有理数找规律专题练习题
七年级数学上册《第一章-有理数》有理数找规律专题练习题-(新版)新人教版(含知识点)
2021-2022学年度 秋季 七年级上学期 人教版数学有理数找规律专题1.观察下面的每列数，按某种规律在横线上适当的数。
(1)-23，-18，-13,______，________； ; (2)2345,,,8163264--，_______，_________； 2．有一组数：1,2,5,10,17,26,.....，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________.3．观察下列算式：21=2,22 =4,23 =8,24＝16,25 =32,26=64,27＝128，通过观察，用你所发现的规律确定22011的个位数字是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 84．一根lm 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ）A.31()2m B. 51()2m C. 61()2m D. 121()2m5.下面一组按规律排列的数：1,2,4,8,16.......，第2011个数应是（ ）A. 22011B. 22011-1C.22010D ．以上答案不对 6．观察，寻找规律（1) 0.12＝________，12＝_________，102＝__________，1002＝___________；(2)0.13=_________，13＝_________，103＝__________，1003＝___________； 观察结果，你发现什么了？7．观察下列三行数：第一行：-1,2，-3,4，-5…… 第二行：1,4,9，16,25，…… 第三行：0,3,8,15,24，…… (1)第一行数按什么规律排列？(2)第二行、第三行分别与第一行数有什么关系？ (3)取每行的第10个数，计算这三个数的和． 变式：8．有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12,……它的每一项可用式子2n(n 是正整数)表示． 有规律排列的一列数：1，-2,3，-4,5，-6,7，-8...... (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ (2)它的第100个数是多少？(3)2012是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？9．如果对于任意非零有理数a,b 定义运算如下：a △b=ab ＋1，那么（-5)△（+4)△（-3）的值是多少？11．先完成下列计算：1×9＋2＝11；12×9＋3＝________；123×9 + 4=__________；……你能说出得数的规律吗？请你根据发现的算式的规律求出1234567×9 + 8的值．12．如果1+2-3-4+5+6-7-8 +9＋……，是从1开始的连续整数中依次两个取正， 两个取负写下去的一串数，则前2012个数的和是多少？依照以上各式成立的规律，使44a b a b +--=2成立，则a+b 的值为____________ 14．观察下列各式：12+1=1×2 22+2=2×3 32+3=3×4请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来___________________ 15．老师在黑板上写出三个等式：52-32=8×2,92-72＝8×4，152-32=8×27王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112-52 =8×12,152-72=8×22(1)请你写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； (2)用文字写出反映上述算式的规律．17．观察下列各式找规律：12＋（1×2)2＋22＝（1×2＋1）2 22＋(2×3)2＋32 =（2×3＋1）232＋（3×4)2 +42＝(3×4＋1）2(1)写出第6个式子的值； (2）写出第n个式子．18．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3＋1=4=22 2×4＋1 =9＝323×5＋1=16=42 4×6＋1 =25=52请你找出规律用公式表示出来：___________________1. （2011浙江省）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）A.28B.56C.60D. 1242. （2011广东肇庆）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．3. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有个小圆. （用含 n 的代数式表示）2020-2021七年级上册4. （2011湖南常德）先找规律，再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456 (111)+_______.2011201220112012+-=+-=+-=+-=-=⨯则5.（2011湖南益阳）观察下列算式：① 1 × 3 - 22= 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ ……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．6.研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1=22； 2×4+1=32； 3×5+1=42； 4×6+1=52…………， （1） 请用含n 的式子表示你发现的规律：___________________. （2） 请你用发现的规律解决下面问题 计算11111(1)(1)(1)(1)(1)13243546911+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形人教版七年级数学上册必须要记、背的知识点1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数； a ＞0 ⇔ a 是正数； a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数； a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.(4)相反数的商为-1.（5）相反数的绝对值相等 4.绝对值：(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或 ⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a ；(3)0a 1aa >⇔= ；0a 1aa <⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0； 5.有理数比大小：（1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差， 绝对值越小，越接近标准。
