基本初等函数论文2

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初等函数及其连续性

初数研究期末专题论文教师一班105012013066 邱燕华初等函数及其连续性【摘要】：本文主要分为三部分。

第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。

关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理【正文】：一、初等函数1、初等函数的定义定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。

注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

2、初等函数的分类如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数[2]。

（如下图示）⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法（1）根据定义判定例1、判断下列函数是否为初等函数 ①122sin (1)x e y g x ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，②ylg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦ 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，122sin (1)x e y g x ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦是初等函数。

②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义,∴y=-2-cosx 不是初等函数。

③2lg ,1,1,lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数例2、判断下列函数是否为初等函数①1,0sgnx 0,01,0x x x >=-<⎧⎪⎨⎪⎩=符号函数，②{1x D(x)=0x ，为有理数狄利克雷函数，为无理数， ③1,x p q R(x)=0x 0x [0,1]p p q q =∈+=⎧⎪⎨⎪⎩当时（,q N ,为既约真分数）黎曼函数，当时，是内的无理数解：①②③均不是基本初等函数，也不是由基本初等函数经过有限次代数运算或者复合得到的函数，所以，他们都不是初等函数。

★微积分(论文)

为了证明我不是抄袭，复制黏贴过来。

或者抄袭别人的论文。

本人都用了句号。

数学论文作者：李珍珍微积分请问什么是微积分？你还不懂吗？那就拿着本本和笔笔去学习吧。

啦~数学是研究“数”与“形”的一门学科。

数学也是一种工具。

近代数学的伟大变革是从引进变量开始的，而微积分学的发明正式变量数学的第一个伟大成就，微积分学的出现不仅颠覆了整个数学领域，而且显著地促进了近代科学技术的发展，没有微积分这一项强大的数学工具。

物理学。

天文学。

等领域的近代理论的形成是几乎不可能的。

微积分是由牛顿和莱布尼兹发明的。

微积分学为研究变量提供了一个方法系统。

气基本内容是微分与几分这两种互相关联的运算。

在求物体瞬时速度和曲线切线时。

我们就会运用到微积分。

且都建立在极限概念的基础上。

微分学研究变量的局部性质。

而积分学就处理变量在一定范围内的“求和”∑。

因而是一整体问题。

自然。

局部与整体和对立与联系。

充分体现出微分与几分的相互关系中。

微积分学已经成为经典数学的重要分支。

有一系列的重要学科在他身上萌芽。

如微分方程。

复变函数。

实变函数。

便疯法等。

微积分学的李云与方法。

已经广泛的运用与自然科学。

工程技术和社会学科等多个领域部门。

对微积分学的一定程度的掌握，不仅是对科技工作者的数学训练中的必备要素。

而且也越来越为对经济学家。

工程师和许多社会工作者的基本要求。

要想学好微积分。

必须把基础打好。

极限与连续性函数N维空间1，空间R+ n个实数的有续租（x1,x2,……xn)之全体成为n维欧几里德空间。

记作R+。

R+的元素（x1,x2^xn)称为点。

记作x或大写字母A,B,C等。

R1（上标）就是实直线，也写作R或者（-躺倒的8，+躺倒的8）。

【哎呀。

什么奇葩的坑爹。

那个无穷符号打不出来。

】。

R²就是实平面。

R³就可以解释为通常的空间。

这就好比。

一维是线。

二维是面。

三维是空间。

（2.线性运算。

任意给定的x,y属于Rn（上标），α，β属于R，不妨设x=（x1,x2,x3……，xn)，y=(y1,y2,y3……yn)，定义αx+βy=（ax1+βy1。

基本初等函数乘积的不定积分

基本初等函数乘积的不定积分本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！基本初等函数乘积的不定积分【课题论文】湖北省教育科学十二五规划2011年立项课题（项目编号2011B266）一、幂函数与指数函数乘积的不定积分1。

xnaxdx=ax ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。

二、幂函数与对数函数乘积的不定积分2。

xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。

三、幂函数与三角函数乘积的不定积分3。

xncosxdx= ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。

4。

xnsinxdx=- ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。

四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分5。

xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx- xn+11-x2dx。

6。

xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+ xn+11-x2dx。

其中：In+1= xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1, ,五、指数函数与对数函数乘积的不定积分7。

