2021高考数学(理)统考版二轮复习课件：板块3 回扣7 解析几何

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2021届高考数学统考第二轮专题复习第12讲立体几何课件理202104102110

图M4-12-1
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真知真题扫描图M4-12-2
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(2)求二面角B-PC-E的余弦值.
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(2)求二面角B-PC-E的余弦值.
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3.[2019·全国卷Ⅲ] 如图M4-12-3,图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC
组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使
考点考法探究
自测题如图M4-12-5,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点O,EF∥AB,AB=2EF,平面 BCF⊥平面ABCD,BF=CF,点G为BC的中点. (1)求证:OG∥平面EFCD;
图M4-12-5
证明:∵四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,∴点O是BD的中点,∵点G为BC的中点,∴OG∥CD.又OG⊄平面EFCD,CD⊂平面EFCD,∴OG∥平面EFCD.
图M4-12-7
考点考法探究
考点考法探究
【规律提炼】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是: (1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量; (3)求出相应平面的法向量; (4)将空间位置关系转化为向量关系; (5)根据定理、结论求出相应的角和距离.
考点考法探究
自测题 1.如图M4-12-8,在直三棱柱
ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=
CC1=1,D是棱BB1上一点,P是C1D的延长线与CB的延长线的交点,且AP∥平面A1CD. (1)求证: BD=B1D;
图M4-12-8
证明:连接AC1,设AC1∩A1C=O,连接
OD,∵AP∥平面A1CD,AP⊂平面

2021高考数学(文)统考版二轮复习学案：板块3回扣7解析几何

解析几何[回归教材]1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【易错提醒】当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离 |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2)．【易错提醒】应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系及判断方法(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．6．与圆的切线有关的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B 两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝(x0－a)2＋(y0－b)2－r2.7．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质图形范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b )(±a,0)(0,0) 对称性关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点 (±c,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b几何性质离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2 (0＜e ＜1)e ＝c a ＝1＋b 2a 2(e＞1)e ＝1 准线 x ＝－p 2 渐近线y ＝±b a x判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|.9．椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0(焦半径公式)，|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(e 为椭圆的离心率)(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取得最大值，为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 10．双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，即y ＝±ba x .(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x (a ＞0，b ＞0)，即x a ±yb ＝0，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若所求双曲线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共渐近线，其方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0，焦点在x 轴上；λ＜0，焦点在y 轴上)．11．双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1| m ax ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，A ，B 为实轴两端点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则k P A ·k PB ＝b 2a 2，S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标恒为a .12．抛物线焦点弦的相关结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为直线AB 的倾斜角，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p2＝p 1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α.(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (4)1|F A |＋1|FB |＝2p .(5)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (6)S △OAB ＝p 22sin α(O 为抛物线的顶点)．[保温训练]1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0()t ∈R 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能C [由2tx －y －2－2t ＝0()t ∈R 得：()2x －2t －()y ＋2＝0， ∴直线2tx －y －2－2t ＝0()t ∈R 恒过点()1，－2. ∵1＋4－2－8＝－5<0，∴()1，－2在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，∴直线2tx －y －2－2t ＝0()t ∈R 与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交．故选C ．] 2．过点P (3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则||AB ＝( ) A ．5－ 3 B ．5－2 C ．2215D ．4215D [设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则直线P A 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，直线PB 的方程为x 2x ＋y 2y ＝4，点()3，4均在两直线上，故3x 1＋4y 1＝4,3x 2＋4y 2＝4，直线AB 的方程为3x ＋4y ＝4. 点()0，0到直线AB 的距离d ＝45，则||AB ＝24－1625＝4215.故选D ．]3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33A [设M (x 0，y 0)，易知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3.故选A ．]4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b >0)的左、右焦点．若双曲线上存在一点P ，使得||PF 1＝4||PF 2，且∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率是( )A ．135B ．133C ．215D ．213B [F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a ＞0，b >0的左、右焦点，且双曲线上的点P 满足||PF 1＝4||PF 2，所以⎩⎨⎧||PF 1－||PF 2＝2a ，||PF 1＝4||PF 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1＝8a 3，||PF 2＝2a3.因为∠F 1PF 2＝60°，||F 1F 2＝2c ，所以在△F 1PF 2中，由余弦定理可得||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22－2||PF 1·||PF 2cos ∠F 1PF 2，代入可得4c 2＝649a 2＋49a 2－2×8a 3×2a 3×12.化简可得9c 2＝13a 2，即e 2＝c 2a 2＝139 .所以e ＝133，故选B ．]5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2xA [如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，∵F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，∴||OA ＝a ，||F 2B ＝||BM ＝2a ，||F 2M ＝22a ，||F 1B ＝2b . 又点M 在双曲线上，∴||F 1M －||F 2M ＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理，得b ＝2a ，∴ba ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A ．]6．已知点P 在椭圆τ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD →＝34PQ →，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e ＝( )A ．12B ．22C ．32D ．33C [设P (x 1，y 1)，则A (－x 1，－y 1)，Q (x 1，－y 1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－y 12，设B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2⇒k PB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，k AD ＝k AB ⇒y 14x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2，又k P A ＝y 1x 1＝4(y 1＋y 2)x 1＋x 2，则由P A ⊥PB ⇒k P A ·k PB ＝－1，可得－4·b 2a 2＝－1 ⇒a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)⇒3a 2＝4c 2⇒e ＝32.]7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点()0，1的距离为2，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 [∵圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0， ∴()x －a 2＋()y －a 2＝1，其圆心C ()a ，a ，半径r ＝1. ∵点P 到点()0，1的距离为2， ∴P 点的轨迹为：x 2＋(y －1)2＝4. ∵P 又在(x －a )2＋(y －a )2＝1上， ∴圆C 与圆x 2＋()y －12＝4有交点，即2－1≤a 2＋(a －1)2≤2＋1. ∴1－172≤a ≤0或1≤a ≤1＋172. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172.] 8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝3x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．3－1 [如图所示，设左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由椭圆的对称性及AF ⊥BF ，可知四边形AF 1BF 为矩形，∴|OA |＝|OF |＝c .由直线y ＝3x 得∠AOF ＝60°， ∴|AF |＝c ，且∠AF 1F ＝30°，||AF 1＝3c .由椭圆的定义可得，|AF |＋||AF 1＝c ＋3c ＝2a ， ∴e＝c a ＝23＋1＝3－1.] 9．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.433 [由题意知，经过第一象限的双曲线的渐近线方程为y ＝33x .抛物线的焦点为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点为F 2(2,0)．又y ′＝1p x ，故抛物线C 1在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p 处的切线的斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，又点F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，F 2(2,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6三点共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p －0，即p ＝433.]10．已知函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋3x ＋b 的图象与x 轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是________．(－3，－2) [函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋3x ＋b 的图象与x 轴有三个不同交点，即方程x 3＋(a －1)x 2＋3x ＋b ＝0有三个不等实根．由题意得1是方程的根，故1＋(a －1)＋3＋b ＝0⇒b ＝－a －3⇒x 3＋(a －1)x 2＋3x ＋b ＝x 3＋(a －1)x 2＋3x －a －3＝(x －1)[x 2＋a (x ＋1)＋3]＝0.因为交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，故方程g (x )＝x 2＋a (x ＋1)＋3＝0有两个根，且一个根在(0,1)上，另一根在(1，＋∞)上，由图得， g (0)＞0且g (1)＜0⇒a ＞－3且a ＜－2，故满足要求的实数a 的取值范围是(－3，－2)．]莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

