有理数找规律专题练习题电子教案
小专题 有理数中的规律探究(选做)人教版七级数学上册作业课件
从前面第一位同学开始，每位同学依自己顺序数的倒数加 1，第 1 位同学
报11＋1，第 2 位同学报21＋1，第 3 位同学报31＋1，这样得到的前 20
21
个数的积为
.
小专题 有理数中的规律探究(选做)人教版七 级数学 上册作 业课件
5．计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99. 解：原式＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(97－99) ＝－2×520 ＝－50.
32 021－1 计算：1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 020＝ 2 .
第 小1专章题 小 有专 理题 数(中5)的规有律理探数究中(选的做规)律人探教究版(七选级做数)-学20上20册秋作人 业教课版件七 年级数 学上册 作业课 件(共1 3张PPT )
第 小1专章题 小 有专 理题 数(中5)的规有律理探数究中(选的做规)律人探教究版(七选级做数)-学20上20册秋作人 业教课版件七 年级数 学上册 作业课 件(共1 3张PPT )
小专题 有理数中的规律探究(选做)人教版七 级数学 上册作 业课件
第 小1专章题 小 有专 理题 数(中5)的规有律理探数究中(选的做规)律人探教究版(七选级做数)-学20上20册秋作人 业教课版件七 年级数 学上册 作业课 件(共1 3张PPT )
二、乘方运算中的规律
6．观察下列等式：31＋1＝4，32＋1＝10，33＋1＝28，34＋1＝82，
秋七年级数学人教版上册习题课件：专题训练1 有理数中的规律探究 (共24张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•ห้องสมุดไป่ตู้
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 1:50:11 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
有理数找规律
有理数找规律一、数字型规律1．观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是 .2.观察下面一列数，探求其规律：.,61,51,41,31,21,1 --- （1）写出这列数的第九个数；（2）第2018个数是什么数？如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？3．下列是有规律排列的一列数：325314385，，，，……其中从左至右第100个数是 ．4、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．第n 个数为 ．5. 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20182的末位数是 .6、已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321=======…推测到203的个位数字是 ；7、观察下列等式： 第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16 … …按照上述规律，第n 行的等式为____ ________8．已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102； …… ……由此规律知，第⑤个等式是 ．9．观察下列各式： 1×3=12+2×1，2×4=22+2×2， 3×5=32+2×3， … …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： .10．观察下列顺序排列的等式：猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为__ _________________。
11、从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数（n ）和s 1 212⨯= 2 32642⨯==+ 3 4312642⨯==++ 4 54208642⨯==+++ 5 6530108642⨯==++++ ......................................................，……,41549,31439,21329,11219,1109=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯当n 个连续偶数相加时，它们的和s 与n 之间有什么样的关系？请用公式表示出来，并由此计算2+4+6+...+202的值。
有理数计算中的规律性问题(解析版)
重难点01有理数计算中的规律性问题探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．一．选择题（共8小题）1．如图，在数轴上，点P表示﹣1，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点P n，给出以下结论：①P5表示5；②P12＞P11；③若点P n到原点的距离为15，则n＝15；④当n为奇数时，|P n﹣P n﹣1|＝2P n；以上结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③D．①④【分析】先根据数轴的定义分别求出P1，P2，P3，P4，P5表示的数，再总结出P n的规律，然后逐个判断即可．【解答】解：由题意知，点P1表示的数是﹣1+2＝1，点P2表示的数是1﹣4＝﹣3，点P3表示的数是﹣3+6＝3，点P4表示的数是3﹣8＝﹣5，点P5表示的数是﹣5+10＝5，点P6表示的数是5﹣12＝﹣7，...，∴当n为奇数时，P n＝n，当n为偶数时，P n＝（﹣1）n﹣1（n+1），其中n为正整数，∴①P5表示5，正确；∵P11＝11，P12＝﹣13，∴②P12＞P11，不正确；由前面的规律知P n＝15时，n有奇数和偶数两种情况，∴③若点P n到原点的距离为15，则n＝15，不正确；④当n为奇数时，|P n﹣P n﹣1|＝|n﹣（﹣1）n﹣1+1（n﹣1+1）|＝|n+n|＝2n＝2P n，∴④正确，故选：D．【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出P n的规律是解题的关键．2．（2022秋•姜堰区期中）观察下列两行数：第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，⋯．第二行：0，6，﹣6，18，﹣30，66，⋯．取每行的第8个数，这两个数的和是（）A．0B．256C．514D．1024【分析】通过观察发现，第一行的第n个数是（﹣2）n，第一行的每一个数加2与第二行的数相对应，求出第一行的第8个数，即可求第二行的第8个数，再求和即可．【解答】解：∵第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，⋯，∴第n个数是（﹣2）n，∴第一行的第8个数是256，∵第一行的每一个数加2与第二行的数相对应，∴第二行的第8个数是258，∴256+258＝514，∴这两个数的和是514，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出第一数的排列规律是解题的关键．3．（2022秋•江阴市期中）《九章算术》里记载过这样一个三角形数阵——杨辉三角，它是我国古代数学的杰出研究成果之一．它的每行最开始和结尾的数字都是1，中间的每个数都等于它上方的两个数的和．则杨辉三角的第9排左起第5个数是（）A．28B．35C．56D．70【分析】根据题意补全杨辉三角形，再求解即可．【解答】解：如图所示：第9排左起第5个数是70，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，根据题意补全杨辉三角形是解题的关键．4．（2022秋•丰县校级月考）已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|……，以此类推，则a2023的值为（）A．﹣1007B．﹣1008C．﹣1011D．﹣2016【分析】通过计算可得当n是奇数时，结果等于﹣，当n是偶数时，结果等于﹣，再求值即可．【解答】解：∵a1＝0，∴a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a1+4|＝﹣2，a6＝﹣|a2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a3+6|＝﹣3，……∴a2＝a3＝﹣1，a4＝a5＝﹣2，a6＝a7＝﹣3，……，∴当n是奇数时，结果等于﹣，当n是偶数时，结果等于﹣，∴a2023的值为﹣1011，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的运算规律是解题的关键．