四种回归设计方法的比较

四种回归设计方法比较表试验设计方法一次回归正交二次回归正交二次回归正交旋转二次回归通用旋转特点正交性在p维因素空间内，如果试验方案使所有j个因素的不同水平x ij 满足:);,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1(11jtNtxxNjNixNiitijNiij≠=====∑∑==则该方案具有正交性。

则，一次回归正交、二次回归正交，及二次回归正交旋转试验均具有正交性，具有以下特点：1.利用正交试验设计安排试验，运用回归分析方法处理数据；2.减少试验次数，适用于因素水平不太多的多因素试验；3.“均匀分散，整齐可比”；4.由于试验设计的正交性，消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性。

注：二次回归正交旋转中，由公式pmmc2)1(42/1-+=计算出m0为整数时，则旋转组合设计是完全正交的；当m0不为整数时，则旋转组合设计是近似正交的。

一次项系数b j与交互项系数b ij具有正交性，但常数项b0与平方项回归系数b jj，以及各平方项回归系数b jj之间均存在相关，因此不具有正交性。

旋转性具有旋转性无具有旋转性（在p维因素空间中，若使用方案使得试验指标预测值ŷ的预测方差仅与试验点到试验中心的距离ρ有关，而与方向无关，因此具有旋转性。

）通用性无具有通用性（各试验点与中心的距离ρ在因子空间编码值区间0< ρ<1范围内，其预测值ŷ的方差基本相等，即具有通用性。

）优点科学地安排实验，用最少的试验次数，获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析，从而得到最佳实验条件，迅速建立经验公式，简化计算。

1.中心点试验次数m0有所减少。

2.试验方案具有通用性与旋转性。

消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性，剔除回归方程某一变量时，其余变量的回归系数不变。

1.可直接比较各点预测值的好坏，找出预测值相对较优的区域；2.有助于寻找最优生产的过程中排除误差的干扰。

缺点1.只适用于因素水平不太多的多因素试验，且水平数一般不大于3；2.适用性具有局限，一次回归方程经检验可能在区域内部拟合不好。

试验指标预测值ŷ的方差依靠试验点在p维空间的位置，影响不同回归值之间的直接比较。

1.中心试验次数明显增加，对于试验费用昂贵或试验数据难以取得的研究不利。

2.在不同半径球面上各试验点的预测值ŷ的方差不等，不便于比较。

常数项b0与平方项回归系数b jj、以及各平方项回归系数b jj 存在相关，牺牲了部分正交性而达到一致精度的要求。

因素水平编码试验次数NN(不包括零水平试验次数) 222+=≥++=pcCqNmpmNm0根据试验设计需求而定pmmmpmNc2)1(422/1-+=++=m0由公式求得2mpmNc++=m0查相关工具表或由公式求得确定星号臂r无2)2(2cccmmmpmr-++=⎪⎩⎪⎨⎧==-实施实施全面实施4/1,22/1,1,0,24irip中心化处理无),...,2,1;,...,2,1(,1122pjNixNxxNiijjj==-='∑=无编 码 公 式jjj j jjj j j j z z x p j z z p j z z z ∆-==-=∆=+=012210),...,2,1(,2),...,2,1(,2jjj j jjj j j j z z x p j r z z p j z z z ∆-==-=∆=+=002210),...,2,1(,),...,2,1(,2回 归 方 程 的 计 算回 归 系 数 计 算),...,2,1(1,1;111100p j y x x N N B b y x N N B b y y N N B b Nk i i ij ik kj kj Ni i ij j j Ni i ========∑∑∑====其中，),...,2,1;,...,2,1;,...,2,1(,,,110N k N j N i y kx x B y x B y B i ij i kj Ni i ij j Ni i ======∑∑∑==),...,2,1;,...,2,1()(,)(,;1121211121100p j p k x y x S B b j k x x y x x S B b x y x S B b y y N N B b Ni ijNi i ij jjjj jj Nk i ij ik Nk i iij ik ij kj kj N i ij N i i ij j jj Ni i ==''==≠===='===∑∑∑∑∑∑∑=========其中，),...,2,1;,...,2,1(,,)(,)(,)(,,,121212111210p j p k y x B x S j k y x x B j k x x S y x B x S y B i Ni ij jj Ni ij jj Ni i ij ik kj Ni ij ik kj Ni i ij j Ni ij j Ni i =='='=≠=≠====∑∑∑∑∑∑∑=======pj BG B G F EB b pk j k j m B b pj h B b BE KB b pk kkjj jj cjk jk j j pj j,...,2,1)(,...,2,1,,...,2,110100=+-+==<===+=∑∑==其中，ini ij jj ni iik ij jk n i ii j ni iy xB y x x B yx B yB ∑∑∑∑========121110K 、E 、F 、G ……可通过均匀二次回归旋转设计表查得，也可通过公式求得。