有理数找规律
有理数找规律一、数字型规律1．观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是 .2.观察下面一列数，探求其规律：.,61,51,41,31,21,1 --- （1）写出这列数的第九个数；（2）第2018个数是什么数？如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？3．下列是有规律排列的一列数：325314385，，，，……其中从左至右第100个数是 ．4、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．第n 个数为 ．5. 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20182的末位数是 .6、已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321=======…推测到203的个位数字是 ；7、观察下列等式： 第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16 … …按照上述规律，第n 行的等式为____ ________8．已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102； …… ……由此规律知，第⑤个等式是 ．9．观察下列各式： 1×3=12+2×1，2×4=22+2×2， 3×5=32+2×3， … …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： .10．观察下列顺序排列的等式：猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为__ _________________。
11、从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数（n ）和s 1 212⨯= 2 32642⨯==+ 3 4312642⨯==++ 4 54208642⨯==+++ 5 6530108642⨯==++++ ......................................................，……,41549,31439,21329,11219,1109=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯当n 个连续偶数相加时，它们的和s 与n 之间有什么样的关系？请用公式表示出来，并由此计算2+4+6+...+202的值。
精选七年级数学上册有理数找规律解答题难题专题训练
精选七年级数学上册有理数找规律解答题难题专题训练一、解答题1．我们知道13=1=14×12×22，13+23=9=14×22×32，13+23+33=36=14×32×42，13+23+33+43=100=14×42×52…… (1)猜想：13+23+33+…+(n －1) 3+n 3=14×( ) 2×( ) 2．(2)计算：①13+23+33+…+993+1003；②23+43+63+…+983+1003．2．有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12，…，它的每一项可用式子2n(n 是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？(2)它的第100个数是多少？(3)2 017是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？3．已知x 1，x 2，x 3，…x 2016都是不等于0的有理数，若y 1=11x x ，求y 1的值．当x 1＞0时，y 1=11x x =11x x =1；当x 1＜0时，y 1=11x x =11x x =﹣1，所以y 1=±1 （1）若y 2=11x x +22x x ，求y 2的值 （2）若y 3=11x x +22x x +33x x ，则y 3的值为 ；（3）由以上探究猜想，y 2016=11x x +22x x +33x x +…+20162016x x 共有 个不同的值，在y 2016这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于 ．4．（1）填空：（a −b)(a +b ）=______ ；（a −b)(a 2+ab +b 2）= ______ ；（a −b)(a 3+a 2b +ab 2+b 3）= ______ ；（2）猜想：（a -b ）（a n -1+a n -2b+a n -3b 2+…+ab n -2+b n -1）= ______ （其中n 为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．5．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题：例：求2342017122222++++++的值.解：令S ＝2342017122222++++++ ，则2S ＝23452018222222++++++ ， 所以2S ﹣S ＝201821- ，即S=201821-，所以2342017122222++++++＝201821-仿照以上推理过程，计算下列式子的值：① 234100155555++++++ ② 234520161333333-+-+-++6．你会求(a −1)(a 2018+a 2017+a 2016+⋅⋅⋅+a 2+a +1)的值吗?