全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形的概念、性质与判定
1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。
4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。
（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。
注意：“边边角”不一定成立。
反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。
【解题方法指导】例1. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。
分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；由AF＝DC，可以得到AC＝DF；由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC证明：在△BAF与△EDC中，∵AB∥DE∴∠A＝∠D又AB＝DE，AF＝DC∴△BAF≌△EDC（SAS）评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE⇒∠A＝∠D；由AF＝DC⇒AC＝DF）例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。
全等三角形(知识点讲解)
全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的核心内容之一。
在这篇文章中，我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。
一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。
简而言之，在几何学中，当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时，我们称这两个三角形是全等的。
二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等，我们有以下几个常用的判定条件：1. SSS判定法：即边-边-边判定法。
当两个三角形的三条边分别相等时，它们就是全等的。
2. SAS判定法：即边-角-边判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时，它们就是全等的。
3. ASA判定法：即角-边-角判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时，它们就是全等的。
4. AAS判定法：即角-角-边判定法。
当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时，它们就是全等的。
需要注意的是，这些判定条件是相互独立的，即只要满足其中一种条件，就可以判定两个三角形是全等的。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质：1. 对应边对应角相等性质：全等三角形的对应边对应角相等。
即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF，并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。
4. 全等三角形的外角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。
通过以上性质，我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。
四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
4.2-4.5全等三角形的性质与判定判定(教案)
同时，我也注意到，本节课的实践活动和例题较为单一，未能涵盖所有判定方法。在今后的教学中，我将增加更多类型的实践题目，让学生全面掌握全等三角形的判定方法。
举例：通过多媒体教学、实物演示等方法，帮助学生建立空间观念，提高抽象思维能力。
（4）几何直观与逻辑推理能力：学生在解题过程中，需要运用几何直观和逻辑推理能力。
举例：引导学生通过观察、分析、归纳，培养几何直观；在讲解过程中，强调逻辑推理的重要性，提高学生推理能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形的基本原理。
五、教学反思
在今天这节课中，我们探讨了全等三角形的性质与判定。整体来看，学生的学习效果还是不错的，但我也发现了一些需要改进的地方。
首先，关于全等三角形的定义和性质，大多数学生能够理解并掌握。但在实际应用时，部分学生仍然会混淆对应角和对应边。在接下来的教学中，我需要加强对这一知识点的巩固，通过更多实际例题和练习，帮助学生更好地运用全等三角形的性质。
1.加强对全等三角形性质的理解和应用；
2.提高学生选择合适判定方法的能力；
3.培养学生的口头表达和独立思考能力；
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳
全等三角形是指两个三角形的所有对应的边和角都相等。
以下是
关于全等三角形的一些重要知识点：
1. 全等三角形的定义：两个三角形的所有对应的边和角都相等时，这两个三角形就是全等三角形。
2. 全等三角形的性质：
a. 边-边-边（SSS）判定准则：如果两个三角形的三条边相等，那
么它们是全等的。
b. 边-角-边（SAS）判定准则：如果两个三角形的一条边和夹角的
对边的长度和角度相等，那么它们是全等的。
c. 角-边-角（ASA）判定准则：如果两个三角形的两个角和他们夹
着的边的长度相等，那么它们是全等的。
d. 角-角-角（AAA）判定准则：两个三角形的三个角度分别相等，
不能确定它们是全等的。
3. 全等三角形的性质与应用：
a. 全等三角形的对应部分相等：如果两个三角形全等，则它们的