专题08 解析几何-2021年高考数学(理)二轮专项复习

专题0本资料分享自千人教师QQ 群323031380 期待你的加入与分享8 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )，则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0．当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ，由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1，所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意；当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直；当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝，若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点由题意，得，解得解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为由题意，得【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为则△ABO 的面积所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______．三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程．43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______．解：(1)将直线化为由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)．略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品．例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得此时f (－2)取到最小值所以5≤f (－2)≤10．【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交；＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即，因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ．在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系．解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2，故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3，验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)，设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或，所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，，此时AC ⊥l 1，因为所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)，所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，且点A 到圆C 的圆心的距离等于所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ，所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)．则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25．将点D 的坐标代入W 的方程，适合．所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立．即当时，△OPQ 的面积有最小值25．练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。

专题五解析几何直线与圆教学课件2021届新高考数学二轮复习

故|MA|·|MB|≤225(当且仅当|MA|＝|MB|＝5 2 2时取“＝”).
答案
(1)A
25 (2) 2
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【例 2】 (1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中
提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且
不等于 1 的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭
建三座 5G 信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现 5G 商用，已知甲、
解析 (1)由题意知m(1＋m)－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重合，舍去；当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝1.
(2)由题意可知，直线 l1：kx－y＋4＝0 经过定点 A(0，4)，直线 l2：x＋ky－3＝0 经过定点 B(3，0)，注意到直线 l1：kx－y＋4＝0 和直线 l2：x＋ky－3＝0 始终垂直，点 M 又是两条直线的交点，则有 MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
热点三直线(圆)与圆的位置关系
角度 1 圆的切线问题
【例 3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线 l 与曲线 y＝ x和圆 x2＋y2＝15都相切，则 l 的方程
为( ) A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1
D.y＝12x＋12
(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)

2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：六立体几何

解析：由三视图可知，此几何体是长方体被一个截面截去一个角后所得的，如图所示．
易知长方体的长、宽、高分别为4,2,3，则长方体的体积为
24，截掉的三棱锥的体积为
1 3
×4×3＝4，所以此几何体的体积为
24－4＝20.故选B.
答案：B
纠错技巧本题中，由三视图还原空间几何体时容易出错．首先，要熟悉简单几何体的三种视图，要特别注意视图中虚线与实线的区别，抓住这一点是识图、画图的关键；其次，要善于由三视图想象出简单几何体的形状．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的
外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半
径为 126a(正四面体高
36a的14)，外接球的半径为
46a(正四面体高
6 3
a的34)．
[易错剖析] 易错点1 随意推广平面几何中的结论【突破点】平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．
2.空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行：
a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b，
α∥β α∩γ＝a⇒a∥b， β∩γ＝b
aa∥ ∥bc⇒c∥b.
a⊥α b⊥α
⇒a∥b，
(2)线面平行： a∥α.
(3)面面平行： αγ∥∥ββ⇒α∥γ.
a∥b b⊂α ⇒a∥α， a⊄α
α∥β a⊂β
⇒a∥α，
4．用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l 的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．提醒在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线

