第三章 一元一次方程专题复习(教师版)(有解析)

第三章 一元一次方程专题复习（教师版）一．知识网络结构二．知识要点剖析知识点一.等式与方程1．等式：表示相等关系的式子.等式的基本性质（方程的同解原理）：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即:若a=b ，则a ±c ＝b ±c ；(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即:若a=b ，则ac=b c , cbc a = （c ≠0）其它性质：若a=b ，b=c,则a=c （传递性）．注意：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意式性质成立的条件． 2.方程：含有未知数的等式叫方程．方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值.注意：等式、方程含有等号, 方程是含有未知数的等式； 代数式不含等号；不等式含不等号. 知识点二.一元一次方程（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1（次），系数不为0的整式方程．（2）一般形式：ax+b=0(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a ≠0). 注意：（1）一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程． （2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等. 知识点三.一元一次方程的解法思路：通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x ＝a 的形式。

解一元一次方程的一般步骤： 知识点四.列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤检验，⑥答题． 解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。

注意：(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x 表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x 的代数式表示。

(2)解应用题时，不能漏掉“答”， “设”和“答”中都必须写清单位名称。

变形名称 具体做法变形依据 注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2①不漏乘不含分母的项 ②分子为多项式要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律 注意括号前是负号要变号；有系数时，括号内每项都乘。

移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边等式基本性质1记住移项要变号合并同类项 把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式合并同类项法则系数相加，字母及其指数不变系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x ＝ab 等式基本性质2分子、分母不要颠倒(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。

2.列方程解应用题常见类型：（1）和、差、倍、分问题：弄清和谁比，比谁多，比谁少较大量＝较小量＋多余量，增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，总量＝倍数×倍量 （2）等积变形问题：锻造前的体积=锻造后的体积长方体的体积=长×宽×高， 圆柱的体积=底面积×高． （3）利率（息）问题:本息和=本金+利息， 利息=本金×利率×时间（期数）， 总钱数=各部分钱数和． （4）销售问题：利润是和成本比的利润=售价-进价， 售价=标价×折扣， 售价＝进价×(1＋利润率)， 利润率＝进价利润×100％=进价进价折扣标价-⨯， 总价=单价×数量， （5）行程问题：路程=时间×速度，时间=错误!未找到引用源。

，速度=错误!未找到引用源。

．①相遇问题：S 甲＋S 乙＝两地距离②追及问题：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程③顺逆流问题： 顺流速度＝静水速度＋水流速度， 逆流速度＝静水速度－水流速度 顺流的距离＝逆流的距离（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、错误!未找到引用源。

