3.2.3指数函数与对数函数的关系习题课教师版
课时作业4：3.2.3 指数函数与对数函数的关系
3.2.3 指数函数与对数函数的关系一、选择题1．函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(3，＋∞)2．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)3．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A.24 B.22C.14D.124．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2] B ．[－1,1] C ．[12，2] D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 5．已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上为减函数，则a 的范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)D ．[－4,2)6．下面不等式成立的是( )A ．log 32<log 23<log 25B ．log 32<log 25<log 23C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32二、填空题7．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.8．已知log 0.45(x ＋2)>log 0.45(1－x )，则实数x 的取值范围是________．9．函数y ＝(log 14 x )2－log 12x ＋5在区间[2,4]上的最小值是________．三、解答题10．比较下列各组数的大小：(1)log 2π与log 20.9；(2)log 20.3与log 0.20.3；(3)log0.76,0.76与60.7；(4)log20.4，log30.4；(5)3log45,2log23.11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是什么？12．已知函数f(x)＝ln(a x－b x)(a>1>b>0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在定义域I上的单调性，并说明理由；(3)当a，b满足什么关系时，f(x)在[1，＋∞)上恒取正值．1.解析：∵x 2－2x －3>0，可知x >3或x <－1.又0<12<1，∴y ＝log 12x 为减函数， ∴x <－1.答案：A2.解析：log a (a 2x －2a x －2)<0，∴a 2x －2a x －2>1，∴a x >3或a x <－1(舍)，∴x <log a 3.答案：C3.解析：∵0<a <1，∴f (x )是单调减函数，∴在[a,2a ]上，f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a ＝1＋log a 2.由题意得3(1＋log a 2)＝1，解得a ＝24. 答案：A4.解析：由－1≤2log 12 x ≤1得－12≤log 12x ≤12， 即log 12 (12)－12≤log 12 x ≤log 12 (12)12， ∴22≤x ≤ 2. 答案：A5.解析：由复合函数的单调性知x 2－ax ＋3a 在区间[2，＋∞)上为大于零的增函数，故有： ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤24－2a ＋3a >0⇒－4<a ≤4. 答案：B6.答案：A7.解析：f (x )＝log a x ，∴f (2)＝log a 2＝1，∴a ＝2. 答案：log 2x8.解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0x ＋2<1－x ，解得－2<x <－12. 答案：(－2，－12)9.解析：y ＝(12log 12 x )2－12log 12 x ＋5. 令t ＝12log 12x (2≤x ≤4)， 则－1≤t ≤－12且y ＝t 2－t ＋5， ∴当t ＝－12时，y min ＝14＋12＋5＝234. 答案：23410.解：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9， 所以log 2π>log 20.9.(2)由于log 20.3<log 21＝0，log 0.20.3>log 0.21＝0， 所以log 20.3<log 0.20.3.(3)因为60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1， 又log 0.76<log 0.71＝0，所以60.7>0.76>log 0.76.(4)底数不同，但真数相同，根据y ＝log a x 的图象在a >1，x >1时，a 越大，图象越靠近x 轴，如图1所示，知log 30.4>log 20.4，图1(5)利用换底公式化为同底.3log 45＝3log 25log 24＝32log 25＝log 2125，2log 23＝log 29<log 2125＝3log 45.11.解：∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.设x <0，则－x >0，∴f (x )＝－f (－x )＝－lg(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x x >00x ＝0－lg －xx <0，由f (x )>0得⎩⎨⎧ x >0lg x >0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0－lg －x >0，∴－1<x <0或x >1.12.解：(1)要使f (x )＝ln(a x －b x )(a >1>b >0)有意义，则a x －b x >0⇒(a b )x >1(a >1>b >0⇒a b>1)， ∴所求定义域为(0，＋∞)．(2)函数在定义域上是单调递增函数， 证明：任取x 1，x 2,0<x 1<x 2，∵a >1>b >0，∴a x 1<a x 2，b x 1>b x 2， ∴a x 1－b x 1<a x 2－b x 2，∴ln(a x 1－b x 1)<ln(a x 2－b x 2)，∴f (x 1)<f (x 2)，所以原函数在定义域上是单调递增函数．(3)要使f (x )在[1，＋∞)上恒取正值， 须f (x )在[1，＋∞)上的最小值大于0. 由(2)知y max ＝f (1)＝ln(a －b )，∴ln(a －b )>0，∴a －b >1.所以f (x )在[1，＋∞)上恒取正值时有a －b >1.。
3.2.3对数函数与指数函数的关系
2、互为反函数的两个函数在公共定义域上单调性一致
三、求反函数的方法
问题4：如何求已知函数的反函数？
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换
3 注明反函数的定义域
(即原函数的值域)
练习P106A、B
小结
(0,1)
O
x 1 x y ( ) y y 10 10 x 1 x 大 y2 y( ) 2 大
y x
y log 2 x
y log 10 x 大
0
x y log
2
1 10
x
大 y log 1 x
对称性：
(1) y a 与y log a x的图象关于
x
y x成轴对称 1 x x ( 2) y a 与y ( ) 的图象关于 a y轴成轴对称
x y = 2 我们现在在同一坐标系下作出 ， y = log 1 x的图像，并 y = log2 x 和 y = ( 1 ) x ，
观察分析它们之间的关系.
x … -3 -2 -1 0 1 y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2
… 1/8 1/4 1/2 1 2 y=log2x … -3 -2 -1 0 1 x
对数函数与指数函数的 关系
指数函数
的图像及性质
a>1
图 象
y=1
y
0<a<1
y=ax
(a>1)
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
y=1 x
(0,1) 当 x > 00时，y > 1.
x
当 x < 0 时，y > 1；
0
当 x > 0 时， 0< y < 1。 当x <0: 时， . 0< y < 1 R 定义 域 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
北师大版必修1数学教学练习课件第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及其运算性质
第三章 指数函数和对数函数
〔跟踪练习 4〕 (1)设|x|<3，化简 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9； (2)如果 m<－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋ m2＋10m＋25； (3)已知 y＝ 3x－2＋ 2－3x＋ 26，求实数 x 及 y 的值．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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A．－1
B．14
C．12 [解析]
因为 f(－2)＝2－2＝14，
D．32
数 学 必
所以 f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝1－12＝12，故答案选 C．
修
①
北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
3．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝_5_－__3m_n___.
[解析] 若 bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则 b＝amn ，所以由 b－3n＝5m 知 b
数 学
3x－2≥0 2－3x≥0
，解得xx≥≤2323
.
必
修 ① 北
∴x＝23，从而 y＝ 26.
师
大A
版
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第三章 指数函数和对数函数
空间
典例 5 已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10，
∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得 x＝10.
数
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x x 的取值范围为 8≤x≤10.
