控制系统的频率特性
控制工程基础第4章控制系统的频率特性
插值计算可大致确定闭环截止频率为 b
=1.3rad／s。
非单位反馈系统的闭环频率特性
对于非单位反馈系统，其闭环频率特性可
写为
X X
o i
j j
1
G j G j H
j
H
1
j
1
G j H j G j H j
在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画
出 G j H j 的轨迹，由轨迹与M轨线和N轨
频域法是一种工程上广为采用的分析 和综合系统间接方法。另外，除了电路 与频率特性有着密切关系外，在机械工 程中机械振动与频率特性也有着密切的 关系。机械受到一定频率作用力时产生 强迫振动，由于内反馈还会引起自激振 动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归 结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即为
通过点（-1/2，0）且平行虚轴的直线。
如果M≠1，式（4.26）可化成
X
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
(4.27)
该式就是一个圆的方程，其圆心为
M2
，半径为 M 。如下图。
[
M
2
, 1
j0]
M 2 1
在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给定 的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。下 图表示的一族等M圆。由图上可以看出，当 M>1时，随着M的增大M圆的半径减小，最后 收敛于点（-1,j0）。当M＜1时，随着M的 减小M圆的半径亦减小，最后收敛于点 （ 0 , j0）。M=1 时 ， 其 轨 迹 是 过 点 （ 1/2,j0）且平行于虚轴的直线。
控制工程 第5章 系统的频率特性
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-1
5.1 频率特性的基本概念
在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系 统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算， 简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能 的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方 法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性 法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频 率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的 响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题 仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等， 是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控 制理论的核心内容。
5.1 频率特性的基本概念
二、频率特性和传递函数之间的关系
( j ) ( s ) s j
频率特性就是在s=jω时的传递函数，它也是 系统或环节的数学模型，描述了系统的运动规律 及其性能。 频率特性可以通过传递函数求取（解析法）， 也可以用专门的仪器、通过实验的方法求取。
5.1 频率特性的基本概念
yss ( j 2) X sin(2t ) 0.35sin(2t 45 )
5.1 频率特性的基本概念
频率特性的物理意义
1、在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差 是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的 范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差 随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。 2、频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数， 与外界因素无关。 3、 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、 电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输 入信号的频率有关。 4、频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力， 一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。
自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
