【恒心】(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(文科)试题及参考答案
2014届北京市东城区高三质量调研文科数学试题(含答案)(2014.03)(word版)
第 1 页 共 8 页 东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （文科） 2014.3本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差3. 已知i 是虚数单位，若i 1zi 3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B . 4 C . 3 D .32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线。
北京市东城区2014届高三3月质量调研文综试题
北京市东城区2014届高三3月质量调研文综试题地理部分学校班级姓名考号本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共10页。
满分300分，考试时间150分钟。
第一部分选择题（共140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
请将所选答案前的字母，按要求填涂在答题卡第1-35题的相应位置上。
沪昆高铁是国家《中长期铁路网规划》中“四纵四横”的快速客运通道之一，全线预计于2015年建成通车。
图1为“沪昆高铁干线示意图”，读图回答1～3题。
图11．下列铁路干线，纵向与沪昆高铁干线交汇的是A．陇海线B．湘黔线C．京九线D．浙赣线2．沪昆高铁干线A．途经昆明、武汉等省级行政中心B．横跨地势第一、二、三级阶梯C．跨越热带、亚热带季风气候区D．沿线地区多泥石流、洪涝等灾害3．下列世界遗产，位于沪昆高铁干线所经省区的是A．丽江古城、三清山B．苏州园林、庐山C．云南石林、峨眉山D．福建土楼、黄山图2示意某国家部分经济活动分布。
该国人口2400多万，人口自然增长率约2.4%，矿产品、可可和木材为其三大经济支柱。
回答4～6题。
4．该国A．位于北半球、西半球B．河流以降水补给为主C．地势南部高，北部低D．人口增长处于原始型5．关于该国经济活动的正确叙述是A．北部地区主要发展乳畜业B．南部沿海有世界著名渔场C．木材产自常绿硬叶林区D．主要出口初级农矿产品6．图中甲地发展炼铝工业的突出优势是①铝土矿丰富，接近原料地②邻近水库，提供优质水源③附近有水电站，能源充足④城市密集，消费市场广阔⑤有铁路运输和海运，交通便利A. ①②B.③④C. ①③D. ④⑤图3是我国华北平原某城市近十年土地利用率变化图，读图回答7、8题。
图37．监测并估算该城市近十年土地利用率的变化，采用的地理信息技术分别是A．RS和GPS B．RS和GISC．GIS和RS D．GPS和GIS8．据图可知，该城市近十年A．城区植被覆盖率增加B．郊区种植业迅速发展C．城市热岛效应减弱D．郊区生态环境改善北京时间2014年2月12日17时19分，位于昆仑山北麓的新疆于田县（36.1°N，82.5°E）发生7.3级地震，震源深度12千米，没有造成人员伤亡。
北京市东城区2014-2015学年度第一学期期末考试高三数学文科
北京市东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则AB =（A ）{}02， （B ）{}420，， （C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1-（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = （3）设x ∈R ，则“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）6 （B ）8 （C ）14（D ）30（5）已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为（A ）38 （B ）38- （C （D ）（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ） ①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为（A ）①②③ （B ）②③④（C ）①③④ （D ）①②③④（7）已知向量(1,3)=a ，(,23)m m =-b ，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为+λμ=c a b (,)λμ∈R ，则实数m 的取值范围是（A ）(,0)(0,)-∞+∞ （B ）(,3)-∞ （C ）(,3)(3,)-∞--+∞ （D ）[3,3)-（8）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）11[,0)(0,]33- （B ）3[,0)(0,]33- （C ）11[,]33-（D ）[5,5]- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试文综试卷有答案
北京市东城区2014 届下学期高三年级一模考试文综试卷有答案本试卷共300 分。
考试时长150 分钟。
第一部分（选择题共140分）本部分共35 小题，每小题 4 分，共140 分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
北京植物园每年都举办以赏花为主的时令旅游活动——桃花节。
读图1，回答1、 2 题。
1.北京植物园桃花节开始日期A.呈现提前趋势B.都比山桃始花期晚C.呈现推迟趋势D.与山桃始花期相同2.从审美特征看，举办桃花节主要是为了欣赏桃花的A.动态美和形象美B.色彩美和形象美C.朦胧美和动态美D.色彩美和朦胧美读图2，回答第 3 题。
3.在图中所示的灾害链中，①、②、③依次是A.狂风、泥石流、滑坡B.海啸、洪水、滑坡1C.风暴潮、洪水、泥石流D.洪水、风暴潮、泥石流博格达峰位于我国天山的东段。
读图3，回答4、 5 题。
4.图中博格达峰A.垂直自然带分布主要以水分为基础B.北坡和南坡垂直自然带的数量相同C.垂直自然带的基带是温带荒漠带D.各垂直自然带的分布随季节而变化5.图中山地针叶林带形成的主要原因是其位于①阳坡，蒸发强②阴坡，蒸发弱③迎风坡，降水量多④背风坡，降水量少A.②③B.①③C.①②D.③④读图4，回答6、 7 题。
6.图中河流特征及其成因对应正确的是A.渭河南岸无大支流——地转偏向力影响B.泾河自西北流向东南——地势西北高东南低C.洛河含沙量小——流经地区植被覆盖率高D.河流以冰雪融水补给为主——发源于高原27.图中泾河流域可持续发展的重点是A.加固大堤，治理“地上河”B.引水灌溉，发展农业C.修建水库，梯级开发D.合理采矿，保持水土花岗岩在我国分布广泛，图 5 为“岩石圈物质循环示意图”。
读图，回答第8 题。
8.图中表示花岗岩的岩石类型及其形成的地质作用分别是A.甲、①B.乙、③C.丙、④D.丁、②读图6，回答9～ 11 题。
9.图示大部分地区海拔在A. 200 米以下B. 200 ～ 1000 米C. 800 ～ 1000 米D.大于1000 米10.图中城镇集中分布在沿海地区的主要原因是①地形平坦②气候温和湿润③交通运输便捷④基督教的影响A.①③B.②③C.①④D.②④3。
小题解析：北京市东城区2014届高三3月质量调研 数学(文)试题 含解析
第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.【题文】设全集{}3,4,5P=，{}Q=,则()U1,2,3,4,5,61,2,3,4U=，设集合{}P Q=（）A.{}1,2,51,2,3,4,5C。
{} 1,2,3,4,6B。
{}D。
{}1,2【结束】2.【题文】在某次测量中得到的A样本数据如下：52545456565655555555。
若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A。
众数B。
平均数C。
中位数D。
标准差【结束】3。
【题文】已知i 是虚数单位,若31i i z+=-，则z 的共轭复数为（ ） A 。
12i - B 。
24i - C 。
222i - D 。
12i +【解析】【结束】4.【题文】设l 是直线，α、β是两个不同的平面,则（ ）A.若//l α,//l β，则//αβB.若//l α,l β⊥，则αβ⊥C 。
若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D 。
若αβ⊥,//l α，则l β⊥【结束】5。
【题文】函数()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为( ） A.23+B.4C.3D.23-【解析】【结束】6。
【题文】“0a ≤”是“函数()()2f x x ax =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ）。
北京市东城区2013-2014学年高三年级第一学期期末文科数学
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2014.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} （2）在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = （4）“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（6）直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k = （A）（B） （C（D（7）关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③俯视图侧(左)视图正(主)视图（8）已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞（C ）(0,5] （D ）[0,5]第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测(文科数学)(解析版)
北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测文科数学（解析版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P = ，{}3,4,5Q =，则()UPQ =ð（ ）A.{}1,2,3,4,6B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,5D.{}1,2 【答案】D【解析】试题分析：由题意知{}1,2,6U Q =ð，因此(){}1,2UP Q =ð，故选D.考点：集合的基本运算2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：52545456565655555555.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A.众数B.平均数C.中位数D.标准差3.已知i 是虚数单位，若31ii z+=-，则z 的共轭复数为（ ）A.12i -B.24i -C.D.12i + 【答案】A 【解析】试题分析：由31i i z +=-可得()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+，因此z 的共轭复数为12i -，故选A.考点：1.复数的除法；2.共轭复数4.设l 是直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若//l α，//l β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，//l α，则l β⊥5.函数()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为（ ）A.2+B.4C.3D.26.“0a ≤”是“函数()()2f x x ax =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，()()222f x x ax x x =-==，此时函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增，当0a ≠时，令()()20f x x ax =-=，解得0x =或2x a=，7.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A.2x y =B.2x =C.28x y =D.216x y =8.