八年级上册12章第一节全等三角形

合集下载

人教版数学八年级上册第12章全等三角形3(25页)

∴ AB 和 AE 、AC 和 AF 是对应边.
练一练
找一找下列全等图形的对应元素，分组回答：
A
D
A
C
DC
A B
D
O
B
CB
ED
B AE C
(1)
(2)
(3)
(4)
归纳总结
全等三角形找对应边、对应角方法
1.有公共边的，公共边是对应边； 2.有公共角的，公共角是对应角； 3.有对顶角的，对顶角是对应角； 4.长边对应长边，短边对应短边，大角对应大角，小角对应小角.
2.如图，△ABC≌ △ADE,若∠D=∠B，
∠C= ∠AED，则∠DAE= ∠BAC ；
∠DAB= ∠EAC .
D
A
B
E
C
3．如图，△ADE≌△BDE，若△ADC的周长为12，AC的长为5，
则CB的长为( B ) A．8 B．7 C．6
D．5
4.如图，△ABD≌△EBC，AB＝3 cm，
BC＝5 cm，求DE的长.
D A
B
CE
F △ABC≌△FDE
几何语言
D A
B
CE
F
∵△ABC≌△DEF， ∴点 A 和点 D ，点 B 和点 E ，点 C 和_点__F_是对应顶点；
∠A 和 ∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和 ∠F 是对应角； AB 和 DE ，BC 和 EF ，AC 和 DF 是对应边.
类比操作 1 ，说一说操作 2、操作 3 的对应顶点、对应边、对应角.
B
各图中的两个三角形全等吗？
A C
操作 1
操作 2
操作 3
D
D
A
A
A

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (97)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．（1）证明：AE=CF；（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF△△AB′E；（2）先设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，根据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得出方程122+（18-x）2=x2，解得x=13．所在DF=18-13=5.【详解】（1）证明：△四边形ABCD是矩形，△△D=△C=△B′=90°，AD=CB=AB′，△△DAF+△EAF=90°，△B′AE+△EAF=90°，△△DAF=△B′AE，在△ADF和△AB′E中，'''D B AD AB DAF B AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ADF △△AB ′E （ASA ）． ∴AE=CF ；（2）解：由折叠性质得FA=FC ，设FA=FC=x ，则DF=DC-FC=18-x ，在Rt △ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2， △122+（18-x ）2=x 2．解得x=13．∴DF=18-13=5 【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以的运用，解决问题的关键是：设相关线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．62．如图，已知AD 是ABC ∆的一条中线，延长AD 至E ，使得DE AD =，连接BE . 如果5,7AB AC ==，试求AD 的取值范围.【答案】AD 的取值范围是16AD <<.【解析】【分析】先证明ADC EDB ∆∆≌得到7BE AC ==，然后根据三角形的三边关系得到AE 的取值范围，从而计算出AD 的取值范围。

12.1全等三角形说课稿-2021-2022学年数学人教版八年级上册

《全等三角形》说课稿珲春市第四中学林芳羽尊敬的各位评委，各位老师，大家好！今天我说的课是人教版八年级上册第12章《全等三角形》的第一课时，下面我将从一下几个方面对本节课的教学设计进行说明。

一、教材分析全等三角形是八年级上册人教版数学第十二章第一节，属于图形与几何大单元。

本章是在研究了线段、角、相交线、平行线、三角形的有关知识后进行研究的。

研究对象从一个图形“升级”为两个图形，主要关注的是两个图形之间的一种特殊关系，即全等关系。

同时全等三角形也可以看作是由一个三角形经过不同的位置变化得到的另一个图形，是后面我们要研究的图形变换中全等变换的基础。

也为相似的学习提供思路。

通过对本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识。

本节课是“全等三角形”的开篇，是三角形全等条件以及全等三角形判定的基础，也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆的基础。

2022新课表要求二、教学目标1.知识目标（1）知道什么是全等形，全等三角形以及全等三角形对应的元素；（2）能用符号正确地表示两个三角形全等；（3）能熟练地找出两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；（4）理解全等三角形的性质2.学生经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获取全等三角形的性质和寻找对应边与对应角的方法。

3.通过感受全等三角形的对应美，激发学生热爱科学，勇于探索的精神。

通过动手操作，构建数学知识，体验获取知识的过程，发展学生概括总结能力、几何直观、符号意识等核心素养。

重点：全等三角形的有关概念和性质难点：全等三角形的对应元素的确定三、学情分析①学生在七年级时已经学过线段、角、相交线与平行线及三角形的有关知识，并学习了一些简单的说理，初步具有对简单图形的分析和辨识能力。

②学生通过对平行线，三角形等知识的学习，已经具备了一定的推理，合作与交流的能力，但严密的逻辑思维能力和规范语言表达上仍有欠缺。

③八年级学生有比较强的自我表现和展示的意识，对新鲜事物有一定的好奇心，在情感上也具有学习新知识的强烈欲望。

人教版数学八年级上册第12章第1课-12.1全等三角形(教案)

在小组讨论环节，学生们对于全等三角形在实际生活中的应用提出了许多有趣的见解，这让我感到很欣慰。但同时，我也意识到需要更多关注那些不太主动参与讨论的学生，鼓励他们大胆表达自己的观点，增强他们的自信心。
反思今天的整个教学过程，我认为在以下几个方面可以做出改进：
1.对于全等三角形的判定方法，我可以设计更多的例题和练习，让学生们在课堂上即时巩固所学知识，提高解题技巧。
-应用全等三角形的性质与判定方法解决实际问题：培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。
-举例：设计一些实际问题的题目，如测量不规则图形的面积，要求学生运用全等三角形的性质与判定方法来解决。
2.教学难点
-理解全等三角形的判定方法的应用：学生在理解判定方法的基础上，需要能够将方法灵活应用于不同的问题场景中。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的定义和四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）这两个重点。对于难点部分，我会通过具体图形和实际例题来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用纸片制作全等三角形，并验证它们之间的全等关系。
3.判定全等三角形的实际应用：通过实际案例分析，运用全等三角形的判定方法解决实际问题。
4.全等三角形的性质与判定方法的综合运用：结合实际题目，让学生学会运用全等三角形的性质和判定方法进行解题。
5.全等三角形在实际生活中的应用：举例说明全等三角形在建筑、艺术、工程等领域中的应用，增强学生的实际应用意识。
在实践活动中，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，主动探索全等三角形的性质。我发现这种互动式的学习方式能够有效提高学生的几何直观和动手能力。然而，我也观察到部分小组在讨论过程中，学生们对于如何将理论知识应用到实际问题中的思考还不够深入，这可能需要我在引导讨论时，提供更多具体的案例和问题来激发他们的思考。

人教版八年级数学上册第12章第1节全等三角形公开课一等奖优秀课件

到的,求∠BAE,∠CAF和∠BME的度数.
F
A
B
C
A
N
M E
C ∠A+∠B=∠C+∠D
B D
课堂小结
1.能够重合的两个图形叫做全等形。
其中：互相重合的顶点叫做＿对＿应＿顶点互相重合的边叫做＿对＿应＿边＿互相重合的角叫做＿对＿应＿角
2. 能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
3.“全等”用符号“ ≌ ”来表示，读作全等于
E
A
B
F
C
类型二：利用全等证明线段的关系
例2：如图，已知ΔABD≌ΔAEC, ∠B和∠E, 是对应角,AB与AE是对应边,试说明:BC=DE.
A
B
CD
E
典型例题
例3：如图，已知ΔABC≌ΔFED, BC=ED, 求证:AB∥EF
E
AD B
F C
拓展提升
如图,已知ΔAEF是ΔABC绕A点顺时针旋转55°得
记作△ABC≌ △DEF，读作△ABC全等于△DEF
记两个三角形全等时，通常把表示对应注意顶点的字母写在对应的位置上。
用全等符号表示下列全等三角形,指出
对应的顶点,对应边,对应角.
全等三
角形的
A
M
S 性质
C
O
O
B
发现：全D等三角形的对应N 边相等； T
全等三角形的对应角相等．
全等三角形性质的几何语言
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
点此播放动画视频
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
思考:他们能完全重合吗?
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
思考:他们能完全重合吗?