这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：(a −1)(a +1)=a 2−1(a −1)(a 2+a +1)=a 3−1(a −1)(a 3+a 2+a +1)=a 4−1（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到(a −1)(a 2018+a 2017+a 2016+⋅⋅⋅+a 2+a +1)=________利用上面的结论，求（2）22018+22017+22016+⋅⋅⋅+22+2+1的值；（3）求52018+52017+52016+⋅⋅⋅+52+4的值.7．下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：⑴第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；⑵第n 个图形中共有_________根火柴(用含n 的式子表示)⑶若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求f(1)+f(2)++f(2017)2017的值． ⑷请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由? 8．观察下列算式：111111111111;;;2121262323123434==-==-==-⨯⨯⨯…… （1）通过观察，你得到什么结论？用含n （n 为正整数）的等式表示：________．（2）利用你得出的结论，计算：1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)a a a a a a a a +++-------- 9．观察以下等式： 第1个等式：101011212++⨯=， 第2个等式：111112323++⨯=， 第3个等式：121213434++⨯=， 第4个等式：131314545++⨯=，第5个等式：14141 5656++⨯=，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.10．先观察：1﹣122=12×32，1﹣132=23×43，1﹣142=34×54，…（1）探究规律填空：1﹣1n2=×；（2）计算：（1﹣122）•（1﹣132）•（1﹣142）…（1﹣120152）11．如图所示，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子．（2）第n个“上”字需用枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？12．观察下列三行数：0，3，8，15，24,…①2，5，10，17，26，…②0，6，16，30，48，…③（1）第①行数按什么规律排列的，请写出来？（2）第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？）（3）取每行的第个数，求这三个数的和13．观察下列各式：(x−1)(x+1)=x2−1(x−1)(x2+x+1)=x3−1(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1……由上面的规律：（1）求25+24+23+22+2+1的值；（2）求22011+22010+22009+22008+…+2+1的个位数字．（3）你能用其它方法求出12+122+123+⋯+122010+122011的值吗？14．有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；…对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．（1）经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．15．观察下列等式：第1个等式：1111(1) 1323a==-⨯第2个等式：21111() 35235a==-⨯第3等式：31111() 57257a==-⨯第4个等式：41111() 79279a==-⨯请解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：a5＝＝．（2）用含n的式子表示第n个等式：a n＝＝（n为正整数）．（3）求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值．16．这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行。
有理数计算中的规律性问题(解析版)
重难点01有理数计算中的规律性问题探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．一．选择题（共8小题）1．如图，在数轴上，点P表示﹣1，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点P n，给出以下结论：①P5表示5；②P12＞P11；③若点P n到原点的距离为15，则n＝15；④当n为奇数时，|P n﹣P n﹣1|＝2P n；以上结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③D．①④【分析】先根据数轴的定义分别求出P1，P2，P3，P4，P5表示的数，再总结出P n的规律，然后逐个判断即可．【解答】解：由题意知，点P1表示的数是﹣1+2＝1，点P2表示的数是1﹣4＝﹣3，点P3表示的数是﹣3+6＝3，点P4表示的数是3﹣8＝﹣5，点P5表示的数是﹣5+10＝5，点P6表示的数是5﹣12＝﹣7，...，∴当n为奇数时，P n＝n，当n为偶数时，P n＝（﹣1）n﹣1（n+1），其中n为正整数，∴①P5表示5，正确；∵P11＝11，P12＝﹣13，∴②P12＞P11，不正确；由前面的规律知P n＝15时，n有奇数和偶数两种情况，∴③若点P n到原点的距离为15，则n＝15，不正确；④当n为奇数时，|P n﹣P n﹣1|＝|n﹣（﹣1）n﹣1+1（n﹣1+1）|＝|n+n|＝2n＝2P n，∴④正确，故选：D．【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出P n的规律是解题的关键．2．（2022秋•姜堰区期中）观察下列两行数：第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，⋯．第二行：0，6，﹣6，18，﹣30，66，⋯．取每行的第8个数，这两个数的和是（）A．0B．256C．514D．1024【分析】通过观察发现，第一行的第n个数是（﹣2）n，第一行的每一个数加2与第二行的数相对应，求出第一行的第8个数，即可求第二行的第8个数，再求和即可．