axlogbxdx=1lnbax i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。

六、指数函数与三角函数乘积的不定积分8。

eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。

9。

eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。

七、指数函数与反三角函数乘积的不论文联盟http://定积分10。

axarcsinbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。

11。

axarccosbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。

八、对数函数与三角函数乘积的不定积分12。

cosbxlnxdx= i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。

数学微积分论文范文

数学微积分论文范文微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来店铺为你整理了数学微积分论文的范文，一起来看看吧。

数学微积分论文范文篇一：初等微积分与中学数学摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。

在新课程背景下，几进几出中学课本。

可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。

但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。

这样不利于这方面的教学。

我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.关键词：微积分;背景;作用;函数一、微积分进入高中课本的背景及必要性在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。

微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。

其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。

但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。

这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。

柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。

近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。

这为其完全进入高中课本奠定了基础。

从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。

即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。

从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。

回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。

但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。

我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一方法，也是联系中学与大学数学知识的纽带!二、微积分在中学数学中的作用1.衔接性与后继作用。

论文函数的极值问题在实际中的应用.

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

函数教学论文

函数教学论文函数教学论文函数教学论文【1】摘要:初中数学中的函数知识非常重要,搞好这部分内容的教学,必须要理解基本概念,理清知识结构,树立“运动变化”的理念,渗透数形结合的思想。

关键词:初中数学函数教学数形结合初中数学中变量与函数概念的引入,标志着数学由常量数学向变量数学的迈进。

尽管初中函数内容只是讲述了函数的一些最基本、最初步的知识,但是其中蕴含的数学思想和方法,对培养学生观察、研究、解决问题的能力是十分有益的。

不仅如此,函数概念还是高中代数的核心部分,学好初中函数的有关知识,可以为研究高中数学中的各种初等函数奠定一定的基础。

因而,初中函数概念的基础性作用是显而易见的。

在教学中应从四个方面引导学生正确理解函数的概念,进而掌握函数的特征和性质。

一、正确理解三组关系,系统把握函数概念点的坐标的定义与点与坐标的一一对应关系;函数定义中某一变化过程和自变量与函数的对应关系;函数图象定义中的自变量值。

函数值→有序数对→点的坐标→点→图象,加强这三组关系的理解,有利于把函数的解析式、点的坐标和函数图象结合起来,建立起较完整的函数概念。

二、理清知识结构,构建知识体系用这样一个知识结构图,可以把平面直角坐标系、点、图象和解析式有机地结合起来,并从中可以找到相互之间的联系和问题的转化方式。

三、树立运动变化的观点函数概念的核心意义是反映在某一变化过程中两个变量之间的依赖关系,即一个量的变化随着另一个量的变化而变化。

这就使得原本静止的数的概念之间产生了一种动感的联系。

在教学过程中,应引导学生通过寻找、发现身边的事例来体会这种变量关系。

例如,生长期的身高随着年龄的变化而变化;一天中的气温随着时间的变化而变化;工厂的收入随着产量的增加而增加;二元一次方程的无数解,在方程3x-2y=1中,当x的取值发生变化时,y的值随着x的变化而变化……在阐述这种运动关系的同时,还应该用式子、表格、图示的方法来举例描述,以加深学生对这种抽象的运动关系的直观认识,这样就可以逐步地帮助学生树立一种“运动变化”的观点。