已知()3269f x x x x abc =-+-，a b c <<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①()()010f f ⋅>；②()()010f f ⋅<；③()()030f f ⋅>；④()()030f f ⋅<. 其中正确结论的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C 【解析】 试题分析：()3269f x x x x abc =-+-，()()()23129313f x x x x x '∴=-+=--，结合导数可知，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,3上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，因此函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知变量x、y满足条件1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则x y+的最大值是______.【答案】6. 【解析】试题分析：作出不等式组1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，设z x y =+，联立290x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得33xy=⎧⎨=⎩，即点()3,3A，作直线:l z x y=+，则z为直线l在x轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 336z =+=.考点：线性规划10.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 .11.曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为 .12.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则5a = . 【答案】2ln 5+. 【解析】试题分析：由于()111ln 1ln ln 1ln n n n n n a a a a n n n n++⎛⎫=++=+=++- ⎪⎝⎭， ()1ln 1ln n n a a n n +∴-=+-，因此54ln5ln 4a a -=-，43ln 4ln3a a -=-，32ln3ln 2a a -=-，21ln 2ln1a a -=-， 上述四个等式累加得()()()()51ln5ln4ln4ln3ln3ln2ln2ln1ln5ln1ln5a a -=-+-+-+-=-=，因此51ln52ln5a a =+=+. 考点：累加法求数列通项13.已知平面向量()2,4a =，()1,2b =-若()c a a b b =-⋅， 则c =_____________.【答案】【解析】 试题分析：由题意可得()21426a b ⋅=⨯+⨯-=-，()()()()62,461,28,8c a a b b a b ∴=-⋅=+=+-=-，(28c ∴=+=.考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模14.定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线()222:42C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =_______.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos b A B =.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求ABC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=.（1）证明:：AC BC =； （2）证明：AB PC ⊥；（3）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）83. 【解析】 试题分析：（1）先证明PAC PBC ∆≅∆，从而得到AC BC =；（2）取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，证明AB ⊥平面PCD ，利用直线与平面垂直的性质得到AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，结合（2）中的结论证明PC ⊥平面ABE ，再求出AEB∆的面积，最后利用分割法得到三棱锥P ABC -的体积13ABE V PC S ∆=⋅来进行计算. 试题解析：（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=， 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，可得AC BC =；（2）如图，取AB 中点D ，连结PD 、CD ，则PD AB ⊥，CD AB ⊥， 所以AB ⊥平面PDC ，所以AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =， 由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=，因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以AEB ∆、PEB ∆、CEB ∆都是等腰直角三角形. 由已知4PC =，得2AE BE ==，AEB ∆的面积2S =， 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三棱锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=. 考点：1.全等三角形；2.直线与平面垂直的判定；3.分割法求锥体体积17.（本题满分13分）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3 、9.0、8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值 不超过0.5的概率.（2）设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样，所以40010005m=，解得2m =， 即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作1S 、2S 、1B 、2B 、3B ， 则从中任取2辆的所有基本事件为()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B 、()12,B B 、()13,B B 、()23,B B ，共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B ，所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710；18.（本题满分14分）设函数()(),,nn f x x bc c n N b c R +=++∈∈.（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点； （2）设2n =，若对任意1x 、[]21,1x ∈-，有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范围.，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增的，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）当2n =时，()22f x x bx c =++，对任意1x 、[]21,1x ∈-都有()()21224f x f x -≤等价于()2f x 在[]1,1-上的最大值与最小值之差4M ≤，据此分类讨论如下：19.（本题满分14分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. （1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.试题解析：（1）由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>，其离心率为2，故2a =，解得4a =，因此椭圆2C 的方程为221164y x +=；20.（本题满分13分）对于项数为m 的有穷数列数集{}m a ，记{}12max ,,,k k b a a a =()1,2,,k m =，即k b 为1a 、2a 、、k a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1、3、2 、5、5的控制数列是1、3、3、5、5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2、3、4、5、5，写出所有的{}n a ； （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1k =、2、、m ）.求证：k kb a =()1,2,,k m =.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据新数列的定义写出符合条件的数列{}n a ；（2）根据数列{}n b 的定义得到1k k b b +=，再结合1k m k a b C -++=得到1k m ka b C +-+=，将两个等式作差得110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，结合1k k b b +=证明k k b a =.。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习(一) 文科数学试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习（一）文科数学试卷（带解析）1（A）（xlx<-1，或x>2} （B）{xlx≤-1，或x≥2）（C）{x|-l<x<2} （D）{x|-l<x<2}【答案】C【解析】C正确。
考点：1一元二次不等式；2集合的运算。
2（A（B（C（D【答案】B【解析】C正确。
考点：复数的运算。
3．为了得到函数y=sin（y= sin2x的图象（A（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：D正确。
考点：三角函数伸缩平移变换。
4m=（A（B）3 （C（D）【答案】B【解析】试题分析：B正确。
考点：双曲线的简单几何性质。
5．设等差数列的前n项和为S n，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=（A）27 （B）39（C）45 （D）63【答案】B【解析】考点：1等差数列的通项公式；23等差中项。
6b=log42，c=log31．6，则（A）a>b>c （B）a>c>b（C）b>a>c （D）c>a>b【答案】A【解析】3A正确。
考点：1指数函数的单调性；2对数函数的单调性；3对数函数的运算法则。
7．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）8【答案】A【解析】为3，则底面边长为2故A正确。
考点：三视图8．已知a，b是正数，且满足2<a+2b<4（A（B（C（D【答案】A【解析】试题分析：内，分析可知A正确。
考点：线性规划问题。
9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程为 .【解析】试题分析：由准线方程考点：抛物线的简单几何性质及方程。
10．= .【解析】考点：三角函数的诱导公式。
11．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 .【答案】76【解析】试题分析：将甲组数据按从小到大（或从大到小）排列中间的数为76，则甲组数据的中位数为76.乙组数据分别为65、82、87、85、95考点：茎叶图、中位数、平均数12．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，。
2014北京市东城区高三(一模)数 学(文)