自动控制原理实验-控制系统频率特性的测试
(13)当ω=10.1rad/s时，2Xm= 2 2Ym=2 0.03461 = -29.21 2y0=2 0.02182ψ= 180- = 140.92°绕行方向：顺时针如下图
图十三
(14)当ω=10.2rad/s时，2Xm= 2 2Ym=2 0.03394 = -29.39 2y0=2 0.02141ψ= 180- =140.89°绕行方向：顺时针如下图
图二
(3)当ω=0.98rad/s时，2Xm= 2 2Ym=2 5.178 = 14.28 2y0=2 5.067ψ= = 78.11°绕行方向：逆时针如下图
图三
(4)当ω=0.99rad/s时，2Xm= 2 2Ym=2 4.428 = 12.92 2y0=2 4.226ψ= = 72.627°绕行方向：逆时针如下图
以下是在不同频率下李沙育图及幅频特性和相频特性的分析情况
(1)当ω=0.5rad/s时，2Xm= 2 2Ym=2 5.515Байду номын сангаас= 14.83 2y0=2 3.3ψ= = 36.75°绕行方向：逆时针如下图
图一
(2)当ω=0.7rad/s时，2Xm= 2 2Ym=2 5.727 = 15.16 2y0=2 4.879ψ= = 58.42°绕行方向：逆时针如下图
答：频率特性可以用于稳定系统也可以用于不稳定系统。频率特性也是系统数学模型的一种，可用多种形式的曲线表示，因此系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。频率特性的物理意义明确，不仅适用于线性定常系统，还可推广至某些非线性控制系统。
5、实验总结
（1）通过本次实验认识了线性定常系统的频率特性，掌握了用频率特性法测试被控过程模型的原理和方法，根据开环系统的对数频率特性，确定了系统组成环节的参数。
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-7
系统是稳定的 系统是临界稳定的 系统是不稳定的
5.7用开环频率特性分析系统的动态性能
3. 增益裕量G.M. （幅值裕量） 相角为-180o这一频率值ωg所对应的幅值倒数的分贝数。
1 G.M . 20lg 20lg Gk ( jg ) 20lg A(g ) Gk ( jg )
5.7用开环频率特性分析系统的动态性能
1.低频段 表征了系统的稳态性能即控制精度。从稳态而 言，总希望K大些，系统类型高些，这样稳态误差 就小些。 2.高频段 反映系统的抗干扰能力，斜率越负，抗干扰能 力越强。
5.7用开环频率特性分析系统的动态性能
三、频域性能与时域性能的关系 对于二阶系统 1. γ(ωc)与σ%的关系（平稳性）
自动控制原理
第五章 控制系统的频率特性分析法
5.7 用开环频率特性分析系统的动态性能
5.7用开环频率特性分析系统的动态性能
一、开环频域性能指标
1.截止频率ωc 对数幅频特性等于0分贝时的ω值，即截止频率ωc表 征响应的快速性能， ωc越大，系统的快速性能越好。
L(c ) 20lg A(c ) 0 A(c ) 1
2.相位裕量γ(ωc)
相频特性曲线在ω= ωc时的相角值φ(ωc)与-180°之差。
(c ) (c ) 180
5.7用开环频率特性分析系统的动态性能
相位裕量的物理意义是，为了保持系统稳定， 系统开环频率特性在ω= ωc时所允许增加的最大相 位滞后量。 如果将矢量顺时针旋过γ角度，系统就处于临 界稳定状态。 对于最小相位系统，相位裕量与系统的稳定性 有如下关系：
②中频段的斜率为-40dB/dec，系统相当于阻尼系数 ζ=0的二阶系统，所以h不宜过宽； h越宽，平稳性越差。 ③中频段的斜率为-60dB/dec，系统不稳定。 重要结论：控制系统要具有良好的性能，中频段的 斜率必须为-20dB/dec，而且要有一定的宽度（通常 为5~10）； 应提高截止频率来提高系统的快速性。
控制系统的频率特性分析实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除控制系统的频率特性分析实验报告篇一：控制系统频率特性实验实验名称控制系统的频率特性实验序号3实验时间学生姓名学号专业班级年级指导教师实验成绩一、实验目的：研究控制系统的频率特性，及频率的变化对被控系统的影响。
二、实验条件：1、台式计算机2、控制理论&计算机控制技术实验箱ThKKL-4系列3、ThKKL仿真软件三、实验原理和内容：1．被测系统的方块图及原理被测系统的方块图及原理：图3—1被测系统方块图系统(或环节)的频率特性g(jω)是一个复变量，可以表示成以角频率ω为参数的幅值和相角。
本实验应用频率特性测试仪测量系统或环节的频率特性。
图4—1所示系统的开环频率特性为：采用对数幅频特性和相频特性表示，则式(3—2)表示为：将频率特性测试仪内信号发生器产生的超低频正弦信号的频率从低到高变化，并施加于被测系统的输入端[r(t)]，然后分别测量相应的反馈信号[b(t)]和误差信号[e(t)]的对数幅值和相位。
频率特性测试仪测试数据经相关器件运算后在显示器中显示。
根据式(3—3)和式(3—4)分别计算出各个频率下的开环对数幅值和相位，在半对数坐标纸上作出实验曲线：开环对数幅频曲线和相频曲线。
根据实验开环对数幅频曲线画出开环对数幅频曲线的渐近线，再根据渐近线的斜率和转角频确定频率特性(或传递函数)。