5．（2022秋•崇川区月考）计算：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．50【分析】观察所求的式子，将式子变形为（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（98﹣100）再求和即可．【解答】解：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（98﹣100）＝﹣2×25＝﹣50，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所求的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键．6．（2022秋•仪征市校级月考）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（）A．第505个正方形的左下角B．第505个正方形的右上角C．第506个正方形的右上角D．第506个正方形的右下角【分析】通过观察正方形所标的数字发现每4个数循环一次，再由2022÷4＝505……2，进而确定2022的位置即可．【解答】解：每4个数循环一次，∵2022÷4＝505……2，∴2022的位置与2的位置相对应，∴2022应该标在第506个正方形的右上角，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列情况，探索出数的循环规律是解题的关键．7．（2022秋•海门市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2023次输出的结果是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣3D．﹣6【分析】按运算程序先计算，通过计算结果找出规律，利用规律得结论．【解答】解：输入x＝3，∵3是奇数，∴输出3﹣5＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6．输入x＝﹣6，∵﹣6是偶数，∴输出﹣6×＝﹣3．输入x＝﹣3，∵﹣3是奇数，∴输出﹣3﹣5＝﹣8．输入x＝﹣8，∵﹣8是偶数，∴输出﹣8×＝﹣4．输入x＝﹣4，∵﹣4是偶数，∴输出﹣4×＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6..．依次类推，除去第一次输入，输出分别以﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8、﹣4循环．∴2023÷6＝337.....1．故第2023次输出的结果是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式的求值，通过输入输出的计算得到规律是解决本题的关键．8．（2022秋•通州区期中）小亮运用一种方法来扩展数，并称这种方法为“亮化”，步骤如下（以﹣10为例）：①写出一个数：﹣10；②将该数加1，得到数：﹣9；③将上述两数依序合并在一起，得到第一次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9）；④将（﹣10，﹣9）各项加1，得到（﹣9，﹣8），再将这两组数依序合并，得到第二次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8）；…按此步骤，不断亮化，会得到一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，…），则这组数的第68个数是（）A．一9B．﹣8C．﹣7D．﹣6【分析】首先根据题意确定每一次亮化后的具体数量，然后再根据变化规律找到数字．【解答】解：根据题意得：第一次亮化之后为：[﹣10，﹣9]，为2位为21；第二次亮化之后为：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8]，为4位为22；第三次亮化之后为：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7]，为8位为23；第四次亮化之后位：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，﹣8，﹣7，﹣7，﹣6]，为16位为24；64＝26，第6次亮化为64个数字，第68个数为第6次亮化后第4个数字加1得到，所以，﹣8+1＝﹣7．故选：C．【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是读懂题意能发现数字变化的规律，利用规律解决问题．二．填空题（共13小题）9．（2022秋•常州期中）已知数a1，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，…，a n＝1﹣．按上述方法计算：当a1＝2时，a1+a2+a3+a4+…+a2023＝1013．【分析】通过计算发现运算结果2，，﹣1循环出现，再确定所求的和一共有674组循环多一个2，由此求解即可．【解答】解：∵a 1＝2，∴a 2＝1﹣＝，a 3＝1﹣2＝﹣1，a 4＝1﹣（﹣1）＝2，a 5＝1﹣＝，…，∴运算结果2，，﹣1循环出现，∵2023÷3＝674……1，∴a 2023＝2，∵2+﹣1＝，∴a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2023＝×674+2＝1013，故答案为：1013．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．10．（2022秋•海安市校级月考）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2022次输出的结果是1．【分析】通过计算发现，运算结果每三次计算循环一次，由此可知第2022次输出的结果与第三次输出的结果相同，再求解即可．【解答】解：第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是1，第六次输出的结果是4，……，∴运算结果每三次计算循环一次，∵2022÷3＝674，∴第2022次输出的结果与第三次输出的结果相同，∴第2022次输出的结果是1，故答案为：1．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．11．（2022秋•宜兴市月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝4．【分析】分别求出a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝﹣，……，发现每三次运算后结果循环出现，即可求a2022＝a3＝4．【解答】解：∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝4，a4＝＝﹣，……，∴每三次运算后结果循环出现，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝4，故答案为：4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．12．（2022秋•泗洪县期中）如图，表B是表A的一部分，则表B中x等于21或24．【分析】根据所给的表格，将表格B补充完整再求解即可．【解答】解：如图：x＝18+3＝21，x＝18+6＝24，故答案为：21或24．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每列数的排列规律是解题的关键．13．（2022秋•阜宁县期中）观察上面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出b的值为141．【分析】通过观察可知，左下边正方形中的数是2n，b＝a+13，求出a的值再求解即可．【解答】解：最上边正方形中的数是奇数，左下边正方形中的数是2n，∴a＝27＝128，∵b＝a+13＝128+13＝141，故答案为：141．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出a的规律，能够准确求出a的值是解题的关键．14．（2022秋•灌南县校级月考）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为﹣1．3a b c﹣12……【分析】根据题意可得格子中的数3，﹣1，2循环出现，再由循环规律求解即可．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴这三个相邻的数分别是3，﹣1，2，∴格子中的数3，﹣1，2循环出现，∵2024÷3＝674……2，∴第2024个格子的数为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的表格，确定表格中的三个数，并探索出数的循环规律是解题的关键．