工程力学第1节 应力状态的概念
土木工程力学应力状态
研究方法： 三、研究方法：取单元体
单元体：ห้องสมุดไป่ตู้单元体：微小的正六面体 原始单元体： 原始单元体：单元体各侧面上应力均已知
四、主平面 主应力 主方向
主平面：单元体中剪应力等于零的平面 主平面： 主应力： 主应力：主平面上的正应力 主方向：主平面的法线方向 主方向：
五、应力状态的分类
单向应力状态：三个主应力中， 单向应力状态：三个主应力中，只有一个 主应力不等于零的情况 二向应力状态： 二向应力状态：三个主应力中有两个主应 力不等于零的情况 三向应力状态： 三向应力状态：三个主应力皆不等于零的 情况
§2 平面应力状态分析—解析法 平面应力状态分析— 一、斜截面上的应力
已知： 已知：单元体 σx，σy，τxy=τyx， α 研究与z轴平行的任一斜截面 上的应力 轴平行的任一斜截面c 上的应力。 研究与 轴平行的任一斜截面 e上的应力。 符号规则： 符号规则： θ 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力： 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。 向转动趋势者为正，反之为负。
σ max ≤ [σ ] τ max ≤ [τ ]
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的 实际问题： 受力状态
σ
τ
薄壁圆筒承受内压
δ
σt
σx
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 在受力构件内， 同一点各个不同方位的 截面上， 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系， 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
点的应力状态
点的应力状态
(3)二向应力状态。 三个主应力中，有两个不为零，称为二向应力状态。 单向和二向应力状态统称为平面应力状态。 （4）三向应力状态。 间
应力状态。 二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。
工程力学
点的应力状态
1. 应力状态的概念
应力是相对点、截面而言的。就是说，一般 情况下，不同点其应力不同；同一点在过这点不 同方位的截面上，其应力也不相同。把受力物体 内一点处在所有截面上应力状况的全体称为该点 的应力状态。由一点处某些已知截面上的应力确 定其他截面上的应力及其变化规律的过程，称为 该点的应力状态分析。
点的应力状态
2. 应力状态的研究方法
点的应力状态是通过单元体来研究的。通常是假想围绕 该点取出一个边长无限小的正六面单元体，并认为各面上及 其任何斜截面上的应力都是均匀分布的。在单元体两个相对 平行面上的应力等值反向；在两个相互垂直的面上，切应力 满足切应力互等定理。
单元体通常取法是以一对横截面和两对相互垂直的纵 截面截取，因为横截面上的应力是确定的。单元体各面上的 应力一旦确定，其任意斜截面上的应力可用截面法和平衡条 件来确定。可见，一点的应力状态完全可用该点的单元体各 面上的应力来描述。
点的应力状态
应力状态分析是强度计算的基础。前面研究的 是基本变形情况下的横截面上的应力及横截面的强度 条件。例如，前面曾研究过拉(压)杆斜截面上的应力， 这就回答了低碳钢为什么在拉至屈服时，表面出现与 轴线成45°的滑移线；圆轴铸铁杆在扭转时，为什么 会沿45°螺旋线面破坏，以及复杂应力状态下如何判 断其破坏形式和建立相应的强度条件等，就需要通过 应力状态分析来解决。
工程力学第十一章-测控
（２）第四强度理论 这一理论认为，形状改变比能是引起 材料发生屈服破坏的原因。也就是说：不论材料处于何种应力 状态，只要形状改变比能Ｕ达到材料在单向拉伸屈服时的形状 改变比能Ｕxs，材料就会发生屈服破坏。由此得材料的屈服条 件为
据实验和观察，尽管材料的破坏从表面看是十分复杂的 现象，但总不外乎是脆性断裂或塑性屈服两种现象或发生显 著的塑性变形，致使构件不能正常工作。同一类型的破坏可 以认为是由某一个特定的因素所致，找出这个因素，即可通 过简单的拉、压实验结果来推测材料在复杂应力状态下的破 坏，从而建立相应的强度条件。
所谓强度理论，也就是关于材料的某一类破坏是由什么 因素引起的假说。
３最大切应力理论（第三强度理论）
这一理论认为，最大切应力是材料产生塑性屈服破坏的原 因。也就是说：不论材料处于何种应力状态；只要最大切应力 τmax达到材料在单向拉伸下发生屈服破坏的最大切应力值τs， 材料就会发生屈服破坏。因此，材料发生塑性屈服破坏的条件 为