所确定的频率特性(或传递函数)的正确性可以由测量的相频曲线来检验，对最小相位系统而言，实际测量所得的相频曲线必须与由确定的频率特性(或传递函数)所画出的理论相频曲线在一定程度上相符。
如果测量所得的相位在高频(相对于转角频率)时不等于－90°(q－p)［式中p和q分别表示传递函数分子和分母的阶次］，那么，频率特性(或传递函数)必定是一个非最小相位系统的频率特性。
2．被测系统的模拟电路图被测系统的模拟电路图：见图3－2注意：所测点-c(t)、-e(t)由于反相器的作用，输出均为负值，若要测其正的输出点，可分别在-c(t)、-e(t)之后串接一组1/1的比例环节，比例环节的输出即为c(t)、e(t)的正输出。
自动控制原理-5.3 控制系统的频率特性
－2.67k
Im
→
0
Re
=0
16
5.3.2 开环伯德图
开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为
n
n
n
Lk () 20 lg A() 20 lg Ai () 20 lg Ai () Li ()
i 1
i 1
i 1
n
( ) i ( ) i 1
与实轴的交点：
令 Im() = 0 求出 x 代入 Re(x)
(4) 由起点出发，绘制曲线大致形状。
6
m
k （is 1)
= 设开环传递函数G(s)H(s)
i1
s n (Tjs 1)
相频特性:
j1
φ(ω)=-υ×90o+Σim=a1 rtan(ωτi)-jΣn=-1aυ rtan(ωTj )
例5-3 已知系统开环传函为 k
Gk (s) (T1s 1)(T2s 1) 试绘制系统的开环幅相曲线。 解：系统开环频率特性
Gk
(
j
)
T1T2
(
j
k 1 T1
)(
j
1 T2
)
-1/T2
-1/T1
j （1）Gk (j0) = k0
（2）Gk (j) = 0180
() = 90 arctanT
2
A() T 1
() = 90 arctanT
1 (T )2
T
0 0.1 0.3 1.0 2.0 5.0 ∞
A() 0 0.0995 0.288 0.707 0.895 0.982 1
()(°) 90 84.3 73.3 45 30 11.3 0
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-3
比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入 信号，幅值上有放大或衰减作用；υ (ω)=0º ，表示输 出与输入同相位，既不超前也不滞后。
5.3 典型环节的频率特性
二、积分环节 1.代数表达式 传递函数
G (s) 1 s 1
频率特性 相频特性
幅频特性
A( )
1 1 1 j 90 G( j ) j e j () 90
对数频率特性曲线是一条斜线, 斜率为-20dB/dec, 称为高频渐 近线，与低频渐近线的交点为ωn=1/T，ωn称为交接频率或转 折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。
5.3 典型环节的频率特性
3.伯德图 对数幅频图
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 1 2T 2 20lg 1 2T 2
G ( j ) 1 j 2 2 2 (1 2 2 ) j 2 (1 2 2 ) 2 (2 ) 2 e
2 T j arctan 1 2 2
5.3 典型环节的频率特性
2.极坐标图 理想微分环节的极坐标图在0 ＜＜的范围内，与正虚轴重合。 可见，理想微分环节是高通滤 波器，输入频率越高，对信号的 放大作用越强；并且有相位超前 作用，输出超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。 （纯微分）
在控制工程中，采用分段直线表示对数幅频特征 曲线，作法为： a.当Tω<<1（ω<<1/T）时，系统处于低频段 L( ) 20lg1 0 b.当Tω>>1（ω>>1/T）时，系统处于高频段
L( ) 20lg T
此直线方程过（1/T，0）点， 且斜率为-20dB/dec。
控制系统的频率特性分析
【实验名称】控制系统的频率特性分析【实验目的】1) 掌握运用MATLAB 软件绘制控制系统波特图的方法； 2) 掌握MATLAB 软件绘制奈奎斯特图的方法； 3) 利用波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析。
【实验仪器】1) PC 机一台 2) MATLAB 软件【实验原理】1. 奈奎斯特稳定判据及稳定裕量（1）奈氏（Nyquist ）判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数R 等于开环传递函数右半s 平面的极点数P , 即R=P ;否则闭环系统不稳定, 闭环正实部特征根个数Z 可按下式确定Z=P-R=P-2N （2）稳定裕量利用)()(ωωj H j G 轨迹上两个特殊点的位置来度量相角裕度和增益裕度。
其中)()(ωωj H j G 与单位圆的交点处的频率为c ω（截止频率）；)()(ωωj H j G 与负实轴的交点频率为x ω（穿越频率）。