2014北京市东城区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}2．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55．若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数 B．平均数C．中位数D．标准差3．（5分）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i4．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．（5分）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之差为（）A．2+B．4 C．3 D．2﹣6．（5分）“a≤0”是函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y8．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知变量x、y满足条件则z=x+y的最大值是．10．（5分）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是．11．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．12．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a5= ．13．（5分）已知平面向量=（2，4），=（1，﹣2），若=﹣（•），则||= ．14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°．（Ⅰ）证明：AC=BC；（Ⅱ）证明：AB⊥PC；（Ⅲ）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P﹣ABC体积．17．（13分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．18．（14分）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N*，b，c∈R）（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间（）内存在唯一的零点；（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4，求b的取值范围．19．（14分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．20．（13分）对于项数为m的有穷数列数集{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}；（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m）．求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【解答】∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，∴P∩（C U Q）={1，2}故选D．2．【解答】设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=6+x i，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差6，只有标准差没有发生变化，故选：D3．【解答】∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．4．【解答】A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选 B5．【解答】∵x∈[0，9]，∴﹣∈[﹣，]，∴2sin（﹣）∈[﹣，2]，∴函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之差为2+．故选：A．6．【解答】当a=0时，f（x）=|x（2﹣ax）|=2|x|在区间（0，+∞）内单调递增，当a≠0时，f（x）=|x（2﹣ax）|=0的两个根为x=0或x=，若a＜0，则根x=＜0，此时在区间（0，+∞）内单调递增，∴充分性成立．若函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增，则当a=0时，满足条件．当a≠0时，f（x）=|x（2﹣ax）|=0的两个根为x=0或x=，则要使函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增，则，即a＜0，此时a≤0成立，必要性成立．∴“a≤0”是函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增”的充分且必要条件．故选：C．7．【解答】双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．8．【解答】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c，设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴b+c=6﹣a，∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴0＜a＜1＜b＜3＜c，∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为（1，1），（1，4），（3，3），设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过（3，3）时，z最大，最大值为：6．故答案为：6．10．【解答】易知点C为（﹣1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．11．【解答】y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+112．【解答】∵数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=+…++1=ln（）+2=lnn+2．∴a5=ln5+2．故答案为：ln5+2．13．【解答】∵向量=（2，4），=（1，﹣2），∴=2×1+4×（﹣2）=﹣6．∴=（2，4）﹣（﹣6）（1，﹣2）=（8，﹣8），∴=．故答案为：．14．【解答】圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解答】（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB，∴由正弦定理可得 sinBsinA=sinAcosB．∵sinA≠0，∴sinB=cosB，∴tanB=，∴B=．（Ⅱ）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，解得a=，c=2a=2．故△ABC的面积为ac•sinB=．16．【解答】（Ⅰ）证明：∵△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，∴Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC=BC；（Ⅱ）如图，取AB的中点D，连结PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，∴AB⊥平面PDC，PC⊂平面PDC，∴AB⊥PC；（Ⅲ）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．∵△PAB是等边三角形，∴AE⊥PC，同理BE⊥PC，∠AEB为二面角B﹣PC﹣A的平面角，且AE=BE．∵平面PAC⊥平面PBC，∴∠AEB=90°．∴△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．又PC=4，得AE=BE=2，∴△AEB的面积S=2．∵PC⊥平面AEB，∴V P﹣ABC=×2×4=．17．【解答】（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a=2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，故P（E）=，即所求概率为．（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，∴P（D）=，即所求概率为．18．【解答】（Ⅰ）n≥2，b=1，c=﹣1时，f n（x）=x n+x﹣1，∵•f n（1）=＜0，∴f n（x）在区间（）内存在零点，又+1＞0，∴f n（x）在区间（，1）上是单调递增函数，故f n（x）在区间（）内存在唯一的零点；（Ⅱ）当n=2时，，对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等价于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M=f （x）max﹣f（x）min≤4，据此分类讨论如下：（1）当||＞1，即|b|＞2时，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；（2）当﹣1＜0，即0＜b≤2时，M==≤4恒成立；（3）当0＜﹣，即﹣2≤b≤0时，M==恒成立；综上知﹣2≤b≤2．19．【解答】（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x20．【解答】（1）解：数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5．（2）证明：因为b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1，a2，…，a k，a k+1}，所以b k+1≥b k．因为a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，所以a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k．因此，b k=a k．。
2014东城高三上期末数学文科
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）2014.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} 2、在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = 4、 “1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5、执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3（B ）5 （C ）7（D ）96、直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =，则k = （A）（B） （C（D7、关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③8、已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞ （C ）(0,5] （D ）[0,5]俯视图侧(左)视图正(主)视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京东城高考一模数学文 解析