北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、 求值的条件．
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_21
(2) y x2
(7) y xx
(3) y 2x （8）y (2a 1)x √
(4) y 2x
(5) y x√
(a 1 且a 1) 2
二：指数函数的图像与性质
1. y 2 x
y
1 2
x
的图像：
列表、描点、连线作图
在同一直角坐标系画出 的图像。
所以 1.7 2.5<1.73
5
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x 2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
（2）0.80.1 ＜ 0.80.2
解：因为 函数 y 0.8x
而指数-0.1>-0.2
所以0.80.1 0.80.2
在R上是减函数，
1.8 1.6
fx = 0.8x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
y
2x
，
y
1 2
x
并观察：两个函数的图像有什么关系？
xy
问：如果已知 f (x) ax 的图像
-2 4
能否直接画出88
f
(
x)
1 a
x
的图像
-1 2
77
fx = 2x
01 1 0.5 2 0.25
66
两个函数图像55 关于y轴对称
xy
-2 0.25
44
例2：
（1）求使不等式 4x 32 成立x的集合；
对数函数与指数函数的关系
01
02
求函数反函数的步骤:
3 求原函数的值域
04
05
2 x与y互换
4 写出反函数及它 的定义域
03
1 反解
y y=2x
结论:
Q(a,b) y=x
(0,1)
O
(1,0)
P(b,a) y=log2x x
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得
1loag(41)
即 :loa3 g1 , a3.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
b＝f(a) a＝f－1(b)
例 5： 已 知 函 数 （ f x） x2（ 1x2） 求 出 f （ 14） 的 值 。
解 ： 令x214， 解 之 得 ： x5 又x2， x5.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
理论迁移
f(x)log2(12x)
例4 已知函数
.
（1）求函数f(x)的定义域和值域；
（2）求证函定义域和值域互换 对应法则互逆
图像关于直线y=x对称
反函数的概念
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,a≠1) 互为反函数
解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得
ｘ＝ｙ＋2 3
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
指数函数与对数函数练习题(含详解)
指数函数1.指数函数概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为。
2。
指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内,从逆时针方向看图象，逐渐减小.对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量,函数的定义域.2。
对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，。
奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内,从顺时针方向看图象，逐渐减小。
指数函数习题一、选择题1．定义运算a⊗b＝错误!,则函数f（x）＝1⊗2x的图象大致为（)2．函数f(x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x)＝f(1－x)且f（0）＝3，则f(b x)与f（c x)的大小关系是( )A．f（b x)≤f(c x)B．f（b x)≥f(c x)C．f（b x)>f（c x）D．大小关系随x的不同而不同3．函数y＝|2x－1｜在区间(k－1，k＋1）内不单调,则k的取值范围是（）A．(－1，＋∞) B．(－∞，1）C．（－1,1) D．（0,2）4．设函数f(x）＝ln［(x－1）（2－x）]的定义域是A，函数g（x)＝lg(错误!－1）的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围( )A．a〉3 B．a≥3C．a〉 5 D．a≥错误!5．已知函数f(x)＝错误!若数列｛a n}满足a n＝f（n)(n∈N*），且｛a n}是递增数列,则实数a的取值范围是（)A．［错误!，3) B．(错误!，3）C．(2，3) D．（1，3）6．已知a〉0且a≠1，f（x）＝x2－a x,当x∈（－1,1）时，均有f（x)<错误!，则实数a的取值范围是( )A．(0，错误!]∪［2，＋∞) B．［错误!,1)∪（1，4]C．［错误!，1）∪(1，2] D．(0，错误!）∪[4，＋∞）二、填空题7．函数y＝a x（a>0，且a≠1）在[1,2]上的最大值比最小值大错误!，则a的值是________．8．若曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟）定义：区间[x1,x2］(x1〈x2)的长度为x2－x1。
高中数学指数函数与对数函数的关系讲课版课件新人教B版必修1
O●
y=log2x x
问题
两个函数图象之间的关系：
以2为底的指数函数与以2为底对数函数的图象关于直线 y=x对称.
三、概念形成
用 y 来表示 x
y ax
(a0且a1)
x=log a y x 与 y 互换 y=logax
三、概念形成
用 y 来表示 x
y ax
(a0且a1)
x=log a y x 与 y 互换 y=logax
小结： 先解后换
例3已知函数 y a的x 图b象过点（1，4），其反函数的图
象过点（2，0），求a和b的值。
解：∵ y a的x 图b 象过点（1，4），
∴a+b=4
①
又∵ y a的x 反b 函数图象过点（2，0）
∴点（0，2）在原函数的图象上
∴ a0 b 2
②
联立①②得a=3，b=1。
练习：小结：互为反函数的图象关于 y=x 对称。
设函数 f(x)axb(a0)的图象过点（2，1），其反函数 图象过点（2，8），则 a+b=( 5 )
6
例3已知函数 y a的x 图b象过点（1，4），其反函数的图
象过点（2，0），求a和b的值。
解：∵ y a的x 图b 象过点（1，4），
∴a+b=4
①
又∵ y a的x 反b 函数图象过点（2，0）
高中数学指数函数与对数函数的关 系讲课版课件新人教B版必修1
y x2
y x
一、温故知新
1、指数函数yax(a0且 的a图1)象
2、对yloga数x(a0且a函1) 数 3、关于直线 的y=图x 象对称的两个点的坐标关系
4、指数式与对数式的互化
指数函数和对数函数练习题
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载指数函数和对数函数练习题地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数§2指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的 eq \f(m,n) 次幂，记作b＝；(2)正分数指数幂写成根式形式：＝ eq \r(n,am) (a>0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．3．有理数指数幂的运算性质(1)aman＝________(a>0)；(2)(am)n＝________(a>0)；(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；② eq \r(4,16) 的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时， eq \r(n,a) 对任意a∈R都有意义；④当n 为大于1的偶数时， eq \r(n,a) 只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( )A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④2．若2<a<3，化简 eq \r(2－a2) ＋ eq \r(4,3－a4) 的结果是( )A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－13．在(－ eq \f(1,2) )－1、、、2－1中，最大的是( )A．(－ eq \f(1,2) )－1 B． C． D．2－14．化简 eq \r(3,a\r(a)) 的结果是( )A．a B． C．a2 D．5．下列各式成立的是( )A. eq \r(3,m2＋n2) ＝ B．( eq \f(b,a) )2＝C. eq \r(6,－32) ＝D. eq \r(\r(3,4)) ＝6．下列结论中，正确的个数是( )①当a<0时，＝a3；② eq \r(n,an) ＝|a|(n>0)；③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7. eq \r(6\f(1,4)) － eq \r(3,3\f(3,8)) ＋ eq \r(3,0.125) 的值为________．8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.三、解答题10．(1)化简： eq \r(3,xy2·\r(xy－1)) · eq \r(xy) ·(xy)－1(xy≠0)；(2)计算：＋ eq \f(－40,\r(2)) ＋ eq \f(1,\r(2)－1) － eq \r(1－\r(5)0) ·.11．设－3<x<3，求 eq \r(x2－2x＋1) － eq \r(x2＋6x＋9) 的值．12．化简：÷(1－2 eq \r(3,\f(b,a)) )× eq \r(3,a) .13．若x>0，y>0，且x－ eq \r(xy) －2y＝0，求 eq \f(2x－\r(xy),y ＋2\r(xy)) 的值．§3指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质一、选择题1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1) 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠13．函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为( )A．－9 B. eq \f(1,9)C．－ eq \f(1,9) D．95．如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是( )A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c6．函数y＝( eq \f(1,2) )x－2的图像必过( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限二、填空题7．函数f(x)＝ax的图像经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图像不经过第二象限，则a，b必满足条件________．9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．三、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)和；(3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你根据下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，回答下列问题．(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图像(横轴取n轴)．(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a⊕b＝ eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a a≤b,b a>b)) ，则函数f(x)＝1⊕2x的图像是( )13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．(1)求f(1)的值；(2)若f( eq \f(1,2) )>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．§3指数函数(二)1．下列一定是指数函数的是( )A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1)C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－ eq \r(2) )x 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则( )A．a<0，b<0 B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<13．函数y＝πx的值域是( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．R D．(－∞，0)4．若( eq \f(1,2) )2a＋1<( eq \f(1,2) )3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．( eq \f(1,2) ，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞， eq \f(1,2) ) 5．设 eq \f(1,3) <( eq \f(1,3) )b<( eq \f(1,3) )a<1，则( ) A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( )A．