人教版八年级数学上册第12章《12.1 全等三角形》

边
AC=DE
边
BC=EF
角 ∠A=∠D
角 ∠B=∠F
角 ∠ACB=∠DEF
第十二章全等三角形
1.如果∆ABC≌∆ADC，AB=AD，∠B=70°,BC=3cm,那么 ∠D=_7_0_°_,DC=__3__cm 2.如果 ∆ABC≌∆DEF,且∆ABC的周长为100cm,A、B分别与D 、E对应, AB=30cm,DF=25cm,则BC的长为( A ) A.45cm B.55cm C.30cm D. 25cm
第十二章全等三角形
3.如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如
果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=39°,则AN=__7_cm,NM=__5_cm,
∠NAB=_1_2_°_.
A
7cm
D
B
N
5 cm M
C
第十二章全等三角形
4.如图,已知△ AOC ≌ △BOD，求证：AC∥BD.
1、全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.
2、有公共边的，公共边是对应边；有公共角的，公共角是对应角.
3、在全等三角形中相等的边是对应边；相等的角是对应角.
你能否直接从记作∆ABC≌∆DEF中判断出所有的对应顶点、对应边和对应角？
第十二章全等三角形 ≌
边
AB=Байду номын сангаасF
【解析】∵ △AOC ≌△BOD， ∴∠A= ∠B.（全等三角形的对应角相等） ∴ AC∥BD.(内错角相等，两直线平行）
第十二章全等三角形
5.仔细观察，图中的全等三角共有几对？各是哪些？
【解析】共有四对：分别是 △ACM ≌△BDM; △EDN ≌△FCN; △AEM ≌△BFM； △DFM ≌△CEM.

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第12章12.1 全等三角形

第十二章全等三角形12.1 全等三角形一、教学目标【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.【教学难点】全等三角形对应元素的识别.五、课前准备教师：课件、三角尺、全等图形等。

学生：三角尺、直尺、全等图形、三角形纸板。

六、教学过程（一）导入新课观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？（出示课件2-3）（二）探索新知1.观察图形，学习全等图形教师问1：下列各组图形的形状与大小有什么特点？（出示课件5）学生回答：每一组图中的两个图形形状相同，大小相等.教师问2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（出示课件6）学生回答：前三组图形的形状相同，大小也相等，第4组图形的形状相同，但是大小不相等，第5组图形的形状不相同，但是大小相等.教师问3：它们能够完全重合吗？你能再举出一些类似的例子吗？学生讨论分析，教师引导后学生回答：举例：学生手中含30度角的三角板；含45度角的三角板；学生手中的小量角器；由同一张底片洗出的尺寸相同的照片；两本数学书等.教师讲解：由图①②③中的图形，我们可以看到，它们的形状相同，大小相等，像这样，形状相同、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形.教师问4：同学们讨论一下，全等图形有什么性质呢？学生回答：全等图形的形状相同，大小相等.总结点拨：全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.2.师生互动，认识全等三角形的概念教师问5：观察下边的两个三角形，它们的形状和大小有何特征？学生回答：它们的形状相同，大小相等.教师问6：这两个三角形能够完全重合吗？学生回答：能够完全重合教师问7：这两个三角形能够完全重合之后，△ABC的顶点A、B、C与△DEF的顶点D、E、F那两个点重合呢？它们的边呢？它们的角呢？学生回答：点A与点D重合，点B与点E重合，点C与点F重合，边AB 与边DE重合，边AC与边DF重合，边CB与边FE重合，∠A与∠D重合，∠B与∠E重合，∠C与∠F重合.教师总结：（出示课件9）像上图一样，把△ABC 叠到△DEF上，能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.教师问8：平移、翻折、旋转前后的两个三角形什么变化，什么没有变化呢？学生讨论并回答：三角形的形状和大小没有变化，位置变化了.教师问9：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？（出示课件10）学生回答：平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.总结点拨：（出示课件11）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.学生小组活动：教师提出下列要求：①请你用事先准备好的三角形纸板通过平移、翻折、旋转等操作得到你认为美丽的图形；②在练习本上画出这些图形，标上字母，并在小组内交流；③指出这些图形中的对应顶点、对应边、对应角.教师问10：请同学们观察分析，指出下列图形的对应边、对应角和对应顶点.学生分组做完后并点名回答教师问11：寻找对应元素有什么方法和规律吗？学生思考交流后，师生共同归纳、板书.（出示课件13）1. 有公共边，则公共边为对应边；2. 有公共角（对顶角），则公共角（对顶角）为对应角；3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.教师问12：全等三角形的对应边、对应角有什么数量关系？学生回答：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.教师问：全等三角形用什么表示呢？学生阅读教材32页内容回答：全等”用符号“≌”表示，△ABC全等于△DEF，记作△ABC≌△DEF.教师问13：全等三角形有哪些性质呢？学生讨论回答：全等三角形的对应边相等，对应角相等.总结点拨：全等的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. （出示课件15）警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的性质：（出示课件16-17）全等三角形的对应边相等，对应角相等.几何语言：∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE，AC=DF，BC=EF(全等三角形对应边相等），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F(全等三角形对应角相等）.例1：如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.（出示课件18）师生共同解答如下：解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.例2：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．（出示课件20）师生共同解答如下：解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.例3：如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.（1）试写出两三角形的对应边、对应角；（2）求线段NM及HG的长度；（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.（出示课件22-23）师生共同解答如下：解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；对应角有∠E和∠N，∠F和∠M，∠EGF和∠NHM.（2）解：∵△EFG≌△NMH，∴NM=EF=2.1cm，EG=NH=3.3cm.∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2（cm）.（3）解：结论：EF∥NM证明：∵ △EFG≌△NMH，∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.总结点拨：全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边; 两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.（三）课堂练习（出示课件27-30）1.能够_________的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，互相__________的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示___________顶点的字母写在_________的位置上.2.如图，△ABC≌ △ADE，若∠D=∠B，∠C= ∠AED，则∠DAE=_______；∠DAB=__________ .3.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么BC 的长是( )A.6cmB.5cmC.4cmD.无法确定4.在上题中，∠CAB的对应角是( )A.∠DABB.∠DBAC.∠DBCD.∠CAD5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )A.△ABD 和△CDB 的面积相等B.△ABD 和△CDB 的周长相等C.∠A +∠ABD =∠C +∠CBDD.AD∥BC，且AD = BC6.如图，△ABC ≌△AED，AB是△ABC 的最大边，AE是△AED的最大边，∠BAC 与∠ EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B= 35°，AB =3cm，BC =1cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段DE，AE 的长度.参考答案：1. 重合重合对应相对应2. ∠BAC ∠EAC3.A4.B5.C6. 解:∵ △ABC ≌△AED，(已知)∴∠E= ∠B = 35°，(全等三角形对应角相等)∠ADE =∠ACB =180°–25°–35°=120 °，(全等三角形对应角相等) DE = BC =1cm，AE = AB =3cm.(全等三角形对应边相等)（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.全等三角形的有关概念2.全等三角形的性质3.寻找对应元素的方法（五）课前预习预习下节课（11.2）教材35页到教材37页的相关内容。