则相角裕度：)(180)()(180c c c j H j G ωϕωωγ+=∠+= 增益裕度：)(1)()(1x x x A j H j G h ωωω==（对数形式：)(lg 20)()(lg 20x x x A j H j G h ωωω-=-= 2. 对数频率稳定判据将系统开环频率特性曲线分为幅频特性和相频特性，分别画在两个坐标上，横轴都用频率ω，纵轴一个用对数幅值和相角，这两条曲线画成的图就是Bode 图，即对数频率特性图。
因为Bode 图与奈氏图有一一对应关系，因此，奈氏稳定判据就可描述为基于Bode 图的对数频率稳定判据：（1）开环系统稳定，即开环系统没有极点在正右半根平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对180-线正负穿越次数相等，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
（2）开环系统不稳定，有P 个极点在正右半平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对180-线正穿越次数大于负穿越次数P/2，闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
控制系统的频率特性
相位的单位采用度或弧度来表示。 ➢对数幅相特性曲线：Nichols图，对数幅相图，复合坐标图
横坐标为相频特性，采用度或弧度来表示。
纵坐标为幅频特性，采用分贝（dB）来表示。
例：一般系统的传递函数和频率特性
G(s)
b0s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
j0
系统的输出为
Y (s)
(s
p1 )( s
M (s) p2 )(s
pn )
X s2 2
(s
M (s) p1)(s p2 )(s
pn )
(s
X j)(s
j)
稳定系统
n
Y(s)
Ai
A
A
i1 s pi s j s j
A, A 和Ai (i 1,2,n)
待定系数
n
y(t) Ae jt A e jt Aie pit i 1
G( j) G( j) e j()
G( j) G( j) e j() G( j) e j()
式中:
(
)
G(
j
)
arctg
Im Re
[G( [G(
j j
)] )]
将待定系数 A, A 代入式 ys (t) Ae jt A e jt 中,有:
ys (t)
X 2j
G( j) e j () e jt
采用MATLAB绘制比例环节的极坐标图：
K=1; G=tf([K],[1]); nyquist(G,'*'); axis([-2,2,-2,2]);
X G( j) e j () e jt
2j
X G( j ) e j (t ( )) e j (t ( ))
自动控制原理第5章
8
二、图形表示法
1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 极坐标图 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 当频率ω 变化到无穷大时， 当频率ω从0变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画 有这种曲线的图形称为极坐标图。 有这种曲线的图形称为极坐标图。
− j arctan 2 ζT ω 1−T 2ω 2
幅频特性 相频特性
A(ω ) =
ϕ (ω ) = − arctan
23
典型环节的频率特性
9
2.博德图（对数频率特性图） 博德图（对数频率特性图） 博德图 两张图构成 一张是对数幅频图 一张是对数相频图 构成： 对数幅频图， 对数相频图。 由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。
10
对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 是频率特性幅值的对数值乘20 即 L(ω ) = 20 lg A(ω ) 表示，均匀分度，单位为db。 表示，均匀分度，单位为db db。 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ(ω)，均匀分度，单 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ 是相移角 均匀分度， 位为“ 位为“度”。 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。
控制工程基础第4章 控制系统的频率特性
( ) G ( j ) arctanT
As 0， 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方 法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应： 系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时， 系统的稳态输出也是正弦信号，且其频率与输入信号的 频率相同，其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变 化。 当输入为非正弦的周期信号时，可将输入信号利用傅立 叶级数展开成正弦函数叠加的形式，系统的响应也是其 相应正弦函数响应的叠加 输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的 周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图