北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文）试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =ðR （ ）．A ．{|1,x x <-或2}x >B ．{|1,x x ≤-或2}x ≥C ．{|12}x x -<<D ．{|12}x x -≤≤（2）复数i1i=-（ ）． A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--（3）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度（4）若双曲线等2214x y m -=的离心率为72，则m =（ ）．A ．5B ．3C ．6D ．26（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2311a a +=，则63S S -=（ ）．A ．27B ．39C ．45D ．63（6）已知132.1a =，4log 2b =，3log 1.6c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>（7）若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）．A ．4410+ B ．4C ．4+411D ．8（8）已知a ，b 是正数，且满足224a b <+<，那么11b a ++的取值范围是（ ）． A ．1(,3)5B ．1(,2)3C ．1(,2)5D ．1(,3)3第二部分（非选择题 共1 10分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）5πcos()4-= ． （10）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =，则抛物线的方程为 ．（11）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 ．（12）在ABC △中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，14AF AB =．若AD AF AE λμ=+uuu r uuu r uu u r(,)λμ∈R ,则λμ+= ．（13）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数．当0x <时，2()4f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为 ；不等式()0f x <的解集为 ．（14）已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为个．三、解答题共6小题．共80分．解答应写出文字说明．演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）在ABC △中，5,sin 2sin .a C A ==（I ）求c 的值；（Ⅱ）若3b =，求πsin(2)4A -的值．（16）（本小题共13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（I）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试．设4人中恰有2人为甲班同学的概率．（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，PAD△是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M和N分别是AD和BC的中点．（I）求证：PM MN⊥；（II ）求证：平面PMN ⊥平面PBC ；（III ）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD ？若存在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由．（18）（本小题共13分）已知函数2()4ln ,f x ax x a =-∈R ．（I ）当12a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性．（19）（本小题共13分）已知椭圆:G 22221(0,0)x y a b a b +=>>过点6(1,)3A 和点(0,1)B -．（I ）求椭圆G 的方程，（Ⅱ）设过点G 与直线y x m =+相交于不同的两点M ，N ，是否存在实数m ，使得BM BN =?若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．（20）（本小题共14分）设X 是一个非空集合，由X 的一切子集（包括∅，X 自身）为元素构成的集合，称为X 的幂集，记为()P X ．（I ）当{1,2,3}X =时，写出()P X ；（Ⅱ）证明：对任意集合X ，Y ，都满足()()()P X P Y P X Y =I I ；（III ）设X 是10个两位数字形成的集合，证明：()P X 中必有两个X 的子集，其元素的数值和相等．北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文）试题参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8C BD B B A A A二、填空题9 10 11 12 13 142三、解答题15．解：（1）因为5a =，sin 2sin C A =，由正弦定理得52sin sin c A A=，所以25c =．（2）由余弦定理得22225cos 25c b a A bc +-==，25sin 1cos 5A A =-=．因为4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos2cos sin 5A A A =-=，所以πππ2sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．16．解：（1）由直方图知，()0.1500.1250.1000.10021a ++++⨯=，解得0.025a =．因为甲班学习时间在区间[]2,4的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=． 所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学生时间在区间(10,12]的人数为400.02522⨯⨯=（人）．（2）乙班学习时间在区间(10,12]的人数为400.0524⨯⨯=（人）．由（1）知甲班学习时间在区间(10,12]的人数为2人．甲班的2人记为12,X X ，乙班的4人记为1234,,,Y Y Y Y ，设“四人中恰有2人为甲班同学”为事件A ．从两个班中学习时间大于10小时的6名同学中抽取四人的所有可能情况为：()1212X X Y Y ，()1213X X YY ，()1214X X Y Y ，()1223X X Y Y ，()1234X X Y Y ，()1234X X Y Y ，()1123X YY Y ，()1124X YY Y ，()1134X YY Y ，()1234X Y Y Y ，()2123X YY Y ，()2124X YY Y ，()2134X YY Y ，()2234X Y Y Y ，()1234Y Y Y Y ，共15种．四人中恰有2人为甲班同学的所有可能情况为6种．()62155P A ==． 17．（1）证明：因为PAD △是正三角形，M 是AD 的中点，所以PM AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PM ⊥平面ABCD ．因为MN ⊂平面ABCD ，所以PM MN ⊥．（2）证明：因为PM ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PM BC ⊥．因为ABCD 是正方形，M N 、分别是,AD BC 的中点，所以MN BC ⊥．因为PM MN M =I ，所以BC ⊥平面PMN ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PMN ⊥平面PBC ．（3）存在点Q 为PA 的中点，使得平面QMN ∥平面PCD ．证明：因为,M Q 分别是,AD PA 的中点，所以MQ PD ∥．因为MQ ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以MQ ∥平面PCD ．同理可得MN ∥平面PCD ．因为MQ MN M =I ，所以平面QMN ∥平面PCD ．18．解：（1）当12a =时，()214ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，所以()4'f x x x=-，()0,x ∈+∞．因此，()'13f =-．即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为3-．又()112f =，即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1312y x -=--． 即6270x y +-=．（2）()()()2224'2,0,ax f x ax x x x-=-=∈+∞． （1）当0a =时，因为()0,x ∈+∞，()4'0f x x-=<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．（2）当0a <时，因为()0,x ∈+∞，()'0f x <．所以()f x 在()0,+∞上单调递减．（3）当0a >时，20,2a x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()'0f x <． 20,a x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()'0f x <． 所以()f x 在2,a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减． 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在2,a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减． 19．解：（1）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点61,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和点()0,1B -， 所以1b =，由2263111a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=． （2）假设存在实数m 的满足题设，由22,1.3y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2246310x mx m ++-=． 因为直线与椭圆有两个交点，所以0∆>，即24m <．①设MN 的中点为(),p p P x y ，M x ，N x 分别为点,M N 的横坐标，则324M N p x x m x +==-，从而4p p my x m =+=， 所以143p BP py m k x m++==-．因为||||BM BN =，所以BP MN ⊥．则1BP MN k K ⋅=-，而1MN k =，所以413m m+-=- 即2m =，与①矛盾．因此，不存在这样的实数m ，使得||||BM BN =．20．解：（1）当{}1,2,3X =时，(){}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3P X =∅．（2）设集合A 为()()P X P Y I 中的任一个元素，所以()A P X ∈且()A P Y ∈，所以A X ⊆，且A Y ⊆，所以()A X Y ⊆I ，所以()A P X Y ∈I ，所以()()()P X P Y P X Y ⊆I I ；设集合B 为()P X Y I 中的任一个元素，所以()B X Y ⊆I ．所以B X ⊆，且B Y ⊆，所以()()B P X P Y ∈I ，所以()()()P X Y P X P Y ⊆I I ，所以()()()P X P Y P X Y =I I ．（3）假设()P X 中任意两个元素，其元素数值和都不相等．因为X 是10个两位数字形成的集合，所以()P X 中共有1021024=个元素．由假设可知，每个元素的数值都不相等，所以()P X 的元素中，元素数值和有1024种可能．这与“元素的数值和909099945+++=L ≤”矛盾，所以假设错误． 所以()P X 中必有两个元素，其元素的数值和相等．北京市东城区高三年级第一次综合练习数学（文史类）选填解析一、选择题1．【答案】C【解析】解：()(){{|120}|1A x x x x x =+-=≤-≥或}2x ≥，所以{}|12R A x x =-<<ð 故选C ．2．【答案】C【解析】解：(1i)111(1i)(1i)222i i i ii +-+===-+--+ 故选C ．3．【答案】D【解析】解： sin 2sin(2)sin 2()36x x x ππ⎡⎤→-=-⎢⎥⎣⎦故选D ．4．【答案】B【解析】解：有双曲线的定义知：224,a b m ==， 则2222224744c a b m e a a ++==== ，则3m = ．故选B ．5．【答案】B【解析】解：由于2312311a a a d +=+= ，把11a = 带入得3d = ，所以634565133(4)39S S a a a a a d -=++==+= 故选B ．