数学人教版八年级上册第12章第一节全等三角形

数学人教版八年级上册第12章第一节全等三角形----b327c178-6eb3-11ec-929d-7cb59b590d7d12.1全等三角形课程内容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．教学目标1.知识和技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念．2．过程与方法通过研究全等三角形的性质，我们可以正确地找到全等三角形中相应的边和角。

3.情感、态度和价值观养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．重点难点1.要点：能够确定全等三角形的对应元素。

2.难点：掌握寻找相应边缘和角度的方法3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个被相应角点夹住的边就是相应的边；（2）与相应边相对的角度就是相应的角度，？两条对应边之间的角度就是对应的角度教具准备四张同样大小的纸、尺子和剪刀。

教学方法采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程一、实际操作和主题介绍1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．在学生的操作过程中，教师应要求学生提前在纸上画三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程程要细心．【互动交流】从切割的多边形和三角形可以看出，它们具有相同的形状和大小，可以完全重合图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．【教师活动】随意在纸板上剪一个三角形。

让学生拿一个三角形，做以下动作：平移和旋转折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．【教师活动】要求学生用字母表示每个切割三角形，并相互指出每个三角形的顶点和三个点角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重准备好了吗？（2）它们的顶点、边和角的特征是什么？【沟通与讨论】通过同一个表格的沟通，实验得出以下结论：1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了．3.完全重合意味着三条边相等，三个内角相等，？相应的顶点位于相应的位置。

人教版八年级上册第十二章 12.1全等三角形课件(共18张PPT)

今日任务—— 课堂作业：课本P31-32习题1、2 家庭作业：3、4
寻找对应边对应角的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）最大边与最大边（最小边与最小边）为
对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
（5）对应角所对的边为对应边；对应边所对的角为对应角；
（6）根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角．
△ABC≌△BAD的对应边和
角∴
AB∠－BAACE= ∠＝AEBFD－EA AF∠=ABEB=C_=_6_-2∠_=_B4AD
对应角
角 ∠C= ∠D
等式的性质1
谈谈你这节课的收获
全等三角形
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；（2）全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等；（3）全等三角形用符号“≌”表示，且一般对应顶点写在对应位置上.
人教版八年级数学上册
12.1全等三角形
教学目标
知识与能力
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．
观察（1）
(2)
(3)
每组的两个图形有什么特点? 重合
思考能够完全重合的两个图形叫做全等形
2021年8月12日星期四
F
如图：∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF （全等三角形的对应边相等）
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形的对应角相等）
A
Ｄ
随堂练习：
B
CＥ
Ｆ
第二题图
1、若△ ABC≌ △ DEF，则∠B= ∠E , ∠BAC= ∠EDF ,