强度条件
式中，σxd3是按第三强度理论计算的相当应力。 实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的 现象。但是，由于它没有考虑σ２的影响，故按这一理论设计 构件偏于安全。
例 11-1 40MPa，
一 单 元 体 应 力 状 态 如 图 a 所 示 。 已 知 σx ＝ τx＝20MPa， τy＝-20MPa。用应力圆求1）
-α2＝0M30P。a ，斜截σy ＝面
上的应力；2）主应力与主平面的位置；３）最大切应力。
D1(σx、x) D2(σy、-y)
例11-2 根据应力状态理论，分析塑性材料和脆性材料圆杆扭 转破坏现象。
线应变称为主应变。
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
过一点所方向面上应力的集合,称为这一点的应力状态
应力是指物体内部受到的力的作用，它可以通过单位面积上的力来描述。
在工程力学中，应力是非常重要的物理量，它与物体的形状、材料特性和外部力的作用密切相关。
本文将围绕应力的概念展开讨论，针对其在材料力学中的应用进行深入分析。
一、应力的定义和分类1.1 应力的概念应力是单位面积上的力，常用符号表示为σ，其计算公式为力F除以面积A，即σ=F/A。
在物体内部，由于外部力的作用，各处都会受到应力的作用，这种应力称为内应力。
而外部施加在物体表面上的力也会导致应力的产生，这种应力称为外部应力。
1.2 应力的分类根据应力的作用方向和大小，可以将应力分为正应力、剪切应力和法向应力三种类型。
正应力是垂直于物体截面的应力，常用符号表示为σn。
而沿着截面方向的应力称为剪切应力，常用符号表示为τ。
另外，法向应力是指作用在物体某一点上的应力。
二、应力状态的描述2.1 应力张量在三维空间中，一个点的应力状态可以由一个3x3的对称矩阵来描述，这个对称矩阵称为应力张量。
应力张量的分量代表了在不同方向上的应力情况，可以通过数学方法进行求解和分析。
2.2 应力状态的表示一个点处的应力状态可以通过应力张量的特征值和特征向量来表示。
特征值代表了应力状态的大小，特征向量则代表了应力作用的方向。
通过对特征值和特征向量的分析，可以判断物体处于何种应力状态，从而进行相应的力学分析和设计。
三、应力的应用3.1 工程材料的性能应力是描述物体受力情况的重要参数，它直接影响着材料的强度、刚度和韧性等性能。
在工程中，通过对材料的应力状态进行分析，可以评估材料的可靠性和安全性，为工程设计提供参考依据。
3.2 结构的稳定性对结构件的受力状态进行分析，可以判断结构在外部载荷作用下的稳定性。
通过对结构的应力分布和应力集中区域的分析，可以预测结构是否会发生破坏或失稳现象，为结构设计和改进提供重要参考。
3.3 力学设计在工程实践中，需要根据实际的力学要求来设计各种零部件和结构件。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变12122x y xyx y()tg εεεεγϕεε⎡=+±⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
工程力学名词解释
工程力学名词解说1、稳固性（ stability）:是指构件在压缩载荷的作用下，保持均衡形式不可以发生忽然转变的能力；2、拘束力（ constraint force ）:当物体沿着拘束所限制的方向有运动或运动趋向时，相互连结在一同的物体之间将产生相互作使劲，这类力称为拘束力。
3、圆滑面拘束（ constraint of smooth surface）:构件与拘束的接触面假如说是圆滑的，即它们之间的摩擦力能够忽视时，这时的拘束称为圆滑面拘束。
4、加减均衡力系原理：在蒙受随意力系作用的刚体上，加上随意均衡力系，或减去随意均衡力系，都不会改变本来力系对刚体的作用效应。
这就是加减力系均衡原理。
5、二力构件：实质构造中，只需构件的两头是铰链连结，两头之间没有其余外力作用，则这一构件必为二力构件。
6、自锁：主动力作用线位于摩擦角范围内时，不论主动力多大，物体都保持平衡，这类现象称为自锁。
7、固体力学（ solid mechanics）：即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力剖析。
8、资料科学中的资料力学行为：即研究资料在外力和温度作用下所表现出的力学性能和无效行为。
9、工程设计（ engineering design ）：即设计出杆状构件或零零件的合理形状和尺寸，以保证它们拥有足够的强度、刚度和稳固性。