【解答】解：∵第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，⋯，∴第n个数是（﹣2）n，∴第一行的第8个数是256，∵第一行的每一个数加2与第二行的数相对应，∴第二行的第8个数是258，∴256+258＝514，∴这两个数的和是514，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出第一数的排列规律是解题的关键．3．（2022秋•江阴市期中）《九章算术》里记载过这样一个三角形数阵——杨辉三角，它是我国古代数学的杰出研究成果之一．它的每行最开始和结尾的数字都是1，中间的每个数都等于它上方的两个数的和．则杨辉三角的第9排左起第5个数是（）A．28B．35C．56D．70【分析】根据题意补全杨辉三角形，再求解即可．【解答】解：如图所示：第9排左起第5个数是70，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，根据题意补全杨辉三角形是解题的关键．4．（2022秋•丰县校级月考）已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|……，以此类推，则a2023的值为（）A．﹣1007B．﹣1008C．﹣1011D．﹣2016【分析】通过计算可得当n是奇数时，结果等于﹣，当n是偶数时，结果等于﹣，再求值即可．【解答】解：∵a1＝0，∴a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a1+4|＝﹣2，a6＝﹣|a2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a3+6|＝﹣3，……∴a2＝a3＝﹣1，a4＝a5＝﹣2，a6＝a7＝﹣3，……，∴当n是奇数时，结果等于﹣，当n是偶数时，结果等于﹣，∴a2023的值为﹣1011，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的运算规律是解题的关键．5．（2022秋•崇川区月考）计算：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．50【分析】观察所求的式子，将式子变形为（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（98﹣100）再求和即可．【解答】解：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（98﹣100）＝﹣2×25＝﹣50，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所求的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键．6．（2022秋•仪征市校级月考）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（）A．第505个正方形的左下角B．第505个正方形的右上角C．第506个正方形的右上角D．第506个正方形的右下角【分析】通过观察正方形所标的数字发现每4个数循环一次，再由2022÷4＝505……2，进而确定2022的位置即可．【解答】解：每4个数循环一次，∵2022÷4＝505……2，∴2022的位置与2的位置相对应，∴2022应该标在第506个正方形的右上角，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列情况，探索出数的循环规律是解题的关键．7．（2022秋•海门市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2023次输出的结果是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣3D．﹣6【分析】按运算程序先计算，通过计算结果找出规律，利用规律得结论．【解答】解：输入x＝3，∵3是奇数，∴输出3﹣5＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6．输入x＝﹣6，∵﹣6是偶数，∴输出﹣6×＝﹣3．输入x＝﹣3，∵﹣3是奇数，∴输出﹣3﹣5＝﹣8．输入x＝﹣8，∵﹣8是偶数，∴输出﹣8×＝﹣4．输入x＝﹣4，∵﹣4是偶数，∴输出﹣4×＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6..．依次类推，除去第一次输入，输出分别以﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8、﹣4循环．∴2023÷6＝337.....1．故第2023次输出的结果是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式的求值，通过输入输出的计算得到规律是解决本题的关键．8．（2022秋•通州区期中）小亮运用一种方法来扩展数，并称这种方法为“亮化”，步骤如下（以﹣10为例）：①写出一个数：﹣10；②将该数加1，得到数：﹣9；③将上述两数依序合并在一起，得到第一次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9）；④将（﹣10，﹣9）各项加1，得到（﹣9，﹣8），再将这两组数依序合并，得到第二次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8）；…按此步骤，不断亮化，会得到一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，…），则这组数的第68个数是（）A．一9B．﹣8C．﹣7D．﹣6【分析】首先根据题意确定每一次亮化后的具体数量，然后再根据变化规律找到数字．【解答】解：根据题意得：第一次亮化之后为：[﹣10，﹣9]，为2位为21；第二次亮化之后为：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8]，为4位为22；第三次亮化之后为：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7]，为8位为23；第四次亮化之后位：[﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，﹣8，﹣7，﹣7，﹣6]，为16位为24；64＝26，第6次亮化为64个数字，第68个数为第6次亮化后第4个数字加1得到，所以，﹣8+1＝﹣7．故选：C．