2021高考数学(理)统考版二轮复习课件：板块3

5．平面向量的数量积设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则 (1)a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22. (3)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.
1 2 3 4 5 6 78
2．(2020·湖州中学月考)已知集合A＝{－1,0,1,2}为全集，B＝
{x|x2－x－2<0，x∈Z}，则∁AB＝( )
A．{－1,0,1}
B．{－1,0}
C．{－1,2}
D．{0,1,2}
C [由B＝x|x2－x－2<0，x∈Z ＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}．又全集为A＝{－1,0,1,2}，所以∁ AB＝{－1,2}，故选C．]
4．平面向量的线性运算：加法、减法及数乘运算 (1)两个运算法则：三角形法则和平行四边形法则． (2)共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． (3)三点共线的2个结论 ①若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则O→P＝21(O→A＋O→B)． ②O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝ 1.
【易错提醒】在利用基本不等式求最值时，要满足 “一正”“二定”“三相等”的条件．如求函数f(x)＝ x2＋2＋ x21＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋3x(x<0)时应先转化为正数再求解．
10．线性规划 (1)可行域的确定：直线定界，特殊点定域，特别地，平面区域内的点满足“同侧同号、异侧异号”的规律． (2)线性目标函数取得最优解一定在可行域的顶点或边界上取到．

2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.5.3 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题

3k2＋2
所以直线 AB 的方程为 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.易知直线 AB
过定点(1，－2)．
当直线 AB 的斜率不存在时，设其方程为 x＝m，A(m，y3)，B(m， y4)，
则y3－ m 2＋y4－ m 2＝y3＋my4－4＝－4，易知 y3，y4 互为相反数，所以 y3＋y4＝0，所以 m＝1，可知直线 x＝1 也过定点(1，－2)．
6ktx＋3t2－12＝0，则 Δ＝(6kt)2－4(3k2＋2)(3t2－12)>0，即 6k2－t2＋4>0， x1＋x2＝－3k62k＋t 2，x1x2＝33tk22－＋122.
由 l1 与 l2 的斜率之和为－4，可得y1x－1 2＋y2x－2 2＝－4，
又 y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，所以y1x－1 2＋y2x－2 2＝kx1＋x1t－2＋kx2＋x2t－2＝2k＋t－2x1xx12＋x2 ＝2k＋t－32t2－·3－k1226＋kt2＝－4，化简得 t＝－k－2(t＝2 舍去)．
以 xD＝52，
因为 MG 中点的横坐标为52，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以|MD|＝|DG|.
考点二定点问题
解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：
(2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD| ＝|DG|.
解析：(1)因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 c＝ 3，所以 a2－b2＝3，①
当 l2 垂直于 x 轴时．|MG|＝3，因为△ABG 的面积为32 3，

最新-2021届高考数学理新课标二轮专题复习课件：33立体几何精品

所以∠PDA＝45°. 设 BC＝1，则在 Rt△PAD 中，PA＝PD＝2. 过点 A 作 AH⊥CE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH. 易知 PA⊥平面 ABCD，从而 PA⊥CE. 于是 CE⊥平面 PAH. 所以平面 PCE⊥平面 PAH. 过 A 作 AQ⊥PH 于 Q，则 AQ⊥平面 PCE. 所以∠APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角．
[线面平行＋线面角] (2016·新课标全国Ⅲ，理)如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．
(1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．【审题】 (1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．
[面面垂直＋线面角] (2016·河南八市质检)如图，在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°， D 为 AC 的中点，AB⊥B1D. (1)求证：平面 ABB1A1⊥平面 ABC； (2)求直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值．
【审题】 (1)利用面面垂直的判定定理证明，创造线、面垂直．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
＝(0，2，－4)，P→N＝( 25，1，－2)，A→N＝( 25，1，2)．
设 n＝(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则nn··P→MP→N＝＝0，0，即
2y－4z＝0，
25x＋y－2z＝0，(10
分)
可取 n＝(0，2，1)．
于是|cos〈n，A→N〉|＝||nn|·|AA→→NN||＝8255，则直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8255.(12 分)

最新-2021年高考数学理二轮专题复习课件：第二部分专题七解析几何1 精品

3
∴ 2 <
3
2 - 2
3 1
3
, e2
1
2
<

,e= >1,
3

,解得 e∈(1, 3).故选 A.
2
-1 =
4
2
,
-17一、选择题
二、填空题
12.(2017 河北石家庄二中模拟,理 7)已知 F 为双曲线 C:
2
2
2
2
−
=1(a>0,b>0)的左焦点,直线 l 经过点 F,若点 A(a,0),B(0,b)关于直线
解析: 由题意,设直线x=my+1,与圆x2+y2=5联立,可得
(m2+1)y2+2my-4=0,
设A(x1,y1)(x1>0,y1>0),B(x2,y2),
2
4
∴y1+y2=- 2 +1,y1y2=- 2 +1.
又 =2,∴-y2=2y1,联立解得 m=1,∴直线 l 的方程为 x-y-1=0.
8
8
-8一、选择题
二、填空题
3.已知三点A(1,0),B(0, 3 ),C(2, 3 ),则△ABC外接圆的圆心到原点
的距离为( B )
A.
5
B.
3
21
C.
3
2 5
3
4
D.
3
解析: 设△ABC的外接圆圆心为P.由题意知,△ABC外接圆的圆心是
直线x=1与线段AB垂直平分线的交点,而线段AB垂直平分线的方
-18一、选择题
二、填空题
13.(2017江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线