a<2 B．a>2C．－1<a<0 D．0<a<1一、选择题1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．QP B．QPC．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)}2．函数y＝ eq \r(16－4x) 的值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )A．6 B．1 C．3 D. eq\f(3,2)4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数5．函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝ex＋2的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为( )A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－e－x＋2C．f(x)＝－e－x－2 D．f(x)＝e－x＋26．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．b<a<c二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－ eq \f(1,2) 的解集是________________．9．函数y＝的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；(2)求函数y＝的单调区间．11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－ eq \f(1,2) ， eq\f(1,2) ]．(1)设t＝2x，求t的取值范围；(2)求函数f(x)的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图像大致是( )13．已知函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) .(1)求f[f(0)＋4]的值；(2)求证：f(x)在R上是增函数；(3)解不等式：0<f(x－2)< eq \f(15,17) .习题课1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.A．0 B．1 C．2 D．32．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．33．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )A．1 B．0C．－1 D．无最大值4．将 eq \r(2\r(2)) 化成指数式为________．5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝( eq \f(1,2) )－0.5，则a，b，c的大小顺序为________．6．已知＋＝3，求x＋ eq \f(1,x) 的值．一、选择题1．的值为( )A. eq \r(2) B．－ eq \r(2) C. eq\f(\r(2),2) D．－ eq \f(\r(2),2)2．化简 eq \r(3,a－b3) ＋ eq \r(a－2b2) 的结果是( ) A．3b－2a B．2a－3bC．b或2a－3b D．b3．若0<x<1，则2x，( eq \f(1,2) )x，(0.2)x之间的大小关系是( ) A．2x<(0.2)x<( eq \f(1,2) )x B．2x<( eq\f(1,2) )x<(0.2)xC．( eq \f(1,2) )x<(0.2)x<2xD．(0.2)x<( eq \f(1,2) )x<2x4．若函数则f(－3)的值为( )A. eq \f(1,8)B. eq\f(1,2)C．2 D．85．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<06．函数f(x)＝ eq \f(4x＋1,2x) 的图像( )A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：－(－ eq \f(1,4) )0＋160.75＋＝________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)( eq \r(2) )－1.2和( eq \r(2) )－1.4；(3)和；(4)π－2和( eq \f(1,3) )－1.311．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 eq \f(a,2) ，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝ eq \f(a,a2－1) (ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图像，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§4对数(一)1．对数的概念如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做______________，记作__________，其中a叫做__________，N叫做________．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做__________，以e为底的对数叫做__________，log10N可简记为________，logeN简记为________．3．对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝____.对数恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )A．①③ B．②④C．①② D．③④3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<44．方程＝ eq \f(1,4) 的解是( )A．x＝ eq \f(1,9) B．x＝ eq\f(\r(3),3)C．x＝ eq \r(3) D．x＝95．若loga eq \r(5,b) ＝c，则下列关系式中正确的是( )A．b＝a5c B．b5＝acC．b＝5ac D．b＝c5a6．的值为( )A．6 B. eq \f(7,2)C．8 D. eq \f(3,7)二、填空题7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则 eq \f(b,a) ＝________.三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝ eq \f(1,1 000) ；②0.53＝0.125；③( eq \r(2) －1)－1＝ eq \r(2) ＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．能力提升12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )A．15 B．75C．45 D．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：①log2x＝－ eq \f(2,5) ；②logx3＝－ eq \f(1,3) .(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：①log68；②log62；③log26.§4对数(二)1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：(1)loga(MN)＝________________；(2)loga eq \f(M,N) ＝________；(3)logaMn＝__________(n∈R)．2．对数换底公式logbN＝ eq \f(logaN,logab) (a，b>0，a，b≠1，N>0)；特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogaxC. eq \f(logax,n) ＝loga eq \r(n,x)D. eq \f(logax,logay) ＝logax－logay2．计算：log916·log881的值为( )A．18 B. eq \f(1,18) C. eq \f(8,3) D. eq \f(3,8)3．若log5 eq \f(1,3) ·log36·log6x＝2，则x等于( )A．9 B. eq \f(1,9) C．25D. eq \f(1,25)4．已知3a＝5b＝A，若 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝2，则A等于( )A．15 B. eq \r(15) C．± eq \r(15)D．2255．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于( )A. eq \f(a,b－1)B. eq \f(3,2b－1)C. eq\f(3a,2b＋1) D. eq \f(3a－1,2b)6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg eq\f(a,b) )2的值等于( )A．2 B. eq \f(1,2) C．4 D. eq\f(1,4)二、填空题7．2log510＋log50.25＋( eq \r(3,25) － eq \r(125) )÷ eq\r(4,25) ＝______________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝ eq \f(2,3) lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．三、解答题10．(1)计算：lg eq \f(1,2) －lg eq \f(5,8) ＋lg 12.5－log89·log34；(2)已知3a＝4b＝36，求 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) 的值．11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )A．二 B．四C．五 D．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的 eq \f(1,3) ？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)§5对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质3.反函数对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．一、选择题1．函数y＝ eq \r(log2x－2) 的定义域是( )A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．设集合M＝{y|y＝( eq \f(1,2) )x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N是( )A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数f(x)＝|log3x|的图像是( )5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x6．若loga eq \f(2,3) <1，则a的取值范围是( )A．(0， eq \f(2,3) ) B．( eq \f(2,3) ，＋∞) C．( eq \f(2,3) ，1) D．(0， eq \f(2,3) )∪(1，＋∞)二、填空题7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．9．给出函数，则f(log23)＝________.三、解答题10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x 的图像，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )A．a4<a3<a2<a1 B．a3<a4<a1<a2 C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a113．若不等式x2－logmx<0在(0， eq \f(1,2) )内恒成立，求实数m的取值范围．§5对数函数(二)1．函数y＝logax的图像如图所示，则实数a的可能取值是( )A．5 B. eq \f(1,5)C. eq \f(1,e)D. eq \f(1,2)2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝ eq \r(x2) 和y＝( eq \r(x) )2B．|y|＝|x|和y3＝x3C．y＝logax2和y＝2logaxD．y＝x和y＝logaax3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(x)的定义域是( )A．[ eq \f(1,2) ，1] B．[4,16]C．[ eq \f(1,16) ， eq \f(1,4) ] D．[2,4]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________________________________________________________________________．一、选择题1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )A．[－1,1] B．[ eq \f(1,2) ，2]C．[1,2] D．[ eq \r(2) ，4]3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有( )A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2)C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4)4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(1,2) C．