C2?1?a?3a|?|x?5|?|x?2x即关于实,的解集为解析：由题可知关于实数的不等式21??3a|x?5|?a|x?2|?x的解集为的不等式数2?1?a?43?a?1∴a?35)|=3?x?2)(x?xR,∵|x?2|+|?5|?|(，故选，C.，解得4答案及解析：答案：D?(|x?1|?|x?2|)?mmx??2||x?1|?|，由绝对值的几何上恒成立在R解析：min|x?1|?|x?2|表示数轴上的点到1和-2对应的点的距离之和，其最小值为3,意义所以m?3,(?????m.故选的取值范围D. 即实数5答案及解析：答案：D|x?a|?|x?1|?|(x?a)?(x?1)|?|a?1||x?a|?|x?1|?3有解，得,解析：由不等式?3?a?1?3?2?a?43|a??1|，故选，解得D.，所以6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：A解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：Bx?y?1?0??x ,y满足不等式组的可行域如图:解析：实数0?y?1x???2x?y?4?0?x?y?2y?6; 目标函数?1z??x?4x?4y?6??4,6连线的斜率的几何意义是可行域内的点与, x?4x?y?2y?6的最大值转化为的最小值目标函数, ?z4x?4x???0,1A, 由图形可知最优解为1x?y?2?. 所以目标函数的最大值是: ?z44?x B.:故选．作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.此题考查了简单的线性规划,考查交集及其运算,体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想方法,是中档题.12答案及解析：答案：D解析：13答案及解析：2,0)(?答案：3解析：答案及解析：146答案：6a?????8x|????2???x?8?x|?2||x?a6. ，所以的最大值为解析：因为，所以答案及解析：154}x??{x|x?6或答案：3222)(5??x1)x(2?0x3+1424?x?05?1|?2|x|?|x?，，即得解析：由不等式44}或x?x|x??6{x|x??6或x?}{. ，所以原不等式的解集为解得33答案及解析：161,1)?(答案：解析：答案及解析：17x?1?2x?1?2，不等式化为答案：1.1223x?2x?x?x?①当，故；，解得时，不等式为33210??1?x2?x?2x?0??1?x时，不等式为，解得；，故②当2212x???x??13x??x?时，不等式为③当，故，解得，320x|x?{}x?；或综上，原不等式的解集为32.证115???|?2?1y2|x?y?1|?|2?1(2|)f(x?|2x?1|?2(x?y?1)?y?1)|?．明 :366解析：18答案及解析：2a?f(x)?x?2?x?1．时，不等式为当答案：1.111?x2?(x)fx)?3?2x(fx?x?；解得时，则，由当，故221?x?2f(x)?21?(x)f不成立；时，则，显然当552x?2?(x)3(x)?2x?ffxx??．，故当，由时，则解得2215x?}?|{xx综上可得，不等式的解集为或22x?a?x?1?2a的解集不是空集，若不等式2.a?0f(x)?2a．，且满足函数则min x?a?x?1?|1?a|，∵f(x)?|1?a|?2a|a?1|?2a．，即∴min10a???a1?2a?2a?a?．，∴又31a)??[,的取值范围是∴实数3解析：19答案及解析：????6f?2x4?f?x6???x32x?1, 由得::答案：1.解3x??x?2?1?x?3?6x??3; 解得当时,,1?2x?1?x?3?6?3?x??2??3?x; 当时解得,,2142x?1?x?3?6x?x?; ,当时,解得2342??|{xx}?x或,综上不等式的解集为3????bab?ffab?b?a1???1a?, :证明2. 221b?a1,?1ab1,?? ,因为所以即,222222bab1?a???a?b?ab2?2ab?ab?1????222222?0??1?a1?b??1b?aab22ba?ab?1?ba?ab?1?. 所以即,,所以原不等式成立解析：20答案及解析：a?6?a?3?a?5?a?4,只需证答案：要证原不等式成立,223)a?6(a?5?a?4)?(a??, 需证20?183)?6)(a??5)(a?4)?(a(a即证需证∵上式显然成立,∴原不等式成立.解析：21答案及解析：21)]z?1)?(x?1)?(y?[(由于答案：1.222?2[(x?1)(y?1)?(y?1)(z?1)?(z?1)(x(?x?1)??(y1)??(z?1)1)] 222??(x?1)?(y?1)?3?(z?1)，??4222?1)z?1)??(y?1)?((x，故由已知得3511,y??,x?z??时等号成立．当且仅当3334222(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值为.所以32)]?a?(zy[(x?2)?(?1)由于2.222?2[(x?2)(y?1)?(y?1)()?(?(?(?x2)?y1)?zaz?a)?(z?a)(x?2)]222??(x?2)?(y?1)3??(z?a)，??2)a(2?222?)(z?a?(x?2)(y?1)?，故由已知34?a1?a2a?2y?zx??时等号成立．当且仅当，，3332)?a(2222(x?2)?(y?1)?(z?a)的最小值为．因此321a)(2?a??3a??1?．，解得由题设知或33解析：22答案及解析：a?2b?4c?3(a?1)?2(b?1)?4(c?1)?10答案：因为，所以a,b,c为正数，因为11122)?(1?(?1)]?2???)?[(a?1)?2(b1)?4(c所以由柯西不等式得：a?1b?1c?12221)c?4(b?(a1)?2(?1)?等式成立当且仅当11111?62???，所以a?1b?1c?1102?611111??所以的最小值是101?c?1b?1a2101723?158?522?a?cb?,?,此时777解析：。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式选讲》难题汇编附答案
