高教社杯全国大学生数学建模竞赛Word版

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：海南大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 谢慧芳2. 石梦云3. 王玲指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2009 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：某医院眼科病床的合理安排研究与建模[摘要]本文针对该医院等待住院病人队列越来越长，没有合理的安排病床问题建立模型，为该医院解决病床合理安排问题。

通过排队论，可系统地研究排队系统的各种参数并进行最优设计和最优运营。

本文运用运筹学中的排队论理论，通过对眼科数据的研究，科学、量化、准确地描述排队系统的概率规律性，同时对床位安排进行最优设计和最优运营，从而增加预见性，减少盲目性，最大限度的满足病人及家属的需要。

第一问，针对医院的情况，考虑到单一的指标不能很好的评价该医院的病床使用情况，只能反映某一指标的完成情况，由于病人的病种和危重程度不同，为了更加全面、准确和客观的评价，我们特别引进“CD型率”[1]，考虑各指标之间的相互影响，要综合评价我们确定评价该医院的指标为高优指标：病床使用率、病床周转次数、平均病床工作日和CD率，低优指标出院者平均住院日。

第二问，我们将医院排队过程转换为马尔科夫排队过程[2]，建立了病人从门诊到入院单一服务却是多服务台到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型[5]M/M/C/K/∞，考虑到病人是成批的接受服务，在先到先服务的基础上考虑外伤病人要优先服务。

我们计算得出医院眼科平均排队人数为9.90人,平均排队时间为1.39天。

详细评价已经在第二问中给出。

第三问,通过Excel统计分析,我们为了缩小误差,取的是各种不同病情的病人最后一次手术到出院的时间的平均值,推出第二部分数据中病人的入院时间,经统计第一部分数据中的病人从门诊到入院的时间间隔的最小值为10, 视网膜病人和青光眼病人的最大时间间隔为15天，白内障单眼病人的最大值为16天，白内障双眼的病人的最大值为14天。

根据统计第二部分数据的每天出院人数，得出从09年的9月9日到9月23日共有79个病人出院，从而我们根据门诊到入院的时间间隔的最小值和最大值的出了等待住院病人的大致入院时间区间。

第四问，我们在问题二的模型基础上改为病人从入院到手术的过程作为医院服务过程，把视网膜和青光眼病人作为排队的对象，其他情况的病人不考虑，把星期六的手术提前到星期五作，星期日的手术推后到下个星期二作。

通过计算我们得出该模型眼科病人的平均排队数为6.602，平均排队时间为1.77天，具体评价已经在第四问给出。

第五问，从便于管理的角度出发，我们将各种病人的病床比例大致固定，即将系统分四个子系统，从而建立起最优的病床比例模型，然后通过MATLAB软件进行仿真得出病人到达时间和离开时间曲线图、病人停留时间和等待时间曲线图。

关键字：排队论马尔科夫排队泊松分布秩和比法仿真结构流程图1问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。

能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2问题分析本题目是一个排队问题，通过建立一个合理的模型，来解决这个排队问题，从而使的医院的病床使用率能达到高标准，又能尽量满足排队病人的需要。

首先我们应该选择合理的指标评价病床模型，为了更加全面综合的评价我们运用秩和比法[4]。

在问题二当中，我们把病人看成是成批的接受服务，并且把门诊到安排入院作为病人受到的服务，在先到先服务的基础上还要考虑外伤病人优先权服务，然后运用我们建立的模型可以求出平均排队病人数。

要推出第三部分病人的大致住院时间，我们要根据第一部分数据得出病人从最后一次到出院的平均时间间隔来推出第二部分病人住院时间，进而根据第一部分数据中的病人从门诊到入院的时间间隔的最大值和最小值，以及第二部分数据病人的出院日期和每天出院人数，得到结果。

对于问题四我们可以将第二问中的模型进行改进，只把视网膜和青光病人做为排队对象，并只把他们安排在星期二、三、和五，把星期六作手术的提前到星期五，把星期日的安排到下星期二。

