工程力学-应力状态与应力状态分析

8 应力状态与应变状态分析

1、应力状态的概念，

2、平面应力状态下的应力分析，

3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。

（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:

321σσσ≥≥

最大切应力为

13

2

max σστ-=

（2）任斜截面上的应力

α

τασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

α

τασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

（3) 主应力的大小

2

2min

max )2

(

2

xy

y

x y

x τσσσσσ+-±+=

主平面的方位

y

x xy

tg σστα--=

220

4、主应变

12

2122x y x y xy xy

x y

()()tg εεεεεεγγϕεε⎡

=

+±-+⎣

=

-

5、广义胡克定律

)]([1

z y x x E σσμσε+-=

)]

(

[

1

x

z

y

y E

σ

σ

μ

σ

ε+

-

=

)]

(

[

1

y

x

z

z E

σ

σ

μ

σ

ε+

-

=

G

zx

zx

τ

γ=

G

yz

yz

τ

γ=

，G

xy

xy

τ

γ=

6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”

8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。

图8.1

[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。

(2)分析单元体各面上的应力:

A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：

z

M

y

I

σ=

b

I

QS

z

z

*

=

τ

由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。

8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。

解题范例

[解]（1）求斜截面上的正应力

︒30－σ和切应力︒30－τ

图8.2

由公式

MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100

5021005030-=︒---︒---++-=

︒-σ

MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100

5030=︒--+︒---=

︒-τ

（2）求主方向及主应力

8

.0100

50120

22tan -=----=--

=y x x σστα ︒-=66.382α

︒=︒

-=67.7033.1921αα

最大主应力在第一象限中，对应的角度为

070.67α=︒，主应力的大小为

1

5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=

⨯︒--⨯︒=－＋－－＋

由

y

x σσσσαα+＝＋2

1

可解出

2

1

(50)100(121.0)71.0MPa

x y ασσσσ=+=-+-=-－

因有一个为零的主应力，因此

)33.19(MPa

0.7133︒--＝第三主方向＝ασ

画出主单元体如图8.2(b)。

（3）主切应力作用面的法线方向

25

.1120100

502tan =---=

'α ︒='34.512α

︒='︒

='67.11567.2521αα

主切应力为

'

2

'1

MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100

50ααττ-=-=︒-+︒--=

此两截面上的正应力为

MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100

502100501

=︒--︒--++-=

'ασ

MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100

502100502

=︒--︒--++-=

'ασ

主切应力单元体如图8.2（c ）所示。 由

y

x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252

1

，可以验证上述结果的正确性。

8.3 试用图形解析法，重解例8.2。 [解] （1）画应力圆

建立比例尺，画坐标轴τσ、。

对图8.2(a)所示单元体，在τσ-平面上画出代表x x τσ、的点A(-50,-60)和代表

y

y τσ、的点B(100,60)。连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）

为半径，作应力圆如图8.3所示.

图8.3

(2) 斜截面上的应力

在应力圆上自A 点顺时针转过︒60，到达G 点。G 点在τσ、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点的水平和垂直坐标值：

64.5ασ=-MPa

τα=34.95MPa

(3)主方向、主应力及主单元体