k
0
积分环节 比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为： 100（0.05s＋1） G（s）＝ s（0.1s＋1）（0.2s＋1） 试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10
第六章 控制系统的频率特性
第六章 控制系统的频率特性采用频率特性法原因： （1） （2） （3）第一节 频率特性的基本概念一．概念 1．频率响应：指控制系统对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。
例：如图所示的机械系统，K 为弹簧刚度系数，单位N/m ，C 是阻尼系数，单位m/s.N,当输入力为正弦信号f(t)=Fsinwt 时，求其位移x(t)的稳态响应解：列写力平衡方程)()()(t f t kx dtt dx C =+其传递函数为：11111)()()(+=+=+==Ts K s KC K K Cs s F s X s Gx (t )tF t f ωsin )(=22)(ωω+=s F s F输出位移)()()(s F s G s X =2232122111ωωω++++=+⋅+=s K s K Ts k s F s KCKTt e T KF T T arctg t T K Ft x -++-+=22221)sin(1)(ωωωωω上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，当时间t 趋向于无穷大时为零。
系统稳态输出为：)](sin[)](sin[)()sin(1)(22ωϕωωϕωωωωω+=+⋅=-+=t X t F A T arctg t T K Ft x其幅值为：2)(11)()(ωωωT K F X A FA X +===相位为：T arctg ωωϕ-=)(从上式的推导可以看出，频率响应是时间响应的一种特例。
正弦输入引起的稳态输出是频率相同的正弦信号，输入输出幅值成比例)(ωA ，相位)(ωϕ都是频率ω的函数，而且与系统的参数c,k 有关。
二 频率特性及其求解方法 1．频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入幅值比)(ωA 和相位差)(ωϕ随输入频率的变化关系。
用)(ωj G 表示。
)()]([)(Im Im )()()(ωϕωωϕωωωj tj t j eA eF eX t f t x j G ===+2)(11)()(ωωωT K F X j G A +===T arctg j G ωωωϕ-=∠=)()()(ωj G 称为系统的频率特性，其模)(ωA 称为系统的幅频特性，相位差)(ωϕ称为相频特性2．频率特性求解 （1）根据已知系统的微分方程或传递函数，输入用正弦函数代入，求其稳态解，取输出和输入的复数比（2）根据传递函数来求取 （3）通过实验测得令传递函数中的ωj s =则得到频率表达式)(ωj G ，又由于)(ωj G 是一个复变函数，可在复平面上用复数表示，分解为实部和虚部，即：)()()()()(w j e w A w jV w U jw G ϕ=+=)(cos )()(w w A w U ϕ= )(sin )()(w w A w V ϕ=)()()(22w V w U w A += )()()(w U w V arctg w =ϕ例：某闭环系统传递函数为237)(+=s s G ，当输入为)4532sin(71 +t 时，试求系统稳态输出。
控制系统的频率特性
频域法是利用频率特性研究自动控制系统的一种古典方 法，它有如下特点
1) 应用Nyquist(奈奎斯特)稳定性判据，可以根据系统的开环频率特 性，研究闭环系统的稳定性，而不必求特征方程的根。 2) 对于二阶系统，频率响应和瞬态响应的性能指标之间有确定的对 应关系，而高阶系统也存在类似的关系。因为系统的频率特性与系 统参数、结构之间有着密切关系，所以可以利用研究频率特性的方 法，把系统的参数、结构变化和瞬态响应性能指标之间联系起来。 3) 频率特性有明确的物理意义，很多元件的这一特性都可以用实验 的方法确定，这对难于分析其物理规律来列出微分方程的元部件和 系统，有很重要的工程实际意义。 4) 频率特性分析法不仅适用于线性系统，而且可以推广到某些非线 性系统。 5) 当系统在某些频率范围存在着严重噪声时，应用频率法，可以设 计出能够很好抑制这些噪声的系统。
2
2
系统的幅频特性的Bode图由各典型环节的幅频特性Bode图 相叠加。系统的对数相频特性为
对数相频特性
φ(ω) = ∑arctanωτ i + ∑arctan
一.对数频率特性的坐标
对数幅频特性是对数值20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。 对数相频特性是相角φ(ω)和频率ω的关系曲线。 这两条特性曲线画在半对数坐标纸上，采用同一个横坐 标作为频率轴。横坐标采用对数分度，但标写的却是ω 实际值，单位为弧度/秒（rad/s).
