2019年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版
高考数学总复习课时作业55曲线与方程理北师大版
A 级1．已知两点M( －2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，知足→→→ →| MN|·|MP|＋MN· NP＝ 0，则动点P( x，y) 的轨迹方程为 ()A．y2＝ 8x B．y2＝－ 8xC．y2＝ 4x D．y2＝－ 4x2．方程 ( x2＋y2－ 4)x＋ y＋1＝0的曲线形状是 ()3．已知点P 在定圆 O的圆内或圆周上，动圆C过点 P 与定圆 O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是 ()A．圆或椭圆或双曲线B．两条射线或圆或抛物线C．两条射线或圆或椭圆D．椭圆或双曲线或抛物线4．设点A为圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1上的动点， PA是圆的切线，且| PA|＝1，则 P 点的轨迹方程为 ()A．y2＝ 2x B． ( x－ 1) 2＋y2＝ 4C．y2＝－ 2x D． ( x－ 1) 2＋y2＝ 25．长为 3 的线段的端点，B 分别在x轴、y轴上挪动，→＝ 2→，则点C的轨迹AB A AC CB是 ()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线0，y→→6．平面上有三点A( －2，y) ，B2， C( x， y)，若 AB ⊥B C，则动点 C 的轨迹方程为 ________．7．已知△ABC的周长为6，A( － 1,0)， B(1,0)，则极点 C的轨迹方程为________．8．已知定点A(2,0) ，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________．9．已知⊙O 的方程是x2＋y2－ 2＝0，⊙′的方程2＋y2－ 8 ＋10＝ 0，由动点P向⊙OO x x和⊙ O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．10．已知点A( － 1,0)， B(2,4)，△ ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．→→11．已知点A(－2,0)， B(2,0)，曲线C上的动点P知足 AP· BP＝－3，(1)求曲线 C的方程；(2) 若过定点M(0，－2)的直线 l 与曲线 C有交点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．B 级1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)， B(－1,3)，若点 C→→→知足 OC＝λOA＋λ OB( O12为原点 ) ，此中λ，λ ∈R，且λ ＋λ ＝1，则点C的轨迹是()1212A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线2．(2011 ·北京卷 ) 曲线C 是平面内与两个定点1(－1,0)和2(1,0)的距离的积等于常F F数a2(a＞1)的点的轨迹．给出以下三个结论：①曲线 C过坐标原点；②曲线 C对于坐标原点对称；③若点P 在曲线C上，则△12 的面积不大于12.F PF2a此中全部正确的结论的序号是________．3．(2012 ·山西省考前适应性训练) 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点 F1， F2在 y 轴上，它的一个极点为(2，0) ，且中心到直线AF的距离为焦距的1的直线，过点 (2,0)14l 与椭圆交于不一样的两点，，点N在线段上．P Q PQ(1)求椭圆的标准方程；(2)设| PM|·|NQ|＝ | PN| ·|MQ| ，求动点N的轨迹方程．详解答案课时作业 ( 五十五 )A级1．B |→| ＝ 4，|→| ＝x＋ 22＋2，→·→＝4(x－2) ，MN MP y MN NP∴ 4x＋22＋ y2＋4( x－2)＝0，∴ y2＝－8x.2． C由题意可得x2＋ y2－4＝0，或 x＋ y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆 x2x＋y＋1≥0，＋ y2－4＝0在直线 x＋ y＋1＝0右上方的部分．3．C当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆 O内切或外切， O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点 P 在定圆 O内时(非圆心)，| OC|＋| PC|＝ r 0为定值，轨迹为椭圆；当 P与 O重合时，圆心轨迹为圆．4． D如图 ，设 P ( x ，y ) ，圆心为 M (1,0) ．连结 MA ，则 MA ⊥PA ，且 | MA |＝ 1，又∵ | PA | ＝ 1， ∴| PM |＝ | MA |2＋| PA | 2＝ 2，即 | PM |2＝2，∴ ( x －1) 2＋ y 2＝ 2.5． C 设 C ( x ，y ) ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ，则 a 2＋ b 2＝ 9，①又 →＝ 2→ ，因此 (x － ， ) ＝2( － ， b － ) ，ACCB a yx y＝ 3 x ，a即3 ② b ＝ 2y ，2y 2把②代入①式整理可得 x ＋ 4 ＝ 1. 应选 C.→y →y6．分析：AB ＝ 2，－2 ， B C ＝ x ， 2 .→→→ → y y2∵ AB ⊥ B C ，∴ AB ·BC ＝0，得 2·x － 2·2＝ 0. 得 y ＝ 8x .答案：y 2＝ 8x7．分析： ∵A ( － 1,0) ， B (1,0) ，∴ | AB | ＝ 2，又∵△ ABC 的周长为 6，∴ | CA | ＋| CB | ＝ 4>2，∴ C 点的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆 ( 去掉左、右极点 ) ．22∵ 2a ＝4， c ＝ 1，∴ b ＝ a － c ＝ 3.x 2 y 2∴轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝ 1( x ≠± 2) ．答案：x 2＋ y 2＝ 1( x ≠± 2)438．分析：设 ( 1，1)， ( ， ) ，则y 12＝ 1，①P xy M x yxx 1＋ 2x ＝ 2x 1＝ 2x － 2又 M 为 AP 中点，∴，即 ，y1y 1＝ 2y ＝ 2代入①得答案：221(2 y ) ＝ 2x － 2，即 y ＝ 2( x －1) ．21y ＝ 2( x － 1)9．分析：由⊙ O ： x 2＋y 2＝ 2，⊙ O ′： ( x － 4) 2＋ y 2＝ 6 知两圆相离，而 2＝2－ 2，2＝ ′ 2－6，PTPO PQ PO22－6，设 P ( x ， y ) ，∴ PO － 2＝ PO ′222 23即得 x ＋ y － 2＝ ( x － 4) ＋ y －6，即 x ＝2.答案： 3x ＝2222010．分析： ∵AB ＝ 3 ＋4 ＝ 5，∴ AB 边上高 h ＝ 5 ＝4.故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线．∵ k AB ＝ 4，3的方程为 4 － 3 y ＋ 4＝0，可设轨迹方程为 4 x－ 3 ＋ ＝ 0.ABx y c由| c －4|＝ 4 得 c ＝ 24 或 c ＝－ 16，5故动点 C 的轨迹方程为： 4x － 3y － 16＝ 0 或 4x － 3y ＋ 24＝ 0.11．分析：(1) 设 P ( x ， y ) ，→ → 2 2由 AP ·BP ＝ ( x ＋2， y ) ·(x － 2， y ) ＝x － 4＋ y ＝－ 3，得 P 点轨迹 ( 即曲线 C ) 的方程为 x 2＋y 2 ＝1，即曲线 C 是圆．(2) 可设直线 l 方程为 y ＝ kx － 2，其一般方 程为： kx － y － 2＝0，由直线l 与曲线 C 有交点，得 |0 －0－ 2|k ≤－ 3或 k ≥ 3，≤1，解得k 2＋ 1即所求 k 的取值范围是 ( －∞，－3] ∪[ 3，＋∞ ) ．B 级1． A 设( ， y ) ，则 →＝ ( x ， y )，→＝(3,1) ， → ＝( － 1,3) ，C xOC OAOB→→→x ＝ 3λ 1－ λ2∵ OC ＝λ1OA ＋ λ2OB ，∴，又 λ1＋ λ 2＝ 1，y ＝λ1＋ 3λ2∴ x ＋2 y － 5＝ 0，表示一条直线．2．分析：设 ( ， y ) 为曲线C 上随意一点，A x122则由 | AF | ·|AF | ＝a ，得C ： x ＋ 1 2＋ y 2· x － 12＋y 2＝ a 2，把 (0,0) 代入方程可得 1＝ a 2，与 a ＞ 1 矛盾，故①不正确； 当 M ( x ， y ) 在曲线 C 上时，点 M 对于原点的对称点 M ′( － x ，－ y ) 也知足方程，故曲线C 对于原点对称，故②正确；1 S △ F 1PF 2＝ | PF 1|| PF 2|sin ∠ F 1PF 221＝2a2sin 答案：1∠F1PF2≤2a2，故③正确．②③y2x23．分析：(1) 设椭圆的标准方程是a2＋b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个极点是A( 2 ，0) ，故b2＝2.1π1b2依据题意得，∠ AFO＝6，sin∠ AFO＝a，即 a＝2b， a ＝8，因此椭圆的标准方程是y2＋ x2＝1.82(2) 设P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，N( x，y) ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝ (－2) ．k x直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：( k2＋ 4) x2－ 4k2x＋ 4k2－ 8＝ 0.由＝16k 4－ 4(k2＋ 4)(4k2－ 8)>0 ，得－ 2< <2.k依据根与系数的关系得x1＋x2＝4k22，4k2－ 84＋kx x4＋k又 | PM|·|NQ| ＝| PN| ·|MQ|，即 (2 －x1)( x2－x) ＝ ( x－x1)(2 －x2) ．解得 x＝1，代入直线 l 的方程得 y＝－ k， y∈(－2,2)．因此动点 N的轨迹方程为 x＝1，y∈(－2,2)．。
北师大版高考数学(理科)一轮复习测试：曲线与方程(含轨迹问题)
