《常微分方程》课程建设规划

《常微分方程》课程建设规划安阳师范学院数学系分析与方程教研室一．课程简介常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科，是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。

早在十七世纪至十八世纪，它就作为Newton 力学的得力助手，在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能；这只要举出科学史上一件大事为证就够了：在海王星被实际观测到之前，这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方法推算出来了。

时至今日，微分方程仍然是最有生命力的数学分支之一。

二．课程发展历史沿革自数学系创立到开始招收本科生以来，就一直开设常微分方程。

它是数学与应用数学和信息与计算科学专业学生一门重要的专业基础课，而且也是物理、经济、工程等学科不可缺少的基础课程之一，比如它是数学物理方程、动力系统定性理论、微分方程数值解、生物数学、数学模型、数理经济、经济数学以及自动控制、生物学、经济学等许多后续课程的基础。

从数学的角度看，常微分方程分为经典和现代两部分内容，经典部分：以数学分析、高等代数为工具，以求微分方程的解为主要目的；现代部分：主要是用泛函分析、拓扑学等知识来研究解的性质。

常微分方程对先修课程（数学分析与高等代数等）及后继课程（微分方程数值解法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等）起到承前启后的作用，是数学理论中不可缺少的一个环节，也是学生学习本学科近代知识的基础，对培养学生分析问题和解决问题的能力有重要作用。

因此，院系领导一向对这门课程的建设都十分重视，组织了很强的教学队伍来进行教学，系主任袁付顺教授等老师都担任过该课程的教学工作。

他们治学严谨、敬业重教，为该课程小组树立了优良的教学传统。

正是有了这种传统，该课程小组中的每位任课教师在教学中历来兢兢业业、认真踏实。

教学中不仅注重基本概念、基本理论、基本方法、基本技巧及习题课的教学，而且善于结合这门课程具有广泛的实际背景和应用的特点，重视培养学生独立思考和解决实际问题的能力。

比如教导和启发学生如何从力学中的一个实际问题抽象出具体的常微分方程，然后利用常微分方程的理论再去解决这一实际问题。

更为重要的是，这种教学作风为培养学生树立良好的职业道德也起到了示范和熏陶的作用。

常微分方程课每周4 课时，总课时数为72学时。

数学与应用数学和信息与计算科学两个专业都使用王高雄、周之铭等主编的教材《常微分方程》（第二版、高教出版社），根据不同专业的性质，侧重点不同而分班上课，任课教师调整教学重点内容，尽可能安排习题课，提高课堂教学水平，保证教学质量。

三．本课程主要特色1、拥有一支年轻的、创新意识强的、教学与科研并重的教学梯队，坚持教学科研并重，以教学带动科研，以科研促进教学。

高水平教师坚持教学一线，起着带头示范作用。

2、教学中坚持理论联系实际的方法，采用双语教学，将理论与应用相结合的授课方式易于培养学生自主创新、独立解决实际问题的能力。

易于初学者较快地进入学习角色，激发学习兴趣。

四．课程地位常微分方程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的必修课之一，在数学科学学院享有很高的声誉。

常微分方程课程小组成员在微分方程的理论和应用研究中做出了许多重要成果。

由于经济和地域的限制，本课程与国内著名大学数学系的同名课程相比，整体上还存在一些差距。

五．计划和目标1、计划目标本课程将计划按河南省教育厅关于高校精品课程建设要求，积极创造条件，争创省级精品课程，并以建设国家级精品课程为长远目标。

2、课程在本专业的定位与课程目标常微分方程是系统培养数学人才的重要的基础课程之一。

教学时间应安排在第四学期或第三学期。

这时，学生已学完高等代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分。

常微分方程课的目的就是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如微分方程数值解、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。

3、措施、步骤：1）加强师资队伍建设，重视对青年教师的培养；2）加强教材建设，不断改革教学内容；3）完善教学管理制度，不断教学质量；4）开发网上授课。

减轻教师负担，弥补师资短缺；5）发挥学生在精品课程建设中的作用。

六．教学条件1、教材使用与建设①常微分方程，王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，1983 年9 月第二版，高等教育出版社出版。

