全等三角形的概念和性质及判定一-教师版

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【例1】 下列说法正确的是（）

A ．全等三角形是指形状相同的三角形

B ．全等三角形是指面积相等的三角形

C ．全等三角形的周长和面积都相等

D ．所有的等边三角形都全等 【难度】★ 【答案】C

【解析】A 错，形状相同，大小也要相同；B 错，面积相等不一定全等，反例同底等高 的三角形；D 错，大小不一定相等． 【总结】本题主要考查全等三角形的概念．

【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）

A ．形状相同

B ．周长相等

C ．面积相等

D ．全等

【难度】★ 【答案】C

【解析】等底同高，所以面积相等．

【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．

【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC

【难度】★ 【答案】D

【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等． 【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．

【例4】 下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）

A ．已知两边和夹角

B ．已知两角和夹边

C ．已知两边和其中一边的对角

D ．已知三边 【难度】★ 【答案】C

【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件． 【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．

例题解析

2

1A

B

C

D

【例5】 练习画出下列条件的三角形：

（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=； （2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===； （3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒； （4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒． 【难度】★ 【答案】略 【解析】略．

【例6】 下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等

三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【难度】★★ 【答案】B

【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对； （4）对，故选B ．

【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解． 【例7】 下列说法中错误的是（

）

A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角

B ．全等三角形的公共边也是对应边

C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点

D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边 【难度】★★ 【答案】C

【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．

【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．

【例8】 如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，

若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ） A ．80°

B ．100°

C ．60°

D ．45°

【难度】★★

α3

21

A

B

C

D

E

P

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【答案】A

【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，

则36180x =，解得：5x =． 1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒， 22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．

【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．

【例9】 如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF ⊥BE

交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；

（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【难度】★★

【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．

【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒， DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等） （2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=．

AD BC =， DE AD BC ∴==．

【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．

【例10】 如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，

14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长． 【难度】★★

【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =． 【解析】（1）

ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，

155A F ∴∠=∠+∠=︒； （2）

ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．

【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．

【例11】 如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋

转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数． 【难度】★★ 【答案】40︒．

【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=，

1

A

B

C D

E

F

A

B

C

A

’

B ’