人教版八年级数学上册第12章全等三角形小结与复习

∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
( 全等三角形的对应角相等).
二、三角形全等的判定方法
1. 三边分别相等的两个三角形全等 (可以简写为
“边边边”或“SSS”).
A
用符号语言表示为：
在△ABC 和△ DEF 中，
AB = DE， BC = EF，
B
C
D
CA = FD，
∴△ABC≌△DEF (SSS).
∠PEA =∠PFC = 90°，
∠EAP =∠FCP，
PE = PF， ∴△APE≌△CPF (AAS). ∴ AP = CP.
E
A 1
N P
2
B
FC
证法2 思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角
平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. 方法
是在 BC 上截取 BD = BA，连接 PD (如图).
1 2
N P
FC
∴∠EAP =∠FCP =∠PCB. ∵∠BAP +∠EAP = 180°， ∴∠PCB +∠BAP = 180°.
E
N
A 1 2
B
P FC
想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB 与∠PAB 有怎样的数量关系呢？
性质
全等三角形
判定
作用角的平分线的性质定理角的平分线的判定定理
构造角平分线模型.
1 2
N P
B
FC
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (48)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)已知,如图△ABC中,∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F. 求证：BF=AC；【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可.【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°,∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°,∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵BDF CDAA DFBBD DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴BF=AC；【点睛】此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.72．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．求证：△ABE≌△CBD；【答案】见解析【解析】【分析】由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证.【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBD(SAS)；【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.73．如图，已知点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC ∥DE ，BE=FC ，∠A=∠D ，(1) 求证：AB=DF ；(2)求证：AB ∥DF ；(3)若BC=9,EC=5，求BF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）13.【解析】【分析】（1）由条件证明△ABC ≌△DFE 即可求得AB=DF ；（2）由(1)可知，∠ABC=∠DFE ，即可判定平行.（3）由全等三角形的性质可得BC=FE ，再利用线段的长和差可求得BF ．【详解】证明：(1)∵AC ∥DE∴∠ACB=∠DEF∵BE=FC∴BE+EC=FC+EC∴BC=FE在△ABC 和△DFE 中，A D ACB DEF BC FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DFE （AAS ）∴AB DF =AB=DF(2)由(1)可知，△ABC ≌△DFE∴∠ABC=∠DFE∴AB ∥DF(3) 由(1)可知，△ABC ≌△DFE∴BC=FE又∵BC=9，EC=5∴CF=EF-EC=4∴BF=BC+CF=9+4=13.答：BF 的长为13.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理.74．如图，在四边形ABCD 中，AD =DC ，DF 是∠ADC 的平分线，AF ∥BC ，连接AC ，CF ．求证：CA 是∠BCF 的平分线．【答案】见解析【解析】【分析】根据SAS 证明△ADF ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质证明即可．【详解】证明：∵DF 是∠ADC 的平分线，∴∠CDF ＝∠ADF ．又∵AD ＝DC ，DF ＝DF ，在△ADF 与△CDF 中，AD DC CDF ADF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△CDF ，∴AF ＝CF ，∴∠ACF ＝∠CAF ．∵AF ∥CB ，∴∠CAF ＝∠ACB ，∴∠ACF ＝∠ACB ，即CA 平分∠BCF【点睛】本题考查三角形全等的证明以及平行线的性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.75．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BC ＝12厘米，点D 为AB 上一点且BD ＝8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）用含t的式子表示PC的长为；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【答案】（1）（12﹣2t）cm；（2）全等，理由详见解析；（3）点Q的运动厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．速度是83【解析】【分析】（1）先表示出BP，然后利用PC＝BC﹣BP即可得到答案；（2）利用速度时间与路程的关系，分别求出两个三角形中的边的长度，再利用SAS判定两个三角形全等；（3）根据全等三角形应满足的条件探究边之间的关系，再根据路程公式，先求得P点的运动时间，再求Q得运动速度.【详解】解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t；故答案为（12﹣2t）cm．（2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米，∵BD＝8厘米．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米，∴PC＝12﹣4＝8厘米，∴PC＝BD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD和△CQP中，BD PCB C BP CQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD≌△CQP（SAS）；③∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝6cm，CQ＝BD＝8cm，∴点P，点Q运动的时间t＝PB2＝62＝3秒，∴V Q＝CQt ＝83厘米/秒．即点Q的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．【点睛】本题考查全等三角形的的判定，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键.76．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1:3，△FBQ的面积等于3，求△AQE的面积；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1:3，△FEQ的面积等于3，求△AQE的面积．【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）9；（3）3.4【解析】【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EA=BD，再证明△AEQ≌△BDQ，所以AE=BD，CE=BF，又因为CE：AE＝1:3，从而得BF:BD=1:3,即△FBQ的面积：△DBQ的面积=1:3，计算△DBQ的面积=9,从而求解；(3)方法同（2）证出Rt△AEC≌Rt△CFB，连接CQ, 由AE：CE＝1:3，得CF：CE＝1:3，再根据高相等的三角形面积比等于底的比得出△CFQ 的面积与△EFQ 的面积面积比，从而求出△CFQ 的面积，然后根据SAS 证明 △QAE ≌△QCF ，从而求解.【详解】解：（1）当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是AE ∥BF ，QE 与QF 的数量关系是AE=BF ，理由是：∵Q 为AB 的中点，∴AQ=BQ ，∵AE ⊥CQ ，BF ⊥CQ ，∴AE ∥BF ，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ 和△BFQ 中，AQE BQF AEQ BFQAQ BQ ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△AEQ ≌△BFQ ，∴QE=QF ，故答案为：AE ∥BF ，QE=QF ；(2) 延长EQ 交BF 于D ，如图2：∵由（1）知：AE ∥BF ，∴∠AEQ=∠BDQ ，在△AEQ 和△BDQ 中，AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AEQ ≌△BDQ ，∴AE=BD,∵∠ACE+∠FCB=∠FCB+∠CBF=90°∴∠ACE =∠CBF又∵∠AEC=∠CFB=90°，AC=CB,∴△AEQ ≌△BDQ∴AE=BD ，CE=BF又∵CE ：AE ＝1:3，∴BF:BD=1:3,即△FBQ 的面积：△DBQ 的面积=1:3 又∵△FBQ 的面积等于3，∴△DBQ 的面积=9,∵△AEQ ≌△BDQ ，∴△AEQ 的面积=9；（3）图形如下：连接CQ,方法同（2）可得：Rt △AEC ≌Rt △CFB(一线三等角)，∴AE=CF，EC=FB，∠EAC=∠FCB,∵AE：CE＝1:3，∴CF：CE＝1:3，∴△CFQ的面积：△ECQ的面积=1:3，△CFQ的面积：△EFQ的面积=1:4，△FEQ的面积等于3，即：△CFQ的面积=34，∵Q为斜边AB的中点，AC=BC,∴CQ=AQ，∠QAC=∠QCB=45°，∴∠EAC+∠QAC =∠FCB+∠QCB，即∠QAE=∠QCF∴△QAE≌△QCF (SAS)∴△AQE的面积=△CFQ的面积=34，【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．77．如图，在△ABC中，AB=CB，∠BAC＝∠BCA＝45°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．∠CAE=30°，求∠ACF的度数．【答案】答案见解析.【解析】【分析】由∠BAC=∠BCA=45°，可得△ABC 为等腰直角三角形，则可得到∠BAE=15°，再根据Rt △ABE ≌Rt △CBF 得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠ACF=∠BCF+∠BCA 进行计算．【详解】解：∵∠BAC ＝∠BCA ＝45°，∴∠ABC=∠FBC=90°，∴在Rt △ABE 和Rt △CBF 中90AB CB EBA FBC BE BF ⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪⎩＝，＝∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=45°-30°=15°，∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°， ∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．78．在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上（点D 、点E 不与所在线段端点重合），BD CE =，连接BE ，CD .射线CF AB ∥，延长BE 交射线CF 于点M ，点N 在直线CD 上，且MN CN =.（1）如图1所示，点N 在DC 的延长线上，求BMN ∠的度数.（2）若()090A αα∠=<≤，其它条件不变，当点N 在DC 的延长线上时，BMN ∠=______；当点N 在CD 的延长线上时，BMN ∠=______.（用含α的代数式表示）【答案】(1)120o ;(2)180o -α,α【解析】【分析】(1)先证明△ABE ≌△ACD 得到∠AEB ＝∠ADC ，再由平行线的性质得到∠A=∠ECM,∠ADC+∠ACD+∠ECM=180o ，∠ADC ＝∠MCN ，综合可得∠EMN ＝∠ACD+∠ADC ，再根据三角形内角和即可求得;(2) 当点N 在DC 的延长线上时，求解方法与（1）相同；当点N 在CD 的延长线上时，与（1）方法相同先证明∠ACD ＝∠EMC ，再由MN CN =可得∠ACD+∠ECM ＝∠NME+∠EMC ，再代相等的量代入即可得到∠NME ＝∠A ，即可求得.【详解】（1）∵BD CE =，AB AC =，∴AD ＝AE ，在△ABE 和△ACD 中AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠AEB ＝∠ADC ，又∵∠AEB ＝∠MEC(对顶角相等),∴∠ADC ＝∠MEC,∵CF//AB,∠ADC ＝∠MCN ，∴∠A=∠ECM,∠ADC+∠ACD+∠ECM=180o , ∠ADC ＝∠MCN ，又∵∠EMC+∠ECM+∠MEC ＝180o （三角形内角和为180o ）, ∴∠ADC+∠ACD ＝∠EMC+∠MEC ，又∵∠ADC ＝∠MEC （已证）,∴∠ACD ＝∠EMC ，又∵MN ＝CN ，∴∠NCM ＝∠NMC ，又∵∠ADC ＝∠MCN （已证），∴∠ADC ＝∠NMC ，又∵∠ACD ＝∠EMC ，∠EMN ＝∠ECM+∠NMC ，∴∠EMN＝∠ACD+∠ADC，在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠A＝180o,∴∠EMN＝∠ACD+∠ADC=180o-∠A,又∵∠A＝60o,∴∠EMN＝180o-60o=120o.即∠BMN＝120o;(2) 当点N在DC的延长线上时，如图1所示：由（1）得∠EMN＝180o-∠A，又∵()Aαα∠=<≤，090∴∠EMN＝180o-α,即∠BMN＝180o-α；当点N在CD的延长线上时，如图所示：由（1）可得∠ACD＝∠EMC，∵CF//AB,∴∠A=∠ECM,∵NC＝MN，∴∠NCM＝∠NMC，又∵∠NCM＝∠ACD+∠ECM，∠NMC＝∠NME+∠EMC，∴∠ACD+∠ECM ＝∠NME+∠EMC ，∴∠ECM ＝∠NME ，又∵∠A=∠ECM,∴∠NME ＝∠A ，又∵∠A ＝a ,∴∠NME ＝a,即∠BMN ＝a.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用相关性质求证到∠ACD ＝∠EMC ．79．如图所示，在Rt ABC ∆中，AC BC <，90ACB ∠=，点D 在BC 上，CD CA =，点E 在AB 上，连接CE ，DE ，过点C 作CF CE ⊥交BA 的延长线于点F .若180CAB CDE ∠+∠=，DE 与AF 相等吗？请说明理由.【答案】DE=AF,理由见解析【解析】【分析】先证明∠DCE ＝∠ACF 、∠CDE ＝∠CAF ，再根据AAS 证明△CDE ≌△CAF ，从而得到DE ＝AF.【详解】∵90ACB ∠=，CF CE ⊥,∴∠DCE+∠ECA=90o ,∠ACF+∠ECA=90o ,∴∠DCE=∠ACF,∵180CAB CDE ∠+∠=,∠CAE+∠CAF=180o ,∴∠CAF=∠CDE,在△CDE 和△CAF 中，CAF CDE DCE ACF CD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CDE ≌△CAF （AAS ），∴DE ＝AF.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键利用同角的补角相等和同角的余角相等证明∠DCE=∠ACF 、∠CAF=∠CDE.三、填空题80．如图，已知BD=DC,∠1=∠2，则，AB=___________,∠B=________________。