【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是读懂题意能发现数字变化的规律，利用规律解决问题．二．填空题（共13小题）9．（2022秋•常州期中）已知数a1，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，…，a n＝1﹣．按上述方法计算：当a1＝2时，a1+a2+a3+a4+…+a2023＝1013．【分析】通过计算发现运算结果2，，﹣1循环出现，再确定所求的和一共有674组循环多一个2，由此求解即可．【解答】解：∵a 1＝2，∴a 2＝1﹣＝，a 3＝1﹣2＝﹣1，a 4＝1﹣（﹣1）＝2，a 5＝1﹣＝，…，∴运算结果2，，﹣1循环出现，∵2023÷3＝674……1，∴a 2023＝2，∵2+﹣1＝，∴a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2023＝×674+2＝1013，故答案为：1013．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．10．（2022秋•海安市校级月考）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2022次输出的结果是1．【分析】通过计算发现，运算结果每三次计算循环一次，由此可知第2022次输出的结果与第三次输出的结果相同，再求解即可．【解答】解：第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是1，第六次输出的结果是4，……，∴运算结果每三次计算循环一次，∵2022÷3＝674，∴第2022次输出的结果与第三次输出的结果相同，∴第2022次输出的结果是1，故答案为：1．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．11．（2022秋•宜兴市月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝4．【分析】分别求出a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝﹣，……，发现每三次运算后结果循环出现，即可求a2022＝a3＝4．【解答】解：∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝4，a4＝＝﹣，……，∴每三次运算后结果循环出现，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝4，故答案为：4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．12．（2022秋•泗洪县期中）如图，表B是表A的一部分，则表B中x等于21或24．【分析】根据所给的表格，将表格B补充完整再求解即可．【解答】解：如图：x＝18+3＝21，x＝18+6＝24，故答案为：21或24．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每列数的排列规律是解题的关键．13．（2022秋•阜宁县期中）观察上面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出b的值为141．【分析】通过观察可知，左下边正方形中的数是2n，b＝a+13，求出a的值再求解即可．【解答】解：最上边正方形中的数是奇数，左下边正方形中的数是2n，∴a＝27＝128，∵b＝a+13＝128+13＝141，故答案为：141．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出a的规律，能够准确求出a的值是解题的关键．14．（2022秋•灌南县校级月考）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为﹣1．3a b c﹣12……【分析】根据题意可得格子中的数3，﹣1，2循环出现，再由循环规律求解即可．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴这三个相邻的数分别是3，﹣1，2，∴格子中的数3，﹣1，2循环出现，∵2024÷3＝674……2，∴第2024个格子的数为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的表格，确定表格中的三个数，并探索出数的循环规律是解题的关键．15．（2022秋•吴江区校级月考）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝﹣2．【分析】通过计算发现，每三次运算结果循环一次，由此可得a2023＝a1＝﹣．【解答】解：∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝﹣，……，∴每三次运算结果循环一次，∵2023÷3＝674……1，∴a2023＝a1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．16．（2022秋•吴江区校级月考）有一列数﹣，，﹣，，…，那么第8个数是．【分析】通过观察可得第n个数是（﹣1）n•，再求解即可．【解答】解：∵，，﹣，，…，∴﹣，，﹣，，……，∴第n个数是（﹣1）n•，∴第8个数是，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．17．（2022秋•宜兴市月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝5，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019等于．【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求a2019＝a3＝．【解答】解：∵a1＝5，∴a2＝＝﹣，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝5，……，∴每四次运算结果循环出现，∵2019÷4＝504……3，∴a2019＝a3＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．18．（2021秋•广陵区期末）【阅读】计算1+3+32+…+3100的值时，令S＝1+3+32+…+3100，则3S＝3+32+33+…+3100+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1，所以．