核心素养测评五十九曲线与方程(含轨迹问题)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.双曲线x2-=1的左焦点为F(-2，0)，动圆M经过点F且与直线x=2相切，则圆心M到点F 的距离和到直线x=2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2=-8x.2.在平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=λ1+λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】选A.设C(x，y)，则=(x，y)，=(3，1)，=(-1，3)，因为=λ1+λ2，所以又因为λ1+λ2=1，所以化简得x+2y-5=0表示一条直线.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x，y)，则P为(-2-x，4-y)，代入2x-y+3=0，得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.在△ABC中，B(-2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.如表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10 C1:y2=25②△ABC面积为10 C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中，∠A=90°C3:+=1(y≠0)A.C3，C1，C2B.C1，C2，C3C.C3，C2，C1D.C1，C3，C2【解析】选A.①△ABC的周长为10，即|AB|+|AC|+|BC|=10，又|BC|=4，所以|AB|+|AC|=6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应;②△ABC的面积为10，所以|BC|·|y|=10即|y|=5与C1对应;③因为∠A=90°，所以·=(-2-x，-y)·(2-x，-y)=x2+y2-4=0与C2对应.5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为世纪金榜导学号( )【解析】选C.由已知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分.二、填空题(每小题5分，共15分)6.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为________________________.【解析】设P(x，y)，x2+y2=1的圆心为O，因为∠APB=60°，OP平分∠APB，所以∠OPB=30°，因为|OB|=1，∠OBP为直角，所以|OP|=2，所以x2+y2=4.答案:x2+y2=47.在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2，0)，N(2，0)满足||||+·=0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________________________________.【解析】把已知等式||||+·=0用坐标表示，得4+4(x-2)=0，化简变形得y2=-8x.答案:y2=-8x8.若直线y=k(x+2)+4与曲线y=有两个交点，则实数k的取值范围是________________. 世纪金榜导学号【解析】直线y=k(x+2)+4，当x=-2时，y=4，可得此直线恒过A(-2，4)，曲线y=为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示:当直线y=k(x+2)+4与半圆相切(切点在第一象限)时，圆心到直线的距离d=r，所以=2，即4k2+16k+16=4+4k2，解得:k=-，当直线y=k(x+2)+4过点C时，将x=2，y=0代入直线方程得:4k+4=0，解得:k=-1，则直线与曲线有2个交点时k的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分，共20分)9.在平面直角坐标系中，已知A1(-，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若实数λ使得λ2·=·(O为坐标原点).求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型.【解析】=(x，1)，=(x，-2)，=(x+，y)，=(x-，y).因为λ2·=·，所以(x2-2)λ2=x2-2+y2，整理得(1-λ2)x2+y2=2(1-λ2).①当λ=±1时，方程为y=0，轨迹为一条直线;②当λ=0时，方程为x2+y2=2，轨迹为圆;③当λ∈(-1，0)∪(0，1)时，方程为+=1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆;④当λ∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，方程为-=1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.10.(2020·成都模拟)已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C. 世纪金榜导学号(1)求曲线C的方程.(2)设不经过点H(0，1)的直线y=2x+t与曲线C相交于两点M，N.若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值.【解析】(1)设P(x，y)，A(m，0)，B(0，n)，因为=3，所以(x，y-n)=3(m-x，-y)=(3m-3x，-3y)，即，所以，因为|AB|=4，所以m2+n2=16，所以x2+16y2=16，所以曲线C的方程为:+y2=1;(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去y得，37x2+36tx+9(t2-1)=0，由Δ=(36t)2-4×37×9(t2-1)>0，可得-<t<，又直线y=2x+t不经过点H(0，1)，且直线HM与HN的斜率存在，所以t≠±1，又x1+x2=-，x1x2=，所以k HM+k HN=+==4-=1，解得t=3，故t的值为3.(15分钟35分)1.(5分)方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是( )A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线【解析】选D.原方程可化为或-1=0，即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.【变式备选】|y|-1=表示的曲线是( )A.抛物线B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.原方程|y|-1=等价于得或所以原方程表示(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1)和(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1)两个半圆.2.(5分)已知点Q在椭圆C:+=1上，点P满足=+(其中O为坐标原点，F1为椭圆C 的左焦点)，则点P的轨迹为( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆【解析】选D.因为点P满足=(+)，所以P是线段QF1的中点，由于F1为椭圆C:+=1的左焦点，则F1(-，0)，设P(x，y)，则Q(2x+，2y).由点Q在椭圆C:+=1上，得点P的轨迹方程为+=1，可知点P的轨迹为椭圆.3.(5分)直线y=kx交曲线y=于P，Q两点，O为原点，若=，则k的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.由y=得x2+y2-4x+3=0，即(x-2)2+y2=1.所以曲线y=表示一个半径为1的半圆，设圆心为M(2，0)，如图所示，过M作PQ的垂线MN，垂足为N，则N为PQ的中点，设|NQ|=m，因为|OP|=|PQ|，所以|ON|=3m，则|MN|2=|MQ|2-|NQ|2=1-m2，又|MN|2=|OM|2-|ON|2=4-9m2，所以1-m2=4-9m2，解得m=，所以|ON|=3m=，|MN|==，所以k=tan∠MON==.4.(10分)如图，P是圆x2+y2=4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足=.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形.(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E的轨迹方程. 世纪金榜导学号【解析】(1)设M(x，y)，则D(x，0)，由=知P(x，2y)，因为点P在圆x2+y2=4上，所以x2+4y2=4，故动点M的轨迹C的方程为+y2=1，且轨迹C为椭圆.(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l∶y=k(x-3)，代入+y2=1得:(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=.所以y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)=k(x1+x2)-6k=-6k=.因为四边形OAEB为平行四边形，所以=+=(x1+x2，y1+y2)=又=(x，y)，所以消去k得x2+4y2-6x=0，由(*)中Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)>0得k2<，所以0<x<，所以顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.5.(10分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C:+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=. 世纪金榜导学号(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上，且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，=(x-x0，y)，=(0，y0).由=，得x0=x，y0=y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1，0).设Q(-3，t)，P(m，n)，则=(-3，t)，=(-1-m，-n)，·=3+3m-tn，=(m，n)，=(-3-m，t-n).由·=1，得-3m-m2+tn-n2=1，又由(1)知m2+n2=2，故3+3m-tn=0.所以·=0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分) ( )【解析】选B.原方程等价于或x-y-1=0，前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分，后者为直线x-y-1=0，这两部分合起来即为所求B.2.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是世纪金榜导学号( )A.6πB.2πC.2π+4D.6π+12【解析】选B.方程|y|-1=，可得|y|-1≥0，即有y≥1或y≤-1，即有(x-2)2+(|y|-1)2=3，作出方程|y|-1=所表示的曲线，如图可得曲线为两个半圆，半径均为，可得表示曲线的长度为2π.关闭Word文档返回原板块。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版
课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．x 29－y 216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．] 8．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________.【导学号：79140302】16x2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) [由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．]三、解答题9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹方程．[解] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )， 由已知知AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．如图882，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.图882(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . ∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．B 组 能力提升11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________.【导学号：79140303】y ＝2x －2 [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.]13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值；(2)求点E 的轨迹方程，并求它的离心率． [解] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.(2)由圆A 方程(x ＋1)2＋y 2＝16，知A (－1,0)． 又B (1,0)因此|AB |＝2，则|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义，知点E 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x 轴的交点)， 所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 所以点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．故曲线方程的离心率e ＝c a ＝12.。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 坐标系与参数方程 第2节