第12章+全等三角形知识点总结+20223-2024学年人教版数学八年级上册+

第12章全等三角形思维导图12.1全等三角形【知识点】1.能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状相同，大小相同2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角4.两个三角形全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC△△A′B′C′.在用符号表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（用语言叙述的两个全等三角形的顶点不一定是对应顶点）5.全等三角形的对应边相等，对应角相等6.寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．（7）根据表达式找对应角、对应边时，可根据字母的顺序来确定对应关系．12.2全等三角形的判定【知识点】（一）全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”（三角形的稳定性）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”6.【延伸】（1）有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等（2）有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等（3）全等三角形对应边上的高相等（二）利用SSS 作一个角等于已知角如图（1）所示，已知∠AOB ，要求作一个角∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB作法：（1）如图（1），以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB【题型】（一）直角三角形全等的判定（二）作一个角等于已知角（三）三角形全等的判定证明题 1. （2021重庆）如图，点B,F,C,E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不能判定△ABC△△DEF 的是（）A.AB=DEB.△A=△DC.AC=DFD.AC//FD答案：C2.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD△△ABC，则还需要添加的一个条件是__________.答案：AD=AC（∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE）3.（2021吉林）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.答案：△ACD≌△ABE(ASA)4.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E.求证：∠DAC=△CBD答案：△ADC≌△BCD(SSS)5.（2021陕西）如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.答案：△EDB≌△ABC(SAS)6.（2021福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E，F，且DE=DF，CE=BF.求证：∠B=∠C.答案：△DEC ≌△DFB(SAS)7.（2020吉林）如图，在△ABC 中，AB>AC ，点D 在边AB 上，且BD=CA ，过点D 作DE//AC ，并截取DE=AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE.求证：△DEB△△ABC.答案：△DEB ≌△ABC(SAS)12.3角的平分线的性质【知识链接：11.1三角形的角平分线】1）定义：三角形的一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个叫的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线2）一个三角形有3条角平分线，它们都在三角形内部，且交于一点（一）角平分线的画法（依据SSS ）（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N（2）分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C（3）画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的角平分线（二）角平分线的性质1.角平分线上的点到角的两边的距离相等【延伸性质】AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，交AD于点G，则AD垂直平分EF2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等【证明三角形三条角平分线交于一点】设AD，BE交于一点O，作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB则OG=OI=OH（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）因为OG=OH所以O点也在∠C的平分线上（到角的两边距离相等的点在角平分线上），即在CF 上，也就是AD，BE，CF交于一点4.三角形的两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等5.到三角形三边所在直线距离相等的点有4个【题型】（一）运用角平分线的性质证明线段相等。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (25)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于点E ，CD ⊥AB 于点D ，BE 、CD 相交于点F ，连接AF ．求证：（1）△AEB ≌△ADC ；（2）AF 平分∠BAC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可；（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠ADC ＝90°，在△AEB 与△ADC 中AEB ADC BAE CAD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEB ≌△ADC （AAS ），（2）∵△AEB ≌△ADC ，∴AE ＝AD ，在Rt △AEF 与Rt △ADF 中，AE AD AF AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEF ≌Rt △ADF （HL ），∴∠EAF ＝∠DAF ，∴AF 平分∠BAC ．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS 证明△ABE 与△ADC 全等．42．如图，D 、C 、F 、B 四点在一条直线上，AB DE =，AC BD ⊥，EF BD ⊥，垂足分别为点C 、点F ，CD BF =．求证：（1）ABC EDF ∆≅∆；（2）//AB DE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL 证得结论；（2）由（1）中结论可得到∠D ＝∠B ，则可证得结论．【详解】证明：（1）∵AC BD ⊥，EF BD ⊥，∴ABC ∆和EDF ∆为直角三角形，∵CD BF =，∴CF BF CF CD +=+，即BC DF =，在Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，AB DE BC DF =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABC Rt EDF HL ∆≅∆；（2）由（1）可知ABC EDF ∆≅∆，∴B D ∠∠=，∴//AB DE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．43．如图，等边ABC 中，E 是AB 上任意一点，以CE 为边作等边ECD ，连接AD ，试判断AD 与BC 的位置关系，并证明你的结论．【答案】结论：//AD BC ；理由见解析【解析】【分析】结论：//.AD BC 证明BCE ≌()ACD SAS ，推出60CAD B ∠∠==，可得DAC ACB ∠=∠解决问题．【详解】结论：//AD BC ．理由：ABC ，CED △都是等边三角形，CB CA ∴=，CE CD =，60BCA B ECD ∠∠∠===，BCE ACD ∠∠∴=，在BCE 和ACD 中，CB CA BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCE ∴≌()ACD SAS ，60CAD B ∠∠∴==，DAC ACB ∴∠=∠，//AD BC ∴．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．44．如图，在等边△ABC 中，点D 、点E 分别在AB 、AC 上，BD=AE ，连接BE 、CD 交于点P ，作EH ⊥CD 于H ．（1）求证：△CAD≌△BCE；（2）求证：PE=2PH；（3）若PB=PH，求∠ACD的度数．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45°【解析】【分析】（1）根据SAS证明△CAD≌△BCE即可；（2）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题；（3）连接AH、BH，过H点作HM⊥AB于M，HN⊥AC于N．利用全等三角形的性质证明△EHC是等腰直角三角形即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠BCA=∠ABC=60°，AB=AC=BC，∵BD=AE，∴AB-BD=AC-AE，即AD=EC，在△CAD 与△BCE 中，AC BC A ACB AD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CAD ≌△BCE （SAS ）．（2）证明：如图2中，由（1）得△CAD ≌△BCE ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=60°，∴∠2+∠3=60°，∴∠4=∠2+∠3=60°，又∵EH ⊥CD ，∴∠PHE=90°即△PHE 是直角三角形，∵∠5=90°-∠4=30°，∴PH=12PE ．即PE=2PH ．（3）解：连接AH 、BH ，过H 点作HM ⊥AB 于M ，HN ⊥AC 于N ．