10、微元（element ）：假如将弹性体看作由很多微单元体所构成，这些微单元体简称微元体或微元。
11、弹性体受力与变形特色：弹性体在载荷作用下，将产生连续散布的内力。
弹性体内力应知足：与外力的均衡关系；弹性体自己变形协调关系；力与变形之间的物性关系。
这是弹性静力学与刚体静力学的重要差别。
12、外力突变：所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的情况：散布载荷中断或散布载荷集度发生突变的情况。
13、控制面：在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面。
据此，以下截面均可为控制面：1）集中力作用点的双侧截面；2）集中力偶作用点的双侧截面；3）均布载荷（集度同样）起点和终点处的截面。
7工程力学(下)—应力状态和强度理论1
σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系
力学应力与应变的名词解释
力学应力与应变的名词解释力学是研究物体受力时的运动和相互作用的学科，它探索了自然界中物体的运动规律以及力的作用方式。
力学中的一个重要概念是应力和应变，它们描述了物体受力后的状态和变形程度。
本文将解释并探讨这两个名词的含义，并探索它们在力学中的重要性和应用。
1. 应力应力是指物体在受到力的作用下，单位面积上所承受的力的大小。
单位为帕斯卡（Pa），常用符号为σ。
应力分为三种类型：拉应力、压应力和剪应力。
拉应力是指物体受到沿着其长度方向作用的力而产生的应力，例如，当我们拉伸一根橡皮筋时，橡皮筋上的拉应力就会增加。
压应力则是指物体受到垂直于其表面方向的压力而产生的应力，类似地，当我们挤压一块海绵时，海绵表面上的压应力也会增加。
剪应力是指物体受到平行于其表面方向的切力而产生的应力，当我们用剪刀剪断纸张时，纸张表面就会受到剪应力。
应力的大小取决于应力的作用方向、物体的形状和力的大小。
对于同一物体，应力越大，物体越难以抵抗外界力的作用，导致可能发生破坏。
2. 应变应变是物体在受到应力作用后发生的形变程度。
它描述了物体受力后的变形情况。
应变是一个无量纲的物理量，通常以ε表示。
应变可以分为线性应变和切变应变两种类型。
线性应变是指物体在受到拉应力或压应力时，沿着应力方向发生的长度变化。
它可以通过物体的初始长度和变化后的长度之差来计算。
例如，拉伸一个橡皮筋时，橡皮筋的长度将发生增加，这就是线性应变的一种表现形式。
切变应变是指物体在受到剪应力作用时，物体内部各层之间的相对移动导致的形变。
我们可以通过物体上两点之间的相对位移来计算切变应变。
当我们用剪刀剪断纸张时，纸张的形变就是切变应变的结果。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在着一定的关系，这种关系用作力学材料的特性描述很重要。
弹性模量是描述应力和应变关系的重要参数。
弹性模量反映了物体在受力时的刚度程度，它用于衡量物体在受力后能够恢复原状的能力。
在弹性范围内，应力和应变成正比。
《工程力学》第 10 章 应力状态理论和强度理论
作应力圆：(1) 注意截面的选取
(2) 注意应力的符号，特别是剪应力 求斜截面上的应力： (1) (2) (3) (4) (5) 找准起始点 角度的旋转以C为圆心 旋转方向相同 2倍角的关系 应力的符号
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
18
角度的取值范围和对应关系：
y
x
D 2 2 Dx
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
12
T
T
T I
F
FS
F
x
X
X
M y IZ
QSZ IZb
X
M
X
Y
X
X
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
13
§10-2 平面应力状态分析
X
Y
Y
x
X
y y
x
X
X
x
Y
Y
1. 求斜截面上的应力
y
平面应力状 态 n
0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( ydA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
15
y
y
n
Y
X
X
dA
Y
X
x
p
X
x
工程力学中的应力和应变的分析
工程力学中的应力和应变的分析工程力学是研究物体在外力作用下受力与变形规律的学科。