L(ω) (dB)
40 20 0 0.01 -20 -40 0.1 1 10 100 ω(rad/s)
4.1 频率特性
一.频率特性的基本概念
xi (t) xi (t) t R C xo(t)
RC网络的传递函数为
X0 (s) 1 G(s) = = Xi (s) Ts +1
控制系统的频率特性
第四章控制系统的频率特性本章要点本章主要介绍自动控制系统频域性能分析方法。
内容包括频率特性的基本概念，典型环节及控制系统Bode图的绘制，用频域法对控制系统性能的分析。
用时域分析法分析系统的性能比较直观，便于人们理解和接受。
但它必须直接或间接地求解控制系统的微分方程，这对高阶系统来说是相当复杂的。
特别是当需要分析某个参数改变对系统性能的影响时，需反复重新计算，而且还无法确切了解参数变化量对系统性能影响的程度。
而频率特性不但可以用图解的方法分析系统的各种性能，而且还能分析有关参数对系统性能的影响，工程上具有很大的实用意义。
第一节频率特性的基本概念一、频率特性的定义频率特性是控制系统的又一种数学模型，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。
对线性系统，若输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但是输出信号的幅值和相位一般不同于输入量，如图4-1。
若设输入量为r(t)=A r sin(ωt+υr)其输出量为c(t)=A c sin(ωt+υc)若保持输入信号的幅值A r不变，改变输入信号的角频率ω，则输出信号的角频率也变化，并且输出信号的幅值和相位也随之变化。
横坐标表示角频率ω，单位为弧度/秒（rad/s）,按lgω均匀分度，但对ω而言是不均匀的，纵坐标表示υ(ω)，单位为度（o），均匀分度，如图4-4所示。
图4-3 Bode图坐标系2）对数相频特性υ(ω) υ(ω)为一条－90o 的水平直线。
如图4-5所示。
图4-5 积分环节的Bode图2）对数相频特性υ(ω) υ(ω)为一条90o 的水平直线。
图4-6 理想微分环节的Bode图点，然后用一条光滑曲线与渐近线连接起来，就得到精确曲线。
图4-7 惯性环节的Bode图图4-8 比例微分环节的Bo0de图nω图4-9 振荡环节的Bode图计算表明，在ω=ωn处，当0.4＜ξ＜0.7时，误差小于3dB，可以不对渐近线进行修正；但当ξ＜0.4或ξ＞0.7时，误差较大，必须对渐近线进行修正。
控制系统频率特性实验
控制系统频率特性实验控制系统频率特性实验是一种较为常见的控制工程实验，其主要目的是探究不同频率下控制系统的性能表现，同时应用所学知识进行系统频率特性分析和设计。
下面将分为实验目的、实验内容、实验步骤及实验结果几个方面进行详细介绍。
实验目的：1. 探究不同频率下控制系统性能表现2. 进行频率特性分析，并了解控制系统中的稳态误差与阻尼比之间的关系3. 进行频率特性设计，并掌握控制器在频率特性中的应用实验内容：1. 频率响应性能测试2. 获取系统的幅频和相频特性曲线3. 根据幅频曲线分析系统稳态误差，根据相频曲线分析系统阻尼比4. 根据工程实际需要，设计相应的控制器并给出稳态误差和阻尼比的实验结果实验步骤：1. 建立试验系统，包括控制对象和控制器2. 调整测试样本的初始参数，保证系统的稳态3. 绘制系统幅频特性曲线，观察幅频曲线的变化情况并进行分析7. 对实验结果进行统计分析实验结果：通过实验，我们得到了不同频率下控制系统的性能表现，以及系统的幅频和相频特性曲线。
在此基础上，我们可以进行系统频率特性分析，掌握控制器在频率特性中的应用。
通过对幅频曲线的分析，我们可以了解系统的稳态误差情况。
同时可发现，随着频率增大，系统稳态误差逐渐增大，这是由于系统的惯性效应在高频率下更为明显导致的。
在此基础上，我们可以通过设计相应的控制器来减小系统稳态误差。
通过对相频曲线的分析，我们可以了解系统的阻尼比情况。
随着频率增大，我们可以观察到系统阻尼比逐渐降低，这是由于系统越接近临界系统，其阻尼比越小，因此在系统设计中需要注意避免系统过度激励的情况。
总的来说，控制系统频率特性实验是一种重要的控制工程实验，通过实验，我们可以深入了解系统在不同频率下的性能表现，为实际工程中的控制系统设计提供有力的支持和指导。
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指数式
G( j) G( j) e jG( j) A()e j()
A G j U 2 V 2
arctanUV
U Acos V Asin
4.2 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性（Nyquist 图）
当频率 从0到无穷大变化 时，向量G(j )的端点在复
平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过
2
1 T
jv
振荡环节的 Nyquist曲线不
→∞
0
1
=0
n =1
仅与频率 有关，而且与
阻尼比ξ也有关。 ξ 越小， u 幅频越大。
n =0.5
n =0.3
当ξ 小到一定程度时，幅 频将会出现峰值：
M r A(r )
r为谐振频率
Mr为谐振峰值
r n 1 2 2 0.707
M r A max
6. 二阶振荡环节
频率特性
G j
1
j 2T 2 j2T 1
幅频特性 A G j
1
1 2T 2 2 2T 2
相频A特性GGjjG1ajrct2aTn21122arc22TTtaa2nrcT1ta22n1T122TT22TT2
1 T
1 T
arctan
1
2T 2T
jv
频率特性 G j K
幅频特性 A G j K 0
K u
相频特性 G j 0o
2. 积分环节
频率特性
G j
1
1
j( )
e2
