华南理工大学2010年数学竞赛试卷

华南理工大学2010数学竞赛试卷

1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；

本试卷共 8 大题，满分100分，

考试时间120分钟。

一、计算下列各题 （每小题6分，本大题共36分）

. 求极限1lim 1n n n e n →∞

⎡⎤

⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

原式

()1ln 11

200111ln 111ln 11lim lim lim lim 1122

n n n n x x e e n x x e n x e e e x x n n

⎛⎫

+- ⎪⎝⎭→∞→∞→→⎡⎤⎛⎫-⎢⎥+-- ⎪+-⎢⎥⎣⎦⎝⎭+=====-

. 求极限1

lim 1n x

x n x e dx e →∞+⎰

由于[]0,0,11

n x

n x

x e x x e ≤≤∈+ 110010lim lim lim 011n x n

x n n n x e dx x dx e n →∞→∞→∞≤≤==++⎰⎰,从而由夹逼准则1

0lim 01n x x n x e dx e →∞=+⎰

. 求极限[]()0

1

lim x

x t t dt x →+∞-⎰,其中[]t 为不超过t 的最大整数.

由于[][]

[]()[]

[][]()[]()[][]

[][]

1

11122211

x x x

t t dt t t dt

t t dt

x x x x x

x x +---+

=≤

≤

=++⎰⎰⎰ []()0

11

lim 2x

x t t dt x →+∞-=⎰

. 在原点附近,试用一个二次多项式近似代替函数()20

1sin 32x

t

f x dt t +=++⎰ 由于

()()()()()()()

()22222cos 21sin 1sin 11

03,,0,,02222x x x x x f f x f f x f x x +-++''''''=====++()()()()220011

031!2!24

f f f x f x x x x '''≈+

+=++

５. 计算42

2

cos 1x x

dx e π

π--+⎰

解 由

()()()0

a a

a

f x dx f x f x dx -=+-⎡

⎤⎣⎦⎰⎰ 可得442

202

cos 313cos 142216x x dx xdx e π

π

πππ--==⋅⋅=+⎰⎰ ６. 计算()2

c

z y ds +⎰,其中c 为球面2

222x

y z R ++=与平面0x y z ++=的交线

解

()2

2

c

c

c

z y ds zds y ds +=+⎰⎰⎰,由曲线的轮换对称性可得

()()2

2

22231112

()03333

c

c

c

c z y ds z x y ds y z x ds R ds R π+=+++++=+

=⎰⎰⎰

⎰ 二、（本题8分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导,()()10,12f f '==,求()220

sin cos lim

tan x f x x x x x

→++。

解：原式

()()()222222200sin cos 1sin cos 1sin cos 11lim 1lim 1sin cos 1tan 21tan x x x x f x x f x x x x f x x x x x x

x →→-++-+-'=⋅=⋅=+-++ 三、（本题10分）证明()()2

11,0,1,2,2!n n n n n

d P x x n n dx =-=L 满足关系式

()()()()()2

1210n n n x

P x xP x n n P x '''-+-+=

证 设()211,0,1,2,2!n n z x n n =

-=L ,则()()12

2112,212!

n n

z x nx nxz x z n -''=-⋅=- 两边再求()1n +阶导数,得

()

()()

()()

()()

()()

1212

122112122!

n n n n n n n nxz

n n z

x z

x n z

z ++++++=-+++⋅

从而(

)

()

(

)

()()212

1210n n n

x z

xz n n z ++-+-+=

因为(

)

()()()()()21,,n n n

n n n z P x z P x z P x ++'''===

故()

()()()()2

1210n n n x P x xP x n n P x '''-+-+=