在工程力学中，应力和应变是两个重要的概念，用于描述物体受到外力作用后的力学响应和变形情况。
本文将对工程力学中的应力和应变进行深入的分析和探讨。
一、应力的概念和分类应力是描述物体单位面积内的内力或外力的物理量，用σ表示。
在力的作用下，物体的形状、大小和方向都会发生变化，而应力则用来描述物体内部各点受力状态的大小和方向。
应力可以分为正应力和剪应力两种类型。
1. 正应力：正应力是指垂直于物体截面的力在该截面上的作用效果。
正应力可分为拉应力和压应力两种情况。
拉应力是指垂直于物体截面的力使得截面上的物质向外扩张，压应力则是指垂直于物体截面的力使得截面上的物质向内收缩。
2. 剪应力：剪应力是指与物体截面平行的力在该截面上的作用效果。
剪应力是由于物体受到外部力的平行作用而引起的变形。
剪应力会使得物体的截面发生平行于力的方向的切变变形。
二、应变的概念和分类应变是描述物体相对于原始形状发生变形时各点之间相对位置的改变程度的物理量，用ε表示。
应变描述了物体受到外力作用后的变形程度和特征。
应变可分为线性应变和剪切应变两种类型。
1. 线性应变：线性应变是一种改变物体长度的应变形式，也称为伸长应变。
线性应变正比于物体所受力的大小，并与物体原始长度之比成正比。
线性应变的表达式为ε = ΔL / L0，其中ΔL为线段在力作用下伸长的长度，L0为线段的原始长度。
2. 剪切应变：剪切应变是一种改变物体形状的应变形式，也称为变形应变。
剪切应变是与物体所受剪力大小成正比，与物体的长度无关。
剪切应变的表达式为γ = Δx / h，其中Δx为剪切前后平行于力方向的线段之间的位移，h为物体在该方向上的高度。
三、应力和应变之间的关系应力和应变之间存在一定的关系，通常可以通过弹性模量来表示。
弹性模量是描述物体材料抵抗形变能力的物理量，用E表示。
主要用于刻画物体在受力作用后，恢复原始形状的能力。
工程力学 应力状态
d 令 0 d
x y tg 2 2 x
可解出两个相差 的极值平面，一 2 个面上为极大值，另一个面上为极小值。
23
1 1 x y 将 tg 2 2 x
代入(7-2)式，可得：
60.8MPa
26
x y 60 sin 120 x cos120 2
70 sin 120 50 cos 120 2
55.3MPa
② 求主应力
2 x 2 50 tg 2 0 1.429 x y 70
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
7
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。 ② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
8
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法求斜截面的应力
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应
力，求任意方向面上的应力。
9
最常见的情况：有一对方向面上的应力为 零，单元体上所有的应力 在同一平面内，称为二向
(1) (2)
(1)2 (2)2 得：
x y 2 x y 2 ( ) ( cos 2 x sin 2 ) 2 2 2 x y ( sin 2 x cos2 ) 2 2
30
整理可得： x y 2 x y 2 2 2 ( ) ( ) x
(7-1)记忆
同理，利用
F
t
0 ，可得：
x y sin 2 x cos 2 2
(7-2)记忆
13
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
工程力学之应力状态分析和强度计算
工程力学之应力状态分析和强度计算工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其基础之一就是应力状态分析和强度计算。
应力状态分析主要是通过计算和评估物体内部的应力分布情况，强度计算则是根据应力状态来确定物体的强度和稳定性。
应力状态分析是力学中的一个重要步骤，它不仅可以用来评估物体的受力情况，还可以为工程设计提供依据。
在进行应力状态分析时，首先需要确定物体所受的外力，然后利用力学原理和相关公式计算物体内部的应力分布。
具体来说，首先我们需要确定物体所受的外力，包括静力、动力以及热力等，这些外力会作用在物体的不同部位上。
然后，通过应用牛顿第二定律、平衡方程等力学原理，可以计算得到物体内部的应力分布情况。
在实际工程中，通常使用数值计算方法来解决这些力学方程，比如有限元法和边界元法等。
