复数的加法与减法
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m2 + m 选做题：设m ∈ R, 复数z1 = + (m − 15)i, z 2 = −2 + m(m − 3)i, m+2
若z1 + z 2是虚数，求m的取值范围。
），Z 例2、已知 1=a+bi（a，b∈R）， 2=3－i，且Z1－ 、已知Z （ ， ∈ ）， ， Z2与Z3=－2+i在复平面内对应的点关于原点对称， 在复平面内对应的点关于原点对称， 在复平面内对应的点关于原点对称 试求a，b的值。 试求 ， 的值。 的值 思考：1、两个复数Z1 －Z2、Z3在复平面对应的点 思考： 、两个复数 分别是什么？ 分别是什么？ 2、这两点的坐标有什么关系？ 、这两点的坐标有什么关系？ 分析：先求出Z 分析：先求出Z1 －Z2=(a+bi) －(3－i)=(a －3)+(b+1)i 可用点（ 所以 Z1 －Z2可用点（ a －3，b+1）表示，又Z3可 ， ）表示， 用点（ －2，1）表示，这两点关于原点对称， 用点（ ， ）表示，这两点关于原点对称， a－3=2 a=5 ∴ b+1= －1 b= －2
三、课堂练习 －2+2i 1、计算：（ ）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=___________ ：（1） 、计算：（ （2） ( 3 －2i) －(2+i) －(________)=1+6i ） －9i 2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i 、已知 ∈ ， 为纯虚数 为纯虚数， 分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：（ 分析：依题意设 （ ∈ ），则原式变为：（ 3、已知复数Z1= －2+i，Z2=4），则原式变为2对应 、已知复数 ， ，试求 －2i，试求Z1+Z：（2x 3 －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a。 3)i 的点关于虚轴对称点的复数。 的点关于虚轴对称点的复数 － x=－ 2x －1= －a 2 分析：先求出Z 分析：先求出 1+Z2=2 －i，所以 1+Z2在复平面内对应 ，所以Z 4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为 1， 、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z 由复数相等得 的点是(2， 1+i=Z2a －3=1 Z1和Z2。 y=4i ， 的点是 ， －1)，其关于虚轴的对称点为 －2， －1)， ， 且满足Z Z2，且满足 ，其关于虚轴的对称点为( －2，求 ， 故所求复数是－2 分析：依题意设Z1 i 分析：依题意设 －=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi， （ ， ∈ ） ， 由Z1+i=Z2 －2得：x+(y+1)i= －(x －2)+(－y)i，由复数相 得 ， 等可求得x= ， 等可求得 －1，y= －1/2
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点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集 点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C 中依然成立； 中依然成立；当b=0，d=0时与实数加法法则保持一 ， 时与实数加法法则保持一 体现了复数加法法则的合理性。 致，体现了复数加法法则的合理性。
2、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 、复数的减法规定是加法的逆运算， 的复数x+yi叫做复数 叫做复数a+bi （c+di）+（x+yi）=a+bi的复数 ） （ ） 的复数 叫做复数 减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di） 的差， 减去复数 的差 ） ） 请同学们推导复数的减法法则。 请同学们推导复数的减法法则。 事实上，由复数相等的定义， 事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b ， 由此， c， 由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i 即：（a+bi） － （c+di）= (a － c)+(b － d)i ） ） 点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法 法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
三、练习： 1 .(2+4i)+(3-4i) =(2+3)+(4-4)i =5 2. 5-(3+2i) =(5-3)+(0-2)i =2-2i 3.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i) =(-3+2-1)+(-4+1+5)i = -2+2i 4.(2-i)-(2+3i)+4i =(2-2+0)+(-1-3+4)i =0 5.(3+5i)+(3-4i) =(3+3)+(5-4)i=6+i 6.(-3+2i)-(4-5i) =(-3-4)+[2-(-5)]i= -7+7i 7.(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i) =(5-2-3)+(-6-2-3)i= -11i
思考：设Z1，Z2，Z3∈C，试验证：Z1+Z2=Z2+Z1 思考： ，试验证： (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)是否成立？ 是否成立？ 是否成立 验证： 验证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1， ， ， ， a2，a3，b1，b2，b3∈R) ， 则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i （ ， （ 显然 同理可得 Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
3、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 、复数 与 a1=a2，b1=b2 。 _____________。