数学《不等式选讲》知识点一、141．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。
2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.4．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.5．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6． 则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6rC •（﹣1）r •x 6﹣2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．6．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+-24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3C ．6D ．9【答案】D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．设n *∈N ）A >BC =D ．不能确定【答案】B 【解析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．9．函数y＝|x－3|－|x＋1|的()A．最小值是0，最大值是4 B．最小值是－4，最大值是0C．最小值是－4，最大值是4 D．没有最大值也没有最小值【答案】C【解析】因为y＝|x－3|－|x＋1|4,322,134,1xx xx-≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．10．设x为函数()sinf x xπ=的零点，且满足001()112x f x++<，则这样的零点有（）A．18个B．19个C．20个D．21个【答案】D从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
【2019最新】高考数学四海八荒易错集专题20不等式选讲理
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
易错起源1、含绝对值不等式的解法
例1、已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
易错起源2、不等式的证明
例2 (1)已知x，y均为正数，且x>y.求证：2x＋≥2y＋3.
(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，
求证：|y|<.
证明 (1)因为x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y
＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3，
【变式探究】(1)若a，b∈R，求证：≤＋.
1．如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
解 设y＝|x－3|－|x－4|，
则y＝的图象如图所示：
若|x－3|－|x－4|<a的解集不是空集，则(|x－3|－|x－4|)min<a.
由图象可知当a>－1时，不等式的解集不是空集．
即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
又∵a2＋2b2＋3c2＝6，
∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，
∴－6≤a＋2b＋3c≤6，∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．
∴|x＋1|<6，∴－7<x<5.
∴x的取值范围是{x|－7<x<5}．
7．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
高考数学一轮复习第十八章不等式选讲不等式的证明课件
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3．已知 a>2，b>2，则 a＋b 与 ab 的大小关系是_a_＋__b_<_a_b_． 解析 ∵ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1>0.∴ab>a＋b.故填 a＋b<ab.
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[解] (1)①因为 f(x＋2)＝m－|x|，
所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m，
由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为 {x|－m≤x≤m}．
又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1.
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[考法综述] 不等式的各种证明方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、柯西不等式法 等．在应用柯西不等式时，注意常数的巧拆、结构的巧变、巧设数等．
命题法 不等式的证明 典例 (1)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． ①求 m 的值； ②若 a，b，c∈R＋，且1a＋21b＋31c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (2)已知实数 x，y 满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<158.