强度计算则是根据应力状态来评估物体的强度和稳定性，以确定物体是否满足设计和使用要求。
在进行强度计算时，首先需要确定物体的强度参数，比如抗拉强度、屈服强度、抗剪强度等。
然后，根据物体所受的应力状态，通过应力分析和计算，可以得到物体内部的应力大小。
接下来，比较物体内部的应力和其强度参数，就可以判断物体是否安全和稳定。
应力状态分析和强度计算在各个工程领域中都有广泛的应用。
在土木工程中，它可以用来评估建筑物、桥梁和道路等结构的受力情况，以确保它们的安全使用。
在机械工程中，它可以用来评估机械零件和设备的强度和稳定性，以确保它们能够正常工作。
在航空航天工程中，它可以用来评估飞机和航天器在各种飞行状态下的受力情况，以确保它们在高速和极端环境下的安全性。
总之，应力状态分析和强度计算是工程力学的重要内容，它们不仅可以为工程设计提供依据，还可以用来评估物体的强度和稳定性。
在实际应用中，我们可以通过数值计算的方法来解决应力分析和强度计算问题，从而确保工程项目的安全性和可靠性。
在工程实践中，应力状态分析和强度计算是非常重要的步骤，涉及到许多领域，如结构工程、材料工程、土木工程等。
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单元体的上、下侧面和前、后侧面均无应力。
圆杆在扭转时 如图所示，对于其表面 上的 B 点，可以围绕该点以 杆的横截面和径向、周向纵 截面截取代表它的单元体进 行研究。横截面上在 B 点处 的切应力： 杆在周向截面上没有应力。 式中： 又由切应力互等定理可知， MT — 横截面上的扭矩； 杆在径向截面上 B 点处应该 WP — 抗扭截面系数， 有与相等的切应力。于是此 单元体各侧面上的应力如图 T — 扭矩。
工 字
钢
实 例
如图所示，设拉杆的任一斜截面m-m与其横截面 相交成 角。采用截面法研究此斜截面上的应力，取 左边部分研究，由平衡方程可得到斜截面上的内力为
F Fห้องสมุดไป่ตู้
设杆由许多纵向 纤维组成，杆拉伸时 伸长变形是均匀的， 因此斜截面上的分布 内力必然是均匀分布 的，即各点处的应力 相等，于是
MT T B max WP WP
三、主平面、主应力、应力状态的分类 主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的 应力单元体在其各个表面上同时存在有正应力和切 应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的 各个单元体中，必有一个特殊的单元体，在这个单 元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的单 元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。
F F p A A
式中：p—斜截面上任一点处的 总应力，其方向沿x 轴正向；
根据斜截面面积A与横截面面积A的几何关系得到：
F p 0 cos A / cos
杆横截面上的正应力 为研究方便，将分解为沿斜 截面m-m的法线分量和切线分 量，如图c所示。分解得：
0 F / A
1）单向应力状态 2）二向应力状态
3）三向应力状态
平面应力状态
复杂应力状态
主平面：单元体的侧面称为主平面。 主应力：主平面上的正应力称为该点处的主应力。 一般情况下，过一点 处所取的主单元体的六个 侧面上有三对主应力，我 们用1、2、3 表示，这 三者的顺序按代数值大小 排列，即123。 应力状态的分类
1）单向应力状态：只有一个主应力不等零； 2）二向应力状态：有两个主应力不等于零； 3）三向应力状态：三个主应力都不等于零。
一、一点处的应力状态 直杆轴向拉伸时：在杆件的同一截面上各点处的 应力是相同的，但是应力随所取截面与轴心线夹 角的不同而改变； 圆截面杆扭转或梁的弯曲时：在杆件的同一截面 上，不同位置的点具有不同的应力。 本节讨论要点：例如工字钢截面梁在横力弯曲时， 其截面上翼缘与腹板交界的各点处，同时有较大 的正应力和切应力。为此，要研究一点处所有截 面上在该点处的应力情况。
p cos 0 cos
2
一点处的应力状态：当 变化时，对应的各个截面 的应力也随之变化。我们将构件受力后，通过其内 任意一点的各个截面上在该点处的应力情况，称为 该点处的应力状态。
0 p sin sin 2 2
二、一点处的应力状态的表示方法——应力单元体 为了研究受力构件内 A 点处的应力状态，可以围绕 A 点截取一个单元体来代表 该点。单元体的边长为无穷 小量，故单元体各个表面上 的应力分布可以看成是均匀 的，单元体任一对平行平面 上的应力可视为相等的。