∵PB=PH，∠1=∠2，由（2）得，∠4=30°，∠3=∠1+∠2=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠BHE=120°，∴∠1=∠4，∴BH=EH，∵∠BAC=60°，∴∠ABH+∠AEH=360°-∠BAC+∠BHE=180°，∵∠HEC+∠AEH=180°，∠ABH=∠HEC，∴∠BMH=∠ENH=90°，∴△BHM≌△EHN（AAS），∴HM=HN，∴∠5=∠6，∵AH=AH，AB=AC，∴△AHB≌△AHC（SAS0，∴HB=HC=HE且∠EHC=90°．∴∠ACD=45°．【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．45．已知如图，M、N是△ABC的BC边上两点，且AB＝AC，BM＝CN（1）如图1，证明：△ABN≌△ACM；（2）如图2，当∠ANB＝2∠B时，直接写出图中所有等腰三角形（△ABC 除外）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ABN≌△ACM即可；（2）利用全等三角形的性质，三角形的外角的性质可以证明△AMN，△ANC，△ABM是等腰三角形；【详解】（1）证明：∵AC=AB，∴∠B=∠C，又∵BM=CN，∴BM+MN=CN+MN∴BN=CM在△ABN 和△ACM 中，AB AC B C BN CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABN ≌△ACM （SAS ）．（2）∵△ABN ≌△ACM ，∴∠ANB=∠AMC ，∴AM=AN ，∴△AMN 是等腰三角形，∵∠ANB=2∠B=2∠C=∠C+∠CAN ，∴∠C=∠CAN ，∴△ANC 是等腰三角形，同法可证△ABM 是等腰三角形．【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．46．如图，在边长为8的等边三角形ABC 中，点D 沿射线AB 方向由A 向B 运动，点F 同时从C 出发，以相同的速度每秒1个单位长度沿射线BC 方向运动，过点D 作DE ⊥AC ，连结DF 交射线AC 于点G ．（1）当DF ⊥AB 时，求AD 的长；（2）求证：EG ＝12AC ．（3）点D 从A 出发，经过几秒，CG ＝1.6？直接写出你的结论．【答案】（1）83；（2）详见解析；（3）t＝4.8s或11.2s时，CG＝1.6．【解析】【分析】（1）设AD=x，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可；（2）过点D作DH∥BC，交AC于点H，则∠HDG=∠F，先判定△ADH是等边三角形，再根据等量代换得到DH=FC，进而判定△DHG≌△FCG（AAS），得到HG=CG，再根据△ADH为等边三角形，DE⊥AH，得出AE=EH，最后得出AC=AH+CH=2EH+2HG=2EG；（3）分两种情形解答即可；【详解】解：（1）设AD＝x，则CF＝x，BD＝8﹣x，BF＝8+x，∵DF⊥AB，∠B＝60°，∴BD＝12BF，即8﹣x＝12（8+x），解得，x＝83，即AD＝83；（2）如图所示，过点D作DH∥BC，交AC于点H，则∠HDG＝∠F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ADH ＝∠AHD ＝∠A ＝60°，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，又∵点D 与F 的运动速度相同，∴AD ＝CF ，∴DH ＝FC ，在△DHG 和△FCG 中，DGH FGC HDG FDH FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DHG ≌△FCG （AAS ），∴HG ＝CG ，∵△ADH 为等边三角形，DE ⊥AH ，∴AE ＝EH ，∴AC ＝AH+CH ＝2EH+2HG ＝2EG ，∴EG ＝12AC ．（3）由（2）可知CG ＝GH ＝1.6，∴AD ＝AH ＝8﹣3.2＝4.8或AD ＝AH ＝8+3.2＝11.2，∴t ＝4.8s 或11.2s 时，CG ＝1.6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和等边三角形，依据等边三角形三线合一以及全等三角形的对应边相等进行推导．47．如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=50°,点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于点E.(1)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.(2)若DC=2,求证:△ABD≌△DCE.【答案】（1）100°或115°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE的形状是等腰三角形；（2）利用∠DEC+∠EDC=130°，∠ADB+∠EDC=130°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．【详解】(1)△ADE的形状可以是等腰三角形∵∠B=∠C=50°,∠ADE=50°,∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°,∴∠BDA=∠CED.∵点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),∴AD≠AE.当EA=ED时,如图1所示,∠EAD=∠ADE=50°,∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°;当DA=DE 时,如图2所示,∠EAD=∠AED=65°,∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°.综上,∠BDA 为100°或115°.(2) ∵DC=2, AB=AC=2,∴AB=DC由(1)可得∠BDA=∠CED,在△ABD 和△DCE 中,,,,BDA CED B C AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△DCE(AAS).【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论．48．在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，过A 、B 分别作AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D 、E ．()1如图a ，当直线MN 在ABC 外部时，求证：DE AD BE =+；()2如图b ，当直线MN 经过ABC 内部时，请直接写出线段AD 、DE 、BE 之间的等量关系．【答案】（1）见解析；（2）DE AD BE =-.【解析】【分析】()1由条件可证明ADC ≌CEB ，利用全等三角形的性质和线段的和差可证得结论； ()2同()1可证得ACD ≌CBE ，利用全等三角形的性质可求得DE AD BE =-．【详解】 () 1证明：AD MN ⊥，BE MN ⊥，ADC CEB 90∠∠∴==，DAC DCA DCA BCE 90∠∠∠∠∴+=+=，DAC ECB ∠∠∴=，在ADC 和CEB 中ADC BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADC ∴≌()CEB AAS ，AD CE ∴=，CD BE =，DE CD CE =+，DE AD BE ∴=+；()2DE AD BE =-，理由如下：同理可证得ADC ≌CEB ，CD BE ∴=，AD CE =，DE CE CD =-，DE AD BE ∴=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，由条件证得ADC ≌CEB 是解题的关键，注意全等三角形的判定和性质的应用．49．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ，O 是△ABC 内部的一个动点，△OBD 是等腰直角三角形，OB ＝BD ．（1）求证：∠AOB ＝∠CDB ；（2）若△COD 是等腰三角形，∠AOC ＝140°，求∠AOB 的度数．【答案】（1）详见解析；（2）∠AOB 的度数为110°或95°或125°．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）设∠AOB 的度数为x ，分三种情况进行解答即可．【详解】（1）∵△ABC 和△OBD 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，OB ＝BD ，∠ABC ＝∠OBD ＝90°，∵∠ABO+∠OBC ＝∠CBD+∠OBC ，∴∠ABO ＝∠CBD ，在△ABO 和△CBD 中AB BC ABO CBD OB BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABO ≌△CBD （SAS ），∴∠AOB ＝∠CDB ；（2）设∠AOB 的度数为x ，则∠CDB ＝x ，∠CDO ＝x ﹣45°， ∠COD ＝∠COB ﹣∠DOB ＝360°﹣140°﹣x ﹣45°＝175°﹣x ， ∠OCD ＝180°﹣∠CDO ﹣∠COD ＝50°，①当∠CDO ＝∠COD 时，x ﹣45°＝175°﹣x ，解得：x ＝110°， ②当∠CDO ＝∠OCD 时，x ﹣45°＝50°，解得：x ＝95°，③当∠COD ＝∠OCD 时，175°﹣x ＝50°，解得：x ＝125°，故∠AOB 的度数为110°或95°或125°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．50．如图，AC 与BD 相交于点E ，AC ＝BD ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ．垂足分别是C 、D ．（1）若AD ＝6，求BC 的长；（2）求证：△ADE ≌△BCE ．【答案】（1）6；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据HL 证明Rt △ADB ≌Rt △BCA 即可；（2）由△ADB ≌△BCA ，推出AD ＝BC ，再根据AAS 即可证明△ADE ≌△BCE.【详解】（1）∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠D ＝∠C ＝90°，在Rt △ADB 和Rt △BCA 中，BD AC AB BA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADB ≌Rt △BCA （HL ），∴AD ＝BC ，∵AD ＝6，∴BC ＝6．（2）证明：∵△ADB ≌△BCA ，∴AD ＝BC ，在△ADE 和△BCE 中，90D C AED BEC AD BC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△BCE （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