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第二节 参数方程[考纲传真] (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第201页)[基础知识填充]1．曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程．(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程[意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( ) (3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.] 4．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝________.185 [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，消去参数φ得x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.]5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．[解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.(对应学生用书第202页)(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.【导学号：79140389】[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.法、加减消去法、恒等式三角的或代数的消去法普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，图2[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11. 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、2根据直线的参数方程的标准式中过定点M ①弦长l⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(2018·石家庄质检(二))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a >0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32.(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的面积最大值．[解] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|a －3|2＝a ，解得a ＝－3(舍)，a ＝1. 所以a ＝1.(2)法一：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a >0)， 设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3＝34|2a cos θ|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3a 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12cos 2θ－32sin θcos θ ＝12·cos 2θ＋12－34sin 2θ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2θ－32sin 2θ＋14 ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14，所以当θ＝－π6时，12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14取得最大值34.△OAB 的面积最大值为33a24.法二：因为曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |sinπ3＝2a ，所以|AB |＝3a .由余弦定理得|AB |2＝3a 2＝|OA |2＋|OB |2－|OA |·|OB | ≥|OA |·|OB |，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3≤12×3a 2×32＝33a 24， 所以△OAB 的面积最大值为33a 24.1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的[跟踪训练1⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0<α<π，且α≠π2)，点A ，B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标.【导学号：79140390】[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 24＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝tan α·x －1.(2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 是参数)，设A (t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B (t 2cos α，－1＋t 2sin α)，将C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α，代入x 24＋y 2＝1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8t sin α＝0， ∴t 1＝0，t 2＝8sin α1＋3sin α， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8|sin α|1＋3sin 2α ＝83|sin α|＋1|sin α|≤823＝433(当且仅当sin α＝33取等号)， 当sin α＝33时，∴0<α<π，且α≠π2， ∴cos α＝±63， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB |的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业55曲线与方程+Word版含解析.docx
课时作业55曲线与方程［授课提示：对应学生用书第258页］一、选择题1.方程(x2+y2—4)yjx+y+1 =0的曲线形状是( )［x2+^2—4=0, 解析：由题意可得x+y+l= 0或,1兀十1刁0,它表示直线x+尹+1 = 0和圆x2-\~y2—4 = 0在直线x~\~y-\-1=0右上方的部分.答案：C2.设点/为圆(x-l)2+^2=l ±的动点，刃是圆的切线，且冋|=1,则P 点的轨迹方程为()A・y2 = 2x B. (x~l)2+y2=4C・y2=—2x D. (x—1 )2 +y2— 2解析：如图，设P(x, y),圆心为M(l,0)・连接MA,则胚4丄刊，且|胚4| =1.又・・・|冲|= _____・・・ | W =yf\MAf+\R4^=边，即|PA/|2=2, A(X-1)2+/=2.答案：D3.(2018-珠海模拟)己知点/(1,0),直线人y=2x~4,点7?是直线/上的一—►—►点，若RA=AP,则点P的轨迹方程为( )A. y= _2xB. y=2xC ・y=2x—8D ・y=2x+4―►—►解析：设P(x, y), R(X\, /),由RA=AP知，点A是线段RP的中点，"x+xi2 =1，[X!=2-X,・・・], 即Z±2L_n31 = —)人I 2 _山・・•点门)在直线y=2x~4上，••吵i=2x]—4, /. 一尹=2(2—x)一4,即y=2x.答案:B4.已知点弔，0),直线/：x=—点B是/上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析：由已知^\MF\ = \MB\,根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F 为焦点，直线Z为准线的抛物线.答案:D5・(2018-河北衡水六调，8)已知/(—1,0), B 是圆F：x2-2x+y2~\\=0(F 为圆心)上一动点，线段M的垂育平分线交貯于P,则动点P的轨迹方程为() 2 2 2 2A — 1 R U 1A.]?十][一1 匕6 35_,2 2 2 2C旨-牙=1 D. f+f = 1解析：由题意^\PA\=\PB\. :.\PA\+\PI^=\PB\+\PF]=r=2yl3>\AF]=29 :. 点P 的轨迹是以A. F为焦点的椭圆，且a=百,c=l, ・・・b=吊，・•・动点P的 2 7轨迹方程为〒+牙=1，故选D.答案：D―►6・已知/(一1,0), 5(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N,若Ml/—► —►=MN・NB,当久V0时，动点M的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线—►—► —►解析：设M(JC, y),则N(x,0),所以MN2=y2,1,0)・(1 —x,0)2=久(1 —工)，所以y2—A(1 —x2),即变形为X24~1.又因为久<0,所以动点M的轨迹为双曲线.答案：C二、填空题(ci｝苗,0)(Q>0),且7・在厶/BC屮，力为动点，B, C为定点，㊁，满足条件sinC—sin5=|sirk4,则动点A的轨迹方程是 ___________解析：由正弦定理得噗1—劈二养1!肆，即\AB\~\AC\=^BC\,故动点/是以B, C为焦点，号为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为爭一豊_=l(x>0且尹工0)・答案：今4—豊■=l （x>0且尹工0）8. （2018-河南开封模拟）如图，已知圆E ： （%+^3）2+/=16，点、F （书,0）, P 是圆E 上任意一点.线段PF 的垂宜平分线和半径PE 相交于0.则动点Q 的轨 迹厂的方程为 ___________________ .解析：连接0F,因为0在线段PF 的垂直平分线上，所^\QP\ = \QF\,得|0E| + \QF\ = \QE\ + \QP\ = \PE\=4.