仿照以上推理，计算：＝．【分析】令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣…+42021﹣42022，求出S＝﹣，再运算即可．【解答】解：令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣…+42021﹣42022，∴5S＝1﹣42022，∴S＝﹣，∴1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021+＝﹣+＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的例子仿照列式，并准确计算是解题的关键．19．（2021秋•东台市期末）如图，“海春书局”把WIFI密码做成了数学题．小红在海春书局看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“海春书局”的网络，那么她输入的密码是167288．【分析】通过观察发现，密码的前两位数是第一个数字与第三个数的乘积，中间两位数字是第二个数与第三个数的乘积，最后两个数是所得的两个积的和．【解答】解：通过观察可知密码的前两位数是2×8＝16，中间两位数是9×8＝72，最后两位数是16+72＝88，故答案为：167288．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与所给数字之间的运算关系是解题的关键．20．（2022秋•东台市期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是131．【分析】通过观察可得前a行共有a2个数，再由第44行最后一个数是1936，可得2022在第45行第86个数，从而求出m、n的值即可求解．【解答】解：第一行1个数，第二行3个数，第三行5个数，……，第a行（2a﹣1）个数，∴前a行共有a2个数，∴第45行最后一个数是2025，∴2022在第45行第86个数，∴m＝45，n＝86，∴m+n＝45+86＝131，故答案为：131．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键．21．（2022秋•鼓楼区校级月考）将1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）排成一列：1，，，，，…，，记a1＝1，a2＝a1+，a3＝a2+，…，记S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，S n＝a1+a2+a3+…+a n，则S2022﹣S2021＝2022．【分析】由题意可知S2022﹣S2021＝a2022，再分别求a2＝a1+1，a3＝a2+1＝a1+2，…，a n＝a1+n﹣1，即可得a n＝n，求出a2022即为所求．【解答】解：∵S2022＝a1+a2+a3+…+a2022，S2021＝a1+a2+a3+…+a2021，∴S2022﹣S2021＝a2022，∵a2＝a1+，a3＝a2+，…，∴a2＝a1+＝a1+1，a3＝a2+＝a2+1＝a1+2，…，a n＝a1+n﹣1，∵a1＝1，∴a n＝n，∴a2022＝2022，故答案为：2022．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．三．解答题（共10小题）22．（2022秋•江阴市校级月考）有一列数，第一个数用a1表示，第二个数用a2表示，…，第n个数用a n 表示，n为正整数；已知，，，，…（1）利用以上运算的规律，直接写出a5＝；a8＝；a n＝；（2）计算：a1×a2×a3×a4…a10的值．【分析】（1）根据所给的等式，通过观察得到一般规律为a n＝；（2）根据（1）的规律，可得所求式子为3×2××××××××，再计算求值即可．【解答】解：（1）a5＝，a8＝，a n＝，故答案为：，，；（2）∵，，，，…，a n＝，∴a1×a2×a3×a4…a10＝3×2××××××××＝66．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．23．（2022秋•崇川区月考）阅读下列例题：计算：2+22+23+24+25+26+ (210)解：设S＝2+22+23+24+25+26+…+210，①那么2S＝2×（2+22+23+24+25+…+210）＝22+23+24+25+…+210+211．②②﹣①，得S＝211﹣2．所以原式＝211﹣2．仿照上面的例题计算：3+32+33+34+ (32022)【分析】由题意可得S＝3+32+33+34+...+32022，则3S＝32+33+34+...+32022+32023，再由作差法求解即可．【解答】解：S＝3+32+33+34+ (32022)则3S＝32+33+34+…+32022+32023，∴2S＝32023﹣3，∴S＝，∴3+32+33+34+…+32022＝．【点评】本题考查数字的变化规律，能够模仿所给的运算过程，对所给的式子进行运算即可．24．（2022秋•江都区月考）先观察下列等式，再完成题后问题：＝，，（1）请你猜想：＝﹣．（2）若a、b为有理数，且|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，求：的值．（3）＝．【分析】（1）通过观察已知的等式，直接写出即可；（2）由题意可得方程a﹣1＝0，ab﹣2＝0，求出a、b的值，再将所求的式子变形为1﹣+…+﹣，再求和即可；（3）将所求的等式变形为（1﹣+﹣+…+﹣），再求和即可．【解答】解：（1）＝，故答案为：；（2）∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，∴a﹣1＝0，ab﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴＝+++…+＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝×（1﹣）＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．25．（2022秋•宜兴市月考）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×（1﹣）；第2个等式：a2＝＝×（﹣）；第3个等式：a3＝＝×（﹣）；第4个等式：a4＝＝×（﹣）…寻找规律，解决问题：（1）写出第5个等式：a5＝＝（﹣）；写出第10个等式：a10＝＝（﹣）；（2）求a1+a2+……+a2022的值．