几类常用复初等函数的性质及其应用

3．若在江西师范大学毕业论文审查小组复审中，发现本文有抄袭，一切后果均由本人承担，与毕业论文指导老师无关。
学位论文作者（签名）：
年月日
几类常用复初等函数的性质及其应用
姓名
【摘要】复初等函数是以指数函数为基础的,首先定义了指数函数,之后三角函数,双曲函数,最后定义多值函数中的幂函数,对数函数,和反三角函数.实初等函数与复初等函数有许多类似之处,也有一些不同.通过文章会发现复初等函数定义域扩充到复数域带来的性质变化是很大的.本文主要讲述复初等函数的定义,以及它们各自具有不同与实函数的性质,以及它们在数学解题过程中的应用.
2018年4月
江西师范大学教务处制
独创性声明
本人郑重声明：
1．此毕业论文是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除了特别加以标注地方外，本文不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。对本文研究做出重要贡献的个人与集体均已在文中作了明确标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
2．本人完全了解学校、学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学校与学院保留并向国家有关部门或机构送交此论文的复印件和电子版，允许此文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学可以将此文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本文。
（3）当沿趋向于时,在第一象限与第二象限的一支极限分别为与0,故当时极限不存在.
此题我们可以运用指数函数的性质来判断其极限是否存在.
例2[12]:计算和 ,其中为常数.
解设 , ,则有
,
可分离函数实部和虚部:
,
.
2.3三角函数
2.3.1 三角函数定义
定义3[7]:规定 , ,分别称它们为的正弦函数和余弦函数.

2函数与基本初等函数

2函数与基本初等函数函数是数学中的一个概念，它描述了两个集合之间的一种关系。

在数学中，函数一般表示为y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量，f(x)表示函数关系。

函数在数学中有很广泛的应用，包括描述物理现象、经济模型、计算机算法等等。

函数可以分为两类：基本初等函数和非初等函数。

基本初等函数是指由常数和有限次的代数运算（加法、减法、乘法、除法）以及有限次通常交换运算（乘法的交换性和加法的交换性）得到的函数。

基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

常数函数是指输出始终是一个固定值的函数，比如f(x)=2，表示函数f(x)的输出始终是2幂函数是指自变量x的各次幂决定函数输出的函数，比如f(x)=x^2，表示函数f(x)的输出是x的平方。

指数函数是以自然常数e为底数的幂函数，比如f(x)=e^x，表示函数f(x)的输出是e的x次幂。

对数函数是指以一些正实数为底的对数运算的逆运算，比如f(x)=log(x)，表示函数f(x)的输出是x的对数。

三角函数是指以圆的四个象限上的点的坐标来定义的函数，例如正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)。

反三角函数是指以三角函数为自变量的函数的逆函数，例如反正弦函数arcsin(x)和反余弦函数arccos(x)。

非初等函数则是指无法用基本初等函数表示的函数，比如指数函数的逆函数-自然对数函数ln(x)、双曲函数、贝塞尔函数等等。

基本初等函数具有很多重要的性质和应用。

例如，三角函数和反三角函数在几何中的角度度量及三角关系中起着重要作用；指数函数在描述物理现象中的增长和衰减过程中应用广泛；对数函数在描述复杂度、概率等方面有重要作用；幂函数则用来描述函数的增长速度。

总的来说，函数是数学中一个非常重要的概念，基本初等函数是一类特殊的函数，它们被广泛应用于各个数学分支和实际问题中。

对于理解和应用函数，包括基本初等函数在内的各种函数的性质和特点的研究都具有重要的意义。

高等数学第二节初等函数

x u f y
自变量
中间变量因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义，所以它们不能构成复合函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解：依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-
3500) 3500)
都是初等函数。
y
3 3x tan 5x x3 sin x - 2-x
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
四、函数关系举例
1.如何选择通信公司
小王买部手机想入网，他得知：中国联通130网的收费标准是：月租费30元，每月来电显示6元，本地通话每分钟0.4元；中国移动“神州行”储值卡的收费标准是：本地通话每分钟 0.6元，月租费和来电显示费全免，小王相拥有来电服务，请问他如何选择？
第二节初等函数
一、基本初等函数二、复合函数三、初等函数四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)，在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数