j
幅频特性 A G j 1
相频特性 G j 90
jv
0
u →∞
=0
积分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴下半轴相重合的直线，由无穷远点指向 原点。
4 能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，并进一 步提出改善系统性能的方法。
4.1 频率特性
4.1频率特性的基本概念
xi(t)
R
xi(t) t
xo(t) C
RC网络的传递函数为
G(s) X0 s 1 (T RC) Xi s Ts 1
输入信号 xi t Asin t
输出信号
x0
t
1
AT 2T
1
1 2T 2
arctan T
将s以j 代入RC网络传递函数，即得RC网络频率特性
G( j) 1 1 RCj 1 1 jT
A( 1
e j(arctanT )
1 2T 2
)e j ()
RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立
虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号，然而频 率特性是系统的固有特性，与输入信号无关， 即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
2
1
1 2
2 2
7. 二阶微分环节
jv
=0
01
u
8. 延迟环节
频率特性 G j e jT
2
teTຫໍສະໝຸດ A sint arctanT
1 2T 2
系统稳态输出
lim
t
x0
t
A sin t arctan T
1 2T 2
定义：
A() A / 1 2T 2
A
1
1 2T 2
稳态输出幅值 输入幅值
RC网络幅 频特性
() arctanT 稳态输出相位 输入相位 RC网络相频特性
第4章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图 4.4 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性 能比较直观、准确
缺点是： 1. 当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定， 因而无法分析系统性能。
2. 当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确 定应该如何调整系统来获得预期效果。
3. 微分环节
频率特性
G j
j
j e 2
幅频特性 A G j
相频特性 G j 90
jv
∞
↑
=0
0
u
微分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴上半轴相重合的直线，由原点指向无穷 远点。
4.一阶惯性环节
频率特性 G j 1
1 jT
幅频特性 A 1
2T 2 1
jv
0 →∞ -45°
频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性
能在频率域内进行研究的一种方法。
特点：
1. 不必求解系统微分方程，而采用作图法分析，有很强 的直观性，计算工作量小；
2. 由系统开环特性即可定性分析闭环响应的特点， 定量估算响应性能指标。
3. 对难以用数学模型描述的系统和元件，可用实验方法 求出系统的频率响应，从而对系统和元件进行准确而有 效的分析。
的角度为正，顺时针转过的角度为负。
2. 对数频率特性（Bode图） 由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频 特性。
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv
0 →∞ -45°
0.707
=0 u
=1/T
4.2 频率响应的Nyquist 图
一. 典型环节的Nyquist图
1. 放大环节
传递函数 G(s) K
频率特性的求取
1. 已知系统微分方程，把输入信号以正弦函数代入，求 其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比，即得 频率特性。
c r
Be j(t ) Ae jt
B e j A
A()e j ()
2. 根据系统传递函数来求取。将s=j 代入传递函数中，
可直接得到系统的频率特性。
G( j) G(s) s j
3.通过实验测得
现在已有一些测试系统频率特性的专用仪器，如增益— 相位计，对于各个频率的输入，在增益—相位计上可直 接读出输出、输入的振幅比以及相位差
频率特性的矢量图
jv
频率特性是一个复数，有三种表示：
V ()
A() ()
G(j) 代数式 G j U jV
极坐标式
0
U() u G( j) G( j) G( j) A()()
当输入为非正弦周期信号时，其输入可用傅立叶级数展 成正弦波的叠加，其稳态输出为相应的正弦波叠加。
当输入为非周期信号，可将该非周期信号看作周期T趋于 无穷大的周期信号。
频率特性的定义：
1. 正弦输入时，频率特性就是系统稳态输出量 与输入量之复数比；
2. 非正弦、非周期输入时，频率特性是系统输 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。
0.707
1 =0 u
相频特性 arctanT
=1/T
一阶惯性环节的幅相频率特性曲 线是一个半圆。
5. 一阶微分环节
频率特性 G j Tj 1
幅频特性 A 1 T 2 相频特性 arctan T
∞
jv
↑
2
45° =0
0
1
u
实频特性 U () 1
一阶微分环节的幅相频率特性曲线是一条由(1,j0)点出发， 平行于虚轴的一条直线。