15．（2022秋•吴江区校级月考）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝﹣2．【分析】通过计算发现，每三次运算结果循环一次，由此可得a2023＝a1＝﹣．【解答】解：∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝﹣，……，∴每三次运算结果循环一次，∵2023÷3＝674……1，∴a2023＝a1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．16．（2022秋•吴江区校级月考）有一列数﹣，，﹣，，…，那么第8个数是．【分析】通过观察可得第n个数是（﹣1）n•，再求解即可．【解答】解：∵，，﹣，，…，∴﹣，，﹣，，……，∴第n个数是（﹣1）n•，∴第8个数是，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．17．（2022秋•宜兴市月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝5，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019等于．【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求a2019＝a3＝．【解答】解：∵a1＝5，∴a2＝＝﹣，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝5，……，∴每四次运算结果循环出现，∵2019÷4＝504……3，∴a2019＝a3＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．18．（2021秋•广陵区期末）【阅读】计算1+3+32+…+3100的值时，令S＝1+3+32+…+3100，则3S＝3+32+33+…+3100+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1，所以．仿照以上推理，计算：＝．【分析】令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣…+42021﹣42022，求出S＝﹣，再运算即可．【解答】解：令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣…+42021﹣42022，∴5S＝1﹣42022，∴S＝﹣，∴1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021+＝﹣+＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的例子仿照列式，并准确计算是解题的关键．19．（2021秋•东台市期末）如图，“海春书局”把WIFI密码做成了数学题．小红在海春书局看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“海春书局”的网络，那么她输入的密码是167288．【分析】通过观察发现，密码的前两位数是第一个数字与第三个数的乘积，中间两位数字是第二个数与第三个数的乘积，最后两个数是所得的两个积的和．【解答】解：通过观察可知密码的前两位数是2×8＝16，中间两位数是9×8＝72，最后两位数是16+72＝88，故答案为：167288．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与所给数字之间的运算关系是解题的关键．20．（2022秋•东台市期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是131．【分析】通过观察可得前a行共有a2个数，再由第44行最后一个数是1936，可得2022在第45行第86个数，从而求出m、n的值即可求解．【解答】解：第一行1个数，第二行3个数，第三行5个数，……，第a行（2a﹣1）个数，∴前a行共有a2个数，∴第45行最后一个数是2025，∴2022在第45行第86个数，∴m＝45，n＝86，∴m+n＝45+86＝131，故答案为：131．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键．21．（2022秋•鼓楼区校级月考）将1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）排成一列：1，，，，，…，，记a1＝1，a2＝a1+，a3＝a2+，…，记S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，S n＝a1+a2+a3+…+a n，则S2022﹣S2021＝2022．【分析】由题意可知S2022﹣S2021＝a2022，再分别求a2＝a1+1，a3＝a2+1＝a1+2，…，a n＝a1+n﹣1，即可得a n＝n，求出a2022即为所求．【解答】解：∵S2022＝a1+a2+a3+…+a2022，S2021＝a1+a2+a3+…+a2021，∴S2022﹣S2021＝a2022，∵a2＝a1+，a3＝a2+，…，∴a2＝a1+＝a1+1，a3＝a2+＝a2+1＝a1+2，…，a n＝a1+n﹣1，∵a1＝1，∴a n＝n，∴a2022＝2022，故答案为：2022．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．三．解答题（共10小题）22．（2022秋•江阴市校级月考）有一列数，第一个数用a1表示，第二个数用a2表示，…，第n个数用a n 表示，n为正整数；已知，，，，…（1）利用以上运算的规律，直接写出a5＝；a8＝；a n＝；（2）计算：a1×a2×a3×a4…a10的值．【分析】（1）根据所给的等式，通过观察得到一般规律为a n＝；（2）根据（1）的规律，可得所求式子为3×2××××××××，再计算求值即可．【解答】解：（1）a5＝，a8＝，a n＝，故答案为：，，；（2）∵，，，，…，a n＝，∴a1×a2×a3×a4…a10＝3×2××××××××＝66．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．23．（2022秋•崇川区月考）阅读下列例题：计算：2+22+23+24+25+26+ (210)解：设S＝2+22+23+24+25+26+…+210，①那么2S＝2×（2+22+23+24+25+…+210）＝22+23+24+25+…+210+211．②②﹣①，得S＝211﹣2．所以原式＝211﹣2．仿照上面的例题计算：3+32+33+34+ (32022)【分析】由题意可得S＝3+32+33+34+...+32022，则3S＝32+33+34+...+32022+32023，再由作差法求解即可．【解答】解：S＝3+32+33+34+ (32022)则3S＝32+33+34+…+32022+32023，∴2S＝32023﹣3，∴S＝，∴3+32+33+34+…+32022＝．【点评】本题考查数字的变化规律，能够模仿所给的运算过程，对所给的式子进行运算即可．24．（2022秋•江都区月考）先观察下列等式，再完成题后问题：＝，，（1）请你猜想：＝﹣．（2）若a、b为有理数，且|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，求：的值．（3）＝．【分析】（1）通过观察已知的等式，直接写出即可；（2）由题意可得方程a﹣1＝0，ab﹣2＝0，求出a、b的值，再将所求的式子变形为1﹣+…+﹣，再求和即可；（3）将所求的等式变形为（1﹣+﹣+…+﹣），再求和即可．【解答】解：（1）＝，故答案为：；（2）∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，∴a﹣1＝0，ab﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴＝+++…+＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝×（1﹣）＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．25．（2022秋•宜兴市月考）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×（1﹣）；第2个等式：a2＝＝×（﹣）；第3个等式：a3＝＝×（﹣）；第4个等式：a4＝＝×（﹣）…寻找规律，解决问题：（1）写出第5个等式：a5＝＝（﹣）；写出第10个等式：a10＝＝（﹣）；（2）求a1+a2+……+a2022的值．【分析】（1）根据所给的等式，直接写出即可；（2）通过观察可得规律：第n个等式为a n＝＝×（﹣），再利用规律计算即可．