2 D．45．已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) ，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )A．b B．－bC. eq \f(1,b) D．－ eq \f(1,b)6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是( )A．y＝x(x>0) B．y＝log3x(x>0)C．y＝log3x( eq \f(1,3) ≤x<1) D．y＝x( eq\f(1,3) ≤x<1)二、填空题7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．三、解答题10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．11．已知函数f(x)＝ eq \f(1－ax,x－1) 的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a的值；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立．求实数m的取值范围．能力提升12．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋ eq \f(1,2) )有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．(0,1)∪(1， eq \r(2) ) C．(1， eq \r(2) ) D．[ eq \r(2) ，＋∞)13．已知logm4<logn4，比较m与n的大小．习题课1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )A．m<n<p B．m<p<nC．p<m<n D．p<n<m2．已知0<a<1，logam<logan<0，则( )A．1<n<m B．1<m<n C．m<n<1 D．n<m<13．函数y＝ eq \r(x－1) ＋ eq \f(1,lg2－x) 的定义域是( ) A．(1,2) B．[1,4]C．[1,2) D．(1,2]4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.一、选择题1．下列不等号连接错误的一组是( )A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log65 C．log34>log56 D．logπe>logeπ2．若log37·log29·log49m＝log4 eq \f(1,2) ，则m等于( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(\r(2),2)C. eq \r(2) D．43．设函数若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b等于( )A．0 B．－1 C．1 D．24．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0， eq \f(1,2) )内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，－ eq \f(1,4) ) B．(－ eq \f(1,4) ，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，－ eq \f(1,2) )5．若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f( eq \f(1,3) )＝0，则不等式f(x)<0的解集为( )A．(0， eq \f(1,2) ) B．( eq\f(1,2) ，＋∞)C．( eq \f(1,2) ，1)∪(2，＋∞) D．(0， eq\f(1,2) )∪(2，＋∞)二、填空题7．已知loga(ab)＝ eq \f(1,p) ，则logab eq \f(a,b) ＝________.8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.9．设函数若f(a)＝ eq \f(1,8) ，则f(a＋6)＝________.三、解答题10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.(1)比较 eq \f(1,2) [f(0)＋f(1)]与f( eq \f(1,2) )的大小；(2)探索 eq \f(1,2) [f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f( eq \f(x1＋x2,2) －1)对任意x1>0，x2>0恒成立．§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．当a>1时，指数函数y＝ax是________，并且当a越大时，其函数值增长越____．2．当a>1时，对数函数y＝logax(x>0)是________，并且当a越小时，其函数值________．3．当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是________，并且当x>1时，n越大，其函数值__________．一、选择题1．今有一组数据如下：现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )A．v＝log2t B．v＝t C．v＝ eq \f(t2－1,2) D．v＝2t－22．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图像表示为( )3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4000)5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)<f(cx)D．f(bx)，f(cx)大小不定6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51二、填空题7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．三、解答题9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b＝ eq \f(2,3) ，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－ eq \f(1,3) t＋ eq\f(43,3) (0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．11．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？能力提升12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．13．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 eq \f(a,4) L?第三章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝ eq \r(0.5x－4) 的值域为N，则M∩N等于( )A．M B．NC．[0,4) D．[0，＋∞)2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )A．[2,8] B．[0,8]C．[1,8] D．[－1,8]3．已知f(3x)＝log2 eq \r(\f(9x＋1,2)) ，则f(1)的值为( )A．1 B．2 C．－1 D. eq\f(1,2)4．等于( )A．7 B．10 C．6 D. eq\f(9,2)5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )A．0 B．1C．2 D．36．比较、23.1、的大小关系是( )A．23.1<< B．<23.1<C．<<23.1 D．<<23.17．式子 eq \f(log89,log23) 的值为( )A. eq \f(2,3)B. eq \f(3,2)C．2 D．38．已知ab>0，下面四个等式中：①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg eq \f(a,b) ＝lg a－lg b；③ eq \f(1,2) lg( eq \f(a,b) )2＝lg eq \f(a,b) ；④lg(ab)＝ eq \f(1,logab10) .其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．39．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10) 的图像，只需把函数y＝lg x 的图像上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是( )A．0 B．1C．2 D．311．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( ) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥4f x＋1， x<4)) ，则f(2＋log23)的值为______．14．函数f(x)＝loga eq \f(3－x,3＋x) (a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．15．函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为______________．16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠ eq \f(4,3) ，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)， eq \f(1,4) ≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝loga eq \f(1＋x,1－x) (a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝ eq \f(－2x＋b,2x＋1＋2) 是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。
对数函数及性质-习题课课件
【解析】（2）由log0.5(4x-3)≥0
4x-3>0得0<4x-3≤1,
∴ 3 <x≤1.
4
∴函数的定义域是
3 4
,1
.
【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并
解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的 取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.
【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6 =(log3x+3)2-3. ∵函数f(x)的定义域为［1,9］, ∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须
1≤x2≤9 1≤x≤9. ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1. 令u=log3x，则0≤u≤1. 又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最大值为 13.
∴
<0或
≥.
∴
1
≥
1
∴函数- x的2 值2域x1是2
log2 -x2 2x2
- x2 2x
1,
log
log2
1 3
,23
2
1 3
学点四 求最值
已2+知f(xf(2x)的)=最2+大lo值g及3x当,xy∈取［最1大,9］值,时求xy的=值［.f(x)］
指数函数与对数函数的变换练习题
指数函数与对数函数的变换练习题指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在实际应用中具有广泛的用途。
为了更好地掌握指数函数和对数函数之间的变换关系，下面将给出一些相关的练习题。
1. 已知指数函数 y = 2^x，现将其变换为对数函数形式。
解析：根据指数函数与对数函数的定义，我们可以将 y = 2^x 转化为对数函数形式 y = log2(x)，其中 log2 表示以 2 为底的对数。
2. 已知对数函数 y = log3(x)，现将其变换为指数函数形式。
解析：根据对数函数与指数函数的定义，我们可以将 y = log3(x) 转化为指数函数形式 y = 3^x，其中 3^x 表示以 3 为底的指数。
3. 已知指数函数 y = 4^(2x+1)，现将其变换为对数函数形式。
解析：根据指数函数与对数函数的定义，我们可以将 y = 4^(2x+1) 转化为对数函数形式 y = log4(4x^2) + log4(4)，化简得到 y = 2log4(2x) + 1。
4. 已知对数函数 y = ln(2x)，现将其变换为指数函数形式。
解析：根据对数函数与指数函数的定义，我们可以将 y = ln(2x) 转化为指数函数形式 y = e^ln(2x)，化简得到 y = 2x。
5. 已知指数函数 y = 5^(x-3)，求它的反函数。
解析：要求指数函数 y = 5^(x-3) 的反函数，可以通过交换自变量和因变量得到反函数。
即令 x = 5^(y-3)，然后解出 y，得到 y = log5(x) + 3。
6. 已知对数函数 y = log5(x+2)，求它的反函数。
解析：要求对数函数 y = log5(x+2) 的反函数，可以通过交换自变量和因变量得到反函数。
即令 x = log5(y+2)，然后解出 y，得到 y = 5^x - 2。
通过以上练习题的解答，我们可以进一步加深对指数函数和对数函数之间的变换关系的理解。
高中数学 3.2.3 指数函数与对数函数的关系同步课件 新人教B版必修1
同的区间上增长或减小的速度不同.