又|釦=2^3<4,得0的轨迹是以E, F 为焦点，长轴长为4的椭圆为亍+r 2答案：j+r=i9. （2018-中原名校联考，16）已知双曲线牙一長=1的左、右顶点分别为力2，点P （xi ，刃）,0（兀1，—yi ）是双曲线上不同于Ml 、力2的两个不同的动点，则 直线AiP 与A 2Q 交点的轨迹方程为 _____ ・解析：由题设知kd>V2, AK —迄,0）,缶（迈，0）,则有直线A X P 的方程为尸点尹+Q'①・・.兀工0,且\x\<^2,因为点P （%i ，yi ）在双曲线y —/=1 ±,所以号—卅=1・2将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为牙+#=1（详0,且详皿）・ 答案：牙+尸=1（兀工0,且 三、解答题10. 在平面直角坐标系兀0尹中，点B 与点/（—1,1）关于原点O 对称，P 是动 点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于一*・求动点P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点昇（一1,1）关于原点O 对称. 所以点B 的坐标为（1, 一1）・设点P 的坐标为（x,力，由题设知直线/卩与的斜率存在且均不为零，则尹一ly+1 _1 x+1 x— 1 3’联立①②，解得化简得/+3J?=4(X H±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y=4(x^±l)・11.如下图所示，从双曲线%2—y2=l ±一点0引直线x+y=2的垂线，垂足为N.求线段0N的中点P的轨迹方程.解析：设动点P的坐标为(兀，尹)，点0的坐标为(X[, 口), 则N(2x—x\2y—yi)代入x+y=2,得2x—xi+2y—y\ =2@又P0垂直于直线x+y=2,故=即x—y+y\ —X] =0.②3 1由①②解方程组得X!拐x+匆一1 ,代入双曲线方程即可得尸点的轨迹方程是2x2-2y2—2x~l-2y— 1 =0.[能力挑战]12.(2017-新课标全国卷III)在直角坐标系xOy屮，曲线y=x2+mx—2与x 轴交于力，B两点，点C的坐标为(0,1).当加变化时，解答下列问题：(1)能否出现/C丄BC的情况？说明理由；(2)证明过力，B, C三点的圆在尹轴上截得的弦长为定值. 解析：⑴不能出现/C丄BC的情况.理由如下：设^(%1 0), 5(X2 0)»则兀1，兀2 满足x2 + wx —2 = 0, 所以X|X2=—2・又点C的坐标为(0,1),—1 — 1 1 故AC的斜率与BC的斜率之积为丁•二一=—刁X\ X2Z所以不能出现MC丄3C的情况.由(1)可得xi+^2 —~m,所以的中垂线方程为x=-岁.，可得BC的中垂线方程为y-|=X2又X22+mxi—2 = 0, 可得］1/=_2-/=*x+|y_l所以过力，B, C三点的圆的圆心坐标为故圆在歹轴上截得的弦长为2 yp~^=3, 即过B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练52椭圆理北师大版
课时分层训练(五十二) 椭 圆A 组 根底达标一、选择题1．(2021·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆一个顶点与一个焦点，假设椭圆中心到l 距离为其短轴长14，那么该椭圆离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 距离，那么|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b2，所以e ＝c a ＝12.]2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2直线l 交C 于A 、B 两点．假设△AF 1B 周长为43，那么C 方程为( )【导学号：79140286】A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 A [由题意及椭圆定义知4a ＝43，那么a ＝3，又c a ＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 方程为x 23＋y22＝1，选A.] 3．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1与(x －4)2＋y 2＝1上点，那么|PM |＋|PN |最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12D ．10,12C [如下图，因为两个圆心恰好是椭圆焦点，由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，那么其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12.]4．假设点O 与点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1中心与左焦点，假设P 为椭圆上任意一点，那么OP →·FP →最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，那么OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP→·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP→·FP →有最大值6.]5．(2021·河北衡水六调)A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 轨迹方程为( ) A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1D [由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 轨迹是以A 、F 为焦点椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 轨迹方程为x 23＋y 22＝1，应选D.]二、填空题6．椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，那么椭圆标准方程为________．x 245＋y 236＝1 [由题意设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆方程为x25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5,4)代入可得c 2＝9，故椭圆方程为x 245＋y 236＝1.] 7．(2021·太行中学)如图852，∠OFB ＝π6，△ABF 面积为2－3，那么以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点椭圆方程为__________．图852x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，那么a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.]8．F 1、F 2是椭圆两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率取值范围是________.【导学号：79140287】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22 [满足MF →1·MF →2＝0点M 轨迹是以F 1F 2为直径圆，假设其总在椭圆内部，那么有c ＜b ，即c 2＜b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2＜a 2－c 2，即2c 2＜a 2，所以e 2＜12，又因为0＜e ＜1，所以0＜e ＜22.]三、解答题9．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 方程；(2)假设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，且线段AB 中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 值．[解](1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 中点为M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.10．设椭圆E 方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A坐标为(a,0)，点B 坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 斜率为510.(1)求E 离心率e ；(2)设点C 坐标为(0，－b )，N 为线段AC 中点，点N 关于直线AB 对称点纵坐标为72，求E 方程．[解] (1)由题设条件知，点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a＝255. (2)由题设条件与(1)计算结果可得，直线AB 方程为x5b ＋yb＝1，点N 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫52b ，－12b . 设点N 关于直线AB 对称点S坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 1，72，那么线段NS 中点T 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74. 又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 方程为x 245＋y 29＝1.B 组 能力提升11．(2021·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴两个端点．假设C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么m 取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴垂线，交x 轴于点N ， 那么N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，那么23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m.又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上情况，同理亦可得m ≥9. 那么m 取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 应选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么a b ≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．应选A.]12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)左顶点A 且斜率为k 直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上射影恰好为右焦点F 2，假设13<k <12，那么椭圆离心率取值范围是__________.【导学号：79140288】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，23 [如下图，|AF 2|＝a ＋c ， |BF 2|＝a 2－c 2a，∴k ＝tan∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c＝a －c a＝1－e .又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.] 13．