【解答】解：（1）第5个等式为a5＝＝（﹣），第10个等式为a10＝＝（﹣），故答案为：，（﹣），，（﹣）；（2）由（1）可得，第n个等式为a n＝＝×（﹣），∴a1+a2+……+a2022＝++++……+＝（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）＝×（1﹣）＝＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．26．（2022秋•锡山区校级月考）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：分母中加数的个数（n）和的倒数2345……（1）根据表中规律，求＝；（2）根据表中规律，则＝；（3）求的值．【分析】（1）根据所给式子可得，原式＝2×（﹣），再求解即可；（2）根据所给式子可得，原式＝2×（﹣），再求解即可；（3）由（1）（2）可得原式＝2×（﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣），再求解即可．【解答】解：（1）＝2×（﹣）＝，故答案为：；（2）＝2×（﹣）＝，故答案为：；（3）＝2×（﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣）＝2×（﹣）＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律并能加以运用是解题的关键．27．（2022秋•邳州市期中）观察下列三行数，并完成填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……（1）第①行第10个数是1024；第②行数第10个数是37；（2）第③行第n个数是（﹣1）n•n2；（3）取每行的第10个数，计算这三个数的和为1161．【分析】（1）不难看出第①行第n个数为（﹣2）n；第②行第n个数为（﹣1）n•（4n﹣3）；再令n＝10，分别求解即可；（2）通过观察发现，第③行第n个数为（﹣1）n•n2；（3）分别表示出第10个数，再求和即可．【解答】解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……，∴第n个数为：（﹣2）n，∴第10个数为：（﹣2）10＝1024；∵②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……，∴第n个数是（﹣1）n•（4n﹣3），∴第10个数是37，故答案为：1024，37；（2）∵③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……，∴第n个数是（﹣1）n•n2，故答案为：（﹣1）n•n2；（3）第③行的第10个数是100，∴1024+37+100＝1161，故答案为：1161．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算所给的数，能够探索出每行数的规律是解题的关键．28．（2022秋•阜宁县期中）折叠纸面，若在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：（1）数轴上8表示的点与﹣4表示的点重合．（2）若数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？（3）如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？【分析】（1）先根据在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合求出中点表示的数，进而可得出结论；（2）先求出MN的值，再由中点是2表示的点得出结论；（3）正方形在数轴上向右滚动一次，二次，三次后落在数轴上一边的右端点表示的数，找出规律即可得出结论．【解答】解：（1）∵在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，∴＝2，∴在数轴上﹣1表示的点与5表示的点的中点是2表示的点，∴数轴上8表示的点与﹣4表示的点重合．故答案为：﹣4．（2）∵数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），∴MN＝×800＝400，∴2+400＝402，2﹣400＝﹣398，∴M点表示的数是﹣398，N点表示的数是402．答：M、N两点表示的数分别是﹣398，402；（3）∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是3；正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是5；正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是7．∴正方形在数轴上向右滚动2022次后落在数轴上一边的右端点表示的数是2×2022+1＝4045．∵4﹣4045＝﹣4041，∴正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的﹣4041重合．【点评】本题考查的是实数与数轴，根据题意找出规律是解答此题的关键．29．（2022秋•江都区月考）定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3÷3等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3÷3记作34，读作“3的下4次方”．一般地，把n个a（a ≠0）相除记作a n，读作“a的下n次方”．（1）直接写出计算结果：34＝．（2）关于除方，下列说法正确的有①②④（把正确的序号都填上）①对于任何正整数n，1n＝1；②a2＝1（a≠0）；③23＝32④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）．试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：65＝（）3；＝（﹣3）7．（4）计算：．【分析】（1）根据定义直接运算求值即可；（2）分别运算每一个选项，再进行判断即可；（3）根据所给的例题，进行计算即可；（4）原式变形为（﹣2）2÷（﹣2）3﹣8+（﹣6）×2，再按有理数的运算法则运算即可．【解答】解：（1）34＝3÷3÷3÷3＝，故答案为：；（2）∵1n＝1÷1÷1÷…÷1＝1，故①符合题意；∵a2＝a÷a＝1，∴a2＝1，故②符合题意；∵23＝2÷2÷2＝，32＝3÷3＝1，∴23≠32，故③不符合题意；根据除法的定义可得，负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数，故④符合题意；故答案为：①②④；（3）65＝6÷6÷6÷6÷6＝6××××＝（）3，＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝（﹣3）7，故答案为：（）3，（﹣3）7；（4）＝（﹣2）2÷（﹣2）3﹣8+（﹣6）×2＝﹣﹣8﹣12＝﹣20．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算，探索出运算规律，并能灵活应用新运算计算，弄清定义是解题的关键．30．（2023春•常州期末）观察下列等式：32﹣12＝8；52﹣32＝16；72﹣52＝24；92﹣72＝32；…根据上述规律，解答下列问题：（1）填空：132﹣112＝48，192﹣172＝72；（2）用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．【分析】（1）按题所给算式计算即可；（2）分别探索三个数列的规律，再按照等式形式表示即可，将结论按照平方差公式展开计算即可．【解答】解：（1）132﹣112＝48，192﹣172＝72，故答案为：48，72．（2）由数列3，5，7，9...，得第n个数为：2n+1，由数列1，3，5，7...，得第n个数为：2n﹣1，由数列8，16，24，32...，得第n个数为：8n，∴该等式的规律为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n．等式左边：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴结论正确．【点评】本题考查了数字规律的探究，等差数列规律的性质及平方差公式的应用是解题关键．31．（2022秋•扬州期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．4□☆△6﹣5……（1）□＝6，☆＝﹣5，Δ＝4；（2）试判断第2022个格子中的数是多少，并给出相应的理由；（3）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2035？