y ＝a x y＝ logax
(-∞,0] [0,+ ∞) (0,1] [1,+∞)
a ＞1 增长缓慢
逐渐加快
0 ＜a ＜1
减小迅速
减小缓慢
减小迅速
增长迅速
逐渐缓慢
减小缓慢
函数①f(x)＝x2－4x(x∈R)与②f(x)＝x2－4x(x≤2)是否有反函 数？ 【提示】 ①令y＝f(x)＝0得到对应的两根：x1＝0，x2＝4.这说 明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数． ②对于任意的一个y值都有唯一的x值与其对应．函数确定的映射 是一一映射，因而它有反函数．
求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤 完成：(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域 由反函数定
义可知，反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有
意义的所有x的集合 ； (2)从y＝f(x)中解出x； (3)x、y互换并注明反函数定义域． 1.写出下列函数的反函数：
【解析】(1)y＝lgx(x＞0)的底数为10，它的反函数为指数函数
1．反函数 (1)互为反函数的概念 当一个函数是 一一映射 时，可以把这个函数的因变量作为一个 新函数的 自变量 ，而把这个函数的 自变量 作为新函数的因变量， 称这两个函数 互为反函数 ． (2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数常用 y＝f－1(x)表示． (3)互为反函数的两函数定义域、值域间的关系
1．A到B的一一映射必须满足的三个条件： ①A中的任意一个元素在B中都有 唯一的象 与之对应． ②A中的不同元素在B中的象也 不同 ③B中的每一个元素都 有原象 ． 2．一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数中 是一一映射的有 一次函数、反比例函数、指数函数、对数函数 ． 3．若y＝log2x，则x＝4时，y＝ 2 ；y＝4时，x＝ 16 . 4．若y＝2x，则x＝4时，y＝ 16 ；y＝4时，x＝ 2 . ．
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数 第1课时 对数
第1课时对数函数的概念、图象及性质1.了解对数函数的概念．2.会画对数函数的图象，记住对数函数的性质．3．掌握对数函数图象和性质的应用．[学生用书P52]1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数的定义域是(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x(a>0且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域{x|x>0}值域R单调性增函数减函数共点性图象过点(1，0)，即log a1＝0函数值x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称趋势a值越大图象越靠近x，y轴a值越小图象越靠近x，y轴x趋于零，y趋于－∞；x趋于＋∞，y趋于＋∞x趋于零，y趋于＋∞；x趋于＋∞，y趋于－∞3.y＝a x称为y＝log a x的反函数，反之，y＝log a x也称为y＝a x的反函数，一般地，如果函数y ＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．( )(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(3)当0＜a ＜1时，若x ＞1，则y ＝log a x 的函数值都大于零．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝log 4.3x 的值域是________． 答案：R3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________． 答案：34．函数f (x )＝log 5(1－x )的定义域是________． 答案：{x |x <1}与对数函数有关的定义域问题[学生用书P52]求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x； (2)y ＝log (2x －1)3x －2. 【解】 (1)要使函数有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.所以－1＜x ＜1.所以函数的定义域为(－1，1)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，2x －1≠1，3x －2＞0，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞).若将例题(2)函数改为“y ＝log3x －2(2x －1)”，则其定义域应为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，3x －2＞0，3x －2≠1，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．1.求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3；(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1， 所以x ＞－1，且x ≠999，所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1. 当a ＞1时， 有4x －3≥1，x ≥1 . 当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1.综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 对数函数的图象和性质[学生用书P53](1)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值可为35，110，3，43，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数a 的值依次为________．(2)若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b ，c 的值分别为________，________.【解析】 (1)由底数对对数函数图象的影响，可知C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1的底数．故相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次是3，43，35，110.(2)因为函数的图象恒过定点(3，2)， 所以将(3，2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c ， 得2＝log a (3＋b )＋c .又当a >0，a ≠1时，log a 1＝0恒成立， 所以log a (3＋b )＝0，所以b ＝－2，c ＝2. 【答案】 (1)3，43，35，110(2)－2 2(1)对数函数的性质可以结合图象去理解记忆．(2)对数函数图象的画法有两种：一是描点法；二是通过图象变换画出．2.已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B.法一：若0＜a ＜1，则函数y ＝a x的图象下降且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合．若a ＞1，则函数y ＝a x的图象上升且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象下降且过点(－1，0)，只有B 中图象符合．法二：首先指数函数y ＝a x的图象只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图象只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图象符合．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.利用对数函数的单调性比较大小[学生用书P53]比较下面各组数中两个值的大小． (1)log 33.4，log 38.5； (2)log 0.21.8，log 0.22.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1)． 【解】 (1)考察对数函数y ＝log 3x ，因为它的底数3＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数， 于是log 33.4＜log 38.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.2x ，因为它的底数0.2＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log 0.21.8＞log 0.22.7.(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件并未明确指出底数a 与1哪个大，因此要对底数a 进行讨论：当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 于是log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数， 于是log a 5.1＞log a 5.9.(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底对数，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底，再进行比较．(4)若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．3.比较下列各组数的大小：(1)log 0.20.4，log 0.20.3，log 0.23； (2)log 123，log 133，log 143；(3)log 23，log 45，log 76.解：(1)因为函数y ＝log 0.2x 是区间(0，＋∞)上的单调减函数，且0.3<0.4<3， 所以log 0.20.3>log 0.20.4>log 0.23.(2)因为函数f (x )＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<14<13<12<1，所以log 314<log 313<log 312<0，即1log 143<1log 133<1log 123<0， 所以log 123<log 133<log 143. (3)log 23＝log 49>log 45>1， 而log 76<log 77＝1， 故log 76<log 45<log 23.1．关于对数函数概念的两点说明(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．2．a 对对数函数的图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象对应位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为________．[解析] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x －1>0，解得x >2.[答案] (2，＋∞)(1)解答本题只注意被开方数大于零，而忽视真数大于零．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．1．下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ； ④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有③、④，其他的均不符合．2．函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：选C.要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1，且x ≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.3．函数y ＝2x的反函数为________．解析：由对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)和y ＝a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数知y ＝2x的反函数为y ＝log 2x .