[][]）c 2121412442m -()1()2(2)1(222N e H G e p Nm p Nf H F er H E pe Nm p Nf r H r m f r m e c c c c ---=---+=-=--+=+=+=回 归 方 程 的 确 定pp x b x b x b b y++++=......ˆ22110∑∑∑=<='+++'=p j jk pj j jj j i ij j j x b x x b x b b y110ˆ ， 其中，),...,2,1;,...,2,1(,1122p j N i x N x x N i ij j j ==-='∑=带入上式，得：∑∑∑=<=+++=p j ji pj jjjjiijjjx bx x b x b b y1120ˆ∑∑∑=<=+++=pj jjj ji j i ij j j jj x bx x b x b b y 12120ˆ 回 归 方 程总偏差平方和及总自由度1,)(12112-=-=∑∑==N f y N y S T Ni i Ni iT及其系数的检验回归偏差平方和及其自由度2/)1(,)1-(1+===∑=ppfQSbBQQppjjQjjj1-1-)(,,2211222+==<==++==<==∑∑∑pcQpjjjpj jiijjQjjjjjjijijijjjjCmfQQQSSBQqpSBQSBQ，1-122+=-=-=pcQeTQCmfSSS注：通过S e求解S Q剩余偏差平方和及其自由度1--=-=QeQTefNfSSS，1,112--=---=∑∑∑∑=<==QepjjjjjjiijijpjjjNiiefNfBbBbBbyS显著性检验),(eQeeQQ ffFfSfSFα>=, 表明回归方程在α平上显著。

回归系数的显著性检验),(ejjffFFα>, 表明该因素的回归系数在α水平上显著；反之，则表明该因素的回归系数在α水平上不显著。

)(//,/,/11误误误误误误误误误fttfFSbtfSmbtfSebtfKSbtjjjjeijijjjα>====--也可采用F检验。

失拟性检验用t检验法：MNSSffybtMfyySeeMjj11,1,)(1+++-=-=-=∑=若t < tα(f e，f0)，则认为系数b0与无显著差异，说明回归方程在被研究区域中心拟合很好；若t >tα(f e，f0)，则表明区域中心拟合采用F检验：误误误剩误剩误误fSfSFfffSSSmfymyyySlflflflfmiimiimii//-1)(1)(211221=-==-=-=-=∑∑∑===若F < Fα(f i，f误)，表示回归方程不失拟，拟合效果好，具有预测意义；若F > Fα(fi，f误)，表示回归方程失拟，拟合效果不好。

情况不符，则需要考虑在回归方程中引入二次或高次项。

注意事项1.零水平试验需不小于3次，使得回归方程的失拟检验时具有足够的灵敏度。

零水平试验次数必须根据公式求得或通过查询相关使用表而得，不得随意选择。

2. N不包括零水平试验次数N包括零水平试验次数3.回归系数经F检验不显著的因素，可同时剔除，其余因素回归系数不受影响。

若系数检验不显著，二次项和常数项一次只能剔除一项，但一次项和交互项可以直接一次性剔除，剔除后需重新建立回归方程并检验。

4.先对回归方程进行F检验，剔除不显著项后，再对方程用编码公式进行回代。

5.正交设计求得的回归方程中，回归系数的绝对值大小反应了对应变量在回归方程中的作用大小。

结果与讨论1.对回归方程预测值ŷ(x) 和ŷ(z) 进行比较，以检验回归方程回代过程是否正确。

2.对试验结果y、回归方程预测值ŷ(z) 和论文中回归方程预测值ŷ'(z) 进行比较，并求出相对误差。

3.对求得的回归方程求偏导，以求得试验最佳条件及此条件下的预测结果，并与文献中的试验结果进行比较，检验是否为最佳结果。

若不是，分析问题所在。

4.若回归方程有剔除不显著项，对剔除前后的回归方程预测值进行对比分析，检验剔除后的回归方程优化效果。