高考数学(理科)二轮复习课件：2.7解析几何3.1

高频考点
-7-
2.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” (1)定型,就是指定类型以及圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. (2)计算,一般利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设为 mx2-ny2=1(mn>0),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0). (3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当A>B>0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当B>A>0时, 表示焦点在x轴上的椭圆;当AB<0时,表示双曲线.
= 1, 2 2 -��2 �� 2 �� 2 1 2 两式相减得 1 + 2 =0, 2 �� = 1,
(��1 +��2 )(��1 -��2 ) (��1 +��2 )(��1 -��2 ) ∴ + =0, 2 ��2 �� 1 -��2
圆、直线,椭圆定方程思圆与义及方程,四边想,函数椭圆形面积思想椭圆、直线,三角方程思形面积,分式不椭圆想,函数等式思想抛物线、直线、方程思抛物斜率,三角形面想,年份卷别全国Ⅰ
设问特点求椭圆方程,证明直线过定点
涉及知识点椭圆、直线、斜率椭圆、直线、向量相等及向量数量积直线、抛物线、斜率,圆
曲线解题思模型想方法方程思椭想,函数圆思想椭方程思圆想抛函数思物想,方程线思想方程思想

2021高考数学(理)统考版二轮复习课件：板块1 应试技巧必备

技法应用
验证元素－3∉A，排除选项B；验证元素－2∈A且－2∈B，排除选项A；验证元素0∉B，排除选项C，故选 D
(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－
∞，＋∞)单调递减，且为奇函
当x＝4时，f(x－2)＝f(2)＜f(1)＝
数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x
－1，不符合题意，当x＝3时，f(x
是( )
A．165 cm B．175 cm C．185 cm
D．190 cm
技法应用
头顶至脖子下端的长度为 26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于 42 cm，肚脐至足底的长度小于 110 cm，则该人的身高小于 178 cm.又由肚脐至足底的长度大于 105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于 65 cm，则该人的身高大于 170 cm.选 B
(1)使用前提：满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊情况也一定成立．
(2)使用技巧：找到满足条件的合适的特殊例子，有时甚至需要两个或两个以上的特殊例子才可以确定结论．
(3)常见问题：求范围，比较大小，含字母求值或区间，恒成立问题，任意性问题等．
真题示例
技法应用
(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
真题示例
(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x＋2x23 －x在[－6,6]的图象大致为(
)
A
B
C
D
技法应用由函数解析式易知函数为奇函数，故可排除C，再取特殊值x＝4，可排除D，取特殊值x＝6，可排除A．选B
妙招3 验证法验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项中进行检验，从而可否定错误选项，得到正确选项的方法. 1使用前提：选项中存在唯一正确的答案.

统考版21高考数学二轮复习板块3高考必备基础知识回扣回扣6立体几何课件文2

1 2 3 4 5 6 78
6.如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G， H 分别为 DE，AF 的中点，将△ABC 沿 DE，EF，DF 折成四面体 P-DEF，则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为________．
1 2 3 4 5 6 78
2 3
232－
3×
3 2
72
2
＝32，即异
面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是32.]
1 2 3 4 5 6 78
7．已知三棱锥 S-ABC 的四个顶点在以 O 为球心的同一球面上，且∠ACB＝90°，SA＝SB＝SC＝AB，当球的表面积为 400π 时，O 到平面 ABC 的距离是________．
则 AE⊥PB．
1 2 3 4 5 6 78
因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥BC．又 BC⊥AB，所以 BC⊥平面 PAB，则 BC⊥AE，从而 AE⊥平面 PBC．因为 AE⊂平面 ACE，所
以平面 ACE⊥平面 PBC，所以②正确．取 AB 的中点 M，连接 EM，则 EM∥PA，所以∠CEM 为异面直线 PA 与 CE 所成的角，
[折成的四面体是正四面体，如图连接 HE，取 HE 的中点 K，
连接 GK，PK，则 GK∥DH.故∠PGK 即为所求的异面直线所成的
角．设这个正四面体的棱长为 2，在△PGK 中，PG＝ 3，GK＝ 23，
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PK＝
12＋ Biblioteka 232＝27，故cos∠PGK＝
32＋ 2×
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2.如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面的边长为 3，BD1 与底面所成角的大小为 θ，且 tan θ＝32，则该正四棱柱的外接球表面积为( )

2021高考数学(理)统考版二轮复习课件：板块2 命题区间精讲精讲3 立体几何

因为DE∥AB，所以DE⊥平面AGD，所以DE⊥DG.
在直角梯形ABED中，因为AB＝2DE＝2，BE＝ 3 ，所以AD＝ 2.
在直角梯形CGDE中，CG＝2，ED＝1，CE＝ 3 ，所以DG＝ 2，所以AD2＋DG2＝AG2，所以AD⊥DG.
由AB⊥平面AGD，AB∥DE易得AD⊥DE，又DG∩DE＝D，所
∴CD⊥PD．
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF. ∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， ∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD．
02 命题点2 利用空间向量求空
间角
直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
则B(0,1,0)，E(0,1,1)，C1(0，－1,2)，D
23，12，2，
设C→1N＝λC→1D＝
23λ，32λ，0，
则N→E＝C→1E－C→1N
＝(0,2，－1)－
23λ，32λ，0
＝－
23λ，2－32λ，－1，
易知n＝(1,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量，
3 ∴|cos〈N→E，n〉|＝ 3λ2－2 6λλ＋5＝ 2100，解得λ＝13.
(1)线线夹角设l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，则 cos θ＝||aa|·|bb||＝ a21|＋a1ab212＋＋bc211b2a＋22＋c1bc222＋| c22.
(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2，则 sin θ＝||aa|·|μμ||＝|cos〈a，μ〉|. (3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，则|cos θ|＝||μμ|·|vv||＝|cos〈μ，v〉|.