答案：y ＝log 2x4．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )， 则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，x ＋2＞0，解得x ＞－2， 所以函数的定义域为{x |x ＞－2}．[学生用书P112(单独成册)])[A 基础达标]1．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝( ) A ．－1 B ．5 C ．－1或5D ．1解析：选B.由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.2．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1，故a ＞c ＞b .3．函数y ＝lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为M ，函数y ＝lg(x 2－3x ＋2)的定义域为N ，则( ) A ．MN B ．N MC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选A.y ＝lg(x 2－3x ＋2) ＝lg[(x －1)(x －2)]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x －2<0，即x >2或x <1.所以N ＝{x |x >2或x <1}． 又M ＝{x |x >2}． 所以MN .4．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A.函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .6．下列四个数：0.2－0.1，log 1.20.3，log 0.20.3，log 0.20.5，由小到大的顺序为________．解析：因为0.2－0.1>1，log 1.20.3<0，0<log 0.20.5<log 0.20.3<log 0.20.2＝1， 所以log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.1. 答案：log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.17．已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b的图象上，则b ＝________．解析：当x ＋3＝1，即x ＝－2时， 对任意的a >0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上， 则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.答案：－18．已知log a 3>log b 3>0，则a ，b 的大小关系是________． 解析：因为log a 3>log b 3>0，所以a >1，b >1. 由换底公式有1log 3a >1log 3b >0，所以log 3b >log 3a >0. 所以b >a . 答案：b >a9．求下列函数的定义域：①y ＝log 3(3x )；②y ＝log 34x －5； ③y ＝1log 12x ；④y ＝ log 2（2x ＋6）.解：①由3x >0，得x >0，所以函数y ＝log 3(3x )的定义域为(0，＋∞)． ②由4x －5>0，得x >54，所以函数y ＝log 34x －5的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞. ③由x >0及log 12x ≠0得x >0且x ≠1，所以函数y ＝1log 12x的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．④log 2(2x ＋6)≥0，得2x ＋6≥1，即x ≥－52，所以函数y ＝log 2（2x ＋6）的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞.10．解不等式：log a (2x －5)>log a (x －1)． 解：当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.所以原不等式的解集为{x |x >4}． 当0<a <1时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <4.[B 能力提升]1.已知函数f (x )＝lg|x |，设a ＝f (－3)，b ＝f (2)，则a 与b 的大小关系是________． 解析：f (x )＝lg|x |定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函数．a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (2)，因为f (3)>f (2)，所以a >b .答案：a >b2.已知f (x )＝|lg x |，若1c>a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是________．解析：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x |的图象，如图．由图可知，f (x )＝|lg x |在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c＞f (a )＞f (b )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．所以f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b )3.已知函数f (x )＝log (2a －1)(2x ＋1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上满足f (x )>0，试求实数a 的取值范围． 解：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，2x ＋1>4>1.因为log(2a －1)(2x ＋1)>0＝log (2a －1)1，所以2a －1>1，即2a >2，解得a >1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．4.(选做题)已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值． 解：(1)证明：左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2. 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边．(2)因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12， 利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ， 所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32.。
(统编版)2020高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数自主训练苏教版必修59
3.2.2 对数函数自主广场我夯基 我达标1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )思路解析：首先把y=a -x 化为y=(a 1)x ， ∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=(a1)x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案:A2.y=21log (x 2-3x+2)的递增区间是( )A.(-∞，1)B.(2，+∞)C.(-∞，23)D.(23，+∞)思路解析：首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.答案:A3.已知函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G ，那么( ) A.G F B.G=F C.F ⊆G D.F∩G=∅ 思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F.答案:A4.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.（-∞，4）B.（-4，4]C.（-∞，-4）∪［2，+∞)D.［-4，4)思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a .由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u 解得-4<a≤4. 答案:B5.若定义在(-1，0)上的函数f(x)=log 2a(x+1)满足f(x)>0，则a 的取值范围是( )A.(0,21)B.(0,21]C.(21,+∞) D.(0,+∞) 思路解析：本题考查对数函数的基本性质.当x ∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21. 答案:A6.函数y=lg 11-x 的图象大致是( )思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点(2，0)，(1011，1).②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为(1，+∞)，在定义域上函数为减函数.答案:A7.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.42 B.22 C.41 D.21 思路解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a ，2a ］上的最大值与最小值. f(x)=log a x(0<a<1)在(0，+∞)上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f(x)max =f(a)=1，f(x)min =f(2a)=log a 2a.根据题意，3log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=232-=42. 答案:A我综合 我发展8.log a32<1，则a 的取值范围是____________. 思路解析：当a>1时，log a 32<1=log a a.∴a>32.又a>1，∴a>1. 当0<a<1时，log a 32<log a a.∴a<32.又0<a<1，∴0<a<32. 答案:(0，32)∪(1，+∞) 9.函数y=log a (x-2)+1(a ＞0且a ≠1)恒过定点______________.思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a ≠1，都有y=1.答案:(3，1)10.函数f(x)=log (a-1)x 是减函数，则a 的取值范围是____________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2.答案:1＜a ＜211.已知f(x)=log a xx -+11(a>0且a ≠1). (1)求函数的定义域；(2)讨论函数的单调性；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围.思路解析:注意对数函数的底和真数的制约条件以及底的取值范围对单调性的影响. 解答:(1)由xx -+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为(-1,1).(2)对任意-1<x 1<x 2<1,)1)(1()(2111121212211x x x x x x x x ---=-+--+<0，∴22111111x x x x -+<-+. 当a>1时，log a 1111x x -+<log a 2211x x -+，即f(x 1)<f(x 2)； 当0<a<1时，log a 1111x x -+>log a 2211x x -+，即f(x 1)>f(x 2). ∴当a>1时，f(x)为(-1，1)上的增函数；当0<a<1时，f(x)为(-1，1)上的减函数.(3)log axx -+11>0=log a 1. 