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2020高考精品系列之数学(文)专题18不等式选讲(原卷版)
专题18不等式选讲考纲解读三年高考分析1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）a b a b+≤+（2）a b a c b c-≤-+-（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：;,ax b c ax b c x a x b c+≤+≥-+-≥2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.（1）柯西不等式的向量形式：αβαβ≥g g（2）(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.221212()()x x y y-+-+222323()()x x y y-+-≥221313()()x x y y-+-(此不等式通常称为平面三角不等式.)3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：21niia=∑21niia=⋅≥∑21()ni iia b=∑4.会用向量递归方法讨论排序不等式.5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.6.会用数学归纳法证明伯努利不等式：(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.绝对值不等式的解法和不等式的证明是考查的重点，解题时常用到分类讨论解绝对值不等式，利用均值不等式、柯西不等式证明不等式，考查学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力，题型以解答题为主，中等难度.常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1．【2019年新课标3文科23】设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．2．【2019年新课标2文科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．3．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．4．【2018年新课标2文科23】设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．5．【2018年新课标1文科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．6．【2018年新课标3文科23】设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．7．【2017年新课标2文科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．8．【2017年新课标1文科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围． 9．【2017年新课标3文科23】已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．1．【2019年广东省珠海市高三9月月考】已知函数()|1|||f x x x a =++-． （1）当2a =时，求不等式()5f x <的解集； （2）若()2f x ≥的解集为R ，求a 的取值范围．2．【安徽省肥东县高级中学2019届上学期高三8月调研】已知函数的一个零点为2. （1）求不等式的解集； （2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.3．【安徽省芜湖市2019届高三上学期期末】已知()11f x x ax =-++. （1）1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围. 4．【山东省枣庄市2019届高三上学期期末】已知函数（I ）当时，求不等式的解集；（II ）当时，恒成立，求的取值范围.5．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟】已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．6．【2019年河南省八市重点高中联盟高三9月“领军考试”】已知函数()1f x x x x a =+--. （I ）当1a =时，求不等式()5f x <的解集；（II ）若()1,x ∈+∞时，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围.7．【福建省南平市2019届普通高中毕业班第二次（5月）综合质量检查】已知函数()22f x x x =+-．（1）解不等式：()5f x <；（2）当R x ∈时，()1f x ax >+，求实数a 的取值范围．8．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟】已知()1124f x ax ax a =++---. （1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）若0a >，()y f x =的图像与x 轴围成的封闭图形面积为S ，求S 的最小值. 9．【山东省潍坊市2019届高三上学期期末】设函数4()f x x a x a=-++(0)a >. （1）证明：()4f x ≥； （2）若不等式4()4f x x x a-+≥的解集为{2}x x ≤，求实数a 的值. 10．【河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考】设函数()13f x x x =-++. （1）求不等式()61f x -<的解集； （2）证明：24()24x f x x -≤≤+.11．【福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列适应性练习（二）】设函数()f x x=.(1)求不等式(1)(23)1f x f x +-->的解集;(2)若关于x 的不等式(2)1x f x m +->的解集为R ，求m 的取值范围.12．【广东省湛江市2019届高三高考模拟测试（二）】已知函数()()1,23f x x g x x =-=+. （1）解不等式()()2f x g x -≥；（2）若()()2f x g x m ≤+对于任意x ∈R 恒成立，求实数m 的最小值，并求当m 取最小值时x 的范围.13．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟】已知函数2f x ax =-（），不等式4f x ≤（）的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设3g x f x f x =++（）（）（），若存在x R ∈，使2g x tx -≤（）成立，求实数t 的取值范围． 14．【广东省广州市2019届高三第一学期调研考试（一模）】已知函数1()()3f x x a a R =-∈.（1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x ++≤的解集为M 、11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围. 15．【广东省南海中学等七校联合体2019届高三下学期冲刺模拟】已知函数f （x ）＝|x+2|﹣2|x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）≤1；（2）若关于x 的不等式f （x ）＞ax 只有一个正整数解，求实数a 的取值范围．16．【江西省抚州临川市第二中学2020届高三上学期10月月考】已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明:(1)34ab bc ac ++≤； (2)2228a b c b c a---⋅⋅≥.17．【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】已知,a b 是正实数，且2a b +=， 证明： 2a b ； （Ⅱ）33(4)()a b a b ++≥．18．【河北省衡水市安平县河北安平中学2018-2019学年高三下学期期末】设函数()31f x x x =+--.（1）解不等式()0f x ≥；（2）若()21f x x m +-≥对任意的实数x 均成立，求m 的取值范围.19．【河北省示范性高中2019届高三4月联考】已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.20．【广东省湛江市2019年普通高考测试（二）】已知函数()()1,23f x x g x x =-=+. （1）解不等式()()2f x g x -≥；（2）若()()2f x g x m ≤+对于任意x ∈R 恒成立，求实数m 的最小值，并求当m 取最小值时x 的范围.1．已知函数.（1）解不等式；（2）若，，且，求证：.2．己知函数．(1)若存在使不等式成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对任意正数恒成立，求实数x的取值范围. 3．已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证：.4．已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意恒成立，证明：. 5．已知函数解不等式；对任意，都有成立，求实数a的取值范围．。
(全国通用)高考数学一轮总复习第十八章不等式选讲课件理新人教B版
第九页，共17页。
方法(fāngfǎ)2 基本不等式的应用
基本不等式的应用主要集中在解决最值问题、不等式恒成立、存在性问题及参数的求解
问题.