(2021·云南统测)焦点在y 轴上椭圆E 中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 长轴与短轴为对角线四边形周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 方程；(2)假设AP→＝3PB →，求m 2取值范围．[解] (1)根据设椭圆E 方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，由得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24.∵以椭圆E 长轴与短轴为对角线四边形周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45，∴a ＝2，b ＝1. ∴椭圆E 方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0得，(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0.由得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)＞0，即k 2－m 2＋4＞0， 且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP →＝3PB →得x 1＝－3x 2.∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0.∴12k 2m 2(k 2＋4)2＋4(m 2－4)k 2＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0. 当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立，∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k2－m2＋4＞0，∴4－m2m2－1－m2＋4＞0，即(4－m2)m2m2－1＞0.∴1＜m2＜4.∴m2取值范围是(1,4)．第11 页。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练50 圆的方程 理 北师大版
课时分层训练(五十) 圆的方程A 组 基础达标一、选择题1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1。
]2．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线A [由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．] 3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任一点的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设点P 与圆上任一点连线的中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A 。
]4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8A [直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练10 函数的图像 理 北师大版
课时分层训练(十) 函数的图像A 组 基础达标一、选择题 1．函数y ＝x ln|x ||x |的图像可能是( ) 【导学号：79140057】B [易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A 、C ，当x ＞0时，y ＝ln x ，只有B 项符合，故选B.] 2．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x的图像上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 A [y ＝2x ――――――――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――――――――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.]3．图274中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图像是( )图274B [由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.]4．(2017·甘肃白银一中期中)函数f (x )的图像是两条直线的一部分(如图275所示)，其定义域为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f (x )－f (－x )＞－1的解集是( )图275A ．{x |－1≤x ≤1且x ≠0}B ．{x |－1≤x ＜0}C ．x －1≤x ＜0或12＜x ≤1D ．x －1≤x ＜－12或0＜x ≤1D [由图可知，f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )－f (－x )＞－1⇔2f (x )＞－1⇔f (x )＞－12⇔－1≤x ＜－12或0＜x ≤1.故选D.]5．(2018·太原模拟(二))函数f (x )＝ln|x |x的图像大致为( )【导学号：79140058】A [当0＜x ＜1时，x ＞0，ln|x |＜0，则f (x )＜0，排除B ，D ；当x ＞1时，x ＞0，ln|x |＞0，f (x )＞0，排除C ，故选A.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图像如图276所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．图276(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．若函数y ＝f (x ＋3)的图像经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图像必经过点________．(4,4) [函数y ＝f (x )的图像是由y ＝f (x ＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的(图略)，故y ＝f (x )的图像经过点(4,4)．]8．如图277，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图277f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0.]三、解答题 9．已知函数f (x )＝(1)在如图278所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；图278(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值.【导学号：79140059】[解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围是(－∞，0]．B 组 能力提升11．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图像大致为( )C [令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin(－2x )1－cos(－x )＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图像关于原点对称，∴排除选项B. 故选C.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0 C ．f (x 1)－f (x 2)＞0 D ．f (x 1)－f (x 2)＜0D [函数f (x )的图像如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 又0＜|x 1|＜|x 2|， 所以f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.]13．函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是________.【导学号：79140060】(－∞，1) [当x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当1＜x ≤2时，－1＜x －2≤0，f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图，要使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，则a 的取值范围是(－∞，1)．]14．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞)．。
2019年高考数学一轮复习： 课时分层训练11 函数与方程 理 北师大版
课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组 能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
2019年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第8节 曲线与方程学案 理 北师大版
第八节 曲线与方程[考纲传真] (教师用书独具)1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．(对应学生用书第146页)[基础知识填充]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这条曲线叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程． 2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . (1)当0＜e ＜1时，圆锥曲线是椭圆． (2)当e ＞1时，圆锥曲线是双曲线． (3)当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．4．两曲线的交点设曲线C 1的方程为f 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为g (x ，y )＝0，则(1)曲线C 1，C 2的任意一个交点坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.(2)反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( )[解析] 对于(2)，由方程得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y ＝x 是曲线x ＝y 2的一部分，错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆D ．抛物线D [由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .故选A ．]4．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2 ∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________．x 2a 2＋4y 2b 2＝1 [设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )，又点M 在椭圆上，∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即所求的轨迹方程为x 2a 2＋4y 2b2＝1.](对应学生用书第147页)直接法求轨迹方程设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程.