若能，求出对应的n值，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，通过计算可得Δ＝4，□＝6，又因为第9个格中的数是﹣5，可得☆＝﹣6；（2）表格中的数字规律4，6，﹣5的循环，用2022除以3，通过余数可以判断第2022个格子的数字；（3）根据表中的规律先计算一个循环的和为4+6﹣5＝5，用2035÷5＝407，再将结果乘以3，可得n的值．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴4+□+☆＝□+☆+△，∴Δ＝4，∵□+☆+Δ＝6+☆+△，∴□＝6，∴表中数字的排列规律为：4，6，☆，4，6，☆，•••，∵表中第9个数字为﹣5，∴☆＝﹣5．故答案为：6，﹣5，4．（2）第2022个格子中的数是4．理由：由（1）知：表格中的数字规律是4，6，﹣5的循环．∵2022÷3＝674，∴第2022个格子中的数字与第三个数字相同．∴第2022个格子中的数字为﹣5；（3）前n个格子中所填整数之和能为2035，理由如下：∵4+6﹣5＝5，∴每一个循环组的和为5．∵2035÷5＝407，∴407组数字之和为2035．∴407×3＝1221．又∵4+6﹣5﹣5＝0，当n＝1217时，不符合题意，∴n＝1221．【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．一．选择题（共3小题）1．（2021秋•高邮市期末）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．【解答】解：当n＝21时，经过1次运算输出的数是64，经过2次运算输出的数是32，经过3次运算输出的数是16，经过4次运算输出的数是8，经过5次运算输出的数是4，经过6次运算输出的数是2，经过7次运算输出的数是1，经过8次运算输出的数是4，经过9次运算输出的数是2，……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，∵（2022﹣4）÷3＝672…2，∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．2．（2021秋•惠山区校级期中）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…）在小于50的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．139B．94C．59D．16【分析】求出第9个“三角形数”，第7个“正方形数”，即可求m、n的值．【解答】解：∵“三角形数”分别是1，3，6，10，…，∴第x个“三角形数“，∵＜50，且x为正整数，∴x取最大值9，∴m＝45，∵“正方形数”分别是1，4，9，16，…，∴第y个“正方形数”y2，y为正整数，∵y2＜50，∴y取最大值7，∴n＝49，∴m+n＝94，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数的规律，探索出数字的规律是解题的关键．3．（2021秋•句容市期中）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2＝18+7﹣6﹣5＝415+14+13﹣12﹣11﹣10＝924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16……根据以上规律可知第201行左起第3个数是（）A．40800B．40801C．40802D．40803【分析】通过观察发现：第n行最后一个数是（n+1）2﹣1，求出第201行的第一个数即可求解．【解答】解：第一行第一个数是22﹣1，第二行第一个数是32﹣1，第三行第一个数是42﹣1，第四行第一个数是52﹣1，……，∴第n行第一个数是（n+1）2﹣1，∴第201行第一个数是2022﹣1＝40803，∴第201行左起第3个数是40801，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出每个等式的第一个数的规律是解题的关键．二．填空题（共7小题）4．（2022秋•亭湖区月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为32，我们发现第一次输出的结果为16，第二次输出的结果为8，…，则第2022次输出的结果为4．【分析】通过计算发现，从第4次运算开始，结果每3次运算循环一次，则第2022次输出的结果与第6次输出的结果相同，求出第6次运算的结果即为所求．【解答】解：当x＝32时，输出结果为32＝16，当x＝16时，输出结果为16＝8，当x＝8时，输出结果为8＝4，当x＝4时，输出结果为4＝2，当x＝2时，输出结果为2＝1，当x＝1时，输出结果为1+3＝4，当x＝4时，输出结果为4＝2，……∴从第4次运算开始，结果每3次运算循环一次，∵（2022﹣3）÷3＝673，∴第2022次输出的结果与第6次输出的结果相同，∴第2022次输出的结果是4，故答案为：4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．5．（2021秋•滨海县期中）观察一列数：，，，，，，根据规律，请写出第16个数是﹣．【分析】通过观察发现第n个数是（﹣1）n+1•，由此求解即可．【解答】解：∵，，，，，，……，∴，﹣，，﹣，，﹣，……，∴第n个数是（﹣1）n+1•，∴第16个数是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的分子与分母的规律是解题的关键．6．（2021秋•兴化市校级月考）已知（n＝1，2，3⋯，2021），求当a1＝1时，a1a2+a2a3+⋯+a2021a2022的值为．【分析】通过计算发现规律，a n＝，则所有式子＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣，再运算即可．【解答】解：∵a1＝1，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，∴a n＝，∴a1a2+a2a3+⋯+a2021a2022＝1×++×+…+×＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察，探索出数的一般规律是解题的关键．7．（2021秋•启东市校级月考）有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．若a1＝﹣2，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：a2＝，a3＝，a4＝﹣2，a5＝．由你发现的规律计算a2021＝．【分析】通过计算发现每三次运算结果循环出现，则a2021＝a2＝．【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，a5＝＝，…∴每三次运算结果循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴a2021＝a2＝，故答案为：，，﹣2，，．。
有理数找规律
一、数字找规律1．观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是. 2.观察下面一列数，探求其规律：.,61,51,41,31,21,1 --- （1）写出这列数的第九个数；（2）第2008个数是什么数？如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？3．下列是有规律排列的一列数：325314385，，，，……其中从左至右第100个数是__________．4、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为．5. 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20082的末位数是.6、已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321=======…推测到203的个位数字是；7、观察下列等式： 第一行 3=4－1第二行 5=9－4第三行 7=16－9第四行 9=25－16……按照上述规律，第n 行的等式为____________8．已知下列等式：① 13＝12；② 13＋23＝32；③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…… ……由此规律知，第⑤个等式是 ．9．观察下列各式：1×3=12+2×1，2×4=22+2×2，3×5=32+2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来：. 10．观察下列顺序排列的等式： ,21329,11219,1109=+⨯=+⨯=+⨯猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为___________________。
