高中数学必修4复习课

三、向量的运算
（二）向量的减法
1、作图 平行四边形法则： AB AD DB
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，y2）
则 a b （x1 x2，y1 y2）
D
ab
b
Aa
B
三、向量的运算
（三）数乘向量 λ a( R)
1、 a 的大小和方向：
（1）长度： a a
（2）方向： 当 0时，a 与a 同向
巩固练习
1 、e1，e2不共线，a=e1-2e2 ，b=3e1－4e2， a 与 b是否共线。
解：∵1/3≠-2/（-4） ∴a与b不共线。
2、判断真假：
Y
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
22
Y (2)(a b) (a b) a b
N（3）(a b)c a(b c)
N（4）a b a c b c
四、向量垂直的判定
（1） a b a b 0
（2） a b x1x2 y1 y2 0,其中a （x1，y1），b （x2，y2）. 五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）a // b b a（a 0）
（2）b // a x1y2 x2 y1 0，其中a （x1，y1），b （x2，y2）
5、平面向量基本定理的推论
设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量 (1) 如果λ1e1+λ2e2=x1e1+x2e2, 则 λ1=x1, λ2=x2 . (2) 如果λ1e1+λ2e2=0 ,则 λ1=0, λ2=0 .
三、向量的运算
向量的夹角:
Bห้องสมุดไป่ตู้
b
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
六、向量的长度
（1） a a | a |2 ， | a |
2
a
（2）设 a （x，y），则 | a | x2 y2
（3）若A（x1，y1）, B（x2，y2）,则
AB （x1 x2）2 （y1 y2）2
七、向量的夹角
cos a b
x1x2 y1 y2
| a || b |
x12 y12 x22 y22
（3）（a b）c ac b c
三、向量的运算
平面向量的数量积 a·b的性质:
①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
a2=a·a=|a|2 ( a·a= a2 )
④cosθ=
ab |a||b|
⑤|a·b|≤|a|·|b|
ab |a||b|
三、向量的运算
（一）向量的加法
1、作图 三角形法则： AB BC AC
平行四边形法则：
2、坐标运算：设a （x1，y1），b （x2，y2）
则 a b （x1 x2，y1 y2）
C
B
C
a +b b
Aa
B
三角形法则
O
A
平行四边形法则
三、向量的运算
3.加法运算率
(1) 交换律： a+b=b+a (2) 结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
5、已知a, b都是非零向量，且a+3b与7a-5b 垂直, a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.
解 (a+3b)·(7a-5b)=0, 且 (a-4b)·(7a-2b)=0
7a2+16a·b-15b2=0, 且 7a2-30a·b+8b2=0
解得 2a·b=b2 , a2=b2
∴cosθ=
1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义：
等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
B
a b x1x2 y1 y2
θ
O
4、运算律: （1） ab ba
B1
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）
x2+y2=100 x=6,
x=-6,
或
4x+3y=0
y=-8, y=8.
所以 a=(6,-8)或(-6,8)
4、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解 9a2+4b2-12a·b=9
∴a·b= 1 3
又 (3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12 ∴|3a+b|=2 3
必修4第二章 《平面向量》复习课
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
向量的运算
基本应用
向量的加法 平行与垂直的充要条件
向量的减法
求长度
相等向量
实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
要点复习
一、向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 （1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量： 长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量： 方向相同或相反的非零向量.也 叫共线向量 （4）相等向量： 长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
OB b ,则 AOB (0 180 )
O
a
A
叫做向量 a 和 b 的夹角．
注意: 两向量
夹角的范围： 00 ,1800
必须共起点。 B
a
ObB
0
a
A Bb O
180
A
b
O
a
A
90
a 与b 同向
a 与 b 反向 a 与 b 垂直，记作 a b
三、向量的运算
(四) 向量的数量积
当 0时，a 与a 异向
当 0时， a 0 2、数乘向量的坐标运算：a （x，y）（ x， y）
3、数乘向量的运算律：
a a （ ）a a a （a b） a b
三、向量的运算
4、平面向量基本定理
如果 e1 ，e2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1，2使 a 1 e1 2 e2
Y (5)b c a b a c
N (6)a b 0 a 0或b=0
N
(7)(a
b)2
2
a
2
b
3、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解1 b (3, 4), b 5 a 10, a b, a 2b 2(3, 4)
即 a=(6,-8)或a=(-6,8) 解2：设a =(x,y), 则
二、向量的表示
向 量
几何表示: 有向线段
的 表
字母表示: a 、AB 等
示
坐标表示: (x，y)
(1)a xi y j (x, y)
(2)若A( x, y),则OA ( x, y)
B
A
y
a
y
A (x,y)
a
j
O
i
x
x
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=(x2-x1 ,y2-y1)