人教版初中数学八年级上册第十二章全等三角形

人教版数学八年级上册
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状完全相同
课后作业
作业内容
12.1 全等三角形/
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，

人教版初中数学八年级上册精品教学课件第12章全等三角形第1课时利用“边边边”判定三角形全等

第1课时
利用“边边边”判定三角形全等
快乐预习感知
1.若两个三角形全等,则它们的对应边相等,对应角相等.反过来,
若两个三角形满足三条边分别相等,三个角分别相等,那么这两个
全等 .
三角形
2.
的两个三角形全等(简写成“边边边”或
三边分别相等
“SSS”).
3.三角形三条边的长度确定了,这个三角形的形状、大小
3
4
5
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以直接判定( C )
A.△ABD≌△ACD
B.△BDE≌△CDE
C.△ABE≌△ACE
D.以上都不对
快乐预习感知
1
2
3
4
5
2.如图,如果AC=BD,BC=AD,那么△ABC≌
△BAD
三边分别相等的两个三角形全等(或SSS)
理由是
∴DE⊥AB.
∴∠ADB=∠BCA.
5
快乐预习感知
1
2
3
4
5
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD,
AE=BC,DE=DC.求证:DE⊥AB.
= ,
证明:在△ADE 和△BDC 中, = ,
= ,
∴△ADE≌△BDC(SSS),
∴∠AED=∠C=90°,, Nhomakorabea.
快乐预习感知
1
2
3
4
5
3.如图,已知AB=CD,若根据“SSS”证得△ABC≌△CDA,则需要添加
CB=AD
的条件是
.
快乐预习感知
1
2
3
4
4.如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:∠ADB=∠BCA.

人教版八年级数学下上册第12章全等三角形的性质与判定复习

第一节全等三角形的性质与判定知识结构导图高频核心考点1.全等三角形的有关概念全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

注：平移、对称、旋转前后的图形全等。

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

相关概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2.表示方法：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：书写全等三角形时要求对应顶点必须写在对应位置。

3.全等三角形的一般规律⑴全等三角形对应角所对的边是对应边，两组对应角所夹的边是对应边；⑵全等三角形对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角；⑶两个全等三角形中的一对最长边（最大角）是对应边（对应角），一对最短边（最小角）是对应边（对应角）；⑷两个全等三角形有公共边时，公共边是对应边；⑸两个全等三角形有公共角时，公共角是对应角；⑹两个全等三角形有对顶角时，对顶角是对应角。

4.全等三角形的性质特别提醒：1.由全等三角形的性质可得到全等三角形的面积和周长相等，但周长和面积相等的三角形不一定全等。

2.全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是结合图形或根据全等三角形的记法灵活地找到对应边或对应角，要牢牢抓住“对应”二字。

5.全等三角形的判定(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形判定的书写格式:在△XXX和△XXX中_______________________________________∴△XXX≌△XXX（判定定理）在寻找证明两个三角形全等的条件时，应注意图形中的隐含条件：①公共边或公共角相等；②对顶角相等。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (52)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)如图，在等腰△ABC中，90ACB︒∠=，8AC=，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD CE=,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE=13或143其中正确的结论个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；∵AD=CE ，∴△ADF ≌△CEF(SAS)；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF 是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E 分别为AC 、BC 中点时,四边形CDFE 是正方形(故(2)错误).由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小；即当DF ⊥AC 时,DE 最小,此时142DF BC == . ∴DE == (故(3)错误).∵△ADF ≌△CEF ，∴S △CEF =S △ADF∴S 四边形CDFE =S △AFC ,∵CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分∴S △CEF ：S △CDF =1:2 或S △CEF ：S △CDF =2:1即S △ADF ：S △CDF =1:2 或S △ADF ：S △CDF =2:1 当S △ADF ：S △CDF =1:2时，S △ADF=13S △ACF =111684323⨯⨯⨯= 又∵S △ADF =1422AD AD ⨯⨯= ∴2AD=163∴AD=83(故(4)错误).故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.12．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=40°，则∠EAC 的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE−∠DAC代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵∠B=70°，∠C=30°，，∴∠BAC＝180°−70°−30°＝80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝80°，∴∠EAC＝∠DAE−∠DAC＝80°−40°＝40°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．13．在等腰ABC 中，5AB =，底边8BC =，则下列说法中正确的有（） ()1AC AB =；()26ABC S =；()3ABC 底边上的中线为4；()4若底边中线为AD ，则ABD ACD ≅．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义判断（1）；先求出底边上的高，再根据三角形的面积公式求出S △ABC ，即可判断（2）；根据等腰三角形三线合一的性质底边上的中线就是底边上的高，根据（2）的结论即可判断（3）；利用SSS 可证明△ABD ≌△ACD ，进而判断（4）．【详解】解：（1）∵在等腰△ABC 中，底边是BC ，∴AC ＝AB ．故（1）正确；（2）作底边BC 上的高AD ，则BD ＝DC ＝12BC ＝4， ∴AD 2222543BD ， S △ABC ＝12BC •AD ＝12×8×3＝12，故（2）错误；（3）由（2）可知，△ABC 底边上的中线AD 为3，故（3）错误；（4）在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），故（4）正确．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质和定义，勾股定理，主要考查学生运用定理进行推理的能力．14．已知ΔABC ≌ΔA 1B 1C 1,且ΔABC 的周长是20,AB=8,BC=5,那么A 1C 1等于 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】运用全等三角形的对应边相等求解即可.【详解】111,20ABC A B C ABC ≅且的周长为，11AC AC ∴= =20-AB-BC=20-8-5 =7,故选C.【点睛】两个三角形全等，对应边相等，对应角相等.15．下列条件中，能作出唯一的三角形的条件是（）A．已知三边作三角形B．已知两边及一角作三角形C．已知两角及一边作三角形D．已知一锐角和一直角边作直角三角形【答案】A【解析】【分析】把尺规作图的唯一性转化成全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行分析判定即可.【详解】A.符合全等三角形的判定SSS,能作出唯一三角形，故正确；B.若是两边和夹角，符合全等三角形的判定SAS,能作出唯一三角形，若是两边和其中一边的对角，则不能作出唯一三角形，故错误；C.已知两角及一边，符合全等三角形的判定AAS或ASA,可以作出两个，故错误；D.已知一锐角和一直角边，作出的三角形不是唯一一个，故错误.故选A.【点睛】全等三角形的判定方法有：SSS,SAS,AAS,ASA,HL.本题需要注意题目条件的唯一性.16．如图，在△ABC中，∠B=∠C=50º，BF=CD，BD=CE，若∠FDE=α，则α的度数为( )A．50ºB．80ºC．60ºD．45º【答案】A【解析】【分析】由∠B=∠C=50°，得∠BFD+∠BDF=130°，由∠B=∠C ，BF=CD，BD=CE，得△BDF≌△CDE，则∠BFD=∠CDE，得到∠CDE+∠BDF=130°，然后求得α.【详解】解：∵∠B=∠C=50º，∴∠BFD+∠BDF=130°，∵BF=CD，∠B=∠C ，BD=CE，∴△BDF≌△CDE，∴∠BFD=∠CDE，∴∠CDE+∠BDF=130°，=︒-︒=︒.∴α18013050故选择：A.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,他选择带(3)号玻璃去，配回来的玻璃与原来的恰好一样，请问他选择三号的理论依据是( )A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【详解】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有图（3）包括了两角和它们的夹边，只有带（3）去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．18．下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②两个正方形是全等图形；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形是全等图形.其中,正确的是()A．①②③B．①②④C．①③D．③【答案】D【解析】【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形,结合各项说法做出判断即可．【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等,故本项错误；②两个正方形形状相同,但大小不一定相等,故本项错误；③全等图形形状大小都相同,故本项正确；④面积相等的两个三角形不一定全等,故本项错误．综上可得只有③正确．故选D．【点睛】本题考查了全等形的概念和三角形全等的性质：1、能够完全重合的两个图形叫做全等形,2、全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等,做题时要细心体会.19．小明同学不小心把一块玻璃打碎,变成了如图所示的三块,现需要到玻璃店再配一块完全一样的玻璃,聪明的小明只带了图③去,就能做出一个和原来一样大小的玻璃.他这样做的依据是()A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【解析】【分析】此题根据全等三角形的判定方法ASA进行分析即可得到答案．【详解】解：第一块,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法；第二块,仅保留了原三角形的一部分边,所以该块不行；第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,所以符合ASA 判定,所以应该拿这块去．故选：D．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的运用,要求对常用的几种方法熟练掌握．20．下列语句中错误的是_______.A．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形；B．连接等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形:C．三角形的外角和为360︒D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线【答案】D【解析】【分析】分别利用等边三角形的判定方法对AB进行判断，利用三角形外角和对C进行判断，利用对称轴是直线对D进行判断后，即可得到结论．【详解】解：A、根据等边三角形的判定得出：有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形，故A正确；B、顺次连接三角形三边的中点所成的线段，根据中位线的性质可知都是对应边的一半，所以所构成的三角形也是等边三角形，故B正确；C、根据三角形的外角和等于360°可知，故C正确；D、沿某等腰三角形的顶角平分线所在直线翻折后左右能够重合，而顶角平分线是线段不是直线，故D错误.故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形性质及三角形外角和定理，解题的关键是熟悉对称轴是直线而三角形角平分线是线段以及等边三角形的判定定理．二、填空题。