【导学号：79140299】[解] 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .[规律方法] 用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，但要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)(1)D (2)D [(1)如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，∵△MPN 为以MN 为斜边的直角三角形， ∴|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16， 整理得x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故选D ．]定义法求轨迹方程如图881所示，已知点C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)．P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在的直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2 AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．图881[解] 由(x ＋2)2＋y 2＝4知圆心C (－2，0)，半径r ＝2. ∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →， ∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点， 因此QM 垂直平分线段AP . 如图，连接AQ ，则|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2. 又|AC |＝22>2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1， 因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.若将本例中的条件“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝4”改为“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝16”，其他条件不变，求点Q 的轨迹方程．[解] 由(x ＋2)2＋y 2＝16知圆心C (－2，0)，半径r ＝4.∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2 AM →， ∴QM 垂直平分AP ，连接AQ ， 则|AQ |＝|QP |，∴|QC |＋|QA |＝|QC |＋|QP |＝r ＝4.根据椭圆定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆． 由c ＝2，a ＝2，得b ＝ 2. 因此点Q 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.[规律方法] 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点 1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程. 2关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.[跟踪训练] (1)若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＝－5的距离小1，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝－4 B ．x ＝4 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x(2)已知A (－5,0)，B (5,0)，动点P 满足|PB →|，12|PA →|，8成等差数列，则点P 的轨迹方程为________．(1)D (2)x 216－y 29＝1(x ≥4) [(1)依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x＝－4的距离，因此点M 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，p ＝8，所以点M 的轨迹的方程为y 2＝16x ，故选D ． (2)由已知得|PA →|－|PB →|＝8，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支， 且a ＝4，b ＝3，c ＝5，所以点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≥4)．]相关点(代入)法求轨迹方程(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[规律方法] “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 1设点：设被动点坐标为x ，y ，主动点坐标为x 1，y 1.2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y ).3代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.[跟踪训练] (2017·武汉模拟)P 是椭圆a 2＋b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是__________.【导学号：79140300】x 24a 2＋y 24b2＝1 [作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ，则四边形F 1PF 2M 为平行四边形，所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 所以OP →＝－12OQ →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝－x 2，且y 0＝－y2，又点P (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.]。
高考数学一轮复习课时训练 曲线与方程 北师大版
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是( )． A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析 (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案 C2．(2012·厦门模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )．A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析 由已知：|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D. 答案 D3．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM →＝λMQ →得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λx 0－x，y －y 0＝－λy (λ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝λ＋1y .由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 B4．(2012·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )．A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.答案 D5．(2011·湘潭模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 解析 由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是________．解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2，∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x7．(2012·佛山月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析 由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，∴|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支．答案 16x2a 2－16y23a 2＝1(x >0且y ≠0)8．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______．解析 (参数法)设直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 三、解答题(共23分)9．(★)(11分)设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解 法一 直接法．如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .因OC 中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接PM . 故|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围知0＜x ≤1.法二 定义法． ∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0＜x ≤1)．法三 代入法． 设Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又∵(x 1－1)2＋y 21＝1，∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0＜x ≤1)． 法四 参数法．设动弦OQ 的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1. 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0， ∴x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k 1＋k2，消去k 即可得到(2x －1)2＋(2y )2＝1(0＜x ≤1)． 【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目中的条件，恰当地选取方法.10．(12分)(2012·苏州模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，－1，∴RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k，y 1＋1·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k，y 2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k ＋4k2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8.∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案 C 2．