高三数学第一轮复习导数讲义(小结)

高三数学第一轮复习导数讲义（小结）

一．课前预习：

1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆x

x f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 2

1 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象

（ D ）

3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 （ A ）

()A 22()()032p q += ()B 23()()023

p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2

f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．

四．例题分析：

例1．若函数3211()(1)132

f x x ax a x =

-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．

解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，

令()0f x '=得1x =或1x a =-，

∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，

∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．

例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，

（1）求()f x 的单调区间和极大值；

（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．

解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，

即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+0

32c a c a ，

解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，

∴0)1()1(='=-'f f ，

当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；

当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；

当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，

所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ．

（2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，

且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，

所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ．

例3．设函数321()532

a b f x x x x -=

+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．

（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．

（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，

由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a =>．

（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+． （3）①若102x <<，则10(2)4210

b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩，

∴412(1)a b +<-，从而222

(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14

a <-（舍） ∴42(1)3

b ->，得13

b <． ②若120x -<<，则10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222

(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14

a <-（舍） ∴42(1)3

b ->，∴53b >， 综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33

-∞+∞ ．

小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．

五．课后作业： 班级 学号 姓名

1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） ()A 5、15- ()B 5、4 ()C 4-、15- ()D 5、16-

2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）

()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数

()C 在区间(2,)+∞内，)(x f 为增函数 ()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞ 内，)(x f 为增函数

3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim 1x f x x f x x

∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于 （ ） ()A 1 ()B 13- ()C 3- ()D 3

1 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= （ ）

()A k ()B k - ()C k 1 ()D k

1- 5．一物体运动方程是)/8.9(3

120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为 ． 6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．

（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；

（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．