对于问题五，其实是在原有的模型基础上对系统按照病人的种数加以分割，然后对模型进行最优解的求解。

3 模型假设[1]假设该医院条件比较充分，不考虑手术条件问题；[2]假设不考虑病人复诊而优先服务；[3]假设不考虑中途一些病人因等待时间太长而离开此院；[4]假设星期一和星期三只做白内障手术，外伤病人有空床就安排住院，住院后第二天便会安排手术；4 符号系统L：系统平均排队病人数qW：病人在排队上平均时间qλ：病人的到达率nμ：病人被服务的概率nT：星期六和星期天在医院等待作手术的平均人数M：医院总床数a：外伤病人所占比例b：视眼膜病人所占比例c：白内障病人所占比例d：青光眼病人所占比例5 某医院眼科住院部病床合理安排模型问题一床位利用统计是医院信息管理最活跃的要素之一，合理分析床位利用情况对于提高医院经济效益、改善病房管理、挖掘潜力增强服务能力等具有十分重要的意义。

评价病床使用情况常用的指标有病床使用率、病床周转次数、平均病床工作日等。

病床使用率与平均病床工作日只能反映病床的负荷情况，病床周转次数只能反映病床的运转情况，作为评价医院病床使用率的三项指标应该是统一的整体，单独分析任何一项指标都不会达到应有的效果。

病床使用率和病床周转次数都是反映反映病床工作效率的指标，对医院管理有着重要作用。

平均病床工作日和病床使用率这两项指标虽然计算方法不同，但对评价病床使用是成正比的。

病床使用率的变动，会引起病床周转次数的变化，，但要注意在有些情况下，当病床使用和出院病人平均住院日的变化程度及方向不同，会使本来成反比的病床周转次数与病人平均住院日同时升高或降低。

由于意义病人的病状和危重程度不同，要综合评价我们特别引进“CD型率”这一指标，以消除病人病种和危重程度不同给病床利用情况带来的影响，评价结果会比较全面、准确和客观，为医院管理者正确决策提供了科学依据。

通过RSR法的综合分析，不仅可以得到医院各科室病床利用情况综合排序，同时还可以得到分档的结果，对其做出综合评价，弥补了指标分析法的不足。

最后我们确定高优指标病床使用率、病床周转次数、平均病床工作日和CD 型率，低优指标出院者平均住院日。

（1）病床周转次数是指一定时间内，平均每张病床完成的收治人数。

（2）、病床使用率是实际占用总床日数占实际开放总床日数的百分比。

（3）平均病床工作日每一张床在一定时期内平均工作日。

（4）将青光眼和视网膜疾病这两个比较复杂的疾病归类为危重型的CD 型病，所谓CD 率就是这两种病所占的比率。

（5）出院者的平均住院日是该医院病人从入院到出院的时间的平均值。

问题二根据该住院部当前的情况，我们将病人排队问题转化为马尔科夫排队[2]问题，建立了多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型[5]。

我们分析可得病人是成批的接受服务，并有先到先服务，外伤病人优先服务的规则。

这种模型我们记为M/M/C/K/∞，其中C 为服务台的量数(即每天空出的床位),K 为医院住院部病人的最大容量数.该排队过程可以表示为：图1 排队系统值得注意的是：我们建立的模型是一种单一服务项目的模型，在此我们设病人从门诊到被安排入院为医院服务项目。

在此系统中到达率与服务率分别为:,0,1 (1)0,n n K n Kλλ=-⎧=⎨=⎩ ,0,n n n CC C n K μμμ≤<⎧=⎨≤≤⎩ 令C λρμ=,则对任意n K ≥,令0n λ=, n C μμ=1、系统里没有顾客的概率111010()()[],1!!1()()[(1),1!!n C C K C n n C C n C C n C P C C K C n C ρρρρρρρρ+--=-=⎧-+≠⎪-⎪=⎨⎪+-+=⎪⎩∑∑2、系统里正好有n 个顾客的概率0(),1,2,...1!,,1,...!nn Cn C P n C n P C P n C C KC ρρ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩3、平均排队病人数1020()()[1(1)(1)],1!(1)()()(1),12!Kq nn CC K C K C n C L n c P P C K C C P P C K C K C C ρρρρρρρρρ=-+-⎧=-⎪⎪⎪⎧----+≠⎨⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪--+=⎪⎩⎩∑ 4、系统里的平均排队病人数(1)s q k L L P ρ=+-5、有效到达率(1)e k P λλ=-6、病人花在排队上的平均时间(1)qq k L W P λ=-7、病人在医院的平均逗留时间(1)ss k L W P λ=-通过以上公式我们算出了医院平均排队病人数s L =9.90从第一问当中我们知道了评价医院的5个指标分别为病床使用率、病床周转次数、平均病床工作日和CD 型率与出院者平均住院日。