6．【答案】A【解析】解：由于1031 2.1 2.1 2.1=<< ， 41log 22=，33310log 1log 1.6log 32=<<=故答案为A ．7．【答案】A【解析】解：由三视图可知，原图是一个四棱锥，底面是个菱形，面积为1222242⋅⋅= ，四个侧面面积相同，侧面积为121044102⋅⋅⋅= 故答案选A8．【答案】A【解析】解：如图所示：此题属于线性规划题目，阴影区域面积就是约束条件表示的区域，11b a ++代表(),a b 与()1,1-- 的斜率，15ABk =，3AC k = ，根据斜率的定义，取值范围为1(,3)5，故答案选A ．二、填空题9．【答案】22-【解析】解：532cos()cos 442ππ-==-故答案为22-．10．【答案】28y x =-【解析】解：由抛物线的定义知，开口朝左， 2,42pp =∴=故答案为28y x =-．11．【答案】76； 82.8【解析】解：甲组数据从小到大排列为：55,58,76,88,92 ，中间的是76，乙组数据的平均数为658285879582.85X ++++==故答案为76； 82.812．【答案】 3【解析】解：由向量加法的定义知：()11()422+22AD AB AC AF AE AF AE =+=+=u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ,从而=2λ ，=1μ．故答案为3 ．13．【答案】2()4f x x =-+；(2,0)(2)-+∞，U 【解析】解： 设220,0,()4(),()4x x f x x f x f x x >∴-<∴-=-=-∴=-+ ； 当20,40,(2)(2)0x x x x <-<-+<，此时20x -<<当220,40,40,(2)(2)0,22x x x x x x x >-+<->+-><->或，此时2x > ， 综上所述：(2,0)(2,)-⋃+∞故答案为2()4f x x =-+；(20)(2)-+∞，，U 14．【答案】2【解析】解：由题意知：2221ln ,1(x)ln ,11ln ,1x x f x x x x ⎧->⎪=-=⎨⎪--<⎩，当11,'()2ln 0,x f x x x >=-⋅< ()f x 是减函数，(1)1f = 有零点；当1,x = (1)0f = 是一个零点；当101,'()2ln 0,x f x x x<<=-⋅>()f x 是增函数(1)1f =-无零点故答案为2 ．。
【恒心】2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学(文科)试题及参考答案【全国首发版】
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅰ卷）文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}13M x x =-<<， {}21N x x =-<<，则MN =（A ）)1,2(- （B ）)1,1(- （C ）)3,1( （D ）)3,2(- （2）若0tan >α，则（A ）0sin >α （B ） 0cos >α （C ）02sin >α （D ）02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z （A ）21（B ）22 （C ）23 （D ）2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （A ） 2 （B ）26 （C ）25（D ）1（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（A ）)()(x g x f 是偶函数 （B ）)(|)(|x g x f 是奇函数 （C ）|)(|)(x g x f 是奇函数 （D ）|)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （A ）AD （B ）12AD （C ）12BC （D ）BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（A ）①②③ （B ）①③④ （C ） ②④ （D ）①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥 （D ）四棱柱（9）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（A ）203 （B ）165 （C ）72 （D ）158（10）已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ，()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8（11）设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3（C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
北京市东城区2014届高三第二学期第二次模拟数学(文)试卷
北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（二）数学（文）试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合A={x ∈R|x+1≥2），B={一2，一1，0，1，2}，则A B= （A ）{2） （B ）{1，2}（C ）{0，1，2） （D ）{一l ，0，1，2}（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或一2 （B ）-1或一2 （C ）1或一2 （D ）2或一1（4）设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若2a 6=6+a 7，则S n 的值是 （A ）18 （B ）36 （C ）54（D ）72（5）已知tan α=2，那么sin2α的值是（A ）45-（B ）45（C ）一35（D ）35（6）已知函数()f x 在区间[0，+∞）上是增函数，函数()(||),(lg )(1)g x f x g x g =>若，则x 的取值范围是（A ）（0，10） （B ）（10，+∞）（C ）（110，10） （B ）（0，110） （10，+∞）（7）已知点A （2，0），B （一2，4），C （5，8），若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）（6，7）（B ）（7，6） （C ）（一5，一4） （D ）（—4，—5）（8）对任意实数a ，b 定义运算“ "：a b=2,1,()(1)(4),1,b a b f x x x k a a b -≥⎧=-++⎨-<⎩ 设，若函数f(x)的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是第二部分（非选择题 共1 1 0分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习(二)文科数学含答案
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：n 个数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，这组数据的方差2s ，由以下公式计算：2222121[(()(]n s x x x x x x n=-+-++-．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则AB =（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}- （2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2- （B ）1-或2-（C ）1或2- （D ）2或1-（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18 （B ）36（C ）54 （D ）72 （5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45- （B ）45（C ）35- （D ）35（6）已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（A ）(0,10) （B ）(10,)+∞（C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞ （7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)-- （8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,bab ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014东城数学一模试卷及答案
567S 北京市东城区2013--2014学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷2014.5学校 班级 姓名 考号考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1.15-的绝对值是 A. 5 B.15 C. 15- D. -5 2.从财政部公布的2014年中央公共财政预算支出结构中，交通运输支出约为4350亿元，比去年同期增长7.1%.将4 350用科学记数法表示应为A. ×103B. 0.435×104C. 4.35×104D. 43.5×1023．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是A.51 B. 52 C. 53 D. 54 5. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的6.如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD =CE ，∠D =74°， 则∠B 的度数为A. 74°B. 32°C. 22°D. 16°7.若二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与y 轴的交点为（0，﹣3），则此二次函数有-3 -4 8.在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m123456789-1-1-21234567tSO 123456789-1-1-21234567t SO 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是A BCD 二、填空题（本题共16分，每小题4分）3a a -=________________.9.分解因式：10.现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2﹣3a +b ，如：3★5=32﹣3×3+5，根据定义的运算求2★（-1）=．若x ★2=6，则实数x 的值是．11. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P 与x 轴交于O , A 两点， 点A 的坐标为（6,0），P 的半径为13，则点P 的坐标为____________.12. 在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第5次碰到矩形的边时，点P 的坐标为；当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：10182cos 45()(2014)2--︒+-．14．求不等式组20,132x x x ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩的最小整数解．15.已知：如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为DC ，BC 中点．求证：AE =AF ． 16．先化简，再求值： 2442m m m m m++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中m 是方程22410x x +-=的根． 17.列方程或方程组解应用题某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:利润=售价-进价) 若商店计划销售完这批商品后能使利润达到1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件? 18.