第9讲解析几何第二课时讲练课件(共72张PPT) 2021届高考(理科)数学二轮复习

x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
顶点
(0，0)
对称轴
x轴
y轴
焦点准线
Fp2，0 x＝－p2
F－p2，0 x＝p2
F0，p2 y＝－p2
F0，－p2 y＝p2
第8页
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二、常见方法结论 1．双曲线 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3) 同支的焦点弦中最短的为通径 ( 过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2ab2；异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分
别为 M，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝( B )
3 A.2
B．3
C．2 3
D．4
第21页
【解析】因为双曲线x32－y2＝1 的渐近线方程为 y＝± 33x，
所以∠MON＝60°.不妨设过点
F
的直线与直线
y＝
3 3x
第32页
(4)(2020·武汉中学第二次质检)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的
焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B
两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( A )
A．16
B．14
C．12
D．10
第33页
【分析】根据 l1⊥l2，要使|AB|＋|DE|最小，则 A 与 D，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 l2 的斜率为 1 时，取得最小值．

2021高考数学（理）统考版二轮复习学案：板块2命题区间精讲精讲5解析几何

解析几何阅卷案例思维导图(2020·全国卷Ⅰ，T 20,12分)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.本题考查：椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的数量积等知识，逻辑推理、数学运算等核心素养.答题模板标准解答踩点得分第1步：求方程利用待定系数法，结合题设条件求基本量，并写出标准方程.第2步：设点、直线设出直线的方程及相交两点的坐标. 第3步：联立消元联立直线与曲线得方程组，消元得方程.第(1)问得分点及说明：1.求出a 的值得1分.2.写出E 的方程得1分.第(2)问得分点及说明：1.写出P A ，PB 的方程各得1分.2.将CD 的方程与E 联立消元正确得1分.3.正确得出y 1＋y 2，第五步：求解解等量关系得出待求结果，注意结果的完备性.y 1y 2的方程②得2分. 4.利用根与系数的关系求得直线过定点得3分，对于没考虑直线CD 与x 轴重合的情形扣1分.直线与圆锥曲线位置关系的判定及弦长问题(1)判断方法通常是采用代数法将直线与圆锥曲线联立，消元后看方程解的情况．需特别注意方程组有且只有一解未必说明直线与圆锥曲线相切还有可能相交，如：直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．(2)弦长问题①在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可以考虑用圆锥曲线的定义求解．②弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．[高考题型全通关]1．在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0), 且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0.在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121.[点评] 本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．命题点2 定点、定值问题角度一定点问题目标等式法解决定点问题目标等式法是利用目标等式恒成立的条件，即对应项的系数相等，建立方程(组)，求解定点的方法．解决问题的关键点如下：①坐标化，将题目中的已知条件坐标化处理．②建立目标等式，利用坐标化的结论建立目标等式，如f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ1．设M 为圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点M 在x 轴上的投影为点N ，动点P 满足2PN →＝3MN →，动点P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且满足|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，证明直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．切入点：利用相关点法求动点P 的轨迹，由|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|得出DA →⊥DB →，进而由DA →·DB →＝0建立参数k ，m 的等量关系，并求得定点坐标．[解] (1)设点M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题意可知N (x 0,0)．因为2PN →＝3MN →，所以2(x 0－x ，－y )＝3(0，－y 0)，即x 0＝x ，y 0＝23y . 又点M 在圆C ：x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，将x 0＝x ，y 0＝23y 代入，得x 24＋y 23＝1，即轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知D (－2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.Δ＝(8mk )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝16(12k 2－3m 2＋9)＞0，即3＋4k 2－m 2＞0.所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k23＋4k 2.因为|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，所以DA →⊥DB →，即DA →·DB →＝0，所以(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，则4m 2－123＋4k 2＋2×－8mk 3＋4k 2＋4＋3m 2－12k 23＋4k 2＝0，所以7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝27k ，且均满足3＋4k 2－m 2＞0.当m 1＝2k 时，直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)，直线恒过定点(－2,0)，与已知矛盾；当m 2＝27k 时，直线l 的方程为y ＝kx ＋27k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋27，直线恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.所以直线l 恒过定点，且定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.[点评] 直线y ＝kx ＋m 恒过定点问题实际上就是通过题设信息，建立m ，k 等量关系的过程，如本例借助DA →·DB →＝0得出m ＝2k 或m ＝27k ，进而得出直线恒过定点情况，需注意方程组有解的前提条件“Δ＞0”．2．(2020·广东中山联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C ．(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆P 过定点，并求出定点的坐标． [解] 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则Δ＝m 2－8m ＞0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . (1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0.又AC →＝(－x 1,2m )，BC →＝(－x 2,2m )，则x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12，由Δ＞0，得m ＜0或m ＞8，所以m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0即圆心，半径R ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋y 2＝1716.