人教版《第二章基本初等函数》PPT完美课件1

例2：求下面对数式中x 的取值范围.
lo2g x1x2
2x 1 0 解： 2 x 1 1
x 2 0
x 1 2
x1
x 2
x
x
1,且x 2
1
人教版《第二章基本初等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章基本初等函数》PPT完美课件1
例3：解方程.
lo2lgo4xg 0
解所l：以 to 4 x 2 0g t ,则 1,设即 llo 2 ot4 gx0 g 1注验大意证于0：真，一数底定是数要否是
思考：你发现了什么？
lo a a g 1 a 0 ,且 a 1
人教版《第二章基本初等函数》PPT完美课件1
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4.求下列各式的值：
12log28
2 3log327
3
1
log
18
2
2
猜想： a lo a N g ? a 0 ,且 a 1
赋予它的含义就是：1.2的多少次幂等于2.
人教版《第二章基本初等函数》PPT完美课件1
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对数的定义：
若ax N（a0,a1） ,则数 x叫做
以a为底 N的对数，x记 lo作 ga N,
其中 a为底数N为，真.数loga N
指数
对数
幂
真
ax N
数 loga Nx
ax N
xloga N
等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章基本初等函数》PPT完美课件1
对数的性质：
1零和负数没有对数
2 lo a 1 0 g a 0 ,且 a 1 3 lo a a 1 g a 0 ,且 a 1

高三一轮《函数》复习论文

高三一轮《函数》复习策略【摘要】函数是高中数学的重点内容，也是高考的热点，但函数综合性强、难度大，所以学生得分难。

因此在高三一轮复习时应依据数学课程标准，准确的把握函数的规律，同时能很好培养学生的识记、理解、应用、综合的能力，复习好这一章。

【关键词】函数概念图像性质特殊函数模型方程应用第一：基础部分（函数的概念及表示方法、性质）1.了解构成函数的要素，了解映射的概念，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数2.会求简单函数的定义域和解析式3.理解函数的单调性，最大值，最小值，注意判断单调性的方法及求值域的方法4.理解奇偶性和周期性的定义，注意小综合题会求简单抽象函数周期考纲解读：1.函数的概念是本章的重要概念之一，经常与函数图像结合来考察基本的概念，在解答题中函数概念的考查也在不断渗透，应引起重视。

求解析式和函数定义域具有一定的综合性，要会用“特殊点排除法”来解这一部分的选择题。

分段函数表示的是一个函数，而不是几个函数，高考近几年加大了对分段函数的考查力度2.函数的单调性，奇偶性与周期性是高考常考的热点之一，求函数的单调区间，必须牢记“定义域优先”的原则，根据题目类型选用“定义法”“求导法”等方法，还应掌握复合函数求单调性的方法——“同增异减”3.函数的奇偶性，周期性常和函数的单调性组成小综合题，对这类综合题，要通过研究函数的单调性，周期性，奇偶性等，全面了解函数图像的变化趋势，画出函数的示意图，结合图像来研究函数的最值，极值，单调区间等，这是解决函数最值，值域，不等式恒成立等问题的基本思路。

第二：强化部分特殊函数模型（指对幂）1.理解指数幂的含义，掌握幂的运算2.理解指数函数的概念，单调性，图象通过的特殊点3.理解对数的概念及其运算，换底公式4.理解对数函数的概念，单调性，图象通过的特殊点5.了解指数函数与对数函数互为反函数6.了解幂函数的概念掌握几种幂函数图像性质考纲解读:1.指数函数部分主要考查指数运算和指数函数的图象和性质，含指数函数的复合函数是考查的重点，另外指数函数的定义域、值域及求值是高考的重点内容。

基本初等函数的导数及导数的运算法则2

练习：指出下列函数是怎样复合而成的．
(1) y ( x2 1)3;
(2) y sin2(1 1 ); x
(3) y (1 cos 3x)3;
tan x (4) y (2x 1)3 .
新课讲解
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
点 x 处也有导数，且 y'x ＝y'u·u'x．
或写作 f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．
新课讲解
1．求 y ＝(3x－2)2 的导数．
2.求 y＝(2x＋1)5 的导数．
新课讲解
复合函数
如 y＝(3x－2)2 由二次函数 y＝u2 和一次函数 u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ．像 y＝(3x－2)2 这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．
新课讲解
复合函数如 y＝(3x－2)2 由二次函数 y＝u2 和一次函
数 u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ．像 y＝(3x－2)2 这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)
法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:

