电磁感应滑杆问题

电磁感应中“滑轨”问题归类例析

一、“单杆”滑切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路

例1、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R ／2的金属导线ab 垂直导轨放置

（1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab 电量以及ab 发生的位移x 。

解析：（1）ab 运动切割磁感线产生感应电动势E ，所以ab 相当于电源，与外电阻R 构成回路。 ∴U ab =

232

R BLv BLv

R

R =+

（2）若无外力作用则ab 在安培力作用下做减速运动，最终静止。 动能全部转化为电热,2

2

1mv Q =

。 由动量定理得：mv Ft =即mv BILt =，It q =∴BL

mv q =

。 3322

BLx mv q BL R R φ∆===

，

得 2

223L

B mvR

x =

。

例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m ，上、下两端各有一个电阻R 0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝2T.ab 为金属杆，其长度为L ＝0.4 m ，质量m ＝0.8 kg ，电阻r ＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R 0产生的热量Q 0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g 取10m ／s2)求： (1)杆ab 的最大速度；

(2)从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程过ab 的电荷量.

解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。 (1) 杆ab 达到平衡时的速度即为最大速度v ，

22

cos 02

B L v

mg R r θμθ-

-=+mgsin 解得022

(sin cos )()

2 2.5

R

mg r m v s B L θμθ-+== (2)

220000

(2)(2)22ab R ab Q I r I Q ===导线产生热量

克服安培力等于产生的总电能即，J Q Q Q W 5.12200=+==， 由动能定理：21

sin cos 02

mgs W mgs mv θ

μθ--=-

得)

cos (sin 212

θμθ-+=mg W mv s 通过ab 的电荷量 R

BLs

t I q =

∆=，代入数据得q ＝2 C 2、杆与电源连接组成回路

例5、如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0=l m ，处在同一水平面中，磁感应强度B =0.8T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =0.1kg 、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势E =1.5V 、电阻r =0.2Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析：

（1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大？随后ab 的加速度、速度如何变化？

（2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．

解析（1）在S 刚闭合的瞬间，导线ab 速度为零，没有电磁感应现象，由a 到b 的电流A r

R E

I 5.10=+=

，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度2000/6s m m

L BI m F a ===

ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为υ时，感应电动势Blv E ='，根据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，

r

R E E I +-='

）将减小（小于I 0=1.5A ），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减

小，速度还是在增大，感应电动势E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势'

E 与电池电动势E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动． 设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-=

所以 1.50.80.5

m E Bl υ=

=⨯m/s=3.75m/s ． （2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势

5.75.08.0'⨯⨯==Blv E V=3V

由于'

E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：2

.08.05

.13''

+-=+-=r R E E I A=1.5A

直导线ab 中的电流由b 到a ，根据左手定则，磁场对ab 有水平向左的安培力作用，大小为

5.15.08.0''⨯⨯==BlI F N=0.6N

所以要使ab 以恒定速度5.7=v m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力6.0=F N 作用于ab ． 上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：

①作用于ab 的恒力（F ）的功率：5.76.0⨯==Fv P W=4.5W ②电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：

)2.08.0(5.1)(22'+⨯=+=r R I P W=2.25W

③逆时针方向的电流'

I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：'

'

1.5 1.5P I E ==⨯W=

2.25W

由上看出，'''P P P +=，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．

二、“双杆”滑切割磁感线型

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

例6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面，两导轨间的距离为L 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少？

解析：ab 棒向cd 棒运动时，磁通量变小，产生感应电流．ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动．在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速．临界状态下：两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20= 根据能量守恒，整个过

程中产生的总热量2

2204

1)2(2121mv v m mv Q =-=

（2）设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为v 1，则由动量守恒可知：

10043mv v m mv +=。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BL v v E )4

3(10-=，R E

I 2=。此时cd 棒所受的安培力：IBL F =，所以cd 棒的加速度为 m

F

a =

由以上各式，可得

mR

v L B a 4022= 。

例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B =0.50T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m 。两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R =0.50Ω。在t =0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N 的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在

导轨上滑动。经过t =5.0s ，金属杆甲的加速度为a =1.37m/s 2

，问此时两金属杆的速度各为多少？

解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为v 1和v 2，经过很短的时间△t ，杆甲移