解含参数的不等式存在性问题时,只要求(yāoqiú)出存在满足条件的x即可.不等式的解集为R是指不等
式的恒成立问题,而不等式的解集为⌀的对立面也是不等式的恒成立问题(如f(x)>m的解集是空
第五页，共17页。
突破方法
方法(fāngfǎ)1 绝对值不等式的解法
形如|x-a|+|x-b|>c(或<c)(c>0)型的不等式主要有三种解法: 1.零点分段讨论法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段讨论法脱去绝对值 符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组),一般步骤是: (1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根; (2)将这些(zhèxiē)根按从小到大排序,它们把实数集分为若干个区间; (3)在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不等式在相应区间上的 解集; (4)这些(zhèxiē)解集的并集就是原不等式的解集. 2.利用绝对值的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差, 因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|x-a|-|x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
(a1 b1)2 (a2 b2 )2
(7)设a1,a2,b1,b2为实数,则 + ≥ ,等号成立⇔ 存在非负实
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式选讲》图文解析
【高中数学】数学《不等式选讲》复习资料一、141．“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】设:31p a -<<，1:,|||2x R x a x q ∃∈-++<，考虑命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系. 【详解】设:31p a -<<，||:|1|2q x a x -++<，当31a -<<时，|||1|1x a x a -++≥+总成立，而12a +<， 故|||1|2x a x -++<在R 上有解，故,|||1|2x R x a x ∃∈-++<， 所以“若p 则q ”为真命题.若,|||1|2x R x a x ∃∈-++<，则()min21x a x >-++，由绝对值不等式可知11x a x a -++≥+，当且仅当()()10x a x --≤时等号成立， 所以1x a x -++的最小值为1a +，故21a >-即31a -<<，所以“若q 则p ”为真命题.综上，“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的充要条件. 故选：C. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.2．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x …时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数以及当0x …时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>， ∴2|2|4|2|5x x +-+>， 所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.3．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )A ．a ＋＋1)B ．a ＋＋1C ．a －b 1)2D ．a ＋b ＞＋1)【答案】A 【解析】 【分析】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】2a b +.所以ab≤14(a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋ 故答案为：A 【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-， C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】 【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．6．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A ．平行或垂直 B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】C 【解析】 【分析】利用反证法证明得解. 【详解】不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，， 由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面，设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b aab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.8．若，则不等式的解集为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。
高考数学四海八荒易错集专题20不等式选讲理
专题20 不等式选讲1．已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x＋12，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x≤－12，1，－12<x<12，2x，x≥12.从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.2．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得23<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．3．解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1.4．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，并说明等号成立的条件． 解 因为a ，b ，c 均为正实数，所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b， 当且仅当a ＝b 时等号成立；12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三个不等式相加，得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．5．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式选讲》全集汇编及解析
数学《不等式选讲》复习知识点一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。
【详解】根据绝对值三角不等式，得1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+∴()1f x x x a =++-的最小值为1a +()2f x ≥Q 恒成立，∴等价于()f x 的最小值大于等于2，即12a +≥ ∴12a +≥或12a +≤-，1a ≥或3a ≤-，故选B 。
【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a 的取值范围。
3．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x …时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数以及当0x …时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，∴2|2|4|2|5x x +-+>，所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.4．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.5．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．6．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )A ．a ＋＋1)B ．a ＋＋1C ．a －1)2D ．a ＋b ＞＋1)【答案】A 【解析】 【分析】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】2a b +.所以ab≤14(a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋ 故答案为：A 【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3C ．6D ．9【答案】D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
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专题18 不等式选讲1．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 专题18 不等式选讲由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 3．解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解 ①当x <－3时，原不等式转化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式转化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式转化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为{x |x <－25或x >2}．4．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，并说明等号成立的条件．5．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， 所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. 所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 故a 、b 、c 中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法 例1、已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3【变式探究】已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3.【名师点睛】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 【锦囊妙计，战胜自我】 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 易错起源2、不等式的证明例2 (1)已知x，y均为正数，且x>y.求证：2x ＋1 x2－2xy＋y2≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<518.证明(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2【变式探究】(1)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：a2b＋b2c＋c2a≥1.证明(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.【名师点睛】(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 易错起源3、柯西不等式的应用例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 【变式探究】已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.【名师点睛】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件． 【锦囊妙计，战胜自我】 柯西不等式(1)设a ， b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解 设y ＝|x －3|－|x －4|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则(|x －3|－|x －4|)min <a . 由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集． 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞)．2．设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y≥0恒成立，求实数λ的最小值．解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·xy＝4， 当且仅当x ＝y 时等号成立．∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]．4．设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 5．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；6．已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围．解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2，∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立． ∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}． 7．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}．由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．a解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．a。