【分析】（1）根据所给的等式，直接写出即可；（2）通过观察可得规律：第n个等式为a n＝＝×（﹣），再利用规律计算即可．【解答】解：（1）第5个等式为a5＝＝（﹣），第10个等式为a10＝＝（﹣），故答案为：，（﹣），，（﹣）；（2）由（1）可得，第n个等式为a n＝＝×（﹣），∴a1+a2+……+a2022＝++++……+＝（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）＝×（1﹣）＝＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．26．（2022秋•锡山区校级月考）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：分母中加数的个数（n）和的倒数2345……（1）根据表中规律，求＝；（2）根据表中规律，则＝；（3）求的值．【分析】（1）根据所给式子可得，原式＝2×（﹣），再求解即可；（2）根据所给式子可得，原式＝2×（﹣），再求解即可；（3）由（1）（2）可得原式＝2×（﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣），再求解即可．【解答】解：（1）＝2×（﹣）＝，故答案为：；（2）＝2×（﹣）＝，故答案为：；（3）＝2×（﹣）+2×（﹣）+…+2×（﹣）＝2×（﹣）＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律并能加以运用是解题的关键．27．（2022秋•邳州市期中）观察下列三行数，并完成填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……（1）第①行第10个数是1024；第②行数第10个数是37；（2）第③行第n个数是（﹣1）n•n2；（3）取每行的第10个数，计算这三个数的和为1161．【分析】（1）不难看出第①行第n个数为（﹣2）n；第②行第n个数为（﹣1）n•（4n﹣3）；再令n＝10，分别求解即可；（2）通过观察发现，第③行第n个数为（﹣1）n•n2；（3）分别表示出第10个数，再求和即可．【解答】解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……，∴第n个数为：（﹣2）n，∴第10个数为：（﹣2）10＝1024；∵②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……，∴第n个数是（﹣1）n•（4n﹣3），∴第10个数是37，故答案为：1024，37；（2）∵③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……，∴第n个数是（﹣1）n•n2，故答案为：（﹣1）n•n2；（3）第③行的第10个数是100，∴1024+37+100＝1161，故答案为：1161．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算所给的数，能够探索出每行数的规律是解题的关键．28．（2022秋•阜宁县期中）折叠纸面，若在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：（1）数轴上8表示的点与﹣4表示的点重合．（2）若数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？（3）如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？【分析】（1）先根据在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合求出中点表示的数，进而可得出结论；（2）先求出MN的值，再由中点是2表示的点得出结论；（3）正方形在数轴上向右滚动一次，二次，三次后落在数轴上一边的右端点表示的数，找出规律即可得出结论．【解答】解：（1）∵在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，∴＝2，∴在数轴上﹣1表示的点与5表示的点的中点是2表示的点，∴数轴上8表示的点与﹣4表示的点重合．故答案为：﹣4．（2）∵数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），∴MN＝×800＝400，∴2+400＝402，2﹣400＝﹣398，∴M点表示的数是﹣398，N点表示的数是402．答：M、N两点表示的数分别是﹣398，402；（3）∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是3；正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是5；正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是7．∴正方形在数轴上向右滚动2022次后落在数轴上一边的右端点表示的数是2×2022+1＝4045．∵4﹣4045＝﹣4041，∴正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的﹣4041重合．【点评】本题考查的是实数与数轴，根据题意找出规律是解答此题的关键．29．（2022秋•江都区月考）定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3÷3等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3÷3记作34，读作“3的下4次方”．一般地，把n个a（a ≠0）相除记作a n，读作“a的下n次方”．（1）直接写出计算结果：34＝．（2）关于除方，下列说法正确的有①②④（把正确的序号都填上）①对于任何正整数n，1n＝1；②a2＝1（a≠0）；③23＝32④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）．试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：65＝（）3；＝（﹣3）7．（4）计算：．【分析】（1）根据定义直接运算求值即可；（2）分别运算每一个选项，再进行判断即可；（3）根据所给的例题，进行计算即可；（4）原式变形为（﹣2）2÷（﹣2）3﹣8+（﹣6）×2，再按有理数的运算法则运算即可．