第2章基本初等函数小结

定义图象
性质
应用
定义几个常用幂函数
幂函数
图象
在第一象限的特征
回顾与思考
1．本章学习了哪三种不同类型的函数？指数函数、对数函数和幂函数
2．你能举出指数、对数概念的实际例子吗？
3．有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数幂的运算性质，我们推出了对数运算性质. 你能自己独立推导对数运算性质吗？
(2) y loga (2 x) (a 0, 且a 1);
(3) y loga (1 x) (a 0, 且a 1).
2
课本第82页复习参考题A组5题．
巩固练习
1 1. 已知集合 A { y | y log2 x , x 1}, B { y | y , x 1}, 2 则A B ( ). 1 ( A){ y | 0 y } 2 1 (C ){ y | y 1} 2 ( B ){ y | 0 y 1} ( D )
(2) 已知log2 3 a, log3 7 b, 试用a, b表示log14 56.
课本第82页复习参考题A组3题．
例2. 求下列函数的定义域： (1) y . 2
课本第82页复习参考题A组4题．
例3. 求下列函数的定义域： 1 (1) y ; log3 (3 x 2)
x
2. 若 a , b是任意实数 , 且a b, 则(
2 2
D
).
a b
b 1 1 ( A)a b ( B ) 1(C ) lg(a b ) 0( D ) a 2 2
3.如果a>1,b<-1，那么函数f(x)=ax+b的图象在 B （） (A)第一、二、三象限 (B)第一、三、四象限 (C)第二、三、四象限 (D)第一、二、四象限

二次函数的应用[论文]

二次函数的应用摘要：二次函数作为最基本的初等函数。

以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系。

这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。

关键字：二次函数、概念、性质、图像、应用。

正文：初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，强调二次函数独特的地方，分析以蕴含了二次函数关系式为背景的应用问题，体现了数形结合思想在二次函数中应用的重要性，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制。

因此，这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。

进入高中以后，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需更深入地学习。

一. 函数概念的深入理解初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习了函数的概念，主要是用映射的观点来阐述函数。

以二次函数为例加深对函数概念的认识。

二次函数是从一个集合a（定义域）到集合b（值域）上的映射f：，使得集合b中的元素y与集合a中的元素x对应，记为（）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题。

类型ⅰ：设求： f （ x ）分析：这里不能把f （ x + 1 ）理解为 x = x + 1时的函数值，应该理解为，在对应法则 f 下，定义域中的元素x + 1 的象是，求定义域中的元素x 的象，其本质是求对应法则。

方法一：把所作表达式表示成x + 1 的多项式。

再用x 代替x + 1 的方法二：变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用令 t = x + 1 ，则 x = t – 1二 . 利用二次函数图像分析单调性与最值二次函数的图像是研究二次函数的重要工具，也是二次函数的教学难点所在，在教学中要注意引导学生把握二次函数图像的特点，使学生逐步自觉地利用函数图像学习二次函数的性质（单调性、最值等）。

关于基本初等函数的定义

2
于是有
y
,
+ y =
0
.
这个微分方程刻划了三角函数的本质特征
,
于是可以用作三角函数的定义
即正弦函
数是问题
:
肠
`
十y = 0
0 = o
,
{ y ( 又
的解
;
)
y
`
(
0
)
=
l
余弦函数是问题
y + y 二 0 厂 4 y ( 0 ) 一仁
加速度
,
、
位移和时间之间是按一定的
。
比例关系变化的
如果用数量来描述它们的
变化规律
就得到
V一
a
t
。
S二 V t
.
等等诸多此类现象的抽象便得到幂函数
y ~
,
:
X a
’
(
a
、
n
为实常数 )
,
,
因此
,
幂函数是反映按比例变化的量之间的
〕
( 共 e
`
)
一
。 , , 。
所以它们都是无穷次可微函数
上述定义揭示了基本初等函数的微观特性抓住了它们的本质特征虽然不那么直观三
、
宏观定义
,
进一步研究对数曲线的性质线
z t 一
容易发现
,
函数

浅谈实基本初等函数和复基本初等函数的性质

丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌保山学院学报浅谈实基本初等函数和复基本初等函数的性质袁远（滁州城市职业学院教育系，安徽滁州239000）[摘要]研究对实变量和复变量中的基本初等函数的性质进行了比较，并对给出的性质加以了证明，并通过图像对比从而更直观地理解其性质。