(2)设过A ，B ，C 三点的圆P 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧(x 1－a )2＋b 2＝r 2，(x 2－a )2＋b 2＝r 2，a 2＋(2m －b )2＝r 2，x 1x 2＝2m ，x 1＋x 2＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m2，r 2＝5m24－m ＋14，b ＝m ＋12.代入圆P 的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m －122＝5m 24－m ＋14，展开并化简得(－x －2y ＋2)m ＋x 2＋y 2－y ＝0，当⎩⎨⎧ x ＋2y －2＝0，x 2＋y 2－y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝45时方程恒成立．所以过A ，B ，C 三点的圆P 恒过定点(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.[点评] 本题为曲线过定点问题，考查了“圆方程＋λ×直线方程＝0”的应用，解题时令－x －2y ＋2＝0且x 2＋y 2－y ＝0，可得定点．角度二定值问题求定值问题2种常见的方法(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值． [高考题型全通关]1．(2020·陕西咸阳高三摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 过点(8,0)，求证：直线OA ，OB 的斜率之积为定值．切入点：第(2)问可采用由特殊到一般的方式：分斜率存在和不存在两类求解．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①当直线AB 的斜率不存在时，即AB ：x ＝8，可得直线AB 与抛物线的交点坐标为(8，±42)，所以k OA ·k OB ＝⎝⎛⎭⎪⎫－428×428＝－12. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －8)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －8)消去y 得k 2x 2－(4＋16k 2)x ＋64k 2＝0，易知Δ＞0，则x A ＋x B ＝4＋16k 2k 2，x A x B ＝64，所以k OA ·k OB＝y A y Bx A x B＝k 2(x A －8)(x B －8)x A x B ＝k 2[x A x B －8(x A ＋x B )＋64]x A x B ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫64－8×4＋16k 2k 2＋6464＝－12，综上可知，直线OA ，OB 的斜率之积为定值－12. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．切入点：四边形ABNM 的对角线满足AN ⊥BM ，故S 四边形ABNM ＝12|AN ||BM |. [解] (1)由题意得，a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x＝0，得y M＝－2y0x0－2，从而|BM|＝1－y M＝1＋2y0 x0－2.直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得x N＝－x0y0－1，从而|AN|＝2－x N＝2＋x0 y0－1.所以S四边形ABNM ＝12|AN|·|BM|＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋x0y0－1⎝⎛⎭⎪⎫1＋2y0x0－2＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2(x0y0－x0－2y0＋2)＝2x0y0－2x0－4y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝2.从而四边形ABNM的面积为定值．命题点3最值、范围问题求圆锥曲线中范围、最值的2种主要方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解．(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．[高考题型全通关]1．(2020·长春质量检测一)已知点M(－1,0)，N(1,0)，若点P(x，y)满足|PM|＋|PN|＝4.(1)求点P的轨迹方程；(2)过点Q(－3，0)的直线l与(1)中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．切入点：(1)利用椭圆的定义即可求得点P的轨迹方程；(2)设直线l的方程为x＝ty－3，将其与椭圆方程联立，由根与系数的关系、三角形面积公式求得△AOB 面积的表达式，从而利用换元法与基本不等式求出最大值，进而由等号成立的条件求得直线l 的方程．[解] (1)由定义可得，P 点的轨迹为椭圆且2a ＝4，c ＝1. 因此椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty －3，其与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线与椭圆的方程，消去x 可得(3t 2＋4)y 2－63ty －3＝0，则y 1＋y 2＝63t3t 2＋4，y 1y 2＝－33t 2＋4. 所以S △AOB ＝12|OQ |·|y 1－y 2|＝12×3×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫63t 3t 2＋42－4×－33t 2＋4＝32×233t 2＋4×9t 2＋3t 2＋4＝63t 2＋4×3t 2＋1，令3t 2＋1＝u ，则u ≥1，上式可化为6u u 2＋3＝6u ＋3u ≤3，当且仅当u ＝3，即t ＝±63时等号成立，因此△AOB 面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x ＝±63y － 3. [点评] 基本不等式求最值的5种典型情况分析(1)s ＝k 2＋12k 2＋5(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)．(2)s ＝(k 2＋1)2(1＋2k 2)(k 2＋2)≥(k 2＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2k 2)＋(k 2＋2)22(基本不等式)．(3)s ＝n 4m 2＋1－n 24m 2＋1(基本不等式)．(4)s ＝4k 4＋13k 2＋92k 2＋3＝1＋k 24k 4＋12k 2＋9(先分离参数，再利用基本不等式)． (5)s ＝k (k 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋13(k 2＋9)＝k ＋1k⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋9k (上下同时除以k 2，令t ＝k ＋1k 换元，再利用基本不等式)．2．(2020·冀州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|且cos ∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围．[解] (1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则3r 1＝5r 2，又r 1＋r 2＝2a ，所以r 1＝54a ，r 2＝34a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2－222×54a ×34a＝35，解得a ＝2，因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且Δ＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，① 设AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM (图略)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m 3＋4k 2，因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM ，又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，M 为AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km 3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k 24k ，②把②代入①得3＋4k 2＞⎝⎛⎭⎪⎫－3＋4k 24k 2，整理得16k 4＋8k 2－3＞0，即(4k 2－1)(4k 2＋3)＞0，解得k ＞12或k ＜－12，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. [点评] 本题由Δ＞0建立了参数k 和m 的不等式3＋4k 2－m 2＞0，然后借助条件“|AQ |＝|BQ |”又建立了一个k 和m 的等式：m ＝－3＋4k 24k ，将其代入不等式中便可求得斜率k 的范围．