当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=x x -12>0. ∴2x(x-1)<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+.111,011xx x x 解得-1<x<0.∴当a>1时，f(x)>0的解为(0，1)；当0<a<1时，f(x)>0的解为(-1，0).12.已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，试比较f(x)与g(x)的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法.解答:f(x)和g(x)的定义域都是(0，1)∪(1，+∞).f(x)-g(x)=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x43x. (1)当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f(x)＞g(x).(2)当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f(x)＞g(x)； 若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f(x)=g(x)；若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f(x)＜g(x).综上所述，当x ∈(0，1)∪(34，+∞)时，f(x)＞g(x)；当x=34时，f(x)=g(x)；当x ∈(1，34)时，f(x)＜g(x).我创新 我超越13.已知f(x)=lg(a x -b x )(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x 轴?思路解析：(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.解答:(1)由a x -b x >0，得(b a)x >1=(b a)0. ∵b a>1，∴x>0.∴函数的定义域为(0，+∞).(2)先证明f(x)是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1x a >2x a ，1x b <2x b .∴1x a -1x b >2x a -2x b .∴lg(1x a -1x b )>lg(2x a -2x b ).∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.假设y=f(x)上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f(x)是增函数矛盾.∴y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.14.已知非零常数x 、y 、z ，满足2x =3y =6z ，求证：zy x 111=+. 思路解析：考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x 、y 、z ，然后由左边推证出右边.证法一：设2x =3y =6z =k ，则x=log 2k ，y=log 3k ，z=log 6k. ∴k k y x 32log 1log 111+=+=log k 2+log k 3=log k 6=zk 1log 16=. 证法二：由2x =3y =6z ，有2x =6z ，3y =6z .∴x=log 26z =zlog 26，y=log 36z =zlog 36. ∴z z z y x 16log 16log 11132=+=+(log 62+log 63)=z 1log 66=z1. 15.求函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 思路解析：求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.解答:f(x)的定义域为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+.0,01,011x p x x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧>->->+.0,01,01x p x x ∴⎩⎨⎧<>.,1p x x ∵函数定义域不能是空集，∴p ＞1，定义域为(1，p).而x ∈(1，p)时，f(x)=log 2(x+1)(p-x)=log 2［-x 2+(p-1)x+p ］=log 2［-(x-21-p )2+(21+p )2］. (1)当0＜21-p ≤1，即1＜p ≤3时，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1). ∴f(x)的值域为(-∞，log 22(p-1)).(2)当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜(x+1)(p-x)≤(21+p )2. ∴函数f(x)的值域为(-∞，2log 2(p+1)-2］.。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.3第1课时指数函数的图像与性质学案含解析北师大版必
学习资料§3指数函数第1课时指数函数的图像与性质内容标准学科素养1。
理解指数函数的概念和意义．2。
能借助计算器或计算机画出指数函数的图像．3.初步掌握指数函数的有关性质。
精确数学概念提升数学运算熟练等价转化授课提示：对应学生用书第44页［基础认识]知识点指数函数错误!（1）细胞分裂时，第1次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？提示:y＝2x。
它的底数为常数，自变量为指数，而y＝x2，恰好反过来．(2)函数的性质包括哪些?如何探索指数函数的性质？提示：函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性，可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．知识梳理指数函数思考：1.函数y＝3·5x是指数函数吗？为什么？提示：不是．不符合指数函数的定义,指数函数的解析式必须满足：①自变量为x在指数位置上;②底数a＞0且a≠1;③a x的系数是1.2．指数函数定义中为什么规定a＞0且a≠1?提示：（1)如果a＝0，当x＞0时，a x＝0；当x≤0，a x无意义．（2）如果a＜0，当x＝错误!，错误!等时,a x无意义．(3）如果a＝1,当a x＝1，无研究的价值．为了避免上述各种情况,所以规定a＞0且a≠1.［自我检测］1．函数y＝2－x的图像是图中的()解析：y＝2－x＝错误!x.答案：B2．函数y＝(a－1）x在R上为减函数，则a的取值范围是()A．a＞0，且a≠1 B．a＞2C．a＜2 D．1＜a＜2解析:由0＜a－1＜1，解得1＜a＜2.答案：D3．若指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f（－π)＝________。
解析:设f（x)＝a x（a＞0,且a≠1)，则f（π）＝e，即aπ＝e。
∴f（－π）＝a－π＝1aπ＝错误!。
3.2.3指数函数与对数函数的关系习题课教案
习题课【学习要求】1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握;2.培养综合运用知识的能力.试一试：双基题目、基础更牢固1.若点(a,b)在y ＝lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是（ ）A.(1a ,b)B.(10a,1－b)C.(10a,b ＋1) D.(a 2,2b) 解析：因点(a,b)在y ＝lg x 图象上,所以有b ＝lg a,将各选项的点的坐标代入y ＝lg x,只有选项D 得出的等式与b ＝lg a 等价,故选D.2.已知函数f(x)＝lg 1－x 1＋x,若f(a)＝b,则f(－a)等于 ( ) A. b B. －b C. 1b D. －1b解析：f(－x)＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x 1＋x＝－f(x),则f(x)为奇函数,故f(－a)＝－f(a)＝－b. 3.已知函数y ＝f(2x )的定义域为[－1,1],则函数y ＝f(log 2x)的定义域为 ( )A.[－1,1]B.[12,2] C.[1,2] D.[2,4] 解析：∵－1≤x≤1,∴2－1≤2x ≤2,即12≤2x ≤2. ∴y ＝f(x)的定义域为[12,2]即12≤log 2x≤2, ∴2≤x≤4. 4.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)＝(12)x ;当x<4时,f(x)＝f(x ＋1).则f(2＋log 23)的值为 ( ) A.124 B.112 C.18 D.38解析：因为3<2＋log 23<4,故f(2＋log 23)＝f(2＋log 23＋1)＝f(3＋log 23). 又3＋log 23>4,故f(3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝(12)3·(12)log 23＝18×2 log 23-1＝18×13＝124. 5.定义在R 上的偶函数f(x)在[0,＋∞)上递增,f(13)＝0,则满足f(log x)>0的x 的取值范围是 ( ) A. (0,＋∞) B . (0,12)∪(2,＋∞) C. (0,18)∪(12,2) D. (0,12) 解析：由题意可得:f(x)＝f(－x)＝f(|x|),f(|log 18 x|)>f(13),f(x)在[0,＋∞)上递增,于是|log 18x|>13, 解得x 的取值范围是(0,12)∪(2,＋∞). 6.已知0<a<b<1<c,m ＝log a c,n ＝log b c,则m 与n 的大小关系是________.解析：∵m<0,n<0,∵m n＝log a c·log c b ＝log a b<log a a ＝1,∴m>n. 研一研：题型解法、解题更高效题型一 对数式的化简与求值例1 计算:(1)log (2＋3)(2－3); (2)已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy,求log (3＋22)x y . 解：(1)方法一 利用对数定义求值:设log(2＋3)(2－3)＝x,则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1,∴x ＝－1. 方法二：利用对数的运算性质求解: log(2＋3)(2－3)＝log(2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy, ∴(x －y 2)2＝xy,即x 2－6xy ＋y 2＝0. ∴(x y )2－6(x y )＋1＝0.∴x y＝3±2 2. ∵x －y>0，x>0，y>0 ∴x y >1,∴x y ＝3＋22, ∴log (3－22) x y ＝log (3－22)(3＋22)＝ log (3－22)13－22＝－1. 小结：在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底,指数与对数互化.跟踪训练1 计算: (1)log 2748＋log 212－12log 242－1; (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25. 解：(1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.题型二 对数函数的图象与性质例2已知f(x)＝log a x(a>0且a≠1),如果对于任意的x ∈[13,2]都有|f(x)|≤1成立,试求a 的取值范围. 解：∵f(x)＝log a x,则y ＝|f(x)|的图象如下图.由图知要使x ∈[13,2]时恒有|f(x)|≤1,只需|f(13)|≤1,即－1≤log a 13≤1,即log a a －1≤log a 13≤log a a, 亦当a>1时,得a －1≤13≤a,即a≥3; 当0<a<1时,得a －1≥13≥a,得0<a≤13综上所述,a 的取值范围是(0,13]∪[3,＋∞). 解二：依题意，①当0＜a ＜1时，f(x)=log a x 在[13，2]上单调递减，又log a 13＞0，log a 2＜0，|f(x)|≤1， ∴ log a 13≤1−log a 2≤1 ，解得0＜a≤13； ②当a ＞1时，f(x)=log a x 在[13，2]上单调递增， ∴ −log a 13≤1log a 2≤1，解得a≥3． 综上所述，a 的取值范围为（0，13]∪[3，+∞）． 