11、从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数（n ）和s1 212⨯=2 32642⨯==+3 4312642⨯==++4 54208642⨯==+++5 6530108642⨯==++++......................................................当n 个连续偶数相加时，它们的和s 与n 之间有什么样的关系？请用公式表示出来，并由此计算2+4+6+...+202的值。
有理数找规律
一、数字找规律 1．观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是 .2.观察下面一列数，探求其规律：.,61,51,41,31,21,1 （1）写出这列数的第九个数；（2）第2008个数是什么数？如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？3．下列是有规律排列的一列数：325314385，，，，……其中从左至右第100个数是__________．4、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．5. 已知221 ，422 ，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .6、已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321 …推测到203的个位数字是 ；7、观察下列等式： 第一行 3=4－1第二行 5=9－4第三行 7=16－9第四行 9=25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____ ________8．已知下列等式：① 13＝12；② 13＋23＝32；③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…… ……由此规律知，第⑤个等式是 ．9．观察下列各式：1×3=12+2×1，2×4=22+2×2，3×5=32+2×3，… … 请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： . 10．观察下列顺序排列的等式： 猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为__ _________________。
11、从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数（n ）和s1 2122 326423 43126424 542086425 6530108642......................................................当n 个连续偶数相加时，它们的和s 与n 之间有什么样的关系？请用公式表示出来，并由此计算2+4+6+...+202的值。
数学找规律教案及练习题
数学电子教案授课时间：星期一第 1 节教学内容找规律（一）主备教师授课教师教学目标1、通过观看视频，认真思考，找出数字排列之间的规律，认识到用乘法解决问题的简便性。
2、初步培养有序地全面地思考问题的能力。
3、培养学生认真倾听，认真思考的好习惯。
教学重、难点掌握乘法原理在计数方法中的应用（所谓的乘法原理就是：如果完成一项工作要分几步，，而完成每步有若干方法，那么完成此项工作的方法的总数等于完成各步方法的乘积）教学过程1、播放视频（找规律一）例 1、用 4、5、6这三个数字能摆成几个不含重复数字的三位数？练习：用8、2、5、3四个数字可以组成（）个不含重复数字四位数，其中最大的是（），最小的是（）。
例2、有8、5、0、6四个数字，可以组成（）个不含重复数字的四位数。
练习：由数字0、1、2、3组成的三位数中，一共有多少个不相等的三位？一共有多少个没有重复数字的三位数？例3、利用数字1、2、3、4、5共可组成（1）多少个数字不重复的三位数？练习：1、自然数1到1500的所有数中，数字“3”共有多少个？2、在2、3、4、5、6这五个数字中,取出三个数字组成三位数,这样的三位数可以有很多个,如果把这些三位数从大到小排列起来,请你想一想,这串数中第51个数除以6的余数是多少?2、现场答疑：学生在看视频中有不懂的地方，老师现场讲解。
3、布置作业学生做完后，提交，教师批改。
课堂练习（课后作业）：1、用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？2、三位的自然数，各位上的数字之和是6，而且各位数字都不相同。
那么符合条件的自然数有多少个？3、由1、2、3、4四个数字组成的不同四位数共有24个，将它们从小到大排起来，那么，第18个数是多少？4、从1到400的自然数中，不含有数字5的自然数有多少个？评价方式学生看完视频后，做作业，教师批改，采用等级制评价。
找规律（一）例 1、用 4、5、6这三个数字能摆成几个不含重复数字的三位数？练习：用8、2、5、3四个数字可以组成（ 24 ）个不含重复数字四位数，其中最大的是（ 8532 ），最小的是（ 2358 ）。
七年级数学有理数专题：定义新运算、找规律和程序运算
第七讲定义新运算、找规律和程序运算本讲目标：1.了解新运算、找规律、程序框图类题型；2.数的规律，学会找第n 项，特别是不从1n 找规律.模块一：定义新运算定义新运算：用一个新符号将字母连接起来的运算．1.做题关键：正确理解新符号的含义，按照计算顺序，将数值代入式子，转化为一般的四则运算．有括号先算括号．2.常见特殊符号：、、、、、#、、log 等．思考1：若对于任意数,a b ，有ab a b ab .（1）计算58（2）计算8668模块二：数列、代数式、数表找规律找规律的核心：观察、归纳、验证.通过观察简单、局部、特殊的情况，经过提炼、归纳、猜想，寻找一般规律，最后记得要验证.题目类型：数字规律、运算规律、等式规律、图表排列规律、运动规律类．思考2：22222334422,33,44,,33881515若288a a b b ，则a b _______.思考3：有一组单项式：3452,,,,,234a a a a 观察它们构成归来，用你发现的总结第n 个单项式为_______.模块三：程序运算解题关键：弄清程序与数学表达式的关系，按照程序过程一步一步往下推．思考4：按照下图规律，若输入23x ，则输出结果y ______.输入x1x 152y x 152y x 输出y学而思期中考试结束，老师没留什么作业吧！不知不觉初中生活也走过了快半个学期，不知道学校里快乐和紧张的学习与生活是否让同学们感受到充满乐趣？小伙伴们可以反思一下自己在哪些地方做得不错，哪些地方尚可提高，查漏补缺，让自己更加接近完美～～思考题答案：思考1：（1）37；（2）2500思考2：71思考3：111n n a n思考4：34+2是否。
《1.2.1 有理数》教案、同步练习(附导学案)
《1.2.1有理数》教案【教学目标】 （一）知识与技能： 1．能说出有理数的意义。
2．能把给出的有理数按要求分类，知道数0在有理数分类中的作用。
（二）过程与方法：经历按照不同标准对有理数分类的过程，培养归纳概括的数学思想方法。
（三）情感态度价值观：通过有理数的分类，得到对称美的享受。
【学法引导】1．教学方法：启发引导，充分体现学生为主体，注重学生参与意识。
2．学生学法：识记→练习巩固。
【重点、难点】1．重点：有理数包括哪些数。
2．难点：有理数的分类。
3．疑点：明确有理数分类标准。
【教具学具准备】 投影仪、自制胶片。
【教学过程设计】 （一）复习导入 （出示投影1）1．把下列各数填入相应的大括号内：＋6，211-，3.8，0，－4，－6.2，722+，－3.8，32-正数集合{} 负数集合{}2．填空：（1）若下降5 m 记作－5 m ，那么上升8 m 记作__________________，不升不降记作_____________________。
（2）如果规定＋20表示收入20元，那么－10元表示______________。
（3）如果由A 地向南走3千米用3千米表示，那么－5千米表示____________________，在A 地不动记作__________________。
【教法说明】出示投影后，学生思考，然后举手回答问题。
当学生回答完一题后。
教师追问：你能不能说说什么叫正数，负数呢？0是正数吗？是负数吗？通过第1小题，使学生进一步理解正、负数的概念，以及零的特殊意义。
通过第2小题使学生掌握对于两种相反意义的量，如果其中一种量用正数表示，那么另一种量便可以用负数表示。
师：在小学大家学过1，2，3，4……这是什么数呢？ 生：自然数。
师：在这些自然数前面加上负号，如－1，－2，－3，－4……这些是什么数呢？生：负数。
师：具体叫什么负数呢？师：今天我们要把大家学过的数分类命名，然后给一个统一的名称。
第1章有理数专题提升二与有理数关的规律探究题+++课件-2024—2025学年湘教版数学七年级上册+
类型四 运算规律探究
有理数的运算规律题，通常是以阅读理解题的形式给出，读懂材料， 灵活迁移是解题的关键.这类题常常会涉及倒序相加、错位相减、裂项 相消等技巧.有时是以图形的方式给出运算规律，需要利用数形结合思 想求解.