[关键词]基本初等函数；实数量；复数量[中图分类号]O13[文献标识码]A doi:10.3969/j.issn.1674-9340.2020.05.009 [文章编号]1674-9340（2020）05-043-06在数学教学中，函数从中学就开始学习一直延伸到大学，它在数学中的地位非常重要，基本初等函数是函数的重要组成部分。

秦涛等人通过复变量对数函数的基本性质证明了Ln z(1/n)≠(1/n)Ln z的关系中α不是(1/n)的任何复数[1]。

同时，基本初等函数不仅只定义在实数域中，其定义域也可延拓到复数域中[2]。

翟羽比较了复变量函数与实变量函数性质，进行了较为详细的归纳总结[3]。

此外，复变量在三角函数中同样也有相应的应用。

白淑珍等人利用级数与欧拉公式给出了复变量三角函数的级数定义，并提出相关的例子证明正弦、余弦函数的性质[4]。

然而，复基初等函数的许多概念、理论和方法是实数域中的基本初等函数在复数域内的推广和发展。

1不同函数性质比较1.1指数函数性质比较实指数函数的定义域为全体实数域，值域为(0,+∞)，而复指数函数的定义域为整个复平面，值域为e z≠0的复平面。

对于实指数函数z=x+iy，当z=x(y=0)时，实指数函数和复指数函数的定义是一致的。

即e z就是实指数函数。

实指数函数无周期，而复指数函数是以2πi为基本周期的周期函数。

下面证明复指数函数是以2πi为基本周期的周期函数。

证明：设z=x+iy，则e z+2kπi=e x+(y+2kπ)i=e x［cos(y+2kπ)+i sin(y+2kπ)］=e x(cos y+i sin y)=e z(k=0,±1,±2,…)。