如图，已知等腰△AOB 放置在平面直角坐标系xOy 中，OA=OB ，点B 的坐标为(3，4).（1）求直线AB 的解析式；（2）问将等腰△AOB 沿x 轴正方向平移多少个单位，能使点B 落在反比例函数32y x= （x ＞0）的图象上.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ．甲 乙进价(元/件) 15 35售价(元/件) 20 45（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．20．某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．21.如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．22.阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．图1 图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．图3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．24.如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想∠QEP=°；（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC =135°，∠ACP =15°，且AC =4，求BQ 的长．图1 图2 图3 25.在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =-+分别与x 轴，y 轴交于过点A ，B ，点C 是第一象限内的一点，且AB =AC ，AB ⊥AC ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为D .（1）求此抛物线的解析式；（2）判断直线AB 与CD 的位置关系，并证明你的结论；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ,B ,M ,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.北京市东城区2013--2014学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B AABD BC D二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号91011 12 答 案 (1)(1)a a a +--3﹣1或4(3,2)（1，4） （5,0）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解：原式=2222212-⨯+-………………4分 =21+．………………5分 14．（本小题满分5分）解：解不等式○1得x ＞2；………………1分 解不等式○2得x ≤8．………………3分 ∴不等式组的解集为 2＜x ≤8．………………4分∴不等式组的最小整数解为3．………………5分 15．（本小题满分5分）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ AB =AD ，∠B =∠D =90°，DC =CB ．………………2分∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE =DC ，BF =BC ． ∴DE =BF ．………………3分 ∵在△ADE 和△ABF 中，∴△ADE ≌△ABF （SAS ）．………………4分 ∴AE =AF ．………………5分 16．（本小题满分5分）解：原式=22442m m m m m ++⋅+ =22(2)2m m m m +⋅+ =22m m +．………………3分 ∵m 是方程22410x x +-=的根，∴22410m m +-=． ∴2122m m +=．………………………5分 17．（本小题满分5分）解：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件. ………………………1分根据题意，得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+=⎩………………………3分解得 10060.x y =⎧⎨=⎩………………………4分答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件. ………………………5分]18.（本小题满分5分）解：（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C .由勾股定理可得 5OB =.………1分 ∵OA=OB ，∴点A 的坐标为（5,0）.………2分设直线AB 的解析式为 y kx b =+.可求直线AB 的解析式为210y x =-+.………3分（2）将等腰△AOB 沿x 轴正方向平移5个单位，能使点B 落在反比例函数32y x= （x ＞0）的图象上.………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM =∠CNM .∵四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC .∴∠ANM =∠CMN . ∴∠CMN =∠CNM .∴CM =CN . ………2分（2）解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形. ∴HC =DN ，NH =DC .∵△CM N 的面积与△CDN 的面积比为3：1， ∴MC =3ND =3HC .∴MH =2HC .设DN =x ，则HC =x ，MH =2x ， ∴CM =3x =CN ，在Rt △CDN 中，DC =2x =4，∴2x =. ∴HM =2.在Rt △MNH 中，MN =2281626MH NH +=+=.20.（本小题满分5分） 解：（1）90÷30%=300（名），一共调查了300名学生.（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；补全折线图如图.（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°.（4）1800×=480（名）．答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．21．（本小题满分5分）解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ADC =90°．∵∠B =∠AED =∠CAD ，∠C =∠C ，∴∠BAC =∠ADC =90°．∴AC 是⊙O 的切线．………………2分 （2）可证△ADC ∽△BAC ．∴AC CDBC AC=．即AC 2=BC ×CD =36． 解得AC =6． ∵点E 是BD 的中点， ∴∠DAE =∠BAE .∵∠CAF =∠CAD +∠DAE =∠ABF +∠BAE =∠AFD ， ∴CA =CF =6，∴DF =CA ﹣CD =2．………………5分22．（本小题满分5分）解： (1)∠B +∠D =180°（或互补）．………………1分 (2)∵AB =AC ，∴把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB与AC重合. ………………2分 ∠B =∠ACG , BD=CG , AD=AG∵△ABC 中，∠BAC =90°，∴∠ACB +∠ACG =∠ACB +∠B =90°． 即∠ECG =90°．∴EC 2+CG 2=EG 2．………………3分 在△AEG 与△AED 中,∠EAG =∠EAC +∠CAG =∠EAC +∠BAD =90°-∠EAD =45°=∠EAD ． 又∵AD =AG ，AE =AE ，∴△AEG ≌△AED ．………………4分 ∴DE =EG ． 又∵CG =BD ,∴BD 2+EC 2=DE 2． ∴5DE =．………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：（1）证明：所以方程有两个不等实根.………………2分………………5分()21,=210.m m >∴∆->21G QPED CBAQPDB（3）作出函数3(1)m m>y=-的图象，并将图象在直线2m =左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点,A B 的坐标分别为3(3,3),(2,).2A B --当直线过点 A 时，可求得 过点B 时，可求得 因此，……………7分24. （本小题满分7分）解： (1) ∠QEP =60°．………………1分 (2) ∠QEP =60°．证明: 如图1，以∠DAC 是锐角为例． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC =BC ，∠ACB =60°．又由题意可知，CP =CQ ，∠PCQ =6O °． ∴∠ACP =∠BCQ ． ∴△ACP ≌△BCQ ． ∴∠APC =∠Q ．设PC 与BQ 交于点G ， 图1 ∵∠1=∠2，∴∠Q EP =∠PCQ =60°． ………………4分 （3）由题意可求，∠APC =30°，∠PCB =45°． 又由（2）可证 ∠QEP =60°． ∴ 可证QE 垂直平分PC ，△GBC 为等腰直角三角形．2y m b =+9,b =-11,2b =-119.2b -<<-12345678910-1-2-1-2-3-4-512345xyOA BCDN 1N 2N 3N 4E∵AC =4，∴22GC =，26GQ =．∴2622BQ =-． ………………7分25．（本小题满分8分）解：（1）由题意可求点A (2，0)，点B （0,1）.过点C 作CE ⊥x 轴，易证△AOB ≌△ECA .∴OA =CE =2，OB =AE =1.∴点C 的坐标为（3,2）.………………1分 将点A (2，0)，点C (3，2)代入212y x bx c =-++，解得9,27.b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴二次函数的解析式为219722y x x =-+-.………………2分(2)令2197022x x -+-=，解得7D x =.∴D 点坐标为（7,0）.可求5,25,5AC CD AD ===. ∴△ACD 为直角三角形，∠ACD =90°. 又∵∠BAC =90°，∴AB ∥CD .………………4分（3）如图，由题意可知，要使得以A ,B ,M ,N 四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N 到x轴的距离与点B 到x 轴的距离相等. ∵B 点坐标为（0,1）， ∴点N 到x 轴的距离等于1. 可得2197122x x -+-=和2197122x x -+-=-.解这两个方程得1234x x x x ====∴点N 的坐标分别为（1），（，1），，-1），，-1）.………………8分。
北京市东城区普通校2014届高三上学期期中联考 文科数学 含解析
北京市东城区普通校2014届高三上学期期中联考数 学(文科)第Ⅰ卷(选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上。
1。
设R =U ，}1|{},0|{>=>=x x B x x A , 则B C A U= （ ）A 。
}10|{<≤x x B.}10|{≤<x x C.}0|{<x xD.}1|{>x x2.已知ba <，则下列不等式正确的是（ ）A.ba 11> B 。
b a ->-11 C 。
22b a >D.b a22>3。
下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A 。
1y x=- B. 23y x =-+ C. ||e x y =D 。
cos y x =4.已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于 （ ）A.71 B 。
7 C 。
71-D.7-5。
若R a ∈，则“8>a ”是“2log 2>a ”的 （ ）A. 充分而不必要条件 B 。
必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6.若x c x b a x3223log ,,)32(===，当1>x 时，c b a ,,的大小关系为（）A.c b a <<B.b c a << C 。