15
例4 阅读材料： 求1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ⋯ + 22 024的值. 解：设S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ⋯ + 22 024， 则2S = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + ⋯ + 22 025. 所以2S − S = 22 025 − 1， 即S = 22 025 − 1. 故原式= 22 025 − 1.
1 1−2
=
−1，−1的差倒数是1−(1−1)
=
12．若a1
=
−3，a2是a1的差倒数，a3
是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，则
a1 − a2 + a3 − a4 + ⋯ + a401 − a402 + a403 =___−_3_.
11
3.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F(n) = 3n + 1；② 当n为偶数时，F(n) = 2nk，其中k是使F(n)为奇数的正整数.两种运算交 替重复进行.例如，取n = 24，运算过程如图2所示.若n = 13，则第 2 025次“F”运算的结果是___.
8
例3 已知有理数a ≠ 1，我们把1−1a称为a的差倒数.如：2的差倒数是
1 1−2
=
−1，−1的差倒数是1−(1−1)
七年级数学阶段拔尖专训6 有理数运算中的规律题
025是第45行从左往右数第89个，故2 024是第45行从左
往右数第88个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
×(+)
×(+)
数是6＝
， n ＝4时，“○”的个数是10＝
，
×(+)
所以第10个图形中“○”的个数是
＝55.
因为55－30＝25，
所以第10个图形中“○”的个数和“·”的个数的差
为25.
【答案】 B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
数阵规律
8. 把正整数按如图所示排列起来，从上往下，依次为第一
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数字规律
1. [母题·2024 武汉武昌区期中·教材P53例4]观察下列三行
－1］＝129.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(3)取每行中的第8个数，计算这三个数的和.
【解】易知第①行中第8个数是(－2)8＝256，第②行
−
中第8个数是256×
＝－128.
所以每行中的第8个数的和是256＋(－128)＋129＝257.
1
2
3
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第二章 有理数的运算第 6 讲 找规律 培优训练 2024-2025学年人教版七年级数学上册
第6 讲找规律专题1 规律探究(1)——图表规律题型一图形规律(作差法)【典例】如图，下列一组图案，每一个图案均由边长为1的小正方形按照一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有( )个小正方形A.121B.100C.81D.64变式1.如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第10个小房子用石子数为.变式2.如图是由相同小正方形组成的图形，已知图1中有2个小正方形，图2中有7个小正方形，图3中有14个小正方形，…，那么第10个图中有个小正方形.题型二特殊到一般，找规律→用规律变式3.如图，下面是用由形状相同的黑色棋子按一定规律摆成的“H”字.按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要个棋子.变式4.卡塔尔卢赛尔体育场是由中国铁建国际集团承建，球场外立面的设计灵感源于阿拉伯吊灯的光影交错的典型图案，该图案是由一些完全相同的小三角形依照规律排列组成，图1由2个小三角形组成，图2由8个小三角形组成，图3由18个小三角形组成，依此规律，第10个图形由个小三角形组成.专题2 规律探究(2)——数列规律题型一数列规律【典例1】有一列数:-2018,-2014,-2010,-2006,-2002,…,按一定规律排列,则这列数前个数的和最小.变式1.按规律排列的一列数:-1,3,-6,10,-15,21,-28,…,若把其中的第2019个数记为a,第2020个数记为b,则a+b= .变式2.观察下列等式:1×5+4=9;2×6+4=16;3×7+4=25;4×8+4=36,…,按照这个规律，写出第n个等式为.题型二图表数列规律——杨辉三角形【典例2】已知一列数:1,-2,3,-4,5,-6,…,将这列数排成右图形式,按照此规律排下去，第10行的第1个数是( )A.-46B.一36C.37D.45变式.右图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a₁，第二个数记为a₂，第三个数记为a₃，…，第n个数记为an,则(a₆= ,a₂₀₀= .专题3 规律探究(3)——乘方规律(1)题型一注意同行之间乘方规律【典例】(教材P53例4变式)观察下面三行数：-2, 4, -8, 16, -32, 64, …;①-1, 2, -4, 8, -16, 32, …;②0, 6, -6, 18, -30, 66, …;③(1)第①行的第n 个数可表示为；(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行的第n个数，从上到下依次把这三个数记为A，B，C.①当n=8时,求A+B +C的值;②直接写出4B-(A +C)= .题型二注意同列之间的和、差规律变式.(2024·汉阳)观察下列三行数，回答下面的问题：-2, 4, -8, 16,-32, …; ①0, 6, -6, 18,-30, ……; ②-1, 2, -4, 8, -16, …; ③(1)请直接写出每一行的第6个数分别是，，；(2)取每行数的第m个数，从上到下分别记为a，b，c，则( a+b−4c的值为；(3)若用如图的“L”形框圈住4个数，其中最大数与最小数的差为2050，求这四个数中的最小数.专题4 规律探究(4)——乘方规律(2)题型一同行之间的乘方规律【典例】观察下列按一定规律排列的三行数：-2, 4, -8, 16, -32, 64, …; ①1, 7, -5, 19, -29, 67, …; ②1, -5, 7, -17, 31, -65, …; ③解答下列问题：(1)每一组的第8个数分别是，，；(2)分别写出第二组和第三组的第n个数：，；(3)取每行数的第m 个数，是否存在m的值，使这三个数的和等于514? 