|y |－1＝1－x －12表示的曲线是( )．A ．抛物线B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆解析 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥01－x －12≥0|y |－12＝1－x －12⇔⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥0x －12＋|y |－12＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1x －12＋y －12＝1或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－1x －12＋y ＋12＝1答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·榆林模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________． 解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案 x 24a 2＋y 24b2＝14．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．解析 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎨⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 即3x －2y ＋3213－2x －3y ＋2213＝25.化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1)2－y 2＝65 三、解答题(共22分)5．(10分)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值．解 (1)由题设知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)， 则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)．②联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，即x 1＝2x ，y 1＝2y x，③则x ≠0，|x |＜ 2.而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.(2)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)， 联立x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝h 2－12，k 2＝ －h 2－12.由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－12＝－1，故h ＝ 3.过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此A 1H ⊥A 2H ， 由h2×⎝⎛⎭⎪⎫－h 2＝－1，得h ＝ 2.此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，223与⎝ ⎛⎭⎪⎫23，223. 所以，符合条件的h 的值为3或 2.6．(12分)设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程；(2)|NP →|的最大值，最小值．解 (1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k2.设P (x ，y )是AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 1＋x 2＝k4＋k2，y ＝12y 1＋y 2＝12kx 1＋1＋kx 2＋1＝4＋2k24＋k2；消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14∴－14≤x ≤14而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24 ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值216，当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。
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课时分层训练(五十五) 坐标系1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．[解] 点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1， 得32y －12x ＝1， 即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|12＋－32＝1. 10分2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 2分圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.10分3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，2分OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.4分 (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，8分 故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分 4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.【导学号：00090370】[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 4分(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 8分所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升56 曲
课时作业提升(五十六) 曲线与方程A 组 夯实基础1．(2018·东营模拟)已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A ．π3B ．5π3C ．π3或5π3D ．π3或π6解析：选C 由已知，得(cos α－2)2＋sin 2 α＝3，故cos α＝12.又0≤α＜2π，∴α＝π3或5π3.2．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析：选A 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y )． 由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0， 即x 2＋y 2＝1.故选A ．3．“点M 在曲线y 2＝4x 上“是点M 的坐标满足方程y ＝－2x 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 点M 在曲线y 2＝4x 上， 其坐标不一定满足方程y ＝－2x ， 但当点M 的坐标满足方程y ＝－2x 时， 则点M 一定在曲线y 2＝4x 上，如点M (4,4)时．4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |得 (x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， S ＝πr 2＝4π.5．(2018·石家庄模拟)方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是( )解析：选D 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，需x 2＋y 2－4有意义，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分及圆x 2＋y 2＝4.6．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________.解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1. 又M 为AB 的中点，所以⎩⎨⎧x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. 将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2.答案：y ＝4x 27．已知点A (a,2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的一点，则m ＝________，a ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＝ma 2a －2＝0，∴a ＝2，m ＝12.答案：1228．设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是____________________.解析：设M (x ，y )是轨迹上的任意一点，点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，知x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入曲线方程，得x 2－4y 2＝1，故点M 的轨迹方程为x 2－4y 2＝1.答案：x 2－4y 2＝19．一个动点到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为(x ，y )，则动点到直线x ＝8的距离为|x －8|，到点A 的距离为(x －2)2＋y 2， 由已知，得|x －8|＝2(x －2)2＋y 2，化简得3x 2＋4y 2＝48.∴动点的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.B 组 能力提升1．设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A ．坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标都不满足方程f (x ，y )＝0C ．坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在C 上，有些不在曲线C 上D ．一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0解析：选D 考查命题形式的等价转换．所给语句不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A 、C 错误，B 显然错误．2．(2018·福州模拟)已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上一定点，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，那么B 点轨迹是( )A ．两条直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选C P 是直线l 上的定点，平面α与直线l 平行，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，因为空间中过P 与l 成30°角的直线构成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面，点B 的轨迹可理解为α与圆锥侧面的交线，所以点B 的轨迹为双曲线，故选C ．