、千米／小时）（6）工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率， 工作总量=各部分工作量的和（或整体1）．（7）数字问题：设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a ，b ，则这个两位数可表示为10a ＋b ，即：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+. 抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系.（8）比例分配问题: 甲∶乙∶丙＝a ∶b ∶c, 全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x) （9）劳力调配问题:从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语.（10）日历数字规律问题:上下行相差7. （11）年龄问题： 老幼变化一样.三.考点典型例析考点1. 等式的基本性质1.如果等式ax=b 成立，则下列等式恒成立的是（ D ）． A.abx=ab B.x=abC.b-ax=a-bD.b+ax=b+b 2.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ B ）. A ．若xy ，则55x y B ．若a b ，则ac bcC ．若a bc c ，则23a b D ．若x y ，则xy aa考点2.一元一次方程的概念 1.下列方程中是一元一次方程的是( B )A ．2x=3yB ．7x+5=6(x-1)C ．x 2-0.5x=2 D ．12x x-= 2.已知方程（a-2）x |a|-1=1是一元一次方程，则a=___-2____，x=___-41_____ ．考点3.方程的解1.如果x=2是x+a=1的解，那么a 的值是 0 ．2.当x ＝ 2 时，代数式4x －5与3x －9的值互为相反数．3.已知已知关于x 的方程kx=7－x 有正整数解，则整数k 的值为 0或6 .4.若关于x 的方程（k-2018）x-2016=6-2018（x+1）的解是整数，则整数k 的取值个数是（ D ）A. 2B. 3C. 4D. 6解：（k-2018）x-2016=6-2018（x+1）整理，得kx=4，由于x 、k 均为整数，所以当x=±1时，k=±4，当x=±2时，k=±2，当x=±4时，k=±1，所以k 的取值共有6个．故选D ．5.若方程532=+x ，则106+x 等于（ B ）A.15B.16C.17D.34 6.t 满足方程，则的值为 2 .7.已知1-（3m-3）2有最大值，则方程5m-6=3x+2的解x=( A )A.-1B.1C.-38D.2 8.当x=1时，式子ax 3+bx+1的值是2，则方程 123244ax bx x+-+= 的解是（ C ）A. x=13B. x=-13C. x=1D. x=-19.已知方程23252x x -+=-的解也是方程32x b -=的解，则=__713____. 10.已知方程与方程的解相同，则的值为（ A ） A ．0B ．2C ．1D ．-111.已知关于y 的一元一次方程()11522017y y b -+=-的解为3y =-，那么关于x 的一元一次方程()15212017x x b +=+-的解为 x= - 4 ． 12.方程2y -21=21y - 中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y= -35．这个常数应是（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：设阴影部分表示的数为a ，将y=-35代入，得：-310-21=-65-a ，解得：a=3，故选：C ．13.某书上有一道解方程的题： +1=x ，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x=﹣2，那么□处应该是数字（ B ）A ．7 B ．5 C ．2 D ．﹣ 2 解：把x=﹣2代入+1=x,得：+1=﹣2，解这个方程得：□=5．故选：B ．14.小华同学在解方程5x ﹣1=（ ）x+3时，把“（ ）”处的数字看成了它的相反数，解得x=2，则该方程的正确解应为x=____21____． 解：设（ ）处的数字为a ，根据题意，把x=2代入方程得：10﹣1=﹣a ×2+3，解得：a=﹣3，∴“（ ）”处的数字是﹣3，即：5x ﹣1=﹣3x+3，解得：x=21．故该方程的正确解应为x=21． 15.小明解方程=﹣3去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为 ﹣13 ．解：根据小明的错误解法得：4x ﹣2=3x+3a ﹣3，把x=2代入得：6=3a+3，解得：a=1， 正确方程为： =﹣3，，解得：x=﹣13，故答案为：x=﹣1316.小王在解关于x 的方程2a ﹣2x=15时，误将﹣2x 看作+2x ，得方程的解x=3，求原方程的解． 解：根据题意得：2a+6=15，a=，原方程为：9﹣2x=15，原方程的解是：x=﹣3． 考点4.解一元一次方程1．下列方程变形正确的是（ C ）A ．方程3x ﹣2=2x ﹣1移项，得3x ﹣2x=﹣1﹣2B ．方程3﹣x=2﹣5（x ﹣1）去括号，得3﹣x=2﹣5x ﹣1C ．方程可化为3x=6 D ．方程系数化为1，得x=﹣12.解方程﹣1的步骤如下：解：第一步：﹣1（分数的基本性质） 第二步：2x ﹣1=3（2x+8）﹣3……（①）第三步：2x ﹣1=6x+24﹣3……（②） 第四步：2x ﹣6x=24﹣3+1……（③） 第五步：﹣4x=22（④） 第六步：x=﹣……（⑤）以上解方程第二步到第六步的计算依据有：①去括号法则．②等式性质一．③等式性质二．④合并同类项法则．请选择排序完全正确的一个选项（ C ） A ．②①③④②B ．②①③④③C ．③①②④③D ．③①④②③3.解方程（1）3x ﹣7（x ﹣1）=3﹣2（x+3） （2）=﹣1（3）= （4）x ﹣ [x ﹣（x ﹣）]=2．解：（1）去括号得：3x ﹣7x+7=3﹣2x ﹣6，移项合并得：﹣2x=﹣10，解得：x=5；（2）去分母得：3﹣3x=8x ﹣2﹣6， 移项合并得：﹣11x=﹣11，解得：x=1．（3）方程整理得：﹣1=，去分母得：4﹣8x ﹣12=21﹣30x ，移项合并得：22x=29，解得：x=；（4）去括号得：x ﹣x ﹣=2，去分母得：8x ﹣2x ﹣1=16，移项合并得：6x=17，解得：x=．4.小聪做作业时解方程x ＋12－2－3x3＝1的步骤如下：解：①去分母，得3(x ＋1)－2(2－3x )＝1； ②去括号，得3x ＋3－4－6x ＝1；③移项，得3x －6x ＝1－3＋4； ④合并同类项，得－3x ＝2；⑤系数化为1，得x ＝－23.(1)聪明的你知道小聪的解答过程正确吗？答：________．若不正确，请指出他解答过程中的错误________．(填序号)(2)请写出正确的解答过程． 解：(1)不正确 ①②（2）去分母，得3(x ＋1)－2(2－3x )＝6，去括号，得3x ＋3－4＋6x ＝6， 移项，得3x ＋6x ＝6－3＋4， 合并同类项，得9x ＝7，解得x ＝79.考点5.一元一次方程的综合应用1.已知关于x 的方程2(x －1)＝3m －1与3x ＋2＝－4的解互为相反数，求m 的值． 解：方程3x ＋2＝－4，解得x ＝－2.∴关于x 的方程2(x －1)＝3m －1的解为x ＝2. 把x ＝2代入得2＝3m －1，解得m ＝1. 2.x 为何值时，代数式34+x 的值比213-x 的值大1？ 解：由题意得：34+x -213-x =1，解得：x=75．3.m 为何值时，关于x 的方程3413m x x +=+的解比关于x 的方程2x-m 1132x --=的解大2. 答案：m=-45. 4.设m 为整数，且关于x 的一元一次方程（m ﹣5）x+m ﹣3＝0．（1）当m ＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m 的值． 解：（1）当m ＝2时，原方程为﹣3x ﹣1＝0，解得，，（2）当m ≠5时，方程有解，，∵方程有整数解，且m 是整数， ∴m ﹣5＝±1，m ﹣5＝±2，解得，m ＝6或m ＝4或m ＝7或m ＝3．考点6.新定义题 1.已知a ，b 为有理数，定义一种运算：a*b ＝2a ﹣3b ，若（5x ﹣3）*（﹣3x ）＝29，则x 值为 2 ． 解：由题意得2（5x ﹣3）﹣3（1﹣3x ）＝29,解得：x ＝2，故答案为：2． 2.按下面的程序计算：若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 值可能有（ B ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种解：∵输出的结果为556，∴5x+1=556，解得x=111；而111＜500， 当5x+1等于111时最后输出的结果为556，即5x+1=111，解得x=22；当5x+1=22时最后输出的结果为556，即5x+1=22，解得x=4.2（不合题意舍去）， 所以开始输入的x 值可能为22或111．故选：B ．3.若x 为实数，记{x}=x-[x]（表示不超过x 的最大整数），则方程:2006x+{x}=20071的实根的个数是( )． A.O B.1 C.2 D.大于2的整数 解：2006x+x-[x]=20071,[x]=2007x-20071,由x-1<[x]<=x, 得：1120072007x x x --≤,解得：1112006x a a -≤,a=2007×2006,因此有[x]=0或-1.当[x]=0: 2007x=20071, 得：21()2007x = ;当[x]=-1: 120062007120072007x =-+=-, 得：22006(2007)x =- 因此共有上面两个解。