二、讲授新课： 讲授新课： 1、复数的加法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di 、复数的加法法则： ， (a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它 是任意两个复数， 、 、 、 ∈ 是任意两个复数 （ 们的和： a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定，规 复数的加法运算法则是一种规定， 复数的加法运算法则是一种规定 定以后就按规定进行运算。 定以后就按规定进行运算。 （2）复数的加法中规定：是实部与实部 相 ）复数的加法中规定： 加，虚部与虚部相加。很明显，两个复 虚部与虚部相加。很明显， 数的和仍 然是一个复数。对于复数的加 法可以推广到多个复数相加的情形。 法可以推广到多个复数相加的情形。
四、归纳小结： 归纳小结： 1、若干个复数相加（减），可以将它们的实部与虚 、若干个复数相加（ ），可以将它们的实部与虚 部分别相加（ ），复数的加 复数的加（ 部分别相加（减），复数的加（减）与多项式加 法是类似的。 （减）法是类似的。 2、复数的减法法则的推导是利用两复数相等来完 、 成的，渗透了转化的数学思想。 成的，渗透了转化的数学思想。
3 4i － 则x=_______ y=_______ 2
8.设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2 解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ 2-y=-6. x=2 ∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
复 数 的 加法与减法
一、复习提问： 复习提问： ， ∈ 1、复数的概念：形如______________的数叫做复 、复数的概念：形如 a+bi (a，b∈R)的数叫做复 数，a，b分别叫做它的 实部和虚部 。 ， 分别叫做它的_____________。 分别叫做它的
2、复数的分类：复数a+bi (a，b∈R)， b=0时 2、复数的分类：复数a+bi (a，b∈R)，当b=0时， 就是________;当b≠0时，叫做 虚数 当a=0， 就是 实数 当 时 叫做_______; ， b≠0时，叫做_______; 时 叫做 纯虚数
结论：两个复数相加（ 结论：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚 就是把实部与实部、 部与虚部分别相加（ 部与虚部分别相加（减）。 即：（a+bi）±（c+di）=（a ±c ）+(b ±d)i ） ） （ 例1、计算（5-6i）+（ － 2 － i） － （3+4i） 、计算（ ） （ ） ） 分析：先求第1个复数与第 个复数的和， 个复数与第2个复数的和 分析：先求第 个复数与第 个复数的和，再求和 与第3个复数的差 个复数的差。 与第 个复数的差。 原式=[5+(-2)]+[(-6) + (-1)]i －(3+4i) 解：原式 = =（3-7i） － （3+4i） (3-3)+(-7-4)i = － 11i 原式=（ 又 原式 （5 －2 －3）+ (－6 －1 －4)i = － 11i ） 点评：几个复数相加（ ），可将它们的实部与实 点评：几个复数相加（减），可将它们的实部与实 虚部与虚部分别相加（ 部、虚部与虚部分别相加（减）。
若z1 + z 2是虚数，求m的取值范围。
），Z 例2、已知 1=a+bi（a，b∈R）， 2=3－i，且Z1－ 、已知Z （ ， ∈ ）， ， Z2与Z3=－2+i在复平面内对应的点关于原点对称， 在复平面内对应的点关于原点对称， 在复平面内对应的点关于原点对称 试求a，b的值。 试求 ， 的值。 的值 思考：1、两个复数Z1 －Z2、Z3在复平面对应的点 思考： 、两个复数 分别是什么？ 分别是什么？ 2、这两点的坐标有什么关系？ 、这两点的坐标有什么关系？ 分析：先求出Z 分析：先求出Z1 －Z2=(a+bi) －(3－i)=(a －3)+(b+1)i 可用点（ 所以 Z1 －Z2可用点（ a －3，b+1）表示，又Z3可 ， ）表示， 用点（ －2，1）表示，这两点关于原点对称， 用点（ ， ）表示，这两点关于原点对称， a－3=2 a=5 ∴ b+1= －1 b= －2
三、课堂练习 －2+2i 1、计算：（ ）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=___________ ：（1） 、计算：（ （2） ( 3 －2i) －(2+i) －(________)=1+6i ） －9i 2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i 、已知 ∈ ， 为纯虚数 为纯虚数， 分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：（ 分析：依题意设 （ ∈ ），则原式变为：（ 3、已知复数Z1= －2+i，Z2=4），则原式变为2对应 、已知复数 ， ，试求 －2i，试求Z1+Z：（2x 3 －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a。 3)i 的点关于虚轴对称点的复数。 的点关于虚轴对称点的复数 － x=－ 2x －1= －a 2 分析：先求出Z 分析：先求出 1+Z2=2 －i，所以 1+Z2在复平面内对应 ，所以Z 4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为 1， 、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z 由复数相等得 的点是(2， 1+i=Z2a －3=1 Z1和Z2。 y=4i ， 的点是 ， －1)，其关于虚轴的对称点为 －2， －1)， ， 且满足Z Z2，且满足 ，其关于虚轴的对称点为( －2，求 ， 故所求复数是－2 分析：依题意设Z1 i 分析：依题意设 －=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi， （ ， ∈ ） ， 由Z1+i=Z2 －2得：x+(y+1)i= －(x －2)+(－y)i，由复数相 得 ， 等可求得x= ， 等可求得 －1，y= －1/2