3．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：选B 设P (x ，y )，∵k P A ＋k PB ＝－1，∴y －0x －(－1)＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．4．(2018·东营模拟)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作为等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是____________.解析：设点Q ，P 的坐标分别为(x ，y )，(1，y 0)， 由OQ ⊥OP 得k OQ ·k OP ＝－1， 即y x ·y 01＝－1，y 0＝－xy.① 又由|OQ |＝|OP |得x 2＋y 2＝y 20＋1， 即x 2＋y 2＝y 20＋1.②将①代入②中，整理得(y 2－1)(x 2＋y 2)＝0，∵x 2＋y 2≠0，∴y 2－1＝0，∴y ＝±1. ∴所求轨迹是两条直线y ＝±1. 答案：两条直线y ＝±15．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为O 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为O 2，一动圆与这两个定圆都外切．动圆圆心的轨迹方程为_____________.解析：设动圆的圆心为P (x ，y )、半径为r ， 则|O 1P |＝r ＋5，|O 2P |＝r ＋1. 相减得|O 1P |－|O 2P |＝4.由定义知，动圆圆心的轨迹是以O 1(－4,0)、O 2(4,0)为两焦点的双曲线的右支， 故所求的轨迹方程是x 24－y 212＝1(x ≥2)．答案：x 24－y 212＝1(x ≥2)6．如图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．解：设P (x ，y )，则Q (－1，y )． ∴QP →＝(x ＋1,0)，QF →＝(2，－y )． FP →＝(x －1，y )，FQ →＝ (－2，y )． 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得2(x ＋1)＋0·(－y )＝－2(x －1)＋y 2，整理得y 2＝4x . 即动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .7．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．解：设点Q 的坐标为(x ，y )， 点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)， 则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2.又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4.即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以，动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．。
近年年高考数学一轮复习课时分层训练54双曲线理北师大版(2021学年)
２０１９年高考数学一轮复习课时分层训练54 双曲线理北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮复习课时分层训练５4 双曲线理北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层训练(五十四) 双曲线A组基础达标一、选择题1.(20１7·石家庄一模）已知双曲线的离心率为2,焦点是（-４,0)，（4,0),则双曲线的方程为( )A。
错误!-错误!=1 Ｂ。
错误!-错误!=1C。
错误!-错误!＝1 ﻩＤ。
错误!－错误!=1Ａ [已知双曲线的离心率为2，焦点是(－４，０)，（4，０)，则c＝4，ａ=２,b2=1２，双曲线方程为错误!-错误!=１,故选A.]2．（2018·合肥调研）双曲线＼f(x２，a2)－错误!=1(a>0,b>０)的一条渐近线与直线x+ 2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为( )A。
错误!Ｂ。
错误!C。
错误!Ｄ.错误!+1B［由已知得错误!＝2，所以e=错误!=错误!＝错误!＝错误!,故选B.]3.已知点Ｆ1(－3，0)和F2(3,0),动点P到Ｆ１,F2的距离之差为4,则点Ｐ的轨迹方程为( ）A．＼f(x2，4)-＼ｆ（y2,5)＝１（y>０）ﻩB．＼f(ｘ2,４)-错误!＝１（ｘ>0)C.y24－错误!=1(y>0)ﻩD。
错误!-错误!=1(x>0）B[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为＼f(x2,a2)－错误!=1(x〉0,a>0,b＞0),由题设知ｃ=3，a＝２,b２=9-4＝5。
版高考数学一轮复习 核心素养测评五十五 10.8.1 求曲线的方程 文(含解析)北师大版-北师大版高
核心素养测评五十五求曲线的方程1.设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状.(2)当m=时,轨迹E与直线y=x-1交于A、B两点,求弦AB的长. 世纪金榜导学号【解析】(1)因为a=(mx,y+1),b=(x,y-1),且a⊥b,所以a·b=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.当m=0时,方程表示两直线,方程为y=±1;当m=1时,方程表示的是圆x2+y2=1;当m>0且m≠1时,方程表示的是椭圆;当m<0时,方程表示的是双曲线.(2)当m=时,椭圆方程为+y2=1.联立得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,所以y1=-1,y2=.不妨令A(0,-1),B,则|AB|==.2.在平面直角坐标系xOy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足:|+|=4-·(+).世纪金榜导学号(1)求曲线C的方程.(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线l与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,试探究k PM·k PN的值是否与点P及直线l有关,并证明你的结论. 【解析】(1)由已知,A(-1,1),B(1,1),M(x,y),所以+=(-1-x,1-y)+(1-x,1-y)=(-2x,2-2y),|+|==, 又因为|+|=4-·(+),4-·(+)=4-(x,y)·(0,2)=4-y,所以=4-y,化简整理得+=1,即为所求曲线C的方程.(2)因为过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,可设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0).因为P,M,N在椭圆上,所以+=1,①+=1,②,①-②得=-,又因为k PM=,k PN=,所以k PM·k PN=·==-,所以,k PM·k PN的值恒等于-,与点P的位置和直线l的位置无关.。
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课时分层训练(五十五) 曲线与方程
A 组 基础达标
一、选择题
1．方程x ＝1－4y2所表示的曲线是( )
A ．双曲线的一部分
B ．椭圆的一部分
C ．圆的一部分
D ．直线的一部分 B [x ＝1－4y2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．]
2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上
的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]
3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( )
A ．y 2＝2x
B ．y 2
＝4x C ．x 2＝2y D ．x 2＝4y B [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫MN 22
＋|x |2＝|AQ |2， 所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ，
所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]
4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )
【导学号：79140301】
A.
4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221
＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点，
则|AM |＝|MQ |，
所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52
，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214
， 所以椭圆的方程为4x225＋4y221
＝1.] 5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，
O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →
＝1，则点P 的轨迹方程是( )
A ．32
x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32
x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32
y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32
y 2＝1(x ＞0，y ＞0) A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.
由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32
x ＞0，b ＝3y ＞0. 即AB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x ，3y ， 点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1， 得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32
x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题
6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________． y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－y 2， BC →＝(x ，y )－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，y 2. ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2
＝8x .]
7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．
x29－y216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，。