此类问题可归结为“等量关系搭桥，判别式求解”．命题点4 探索、证明问题角度一探索性问题肯定顺推法求解探索性问题先假设满足条件的元素(点、直线、曲线、参数等)存在，用待定系数法设出，并列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线、参数等)存在；否则，元素(点、直线、曲线、参数等)不存在．[高考题型全通关]1．(2020·惠州二调)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且与x 轴交于点P (a,0)．(1)若直线l 的斜率k ＝32，且|FP |＝32，求|AF |＋|BF |的值；(2)若a ＞0，x 轴上是否存在点M ，总有∠OMA ＝∠OMB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．切入点：第(1)问由|FP |＝32求出a 的值，由抛物线的定义及根与系数的关系求|AF |＋|BF |.第(2)问把“∠OMA ＝∠OMB ”数量化为“k MA ＝－k MB ”．利用根与系数的关系求解．[解] (1)依题意，设l ：y ＝32(x －a )，将其代入y 2＝2x 中，整理得9x 2－(18a ＋8)x ＋9a 2＝0，①由Δ＞0，得a ＞－29，又FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，0且|FP →|＝32，∴a ＝2或a ＝－1(舍去)．∴①式可化为9x 2－44x ＋36＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝449，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝449＋1＝539.(2)当直线l 斜率不存在时，由对称性知，存在点M 满足∠OMA ＝∠OMB ．若直线l 的斜率存在，设为k (k ≠0)，则l ：y ＝k (x －a )，将其代入y 2＝2x 中，整理得ky 2－2y －2ka ＝0，∵Δ＝4＋8k 2a ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝－2a .设M (m,0)，由∠OMA ＝∠OMB ，易知k MA ＝－k MB ，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0， ∴y 1·x 2＋y 2·x 1－m (y 1＋y 2)＝0，即y 1·y 222＋y 2·y 212＝m (y 1＋y 2)， ∴y 1·y 22·(y 1＋y 2)＝m (y 1＋y 2)，∵y 1＋y 2≠0，∴m ＝y 1·y 22＝－2a 2＝－a ，∴M (－a,0)．综上所述，当a ＞0时，x 轴上存在点M (－a,0)，总有∠OMA ＝∠OMB ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，点A (b,0)，B ，F 分别为椭圆C 的上顶点和左焦点，且|BF |·|BA |＝2 6.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(G 在M ，H 之间)，设直线l 的斜率k ＞0，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．切入点：(1)由e ＝12及|BF |·|BA |＝26，求a ，b .(2)以PG ，PH 为邻边的菱形⇔(PG →＋PH →)·GH →＝0.[解] (1)由离心率e ＝12，得c a ＝12，即a ＝2c .①由|BF |·|BA |＝26，得a ·b 2＋b 2＝26，即ab ＝2 3.②又a 2－b 2＝c 2.③由①②③可解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.由Δ＝(16k )2－16(3＋4k 2)＞0，解得k ＞12或k ＜－12，因为k ＞0，所以k ＞12.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3， PG →＋PH →＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)，GH →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))．因为菱形的对角线互相垂直，所以(PG →＋PH →)·GH →＝0，所以(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，得m ＝－2k 4k 2＋3＝－24k ＋3k. 因为k ＞12，所以－36≤m ＜0(当且仅当3k ＝4k ，即k ＝32时，等号成立)．所以存在满足条件的实数m ，且m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－36，0. [点评] 本题第(2)问是求解参数m 的取值范围问题，解题方法是将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点，可知判别式Δ＞0，由此可得到参数k 的取值范围．若存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形，则(PG →＋PH →)⊥GH →，由此可以得到一个关于k ，m 的目标关系式“m＝－2k 4k 2＋3”，结合k ＞12，可利用基本不等式求出参数m 的取值范围．角度二证明问题代数转化法求解圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明一般包括两大方面：一是位置关系的证明，如证明相切、垂直、过定点等，二是数量关系的证明：如线段或角相等等，证明时常借助等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后用函数方程思想解决． [高考题型全通关] 1. (2020·济南模拟)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．切入点：将(2)等价转化到∠AGF ＝∠BGF ，进而借助k AG ＋k BG ＝0求解．[解] (1)由抛物线的定义，得|AF |＝2＋p 2.由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2020·合肥模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心O 而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．切入点：(1)先由△ABF 2的周长求出a ，再结合离心率求出c ，利用b 2＝a 2－c 2求出b 2，即得椭圆E 的方程．(2)分两种情况求解：当直线AB ，CD 的斜率不存在时，利用对称性知O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设斜率为k ，再设出A ，B ，M 的坐标，并把A ，B 的坐标代入椭圆方程，利用“点差法”可得出k ·k OM ＝－12，同理可得k ·k ON ＝－12，依此得k OM ＝k ON ，即O ，M ，N 三点共线．[解] (1)由△ABF 2的周长为46，可知4a ＝46，所以a ＝ 6.又e ＝c a ＝22，所以c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝3.于是椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，此时O ，M ，N 三点共线．当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k (k ≠0)，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0，整理得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，所以y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－12，即k ·k OM ＝－12(k OM 为直线OM 的斜率)，所以k OM ＝－12k .同理可得k ON ＝－12k (k ON 为直线ON 的斜率)．所以k OM ＝k ON ，即O ，M ，N 三点共线．综上所述，O ，M ，N 三点共线．[点评] 1.证明三点共线问题的方法圆锥曲线中的三点共线问题，其实就是对应直线(斜率存在)上的三个点中相关两个点对应的斜率相等问题，即若要证明A ，B ，C 三点共线，即证明k AB ＝k AC (或k AB ＝k BC )．2．若A ，B 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的两点，M 是弦AB 的中点，则k AB ·k OM＝－b 2a 2.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