若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.题型二同列之间的和差规律公众号→全科A+变式.观察下列按一定规律排列的三行数：第一行:-1, 2, -4, 8, -16, 32, -64, …;第二行: 0, 3, -3, 9, -15, 33, -63, …;第三行: 1, -5, 7,-17, 31, -65, 127, …;(1)第一行的第8个数可表示为，设第一行第n个数为x，则第二行第n个数为，第三行第n 个数为；(2)第一、二、三行的第10个数分别记为a,b,c,求a-b+c 的值;(3)取每行数的第n个数，这三个数中任意两数之差的最大值为6146，求n的值.专题5 规律探究(5)——乘方规律(3)题型一最大数与最小数问题【典例】观察下面三行数：将每一行的第n个数，依次记为x，y，z.如上图中，当n=2时，x=−4,y=−3,z=2.(1)当n=7时，请直接写出x，y，z的值，并求这三个数中最大的数与最小的数的差；(2)已知n为偶数，且x，y，z这三个数中最大的数与最小的数的差为384，求n的值；(3)若m=x+y+z，则x，y，z这三个数中最大的数与最小的数的差为(用含m 的式子表示).题型二定值问题变式.观察下面三行数：第一行:- 2, 4, -8, 16, -32, 64,…;第二行: 0, 6, -6, 18, -30, 66,…;第三行: 5, -1, 11, -13, 35, -61,…;探索它们之间的关系，寻求规律解答下列问题：(1)直接写出第二行数的第8个数是；第三行数的第8个数是；(2)取第二行的连续三个数，请判断这三个数的和能否为774，并说明理由；(3)取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数n均有2A—tB+5C为一个定值，求t 的值及这个定值.。
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规律专题
1. 观察下面的每列数，按某种规律在横线上适当的数。
（1）-21 ___________ ，-15 ，-9, ______________ ，，，____________ （第n个）;
⑵ 2 2_4 A ；
8， 16,32， 64 ，，；
2. 有一组数：
1,2,5,10,17,26,..…，请观察这组数的构成规
律，用你发现的规律确定第8个数为____ ，第n个数为______ ;
3. 观察下列算式：21=2,2 2 =4,2 3
=8,2 4= 16,2 5 =32,2 6=64,2 7= 128 , 通过观察，用你所发现的规律确定22018的个位数字是（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4. 一根Im长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，
如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）
A. （1）3m
B. （1）5 m
C. （1）6 m
D. （1）12 m
5. 下面一组按规律排列的数：1,2,4,8,16…….，第2018个数应是（
）
2018 2018 2017
A. 2
B. 2 -1
C.2 D .以上答案不对
6. 观察下列三行数：
第一行：-1 , 2, -3, 4 , -5 ,........
第二行：1 , 4, 9 , 16, 25 ,……
第三行：0 , 3, 8, 15, 24 ,……
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行、第三行分别与第一行数有什么关系？
（3）取每行的第10个数，计算这三个数的和.
7 .如果对于任意非零有理数a,b定义运算如下：a△ b=ab + 1, 那么(-5) △( +4) △( -3 )的值是多少？
8.先完成下列计算：
-1 X 9+ 2 = 11; 12 X 9 + 3= ____________ ; 123 X 9 + 4= ______ ; ••…
则1234567 X 9 + 8= _________ .
12 .如果1+2-3-4+5+6-7-8 +9 +……，是从1开始的连续整数中
依次两个取正，两个取负写下去的一串数，则前2018个数的和是多少？
9 .观察下列各式：12+1 = 1 X 2 2 2+2=2 X 3 3 2+3=3 X 4
请把你猜想到的规律用自然数n表示出来 ____________ 10. 观察下列各式：
2 X 4=32-1,
3 X 5 =
4 2-1,4 X 6 =
5 2-1 ,……
把你发现的规律用含一个字母的等式表示______________
11. 如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按
照这样的规律摆下去，则第n ( n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是____________ .
3. （2011
内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规
律摆放，请仔细观察，第
n个图形有__________ 个小圆•（用含n的代数式表示）
4. （2011湖南常德）先找规律，再填数:
5. （2011湖南益阳）观察下列算式:
① 1 X 3 - 2 2 = 3 - 4 = -1
第1个图形第2个图形第3个图形
121 1111 1111 1111
2‘3 4 212‘5 6 330 7 8 4
丄
56
1 1
+ 一
2011 2012
1
2011 2012
② 2 X 4 - 3 2 = 8 - 9
O O G
o o
0。
© g
0 O OQQ
第4个图形
③ 3 X 5 - 4 2= 15 -16 = -1
④____________________________ ……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由.
6. 研究下列算式，你会发现什么规律？
1 X 3+1=22;
2 X 4+1=32;
3 X 5+1=/;
4 X 6+1=g ............................ ,
（1）_____________________________________________ 请用含n 的式子表示你发现的规律：__________________________ _______
（2）请你用发现的规律解决下面问题
计算（1丄）（1丄）（1丄）（1丄）K （1丄）的值
1 3
2 4
3 5
4 6 9 11。