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点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集 点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C 中依然成立； 中依然成立；当b=0，d=0时与实数加法法则保持一 ， 时与实数加法法则保持一 体现了复数加法法则的合理性。 致，体现了复数加法法则的合理性。
2、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 、复数的减法规定是加法的逆运算， 的复数x+yi叫做复数 叫做复数a+bi （c+di）+（x+yi）=a+bi的复数 ） （ ） 的复数 叫做复数 减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di） 的差， 减去复数 的差 ） ） 请同学们推导复数的减法法则。 请同学们推导复数的减法法则。 事实上，由复数相等的定义， 事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b ， 由此， c， 由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i 即：（a+bi） － （c+di）= (a － c)+(b － d)i ） ） 点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法 法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
三、练习： 1 .(2+4i)+(3-4i) =(2+3)+(4-4)i =5 2. 5-(3+2i) =(5-3)+(0-2)i =2-2i 3.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i) =(-3+2-1)+(-4+1+5)i = -2+2i 4.(2-i)-(2+3i)+4i =(2-2+0)+(-1-3+4)i =0 5.(3+5i)+(3-4i) =(3+3)+(5-4)i=6+i 6.(-3+2i)-(4-5i) =(-3-4)+[2-(-5)]i= -7+7i 7.(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i) =(5-2-3)+(-6-2-3)i= -11i
思考：设Z1，Z2，Z3∈C，试验证：Z1+Z2=Z2+Z1 思考： ，试验证： (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)是否成立？ 是否成立？ 是否成立 验证： 验证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1， ， ， ， a2，a3，b1，b2，b3∈R) ， 则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i （ ， （ 显然 同理可得 Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
3、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 、复数 与 a1=a2，b1=b2 。 _____________。
二、讲授新课： 讲授新课： 1、复数的加法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di 、复数的加法法则： ， (a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它 是任意两个复数， 、 、 、 ∈ 是任意两个复数 （ 们的和： a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定，规 复数的加法运算法则是一种规定， 复数的加法运算法则是一种规定 定以后就按规定进行运算。 定以后就按规定进行运算。 （2）复数的加法中规定：是实部与实部 相 ）复数的加法中规定： 加，虚部与虚部相加。很明显，两个复 虚部与虚部相加。很明显， 数的和仍 然是一个复数。对于复数的加 法可以推广到多个复数相加的情形。 法可以推广到多个复数相加的情形。
四、归纳小结： 归纳小结： 1、若干个复数相加（减），可以将它们的实部与虚 、若干个复数相加（ ），可以将它们的实部与虚 部分别相加（ ），复数的加 复数的加（ 部分别相加（减），复数的加（减）与多项式加 法是类似的。 （减）法是类似的。 2、复数的减法法则的推导是利用两复数相等来完 、 成的，渗透了转化的数学思想。 成的，渗透了转化的数学思想。
3 4i － 则x=_______ y=_______ 2
8.设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2 解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ 2-y=-6. x=2 ∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
复 数 的 加法与减法
一、复习提问： 复习提问： ， ∈ 1、复数的概念：形如______________的数叫做复 、复数的概念：形如 a+bi (a，b∈R)的数叫做复 数，a，b分别叫做它的 实部和虚部 。 ， 分别叫做它的_____________。 分别叫做它的
2、复数的分类：复数a+bi (a，b∈R)， b=0时 2、复数的分类：复数a+bi (a，b∈R)，当b=0时， 就是________;当b≠0时，叫做 虚数 当a=0， 就是 实数 当 时 叫做_______; ， b≠0时，叫做_______; 时 叫做 纯虚数
结论：两个复数相加（ 结论：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚 就是把实部与实部、 部与虚部分别相加（ 部与虚部分别相加（减）。 即：（a+bi）±（c+di）=（a ±c ）+(b ±d)i ） ） （ 例1、计算（5-6i）+（ － 2 － i） － （3+4i） 、计算（ ） （ ） ） 分析：先求第1个复数与第 个复数的和， 个复数与第2个复数的和 分析：先求第 个复数与第 个复数的和，再求和 与第3个复数的差 个复数的差。 与第 个复数的差。 原式=[5+(-2)]+[(-6) + (-1)]i －(3+4i) 解：原式 = =（3-7i） － （3+4i） (3-3)+(-7-4)i = － 11i 原式=（ 又 原式 （5 －2 －3）+ (－6 －1 －4)i = － 11i ） 点评：几个复数相加（ ），可将它们的实部与实 点评：几个复数相加（减），可将它们的实部与实 虚部与虚部分别相加（ 部、虚部与虚部分别相加（减）。