知识点梳理-简单几何体

简单几何体1.概念：2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)侧面是平行四边形；(3)侧棱互相平行.3.分类一：三棱柱、四棱柱、五棱柱……分类二：斜棱柱、直棱柱、正棱柱.斜棱柱正四棱柱正六棱柱直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.1.概念：2.结构特征：(1)有一个面是多边形(包括三角形)；(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形.3.分类：一般棱锥、正棱锥.棱锥正四棱锥正四面体正棱锥：底面为正多边形，公共顶点在底面的投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.正四面体：各面都是等边三角形的三棱锥叫做正四面体. 1.概念：2.结构特征：(1)侧棱的延长线相交于一点；(2)侧面是梯形；(3)两底面互相平行，两底面相似. 1.概念：2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)任意两条母线都平行；(3)母线与底面垂直；(4)轴截面为矩形；(5)侧面展开图是矩形. 1.概念：正四棱台四棱台2.结构特征：(1)所有母线相交于一点；(2)旋转轴与底面垂直；(3)轴截面为等腰三角形；(4)侧面展开图是扇形.1.概念：2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)母线的延长线相交于一点；(3)轴截面为等腰梯形；(4)侧面展开图是扇环.1.概念：2.结构特征：(1)球面是曲面，不能展开成平面图形；(2)球面上任一点与球心的连线都是半径.大圆：经过球心的截面去截球面所得的圆称为大圆.小圆：不经过球心的截面去截球面所得的圆称为小圆.3.球的截面的性质：(1)球的截面是圆面；(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系是r=4.两点间的球面距离：在球面上，两点之间的最短路线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面的距离.一、选择题 1．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为( )A ．6πB ．4πC ．3π B ．2π 2．如图8-22，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥.在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S 1、S 2、S 3，则这个三棱锥的体积为( )A ．V =32321S S S B ．V =32321S S S C ．V =32321S S S D ．V =6321S S S 3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )A ．必定都不是直角三角形B ．至多有一个直角三角形C ．至多有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为( )A ．27πB ．56πC ．14πD ．64π5．把一个半径为R 的实心铁球熔化铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为( )A ．31RB ．333RC ．5253RD ．33R 6．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 27．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B=D 1D.已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为( )A ．26B ．36C ．46D ．66 8．设地球半径为R ，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为( )A ．33πRB ．3πRC ．πRD ．2πR9．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )10．如图8-25，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P =BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶111．如图8-26，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是( )12．已知A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O 到平面BCD 的距离等于( )A ．36B ．66C ．126D ．186 二、填空题13．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥.14．如图8-27，在三棱锥S —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是棱SA 、SB 、BC 、AC的中点，截面EFGH 将三棱锥分割为两个几何体AB —EFGH 、SC —EFGH ，其体积分别是V 1、V 2，则V 1∶V 2的值是 .15．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各条棱长皆为2，则此三棱锥的体积为16．已知正四棱柱的体积为定值V ，则它的表面积的最小值为 .三、解答题17．正四棱台上、下底面边长分别为a 和b ,上、下底面积之和等于侧面积，求棱台体积.18．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积.19．如图8-29，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积.20．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图8-30)，设容器的高为h 米，盖子边长为a 米.(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值. (求解本题时，不计容器的厚度)【综合能力训练】1.C2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.A9.B 10.B 11.C 12.B 13.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……14.1∶1 15. 611 16.632V 17.解：V=)(3b a ab +(a 2+ab+b 2). 18:解析：由三视图知正三棱柱的高为2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为cm. 设底面边长为a ，则,∴a=4.∴正三棱柱的表面积S=S 侧+2S 底 =3×4×2+2××4×=8(3+)(cm)答案：8(3+)(cm).19.解 设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为6，另一边长为2·6=23，∴r 2=(6)2+(3)2=9，∴r=3，故S 半球=2πr 2+πr 2=27π，V 半球=32πr 3=18π，即半球的表面积为27π，体积为18π. 注：本题是正方体内接于半球问题，它与正方体内接于球的问题是有本质差别的，请注意比较.20.解(1)设h′为正四棱锥的斜高，由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a解得a=112+h (h>0). (2)V=31ha 2=)1(32+h h (h>0)， 易得V=)1(31h h +，因为h+h 1≥2hh 1⋅=2，所以V≤61， 等号当且仅当h=h1，即h=1时取得. 故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米.奇偶性练习1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1，2a ]，则( )A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的表达式是( )A ．y ＝x (x －2)B ．y ＝x (｜x ｜－1)C ．y ＝｜x ｜(x －2)D ．y ＝x (｜x ｜－2)4．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)等于( )A ．－26B ．－18C ．－10D ．105．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是( )A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数6．若)(x ϕ，g (x )都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在(0，＋∞)上有最大值5，则f (x )在(－∞，0)上有( )A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－37．函数2122)(x x x f ---=的奇偶性为________．8．若y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．9．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f (x )的解析式为_______．10．已知函数f (x )为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和为_______．11．设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．12．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )(x ∈R ，y ∈R)，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数．13．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 3＋2x 2—1，求f (x )在R 上的表达式．14．f (x )是定义在(－∞，－5] [5，＋∞)上的奇函数，且f (x )在[5，＋∞)上单调递减，试判断f (x )在(－∞，－5]上的单调性，并用定义给予证明.15．设函数y ＝f (x )(x ∈R 且x ≠0)对任意非零实数x 1、x 2满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，求证f (x )是偶函数．奇偶性练习 参考答案1．解析：f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f (x )·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A 2．解析：由f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为[a －1，2a ]，∴a －1＝2a ，∴31=a ．答案：A ． 3．解析：由x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，f (x )为奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x )＝－x 2－2x ＝x (－x －2)．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f (x )＝x (|x |－2) 答案：D4．解析：f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f (－2)＋8＝18，∴f (2)＋8＝－18，∴f (2)＝－26． 答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f (－x )＋f (x )＝0． 答案：B6．解析：)(x ϕ、g (x )为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f (x )在(0，＋∞)上有最大值5，∴f (x )－2有最大值3．∴f (x )－2在(－∞，0)上有最小值－3，∴f (x )在(－∞，0)上有最小值－1． 答案：C7．答案：奇函数8．答案：0 解析：因为函数y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(m －1)(－x )2＋2m (－x )＋3＝(m —1)x 2＋2mx ＋3，整理得m ＝0．9．解析：由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立 11)()(-=+x x g x f ，得11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：011．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f (0)＋f (0)＝2f (0)·f (0)，又f (0)≠0，∴可证f (0)＝1．令x ＝0， ∴f (y )＋f (－y )＝2f (0)·f (y )⇒f (－y )＝f (y )，故f (x )为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f (x )＝x 3＋2x 2－1．因为f (x )为奇函数，∴f (0)＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋2(－x )2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f (x )＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查对奇函数概念的理解及应用能力．14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因为f (x )在[5，＋∞]上单调递减，所以 f (－x 1)＜f (－x 2)⇒f (x 1)＜－f (x 2)⇒f (x 1)＞f (x 2)，即单调减函数． 点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f [－1×(－1)]＝2f (1)＝0， ∴f (－1)＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f (－x )＝f (－1)＋f (x )＝0＋f (x )＝f (x )，即f (x )为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。