2019年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版

课时分层训练(五十五) 曲线与方程

A 组 基础达标

一、选择题

1．方程x ＝1－4y2所表示的曲线是( )

A ．双曲线的一部分

B ．椭圆的一部分

C ．圆的一部分

D ．直线的一部分 B [x ＝1－4y2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．]

2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上

的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )

A ．2x ＋y ＋1＝0

B ．2x －y －5＝0

C ．2x －y －1＝0

D ．2x －y ＋5＝0

D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]

3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( )

A ．y 2＝2x

B ．y 2

＝4x C ．x 2＝2y D ．x 2＝4y B [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，

所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫MN 22

＋|x |2＝|AQ |2， 所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ，

所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]

4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )

【导学号：79140301】

A.

4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221

＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点，

则|AM |＝|MQ |，

所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52

，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214

， 所以椭圆的方程为4x225＋4y221

＝1.] 5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，

O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →

＝1，则点P 的轨迹方程是( )

A ．32

x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32

x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32

y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32

y 2＝1(x ＞0，y ＞0) A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.

由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32

x ＞0，b ＝3y ＞0. 即AB →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32x ，3y ， 点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1， 得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32

x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题

6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________． y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，－y 2， BC →＝(x ，y )－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ，y 2. ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，

∴⎝

⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2

＝8x .]

7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．

x29－y216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，