数学人教版八年级上册第12章第一节全等三角形教案

5.培养学生的合作交流能力：通过小组讨论、交流分享，激发学生的团队协作精神，提高合作交流能力。
本节课的核心素养目标旨在培养学生在新教材要求下的综合能力，为学生的全面发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-全等三角形的定义：理解全等三角形的含义，即能够完全重合的两个三角形。
-全等三角形的判定方法：掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能准确应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形的基本原理和判定方法。
-实际问题转化为数学模型：学生需要将现实生活中的几何问题抽象为全等三角形的数学模型，这是学生感觉难度较大的地方。
举例解释：
-在判定方法的选择上，教师可以通过对比不同判定方法的特点，指导学生如何根据题目条件快速选择合适的方法。
-对于空间想象力的培养，教师可以设计一些动手操作的活动，如让学生制作全等三角形的模型，通过实际操作来增强空间感知。
-全等三角形的性质：了解全等三角形的对应角相等、对应边相等等性质，并能够运用这些性质解决几何问题。
-实际应用：将全等三角形的性质和判定方法应用于解决实际问题，，可以通过实际操作教具或多媒体演示，让学生直观理解全等的概念。
-在讲解判定方法时，通过具体例题，如两个三角形的三边分别相等，引导学生运用SSS判定全等。
-在实际问题转化的教学中，教师可以提供一些典型例题，如房屋建筑中的三角形结构问题，引导学生如何将实际问题抽象为数学模型，并应用全等三角形的性质和判定方法来解决。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

当堂练习
1.如图，已知△ABC≌△DEF，请指出图中对应边和对应角.
A
B
C
D
F
E
边 AC= DF
边 AB= DE
边
BC= EF
角 ∠A= ∠D
角 ∠B= ∠E
角
∠C= ∠F
归纳两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.
3.如图，已知△ABC≌△BAD 请指出图中的对应边和对应角.
一全等三角形的定义及性质
全等形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
判一判：观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
（1）（2）
如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等！
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫__全__等__三__角__形_____.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做（对应顶点），重合的边叫做（对应边），重合的角叫做（对应角），
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
D
B
CE
F
应用格式：
如图：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF （全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形的对应角相等）.
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三
角形全等.
A
D
A
B
C
边 AB= BA 边 AC= BD 边 BC= AD
角 ∠BAC= ∠ABD 角 ∠ABC= ∠BAD 角 ∠C= ∠D
归纳有公共边的，公共边一定是对应边.
4. 如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中对应边和对应角.
A
D
C
B
E
边 AB= AE 边 AC= AD 边 BC= ED
角 ∠A= ∠A 角 ∠B= ∠E 角 ∠ACB= ∠ADE
M
E
D
A
B
FC
N
图1 A
B
C
图2
A
B
C
图3 D
B
E
D
C 图4
2.如图，已知△ABC≌△ADE 请指出图中对应边和对应角.
E
D
2
A
1
B
C
边 AB= AD 边 AC= AE 边 BC= DE
角 ∠BA∠C=1=∠∠D2AE
角 ∠B= ∠D 角 ∠C= ∠E
归纳有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.
归纳有公共角的，公共角一定是对应角.
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
其中点A和点D，点B和点E ，点C和_ 点F _是对应顶点.
AB和 DE ，BC和 EF ，AC和 DF 是对应边.
∠A和 ∠D ，∠B和 ∠E ， ∠C和 ∠F 是对应角.
A
D
B
CE
F
A
D
B
பைடு நூலகம்
CE
F
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
如上图：△ABC全等于△DEF记作：△ABC ≌△DEF （注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上）. ∆ABC≌ ∆DEF，对应边大小有什么关系？对应角呢？
第十二章全等三角形
12.1 全等三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1．理解全等形的概念，并能识别图形的全等. 2．理解全等三角形及其有关概念. 3．掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算.
问题：观察下面各组平移前后所得到的图形，说说变换前后图形的特点.
讲授新课