a b c << D.b a c <<7.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则BD AE ⋅= ( )A.1 B 。
2- C 。
2D 。
28。
已知函数)(x f ,R x ∈满足3)2(=f ,且)(x f 在R 上的导数满足01)(<-'x f ，则不等式1)(22+<x xf 的解为 （ ）A.），（2-∞-B 。
东城高考一模数学文解析
东城高考一模数学文解析集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文）试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R（ ）．A ．{|1,x x <-或2}x >B ．{|1,x x ≤-或2}x ≥C ．{|12}x x -<<D ．{|12}x x -≤≤（2）复数i1i=-（ ）． A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--（3）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度（4）若双曲线等2214x y m -=，则m =（ ）．AB ．3C ．D ．（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2311a a +=，则63S S -=（ ）．A ．27B ．39C ．45D ．63（6）已知132.1a =，4log 2b =，3log 1.6c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>（7）若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）．A ．4410+ B ．4C ．4+411D ．8（8）已知a ，b 是正数，且满足224a b <+<，那么11b a ++的取值范围是（ ）． A ．1(,3)5B ．1(,2)3C ．1(,2)5D ．1(,3)3第二部分（非选择题 共1 10分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）5πcos()4-= ． （10）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =，则抛物线的方程为 ．（11）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 ．（12）在ABC △中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，14AF AB =．若AD AF AE λμ=+(,)λμ∈R ,则λμ+= ．（13）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数．当0x <时，2()4f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为 ；不等式()0f x <的解集为 ．（14）已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为个．三、解答题共6小题．共80分．解答应写出文字说明．演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）在ABC △中，2sin .a C A ==（I ）求c 的值；（Ⅱ）若3b=，求πsin(2)4A-的值．（16）（本小题共13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（I）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试．设4人中恰有2人为甲班同学的概率．（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，PAD△是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M和N分别是AD和BC的中点．（I ）求证：PM MN ⊥；（II ）求证：平面PMN ⊥平面PBC ；（III ）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD 若存在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由．（18）（本小题共13分）已知函数2()4ln ,f x ax x a =-∈R ．（I ）当12a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性．（19）（本小题共13分）已知椭圆:G 22221(0,0)x y a b a b +=>>过点A 和点(0,1)B -．（I ）求椭圆G 的方程，（Ⅱ）设过点G 与直线y x m =+相交于不同的两点M ，N ，是否存在实数m ，使得BM BN =若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．（20）（本小题共14分）设X 是一个非空集合，由X 的一切子集（包括∅，X 自身）为元素构成的集合，称为X 的幂集，记为()P X ．（I ）当{1,2,3}X =时，写出()P X ；（Ⅱ）证明：对任意集合X ，Y ，都满足()()()P X P Y P X Y =；（III ）设X 是10个两位数字形成的集合，证明：()P X 中必有两个X 的子集，其元素的数值和相等．北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题三、解答题15．解：（1）因为a =sin 2sin C A =，由正弦定理得2sin c A ，所以c =（2）由余弦定理得222cos 2c b a A bc +-=sin A因为4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos2cos sin 5A A A =-=，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444A A A ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．16．解：（1）由直方图知，()0.1500.1250.1000.10021a ++++⨯=，解得0.025a =．因为甲班学习时间在区间[]2,4的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=． 所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学生时间在区间(10,12]的人数为400.02522⨯⨯=（人）．（2）乙班学习时间在区间(10,12]的人数为400.0524⨯⨯=（人）．由（1）知甲班学习时间在区间(10,12]的人数为2人．甲班的2人记为12,X X ，乙班的4人记为1234,,,Y Y Y Y ，设“四人中恰有2人为甲班同学”为事件A ．从两个班中学习时间大于10小时的6名同学中抽取四人的所有可能情况为：()1212X X Y Y ，()1213X X YY ，()1214X X Y Y ，()1223X X Y Y ，()1234X X Y Y ，()1234X X Y Y ，()1123X YY Y ，()1124X YY Y ，()1134X YY Y ，()1234X Y Y Y ，()2123X YY Y ，()2124X YY Y ，()2134X YY Y ，()2234X Y Y Y ，()1234Y Y Y Y ，共15种．四人中恰有2人为甲班同学的所有可能情况为6种．()62155P A ==． 17．（1）证明：因为PAD △是正三角形，M 是AD 的中点，所以PM AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PM ⊥平面ABCD ．因为MN ⊂平面ABCD ，所以PM MN ⊥．（2）证明：因为PM ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PM BC ⊥．因为ABCD 是正方形，M N 、分别是,AD BC 的中点，所以MN BC ⊥．因为PM MN M =，所以BC ⊥平面PMN ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PMN ⊥平面PBC ．（3）存在点Q 为PA 的中点，使得平面QMN ∥平面PCD ．证明：因为,M Q 分别是,AD PA 的中点，所以MQ PD ∥．因为MQ ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以MQ ∥平面PCD ．同理可得MN ∥平面PCD ．因为MQ MN M =，所以平面QMN ∥平面PCD ．18．解：（1）当12a =时，()214ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，所以()4'f x x x=-，()0,x ∈+∞．因此，()'13f =-．即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为3-．又()112f =，即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1312y x -=--． 即6270x y +-=．（2）()()()2224'2,0,ax f x ax x x x-=-=∈+∞． （1）当0a =时，因为()0,x ∈+∞，()4'0f x x-=<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．（2）当0a <时，因为()0,x ∈+∞，()'0f x <．所以()f x 在()0,+∞上单调递减．（3）当0a >时，0,x ⎛∈ ⎝⎭，()'0f x <．0,x ⎛∈ ⎝⎭，()'0f x <． 所以()f x在,⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在0,⎛⎝⎭上单调递减． 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x在,⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在0,⎛⎝⎭上单调递减． 19．解：（1）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -， 所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=． （2）假设存在实数m 的满足题设，由22,1.3y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2246310x mx m ++-=．因为直线与椭圆有两个交点，所以0∆>，即24m <．①设MN 的中点为(),p p P x y ，M x ，N x 分别为点,M N 的横坐标，则324M N p x x m x +==-，从而4p p my x m =+=， 所以143p BP py m k x m++==-．因为||||BM BN =，所以BP MN ⊥．则1BP MN k K ⋅=-，而1MN k =，所以413m m+-=- 即2m =，与①矛盾．因此，不存在这样的实数m ，使得||||BM BN =．20．解：（1）当{}1,2,3X =时，(){}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3P X =∅．（2）设集合A 为()()P X P Y 中的任一个元素，所以()A P X ∈且()A P Y ∈，所以A X ⊆，且A Y ⊆，所以()A X Y ⊆，所以()A P X Y ∈，所以()()()P X P Y P X Y ⊆；设集合B 为()P X Y 中的任一个元素，所以()B X Y ⊆．所以B X ⊆，且B Y ⊆，所以()()B P X P Y ∈，所以()()()P X Y P X P Y ⊆，所以()()()P X P Y P X Y =．（3）假设()P X 中任意两个元素，其元素数值和都不相等．因为X 是10个两位数字形成的集合，所以()P X 中共有1021024=个元素．由假设可知，每个元素的数值都不相等，所以()P X 的元素中，元素数值和有1024种可能．这与“元素的数值和909099945+++=≤”矛盾，所以假设错误．所以()P X 中必有两个元素，其元素的数值和相等．北京市东城区高三年级第一次综合练习数学（文史类）选填解析一、选择题1．