二次函数论文

目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2.3 提出问题 (2)3 数形结合的概述 (2)4 数形结合在高中二次函数中的运用 (3)4.1运用数形结合研究二次函数的性质 (3)4.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用 (4)4.2.1利用二次函数图象讨论一元二次不等式的解 (4)4.2.2利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题 (4)4.2.3利用二次函数图象讨论特殊三角函数式 (6)4.2.4巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题 (8)4.2.5巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题 (9)4.2.6巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题 (11)4.2.7巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题 (13)4.3运用数形结合求解问题误区的探讨 (14)5结论 (16)5.1主要发现 (16)5.2启示和意义 (16)5.3局限性 (16)5.4努力方向 (17)6参考文献 (18)1引言数学是一种古老而又年轻的文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不受到数形结合思想的恩惠和影响.进入21世纪，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识与方法的同时培养学生的数学能力.在促进学生数学学习过程中，加强数与形的结合,能化繁为简，对于帮助学生开阔思路,突破思维定势有积极的作用，能加深学生对知识的理解.二次函数是初高中教材中一个重要的内容，同时二次函数也是高考命题的重点，如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻.本论文运用数形结合思想对高中二次函数做了更深一步的研究，主要有运用数形结合研究二次函数的性质、利用二次函数图象讨论一元二不等式的解、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题、利用二次函数图象讨论特殊三角函数式、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题、巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2文献综述2.1国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用.王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合培养创新思维.张冰、杨光在文献[2-3]中浅谈了数形结合的概念及培养学生数形结合的兴趣.孙雪梅、王雨来、朴林玉等在文献[4-6]中浅谈了数形结合在解题中的应用.周建涛，姚爱梅在文献[7-8]中讲了高中数学教学中数形结合的有效应用.李德军在文献[9]中讲了二次函数在高中数学教学中的应用.曹学才、杨渭清、李一淳等人分别在文献[10-18]中谈论了数形结合思想可以在许多知识中都有应用.张武在文献[19]中对“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解.2.2国内外研究现状评价在所查阅到的国内外参考文献[1-19]中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究.数形结合思想在高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在高考中的应用具有重要的意义.2.3提出问题数学结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的、重要的数学思想.同时二次函数也是高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法在高中二次函数中的综合应用，数学教师应该怎样在二次函数教学及二次函数与其他知识综合中渗透这种思想方法呢？本论文在参考相关文献的基础上对这个问题进行了系统的阐述.3数形结合的概述数学研究的对象可以分为两个方面，一个方面是数，一个方面是形，但是数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合，他们是数学的两大基石.我国著名数学家华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.“数”与“形”反映了事物两个方面的属性,我们认为:数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【2】【3】在数学思想中，数形结合的思想从渗透到形成和应用，经历了三个主要阶段：(1)数----形对应：它是数形结合的基础.主要通过初中、高一、高二、高三阶段的学习逐步领悟和掌握的.(2)数-----形转化：它体现了数与形的关系在解决问题的过程中，如何作为一种方法而得到运用的.在新授课时这类例子已相当普遍（例如解法、图解法等）.(3)数----形分工：这里指的是把应用数形结合思想作为解决问题过程中的一种策略，是数学规律性与灵活性的融合.从内容上看，数形结合的渠道主要有：(1)平面几何中的一些算法（主要是与解三角形有关的计算）；(2)解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域（区间）与不等式的对应；在数学中，数形结合的具体方法有：解析法、三角法、图解法等；(3)函数与它的图象以及有相关的几何变换：(4)三角函数的概念：负数的几何意义.4 数形结合在高中二次函数中的运用4.1运用数形结合研究二次函数的性质数形结合是一种重要的教学思想方法，它在数学教学中主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷的得以解决.而函数在初高中数学教学中占了很主要部分，学好二次函数对于学好数学也就至关重要了.下面主要从三个方面进行阐述.(1)利用二次函数理加深解函数概念.初中讲述了函数的定义、一次函数、正比列函数、反比例函数，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着学习了函数概念，主要是用映射观点来阐述函数，这时就可以用学生已经了解地函数，特别是二次函数来加以更深刻的认识函数的概念.二次函数是从一个集合B （定义域）到集合C （值域）上的映射f :B C →使得集合C 中的元素()y a x k h =-+(a≠0）与集合B 的元素x 对应，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.(2)利用二次函数的图象研究与二次函数有关的函数性质.在高中学习单调性时，必须要对二次函数2()y a x k h =-+（a≠0）在区间(-∞，k ]及[k,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严格理论的基础上，进一步利用函数图象的直观性，使学生逐步自觉的利用二次函数的图象研究其他函数的最值.(3)利用二次函数三个二次关系的知识训练数学思维.作为二次函数，它有丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数，可以以它做代表来研究函数，二次函数可以与三角函数、等差数列求和、不等式等建立起联系，可以编出各种各样的数学问题，考查学生的基础知识.【9】4.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用4.2.1利用二次函数的图象讨论一元二次不等式的解二次函数2c y ax bx =++（a>0）与x 的相互位置关系有三种情况.利用二次函数图象讨论二次函数与一元二次不等式的关系.(1)当0∆>时，二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点，不等式20ax bx c ++>解集是{x | x < 1x 或 x > 2x }，不等式20ax bx c ++<的解集是{x |12x x x << }.(2)当0∆=时，二次函数2c y ax bx =++与x 轴有1个交点，不等式2ax bx c >0++的解集是{x | x ≠ - 2b a}，不等式2ax bx c <0++的解集是空集∅.(3)当0∆<时, 二次函数2c y ax bx =++与x 轴没有交点，不等式2ax bx c >0++的解集是R ，不等式2ax bx c <0++的解集∅.对于二次项系数是负数（即ａ＜0 )，可以把二次项系数化成正数，然后在按照上面的形式三种形式比较.例1任意实数x , 不等式(2m - 1)x 2+(m +1)x+m -4>0 都成立，求 m 的范围.分析：右图说明x 为任意实数时 2ax x 0?b c ++>都成立,解这个问题时，常感到无从下手.其原因是单纯从代数角度及不等式本身考虑时很抽象,很难找到解决问题的切入点.如果结合图象考虑,可以发现：(1)图象与x 轴没有交点；(2)抛物线的开口上.解：由题意得不等式组：()2m 1 4(2m 1)m 40210m ⎧+---<⎨->⎩（）解得 m >5 时，x 为任意实数，原不等式都成立评析：通过图象可以知道开口向上，并且它与x 轴没有交点，由此可以根据二次函数的判别式解决此题.4.2.2利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题一元二次方程ax 2+bx+c （a ≠0）的根与判别式△=b 2-4ac 有关系，它的解按照0∆>,0∆=,0∆<分为三种情况，二次函数y= ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点也有三图1种情况，下面讨论一下二次函数与一元二次方程之间的关系.（1）0∆>时,二次函数的图象与x 轴有两个交点(x 1 ,0),(x 2 ,0),相应的一元二次方程有两个不等的实数根1x ,2x 。