对应边长相等，对应角度相等，对应的高、中线、中位线等也相等。
b. 全等三角形的性质可用于解决实际问题，例如测量无法直接测
量的长度或角度，或在建造、设计等领域中的应用。
4. 全等三角形的判定准则：在判定两个三角形是否全等时，根
据给定的信息应选择适合的判定准则进行判断，如SSS、SAS、ASA等。
以上是关于全等三角形的一些基本知识点和性质总结。
要确定两
个三角形全等，一般需要给出足够的边长和角度信息，利用相应的判
定准则进行判断。
全等三角形的性质
全等三角形的性质三角形是几何学中的基本图形之一，而全等三角形则是其中一个特殊的类型。
全等三角形是指具有相等边长和相等角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有一些特殊的性质，对于解决几何问题和推导几何定理非常重要。
本文将探讨全等三角形的性质及其应用。
一、全等三角形的定义和判定方法全等三角形可以通过边边边、边角边、角边角三种判定方法来判断。
边边边（SSS）判定法要求两个三角形的对应边长相等；边角边（SAS）判定法要求两个三角形的一对对应边长相等，以及夹角也相等；角边角（ASA）判定法要求两个三角形的一对对应角度相等，以及两对对应边长相等。
如果满足以上判定方法之一，那么可以确定两个三角形是全等的。
二、全等三角形的性质1. 对应边和对应角的性质在全等三角形中，对应边和对应角具有相等的性质。
例如，若三角形ABC和三角形DEF是全等三角形，那么对应的边AB和DE、BC和EF、AC和DF对应相等。
同样，对于对应的角度∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F也相等。
2. 全等三角形的相等性质全等三角形不仅有对应边和对应角相等的性质，还有其他一些相等性质。
这些性质在求解几何问题时非常有用。
以下是常见的全等三角形性质：a. 全等三角形的周长相等：周长是三角形边长之和，如果两个三角形是全等的，则它们的周长也相等。
b. 全等三角形的面积相等：三角形的面积是通过底边和高的乘积计算得到的，如果两个三角形的高都相等且底边也相等，那么它们的面积也相等。
c. 全等三角形的高相等：如果两个全等三角形的某一边为底边，而另一边为高，那么它们的高相等。
d. 全等三角形的角平分线相等：在全等三角形中，对应角的平分线相等。
e. 全等三角形的中位线相等：在全等三角形中，对应边的中位线相等。
三、全等三角形的应用全等三角形在几何学中应用广泛，具有许多实际应用。
以下是几个典型的应用：1. 测量无法直接测量的距离：通过构建两个全等的三角形，并利用已知的边长和角度，可以测量无法直接测量的距离。
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
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二、设问与解析
设问：证明线段相等的常用方法有哪些呢？ 解题指导：（1）、数学思想：数形结合的数学思想；（2）、解题方法：主要是构造全 等三角形，正确的利用等边三角形中隐含的条件证明全等是解决本题的关键。 解析：由△ABD和△AEC均为等边三角形，可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，继而 可利用SAS证得△BAE≌△DAC，则可证得BE=CD。 证明：在等边△ABD中，有AD=AB,且∠DAB=60°； 在等边△AEC中，有AE=AC，且∠EAC=60°。 ∴∠DAB=∠EAC 由图可知， ∠DAC=∠DAB+∠BAC ∠BAE=∠EAC+∠BAC ∴∠DAC=∠BAE 在△DAC和△BAE中： AD=AB,∠DAC=∠BAE,AE=AC ∴△DAC≌△BAE（SAS） ∴BE=DC
在数学教学中，要引导学生探索数学问题的解题方法，做一题，通一类，会 一片。让学生走出题海，教会学生思考、善于思考，提高学生分析问题解决问题 的能力。
《全等三角形的判定与性质》 -----------复习课教学设计
南安市新侨中学◆许元星
教学过程
反思与小结
背景与立意
拓展与延伸
设问与解析 试题的评价
例题再现
如图1，△ABD，△AEC都是等边三 角形。求证：BE=DC。
图1
一、背景与立意
本题主要考查学生对全等三角形的判 定与性质和等边三角形的性质的理解与掌 握，难度不大，是一道基础题。本题旨在 了解学生对基础知识和基本技能的掌握情 况，重在培养学生的观察、分析、概括、 归纳及语言表达能力。
三、试题的评价
本题的解答重在考察学生的基础知识和基本技能， 对大部分学生来说不是难题，这样既激发了学生的学习 兴趣，也增强了学生的学习信心，同时又培养了学生推 理论证能力和语言表达能力，最后，在老师的补充和启 发下，完善本题的证明。当然我们还可以对这类问题进 一步拓展。
四、拓展与延伸
1．如图2，若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠ADB=∠AEC=90°， 那么 BE=DC吗？ 2．如图3，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC还 成立吗？（2）BE⊥DC． 3．如图4，若点A在线段BC上，△ABD，△AEC都是等边三角形，那么 BE=DC吗？ 4．在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5． （1）AF=AG吗？ （2）△AFG是等边三角形吗？为什么？
五、作业：
• 拓展题 第3、4题
பைடு நூலகம்
六、反思与小结
通过拓展，启发学生进一步思考，引导学生自主探索、合作交流，获得广泛 的数学经验，拓变之前，先让学生分析其特点，渗透解题思想，既通过全等证线 段相等的理念，运用数形结合的思想，通过不断的变化，建立新与旧、已知与未 知的联系，有助于学生关注问题的不同方面，让他们觉得有新的理念出现，学会 从不同的角度看问题，从而加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加 深对问题的认识。学习数学不仅是为了掌握一些基本的知识、基本技能，更重要 的是可以提高学生的发散思维能力、迁移思想能力和思维的灵活性。