【答案】C【解析】解：()(){{|120}|1A x x x x x =+-=≤-≥或}2x ≥，所以{}|12R A x x =-<< 故选C ．2．【答案】C【解析】解：(1i)111(1i)(1i)222i i i ii +-+===-+--+ 故选C ．3．【答案】D【解析】解： sin 2sin(2)sin 2()36x x x ππ⎡⎤→-=-⎢⎥⎣⎦故选D ．4．【答案】B【解析】解：有双曲线的定义知：224,a b m ==， 则2222224744c a b m e a a ++==== ，则3m = ． 故选B ．5．【答案】B【解析】解：由于2312311a a a d +=+= ，把11a = 带入得3d = ， 所以634565133(4)39S S a a a a a d -=++==+= 故选B ．6．【答案】A【解析】解：由于1031 2.1 2.1 2.1=<< ， 41log 22=，3310log 1log 1.6log 2=<<=故答案为A ．7．【答案】A【解析】解：由三视图可知，原图是一个四棱锥，底面是个菱形，面积为142= ，四个侧面面积相同，侧面积为1242⋅= 故答案选A8．【答案】A【解析】解：如图所示：此题属于线性规划题目，阴影区域面积就是约束条件表示的区域，11b a ++代表(),a b 与()1,1-- 的斜率，15ABk = ，3AC k = ，根据斜率的定义，取值范围为1(,3)5，故答案选A ．二、填空题9．【答案】2-【解析】解：53cos()cos 44ππ-==故答案为．10．【答案】28y x =-【解析】解：由抛物线的定义知，开口朝左，2,42pp =∴= 故答案为28y x =-．11．【答案】76； 82.8【解析】解：甲组数据从小到大排列为：55,58,76,88,92 ，中间的是76，乙组数据的平均数为658285879582.85X ++++==故答案为76； 82.812．【答案】 3【解析】解：由向量加法的定义知：()11()422+22AD AB AC AF AE AF AE =+=+= ,从而=2λ ，=1μ．故答案为3 ．13．【答案】2()4f x x =-+；(2,0)(2)-+∞，【解析】解： 设220,0,()4(),()4x x f x x f x f x x >∴-<∴-=-=-∴=-+ ； 当20,40,(2)(2)0x x x x <-<-+<，此时20x -<<当220,40,40,(2)(2)0,22x x x x x x x >-+<->+-><->或，此时2x > ， 综上所述：(2,0)(2,)-⋃+∞故答案为2()4f x x =-+；(20)(2)-+∞，， 14．【答案】2【解析】解：由题意知：2221ln ,1(x)ln ,11ln ,1x x f x x x x ⎧->⎪=-=⎨⎪--<⎩，当11,'()2ln 0,x f x x x >=-⋅< ()f x 是减函数，(1)1f = 有零点；当1,x = (1)0f = 是一个零点；当101,'()2ln 0,x f x x x<<=-⋅> ()f x 是增函数(1)1f =-无零点故答案为2 ．。
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东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （文科）学校_____________班级_________姓名__________考号__________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差 3. 已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i 4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B . 4 C . 3 D .32- 6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A .2x y =B .2x y = C . 28x y = D . 216x y = 8．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是______.10. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是 ．11. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 12. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则_____;a 5= 13. 已知平面向量(2,4)a =，．2),1(b -=若()c a a b b =-⋅ ，则||c =_____________．14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知 曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距 离，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且。
（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.16.（本题满分14分）-中，⊿PAB是等边三角形，如图，在三棱锥P ABC∠PAC=∠PBC=90 º（Ⅰ）证明:：AC=BC；（Ⅱ）证明：AB⊥PC；PC=，且平面PAC⊥平面PBC，（Ⅲ）若4-体积.求三棱锥P ABC17.（本题满分13分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(Ⅰ) 求z的值；(Ⅱ) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；(Ⅲ) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6, 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.18．（本题满分14分）设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈（Ⅰ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围．19.（本题满分14分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． （Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA = ，求直线AB 的方程．20.（本题满分13分）对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ； （Ⅱ）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.求证 k k a b =（k =1,2,…,m ）.东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案 （文科）一、选择题：1.D; 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C. 二、填空题: 9. 6; 10.10x y -+=; 11. 31y x =+;12. ln52+; 13. 28; 14..49 三、解答题： 15.（本题满分12分）（Ⅰ） ，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即得tan B =3B π∴=. . ………………5分（Ⅱ） sinC=2sinA ，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，解得a =2c a ∴==△ABC 的面积=.233acsinB 21= ………………12分16.（本题满分14分）（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =.………………3分 （Ⅱ）如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,所以AB PC ⊥. ．．．．．．7分 (Ⅲ)作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =．由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒．因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形。
由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三棱锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯= ．．．．．．14分 17. （本题满分13分）(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300n =+, 所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分 (Ⅱ) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样, 所以40010005m=,解得m=2, 即抽取了2辆舒适型轿车, 3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: ,(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710. ．．．．．．9分 (Ⅲ)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75.086=.. ．．．．．．13分 18．（本题满分14分）（Ⅰ）当112()1nn b c n f x x x ==-≥=+-，，时，1111()(1)()10()12222n n n n f f f x =-⨯<∴ ，在（，）内存在零点．又当'11(,1)()102n n x f x nx -∈=+>时，， 11()1()122n n f x f x ∴∴在（，）上是单调递增的，在（，）内存在唯一零点． ．．．．．．6分 （Ⅱ）当2n =时，c bx x x f ++=22)(．对任意]1,1[)(4)()(]1,1[,2221221-≤--∈在等价于都有x f x f x f x x上的最大值 与最小值之差4≤M ,据此分类讨论如下：（ⅰ）122bb >>当，即时， 22(1)(1)24M f f b =--=>，与题设矛盾．（ⅱ）-1-0022bb ≤<<≤当，即时， 222(1)()(1)422b b M f f =--=+≤恒成立．（ⅲ）0-1-202bb ≤≤≤≤当，即时， 222(-1)()(-1)422b b M f f =--=≤恒成立．综上可知，22-≤≤b ． ．．．．．．14分 19．（本题满分14分）（Ⅰ）由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>，4a =． 故椭圆2C 的方程为141622=+x y ． ．．．．．．5分 （Ⅱ）设A B ，两点的坐标分别为()()A A B B x y x y ，，，，由2OB OA =及（Ⅰ）知，O AB ，，三点共线且点A B ，不在 y 轴上，因此可设直线AB 的方程为kx y =．将kx y =代入1422=+y x 中，得()44122=+x k ，所以22414kx A+=，将kx y =代入22+1164y x =中，得()22416k x +=， 所以22164B x k =+，又由2OB OA = ，得224A B x x =，即224116416k k +=+．解得1±=k，故直线AB 的方程为x y =或x y -=．．．．．．．14分 20.（本题满分13分）（Ⅰ）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1； 2, 3, 4, 5, 2； 2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4； 2, 3, 4, 5, 5. ……5分（Ⅱ）因为},,,max{21k ka a ab =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. 因为C b a k m k=++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. 因此，k k a b =. ……13分。