基本初等函数 (2)

归纳总结（班级_____________ 姓名______________）一、条件分析1.由条件“幂函数)(x f 在()∞+，0上单调递增”可知_____________________________________________________2.由条件“幂函数)(x f 为偶函数，并且在()∞+，0上单调递减”可知__________________________________________ 3.由条件“方程0)(=-a x f 有三个不同的实数根”可知__________________________________________________4.由条件“a x x f +=)(”可知________________________________________________________________________5.由条件“ax x f =)(”可知__________________________________________________________________________6.由条件“关于x 的方程a x x -=只有一个解”可知____________________________________________________二、目标导向1.问题“函数xx x f 4)(-=的零点个数”，我们如何解决(1)______________________________________________ （2）_______________________________________（3）_______________________________________________2.问题“函数)(x f 的零点所在区间”，我们应如何解决（1）________________________________________________（2）______________________________________________________________________________________________3.函数x y 3=的图像如何得到函数13-=x y 的图像________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4.函数x y 2=的图像如何得到函数12==x y 的图像_______________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________5.函数x y 2log =的图像如何得到函数1log 2-=x y 的图像______________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________6.函数()22+⋅-=x x y 的图像问题如何解决___________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________7.函数112--=x x y 的图像问题如何解决_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________三、方法总结1.比较数值大小问题的解决办法有_____________________________________________________________________2.二次函数求最值的三类问题是__________________________________________________________，采用的解决办法是__________________________________________，其中关键是________________________________________3.解指数方程和指数型不等式的关键步骤是_____________________________________________________________4.解对数方程的方法有____________________________________，解对数不等式的关键是______________________ 5,指数的运算性质（1）_______________________（2）_______________________（3）_______________________6.对数的运算性质（1）_______________________（2）_______________________（3）_______________________（4）___________________（5）___________________（6）__________________（7）________________________7.求函数零点（方程根、图像交点）个数的常用方法有____________________________________________________8.求函数零点所在区间或数值大小的常用方法有_________________________________________________________9.如何由)(x f y =的图像得到)(a x f y -=的图像______________________________________________________10.如何由)(x f y =的图像得到b x f y +=)(的图像_____________________________________________________11.如何由)(x f y =的图像得到)(x f y ω=的图像________________________________________________________12.如何由)(x f y =的图像得到)(x Af y =的图像________________________________________________________13.如何由)(x f y =的图像得到)(x f y -=的图像________________________________________________________14.如何由)(x f y =的图像得到)(x f y -=的图像________________________________________________________15.如何由)(x f y =的图像得到)(x f y --=的图像______________________________________________________16.如何由)(x f y =的图像得到)(x f y =的图像________________________________________________________17.如何由)(x f y =的图像得到)(x f y =的图像________________________________________________________18.选择函数图像问题的解决步骤是（1）_________________（2）__________________________________________（3）______________________________________________________________________________________________19.带有绝对值的函数一般的解决方法是（1）_________________________（2）______________________________20.如何判断一次函数是定点直线系或者平行直线系______________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________21.将一个函数的零点问题拆分成两个函数图像交点问题的过程中需要注意__________________________________ ___________________________________________________________________________________________________四、思想升华1.化归思想2.数形结合思想3.函数与方程思想4. 分类讨论思想4.极限思想4.特殊与一般的思想。