②Ordinary Differential Equations ，Wolfgang Walter, Springer-Verlag （世界图书出版社）。

2、促进学生主动学习的扩充性资料院资料室和校图书馆有丰富的中英文常微分方程的各种教材、专著及期刊。

同时我们利用课程建设经费补充或更新了一些新版本和外文资料，这一切不仅能满足教学的需要，同时也能了解现代学科教学和学术发展的最新动态。

主要参考教材有：①1）常微分方程, 东北师范大学常微分方程教研室编著，2005 年 4 月( 高等教育出版社出版) .②常微分方程（第2 版），叶彦谦，人民教育出版社，1982.③常微分方程教程（第 2 版），丁同仁，李承治，高等教育出版社，2004. 常④常微分方程——新世纪高等院校精品教材，蔡遂林，浙江大学出版社,1988.⑤常微分方程——数学名著译丛，阿诺尔德，科学出版社，2003.⑥常微分方程习题解，庄万，山东科学技术出版社，2004年4月第一版⑦差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002 年8 月第一版.⑧Ordinary Differential Equations, [ 德]Wolfgang Walter 著，[ 美]Russell Thompson 译，Springer-Verlag （世界图书出版公司），1998.3、配套教学和教学效果：配套的教学图书包括《数学模型》、《数学实验》、《数学建模》、《差分方程和常微分方程》、《Differential Equations and Boundary Value Problems 》( C.Henry Edwards and David E. Penney 编著，清华大学出版社出版) 、《数学生态学模型与研究方法》（陈兰荪，科学出版社，1988 ）.同时，在课程建设中我们结合“大学生数学建模竞赛”，在课堂教学中以大学生数学建模竞赛的课题为例子，讲解用微分方程模型、微分方程手法来解决问题，并引导学生利用学习的方程，联系实际模型，培养解决实际问题的创新意识和创新能力. 在每年一次的“全国大学生数学建模竞赛”及竞赛前的培训工作中，本课程建设组成员是其中的主要教练，这些教练和培训工作是本课程课堂教学的延伸，是理论与实践结合的深化，也是培养学生实践能力的重要措施.4、实践性教学环境数学科学学院现有机房，配备多台高性能微机组成的网络教学实验环境供专业课教学、实习。

在微机室里可利用一些优秀的数学软件（如Mathematica, Matlab），以及我们利用这些软件编写的课件，完成一些数值计算，绘制一些复杂函数图象及曲面图形，加强对一些抽象概念的理解。

七．教学方法与教学手段1、知识模块顺序及对应的学时本课程分七大模块，总学时为72学时：1）绪论（4学时）；2）一阶微分方程的初等解法（16学时）；3）一阶微分方程的解的存在定理（8学时）4）高阶微分方程（16学时）；5）线性微分方程组（16学时）；6）非线性微分方程和稳定性（8学时）；7）一阶线性偏微分方程（4学时）。

2、课堂教学教师在讲课时注重启发式，注意教学方式的多样化，加强教师与学生之间的互动。

在课堂教学中，讲解理论和方法时，尽可能选取实例加以分析。

如对二阶线性方程与振动，完整的讲解从实际背景出发，建立微分方程，然后运用所学的知识来解方程，讨论解的各种情形，并做出关于背景的解释，从而掌握常微分方程的基本方法。

加强习题课的教学，培养学生自主学习能力。

在习题课中，我们选取一些小的微分方程模型，让学生从实际的物理和生物问题的背景出发，建立微分方程，然后运用所学的知识和方法来建立方程并解决问题，讨论解的各种情形，并给出关于背景的解释. 这对于培养学生的实践能力起到了较好的作用。

开设讨论课。

在理论难度较大的部分，如存在唯一性定理有关解的延拓、解对初值连续性等，组织课堂讨论，除概念本身外，用典型求解的最大存在区间例题让学生讨论，最后总结，使学生能更好地理解。

3、课程的重点、难点及解决办法课程重点：初等积分法；线性微分方程(组)的基本理论；常微分方程的一般理论解的稳定性和定性理论课程难点：1）初值问题解的存在唯一性定理及其证明。

2）多重特征根情形下线性微分方程组的基本解组的求法。

解决方法：1）将存在唯一性定理的证明分解成相对独立的五个子命题来证，同时以泛函分析中压缩映象原理的思想统领。

2）介绍线性算子‘零空间'和‘根空间'的概念，以特征值的几何重数和代数重数的思想来说明，再通过一些典型的例子说明基本解组的具体求法4、实践教学的设计思想与效果在平时的习题中有意识地设计、搜集一些与微分方程相关的题目，这些题目都具有实际意义，鼓励学生在教师的指导下完成。

有些问题可以深入讨论，发展成学生的毕业论文，并为学生进一步的学习提供出发点。

鼓励学生积极学习现代计算技术，掌握常用的数学软件，从几何直观与数值分析两方面辅助理解微分方程解的定性性质。

同样地，在讲解解对参数的连续依赖性、平衡点的稳定性、极限环的存在性与稳定性时，由数值分析结果模拟的积分曲线将会使学生更深入地理解和掌握这些概念和现象。

5、开展双语教学采用《Ordinary Differential Equations》作为原版教材，（Wolfgang Walter, Springer-Verlag，世界图书出版社）。

在学生大致熟悉本课程的基本内容后用此教材，英语板书；较简单的内容采用英语讲课。

扩大了学生视野，培养学生的综合能力。

6、多媒体教学结合教学实践，制作的电子教案和课件，进行多媒体教学，提高教学效率。

7、辅助教学努力提高学生的数学文化教育素质和创新能力。

对一些经典的重要内容，一般穿插数学家及其工作简介，以培养学生钻研常微分方程的兴趣。

平时采用小论文的考查形式，这也符合常微分方程课程应用性的特点。

写论文可采用两种方式：学生自由选题或教师提前拟好题目。

学生在开放机房中，可利用提供的设备，自己设立题目，教师的作用是指导和审核学生提出的方案与题目，培养了学生的创新能力。