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l
上，
2a(2a>|F1F2|)
2a(2a<|F1F2|)
PM⊥l 交 l 于点 M
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0
，
b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
范围 |x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
几顶点 (±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
何
性对称性
关于 x 轴，y 轴和原点对称
B [F1，F2 分别是双曲线ax22－by22＝1a＞0，b>0的左、右焦点，且双曲线上的点 P 满足PF1＝4PF2，
所以PPFF11－＝4PPFF22＝，2a，
解得PF1＝83a， PF2＝23a.
因为∠F1PF2＝60°，F1F2＝2c，所以在△F1PF2 中，由余弦定理可得
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的圆心，则圆心I的横坐标恒为a.
12．抛物线焦点弦的相关结论设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，α 为直线 AB 的倾斜角，则 (1)焦半径|AF|＝x1＋p2＝1－cpos α，|BF|＝x2＋p2＝1＋cpos α. (2)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α.
质焦点
(±c,0)
x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p2，0
轴长轴长 2a，短轴长 2b 实轴长 2a，虚轴长 2b
离心
几何率
性质准线
e＝ac＝ 1－ab22 (0＜e＜1)
e＝ac＝ 1＋ab22(e＞1)
e＝1 x＝－p2
渐近线
y＝±bax
8.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|，或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|.
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2．过点 P(3,4)作圆 x2＋y2＝4 的两条切线，切点分别为 A，B，
则AB＝(
)
A．5－ 3
B．5－ 2
C．2
21 5
D．4
21 5
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D [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 PA 的方程为 x1x＋y1y＝4，直线 PB 的方程为 x2x＋y2y＝4，
C．相交
D．以上都有可能
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C [由 2tx－y－2－2t＝0(t∈R)得：(2x－2)t－(y＋2)＝0， ∴直线 2tx－y－2－2t＝0(t∈R)恒过点(1，－2). ∵1＋4－2－8＝－5<0， ∴(1，－2)在圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 内部， ∴直线 2tx－y－2－2t＝0(t∈R)与圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 相交．故选 C．]
则直线 MF 的斜率为( )
A．± 3
B．±1
C．±34
D．±
3 3
A [设 M(x0，y0)，易知焦点 Fp2，0，由抛物线的定义得|MF|＝
x0＋p2＝2p，所以 x0＝32p，故 y20＝2p×32p＝3p2，解得 y0＝± 3p，故直
线 MF 的斜率 k＝32±p－3pp2＝± 3.故选 A．]
6．与圆的切线有关的结论 (1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0－ a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为 A， B，则过 A，B 两点的直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
⇒kPB＝xy11－－xy22＝－ba22·xy11＋＋xy22， kAD＝kAB⇒4yx11＝xy11＋＋xy22，又 kPA＝yx11＝4xy11＋＋xy22，则由 PA⊥PB⇒kPA·kPB＝－1，可得－4·ba22＝－1
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S＝12|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan2θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即 P 为短轴端点时，S△PF1F2 取得最大值，为 bc. (4)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．
10．双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线的方程为 ax22－by22＝0，即 y＝±bax. (2)若渐近线的方程为 y＝±bax(a＞0，b＞0)，即ax±by＝0，则双曲线的方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0)．
(4)|F1A|＋|F1B|＝2p. (5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切． (6)S△OAB＝2spin2 α(O 为抛物线的顶点)．
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[保温训练]
1．圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 与直线 2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置
关系为( )
A．相离
B．相切
F1F22＝PF12＋PF22－2PF1·PF2·cos∠F1PF2，代入可得 4c2＝ 694a2＋49a2－2×83a×23a×12.
化简可得 9c2＝13a2，即 e2＝ac22＝193 . 所以 e＝ 313，故选 B．]
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5．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
6．已知点 P 在椭圆 τ：ax22＋by22＝1(a>b>0)上，点 P 在第一象限，
点 P 关于原点 O 的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，设P→D＝
34P→Q，直线 AD 与椭圆 τ 的另一个交点为 B，若 PA⊥PB，则椭圆 τ 的
离心率 e＝( )
A．12
B．
2 2
C．
3 2
9．椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．以椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上一点 P(x0，y0)(y0≠0)和焦点 F1(－ c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2 中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e 为椭圆的离心率)
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4．设 F1，F2 分别是双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点．若双曲线上存在一点 P，使得PF1＝4PF2，且∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率是( )
A．
13 5
B．
13 3
C．
21 5
D．
21 3
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(3)两平行线间的距离 d＝ |CA2－2＋CB12| (其中两平行线方程分别为 l1： Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 且 C1≠C2)．
【易错提醒】应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系及判断方法 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时： (1)两直线平行 l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
【易错提醒】当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
3．三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离 |AB|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)点到直线的距离 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|(其中点 P(x0，y0)，直线方程为 Ax＋By＋C＝0)．
(3)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11(直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：ax＋by＝1(a，b 分别为直线的横、纵截距，且 a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不同时为 0)．
复习有方法
板块三高考必备基础知识回扣回扣7 解析几何
数学理
[回归教材] 1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)．
(3)若所求双曲线与双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)有公共渐近线，其方程可设为ax22－by22＝λ(λ＞0，焦点在 x 轴上；λ＜0，焦点在 y 轴上)．
11．双曲线常用的结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2ab2，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.