小结：本题属于函数恒成立问题,即对于x ∈[13,2]时,|f(x)|恒小于等于1,恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数a 为参数,需对a 进行分类讨论.跟踪训练2已知函数f(x)＝|lg x|,若0<a<b,且f(a)＝f(b),则a ＋2b 的取值范围是 ( )A. (22,＋∞)B. [22,＋∞)C. (3,＋∞)D. [3,＋∞)解析：画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示.∵0<a<b,f(a)＝f(b),∴0<a<1,b>1,∴lg a<0,lg b>0.由f(a)＝f(b),∴－lg a ＝lg b ,ab ＝1. ∴b ＝1a ,∴a ＋2b ＝a ＋2a, 又0<a<1,函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数, ∴a ＋2a >1＋21＝3,即a ＋2b>3.题型三 对数函数的综合应用例3已知函数f(x)＝log 2x,x ∈[2,8], 函数g(x)＝f 2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a).(1)求h(a);(2)是否存在实数m, n, 同时满足以下条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n, m]时,值域为[n 2,m 2],若存在,求出m, n 的值;若不存在,说明理由.解：(1)∵x ∈[2,8],∴log 2x ∈[1,3].设log 2x ＝t,t ∈[1,3],则g(t)＝t 2－2at ＋3＝(t －a)2＋3－a 2.当a<1时,y min ＝g(1)＝4－2a,当1≤a≤3时, y min ＝g(a)＝3－a 2,当a>3时,y min ＝g(3)＝12－6a. 所以h(a)＝4－2a (a<1) 3－a 2 (1≤a ≤3) 12－6a (a>3)(2)因为m>n>3,所以h(a)＝12－6a 在(3,＋∞)上为减函数, 因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2],所以12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n)＝(m －n)(m ＋n),所以m ＋n ＝6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数m,n 不存在. 小结：本题利用了换元法,把log 2x 看作一个整体用t 来表示,从而得到一个新函数,因此需要求出函数的定义域.所示函数的最值本身也是关于a 的分段函数,所以函数思想是中学阶段常用的重要思想.跟踪训练3已知函数f(x)＝log a (x ＋1) (a>1),若函数y ＝g(x)图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f(x)的图象上.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x ∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m 成立,求m 的取值范围.解：(1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(－x,－y)是点P 关于原点的对称点,∵Q(－x,－y)在f(x)的图象上, ∴－y ＝log a (－x ＋1),即y ＝g(x)＝－log a (1－x).(2)f(x)＋g(x)≥m,即log a x ＋11－x≥m. 设F(x)＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x) ,x ∈[0,1),由题意知,只要F(x)min ≥m 即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min ＝F(0)＝0. 故m≤0即为所求.课堂小结：1.指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式; 对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式loga m b n ＝n m ·log a b,log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用. 4.在运算性质log a M n ＝nlog a M 时,要特别注意条件,在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝ nlog a |M| (n ∈N *,且n 为偶数).5.指数函数y ＝a x (a>0,且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象. 因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.。
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数33第2课时对数函数图象及性质的应用(习题课)课件北师大版
当 log2x＝0，即 x＝1 时，f(x)取得最大值为 2，
∴函数 f(x)的值域是－14，2.
求函数值域的方法 (1)求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范 围求解； (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性 求解，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化．
（2）[解] 设 u(x)＝x2－2ax－a. ∵f(x)在(－∞，－3)上是减函数， ∴u(x)在(－∞，－3)上是减函数， 且 u(x)>0 在(－∞，－3)上恒成立． 又 u(x)＝(x－a)2－a－a2 在(－∞，a)上是减函数． ∴au≥（－－33，）≥0，∴a≥－95. ∴满足条件的实数 a 的取值范围是－95，＋∞.
[跟踪训练] 1．若 y＝log(2a－3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围为________．
解析：由 y＝log(2a－3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以 2a－3＞1，解得 a＞2. 答案：(2，＋∞)
2．讨论函数 y＝loga(3x－1)的单调性． 解：由 3x－1>0，得函数的定义域为xx>13. 当 a>1，x>13时， 函数 y＝f(x)＝loga(3x－1)为增函数； 当 0<a<1，x>13时， 函数 y＝f(x)＝loga(3x－1)为减函数.
[问题探究] 1．已知函数 f(x)＝log2( x2＋1＋x)，试判断其奇偶性．
提示：由 f(x)知 x∈R ，
又 f(－x)＋f(x)＝log2( x2＋1－x)＋log2( x2＋1＋x) ＝log21＝0.∴f(x)为奇函数． 2．探究 1 中函数若变为 f(x)＝log2( x2＋1－x)，f(x)还是奇函数吗？ 提示：是．
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习题课
一、基础过关
1．函数f(x)＝3x 1－x
＋lg(2x －1)的定义域为 ( C ) A ．(－∞，1) B ．(0,1] C ．(0,1) D ．(0，＋∞)
2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m 的值为 ( A ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100
3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12
，则 ( C ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a
4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( D
) A ．y ＝2|x| B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－x D ．y ＝lg 1x ＋1
5．已知函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则a ＝_____3___.
6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ， x>0，2x ， x≤0若f(a)＝12，则a ＝
7．已知f(x)＝log a x (a ＞0，a≠1)，当0＜x 1＜x 2时，试比较f(x 1＋x 22)与12
[f(x 1)＋f(x 2)]的大小． 解: log a x 1＋x 22－12[log a x 1＋log a x 2]＝log a x 1＋x 22
－log a x 1x 2，又0<x 1<x 2，∴x 1＋x 2－2x 1x 2＝(x 1－x 2)2>0，即x 1＋x 2>2x 1x 2，即x 1＋x 22>x 1x 2.于是当a>1时，f(x 1＋x 22)>12[f(x 1)＋f(x 2)]同理0<a<1时f(x 1＋x 22)<12
[f(x 1)＋f(x 2)]． 8．已知f(x)＝log a (3－ax)在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．
解:由a>0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a>1.又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u>0，故3－2a>0，即a<32
. 综上可得，a 的取值范围是1<a<32
. 二、能力提升
9．函数f(x)＝log a |x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有 ( C )
A ．f(2)>f(－2)
B ．f(1)>f(2)
C ．f(－3)>f(－2)
D ．f(－3)>f(－4)
10．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a)x 的图象只可能是 ( B )
11．已知函数f(x)＝l g ax ＋a －2x
在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解：因为f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以g(x)＝a+(a−2)/x 在区间[1，2]上是增函数，且g （1）＞0．
于是a-2＜0，且2a-2＞0，解得1＜a ＜2．故应填（1，2）
12．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．
解:(1)定义域为{x|－1<x<1}(2)f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)故f(x)为奇函数．
(3) log a x ＋11－x ＝log a (－1＋21－x ) .当a>1时，f(x)是增函数，所以f(x)>0⇐⇒x ＋11－x
>1.解得0<x<1. 三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．(1)求y ＝f(x)的定义域；
(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；
(3)当a ，b 满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
解:(1)由a x －b x >0，得(a b )x >1，且a>1>b>0，得a b
>1，所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)任取x 1>x 2>0，a>1>b>0，则ax 1>ax 2>0，bx 1<bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，即lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)．故f(x 1)>f(x 2)．所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．
(3)因为f(x)是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a －b)≥0，即当a≥b ＋
1
时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．。