系统的频率特性(课堂PPT)

K（j）
k2－m2 2＝0
k2 m2
= 2
即应选择吸振器参数满足上式时，可使质量 m的1 振幅 为零，施加于 的m干1 扰被 和m2吸收k了2 ，这就是振动
控制中的吸振器。
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例5.3 一典型质量－弹簧－阻尼系统如图所示，系统输入 力f(t)为矩形波。f(t)=f(t-2T)，试求系统的输出位移x(t)。
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3. 机械系统动刚度的概念
图3-2所示，质量－弹簧－阻尼系 统，传递函数为：
G(s)=
X (s) = F (s)
1 ms2+ Bs+ k
=
1 k
s2
n2
1
+ 2 n
s+1
系统阻尼比＝ ，B 系统无阻尼自然频率
2 mk
系统的频率特性为：
G( j)=
X ( j) = F ( j)
1 k
(1-
1
2 n2
因为它不仅可以方便地研究参数变化对系统性能的影响，而 且可方便地研究系统的稳定性，并可直接在频域中对系统进行 校正和综合，以改善性能。对于外部干扰和噪声信号，可通过 频率特性分析，在系统设计时，选择合适的带宽，从而抑制其 影响。
（4）对于高阶系统，应用频域分析法比较简单
对于高阶系统，应用时域分析法比较困难，而应用频域分析 法较为简单，尤其在系统设计和校正时。
解：系统的传递函数为
X (s)
1
F (s) ms2 Bs k
其幅频特性
B ＝ G（j）
A
输出与输入的正弦相位差为
＝G（j）
3
输出与输入的正弦幅值之比为
B ＝ G（j）
A
输出与输入的正弦相位差为
＝G（j）
式中： G（是j） 在系统传递函数 中G令（s） 得来s ，j
称为系G统（的j）频率特性， 和 分G（别j表）示频率G（特j性）
的幅值和相位角。当 从0变化到∞时， 和 的变
R（j）＝L（r t） s＝j
＝
B
j
输出的傅氏变换为：
其幅值为:
C( j) G( j)R( j)=
KB
j（jT +1）
C（j）＝ KB
1＋T 22
相位为：
= - arctan T- 90o
输出响应为：
c(t
)
L-
1
C(s)=
L-
1
KB s(sT
1)
=
KB(1-
e-
t
/
T
)
可以看出输出（c t）也不是正弦函数。
（5－8）
式中：
C( j)= L c(t) = c(t)e- stdt c(t)e- jtdt
s= j 0
s= j
0
（5－9）
5
式中：
G( j)= C(s) = C( j) R(s) s= j R( j)
（5－8）
C( j)= L c(t) = c(t)e- stdt c(t)e- jtdt （5－9）
)+
j
2 n
。n＝
k m
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上式反映了动态作用力 （f t与）系统动态变形 之（x t间）的关 系，实质上 G（表j示）的是机械结构的动柔度 ，（也j就）是 它的动刚度 的倒K（数j。）
当＝0时
G（j）＝（j）＝
1
K（j）
K（j）＝0
＝1
G（j）＝0
＝k
（ 1－
2 n2
）＋j
2 n
＝0
＝k
即该机械系统的静刚度为k。
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例5.2 如图所示吸振器系统，若质量块 m1 受到干扰力
f = Asint ，如何选择吸振器参数k2 和m2，使质量块产生 的振幅最小。
解：建立系统的微分方程
m1&x&1+ k1x1+ k2(x1- x2 )= f k2(x1- x2 )= m2&x&2

则位移x1与干扰力f之间的传递函数为：
G(s) X1(s)
机械控制理论基础
第五章 系统的频率特性
1
系统的频率特性
5.1 频率特性 5.2 频率特性的对数坐标图（伯德图） 5.3 频率特性的对数坐标图（奈奎斯特图） 5.5 最小相位系统的概念 5.6 闭环频率特性与频域性能指标 5.7 系统辨识
2
5.1 频率特性
1. 频率特性的概念
频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。 输出与输入的正弦幅值之比为
解：令s＝j则系统的频率特性为
G（j）＝
K
jT＋1
系统的幅频特性为
G（j）＝
K＝
jT＋1
K
1＋T 22
系统的相频特性为：
＝G（j）＝－arctanT
根据频率响应的定义得系统的稳态响应为：
（c t）＝ AK sin（t－arctanT） 1＋T 22
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如果输入的不是正弦信号，而是一个阶跃信号（r t）＝B
s= j 0
s= j
0
同理：
R（j）= （ r t）e－jtdt 0
（5－10）
系统的频率特性为输出和输入的傅氏变换之比。
C（j）= R（j）G（j）
（5－14）
6
（2）系统的频率特性是系统脉冲响应函数 g（t）的傅氏变换：
G（j） G(s) |s j
g（t）e－jtdt
（5－13）
（3）在经典控制理论范畴，频域分析法比时域分析法简单
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当 0时，可以写出动刚度K（j）的幅值
1
K（j）＝k
（ 1－n22
）2＋（
2 n
）2
2
其动刚度曲线如右图所示， 对 K（j求）偏导，并令 K（j）＝0
可得当 ＝r＝ 1－2 2n时，K（j） 具有最小值
K（j） ＝k2 1－ 2 （5－16） min
（5－15）
r称作系统的谐振频率，由上式看出当 1时，
m2s2 k2
F (s) m1m2s4 k2 (m1 m2 ) k1m2 s2 k1k2
其动刚度
K（j）＝
1＝
G（j）
m1m2
4＋k1k2－ k（2 m1＋m2）＋k1m2
k2－m2 2
2
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而
X（1 j）＝
F（j） K（j）
由频率响应可知，当系统输入为正弦信号时，系统输 出为同频率正弦信号。显然要使 X（1 j,则）应0使
化情G况（分j）别称为G（系j统）的幅频特性和相频特性，总称为 频率特性。
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2.频率特性的含义及特点
（1）频率特性分析是通过分析不同谐波输入时系统的 稳态响应来表示系统的动态特性。
G（j）＝G（s）s＝j
传递函数 G（是s）输出 （与c t输）入 的（r拉t）氏变换之比，故
G( j)= C(s) = C( j) R(s) s= j R( j)
r n，系统的最小刚度幅值为
K（j） k2 min
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K（j） k2 min
由此可以看出，增大机械结构的阻尼 ，能大大提
高系统的动刚度。若
1 ＝0.707
2
则系统不存在谐振频率，也不会发生谐振。
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例5.1 如图所示系统，传递函数为G（s）＝TsK＋1，求系统的 频率特性及系统对正弦输入（ r t）＝Asint 的稳态响应。