【解答】解：（1）34＝3÷3÷3÷3＝，故答案为：；（2）∵1n＝1÷1÷1÷…÷1＝1，故①符合题意；∵a2＝a÷a＝1，∴a2＝1，故②符合题意；∵23＝2÷2÷2＝，32＝3÷3＝1，∴23≠32，故③不符合题意；根据除法的定义可得，负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数，故④符合题意；故答案为：①②④；（3）65＝6÷6÷6÷6÷6＝6××××＝（）3，＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝（﹣3）7，故答案为：（）3，（﹣3）7；（4）＝（﹣2）2÷（﹣2）3﹣8+（﹣6）×2＝﹣﹣8﹣12＝﹣20．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算，探索出运算规律，并能灵活应用新运算计算，弄清定义是解题的关键．30．（2023春•常州期末）观察下列等式：32﹣12＝8；52﹣32＝16；72﹣52＝24；92﹣72＝32；…根据上述规律，解答下列问题：（1）填空：132﹣112＝48，192﹣172＝72；（2）用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．【分析】（1）按题所给算式计算即可；（2）分别探索三个数列的规律，再按照等式形式表示即可，将结论按照平方差公式展开计算即可．【解答】解：（1）132﹣112＝48，192﹣172＝72，故答案为：48，72．（2）由数列3，5，7，9...，得第n个数为：2n+1，由数列1，3，5，7...，得第n个数为：2n﹣1，由数列8，16，24，32...，得第n个数为：8n，∴该等式的规律为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n．等式左边：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴结论正确．【点评】本题考查了数字规律的探究，等差数列规律的性质及平方差公式的应用是解题关键．31．（2022秋•扬州期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．4□☆△6﹣5……（1）□＝6，☆＝﹣5，Δ＝4；（2）试判断第2022个格子中的数是多少，并给出相应的理由；（3）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2035？若能，求出对应的n值，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，通过计算可得Δ＝4，□＝6，又因为第9个格中的数是﹣5，可得☆＝﹣6；（2）表格中的数字规律4，6，﹣5的循环，用2022除以3，通过余数可以判断第2022个格子的数字；（3）根据表中的规律先计算一个循环的和为4+6﹣5＝5，用2035÷5＝407，再将结果乘以3，可得n的值．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴4+□+☆＝□+☆+△，∴Δ＝4，∵□+☆+Δ＝6+☆+△，∴□＝6，∴表中数字的排列规律为：4，6，☆，4，6，☆，•••，∵表中第9个数字为﹣5，∴☆＝﹣5．故答案为：6，﹣5，4．（2）第2022个格子中的数是4．理由：由（1）知：表格中的数字规律是4，6，﹣5的循环．∵2022÷3＝674，∴第2022个格子中的数字与第三个数字相同．∴第2022个格子中的数字为﹣5；（3）前n个格子中所填整数之和能为2035，理由如下：∵4+6﹣5＝5，∴每一个循环组的和为5．∵2035÷5＝407，∴407组数字之和为2035．∴407×3＝1221．又∵4+6﹣5﹣5＝0，当n＝1217时，不符合题意，∴n＝1221．【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．一．选择题（共3小题）1．（2021秋•高邮市期末）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．【解答】解：当n＝21时，经过1次运算输出的数是64，经过2次运算输出的数是32，经过3次运算输出的数是16，经过4次运算输出的数是8，经过5次运算输出的数是4，经过6次运算输出的数是2，经过7次运算输出的数是1，经过8次运算输出的数是4，经过9次运算输出的数是2，……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，∵（2022﹣4）÷3＝672…2，∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．2．（2021秋•惠山区校级期中）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…）在小于50的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．139B．94C．59D．16【分析】求出第9个“三角形数”，第7个“正方形数”，即可求m、n的值．【解答】解：∵“三角形数”分别是1，3，6，10，…，∴第x个“三角形数“，∵＜50，且x为正整数，∴x取最大值9，∴m＝45，∵“正方形数”分别是1，4，9，16，…，∴第y个“正方形数”y2，y为正整数，∵y2＜50，∴y取最大值7，∴n＝49，∴m+n＝94，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数的规律，探索出数字的规律是解题的关键．3．（2021秋•句容市期中）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2＝18+7﹣6﹣5＝415+14+13﹣12﹣11﹣10＝924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16……根据以上规律可知第201行左起第3个数是（）A．40800B．40801C．40802D．40803【分析】通过观察发现：第n行最后一个数是（n+1）2﹣1，求出第201行的第一个数即可求解．【解答】解：第一行第一个数是22﹣1，第二行第一个数是32﹣1，第三行第一个数是42﹣1，第四行第一个数是52﹣1，……，∴第n行第一个数是（n+1）2﹣1，∴第201行第一个数是2022﹣1＝40803，∴第201行左起第3个数是40801，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出每个等式的第一个数的规律是解题的关键．二．填空题（共7小题）4．（2022秋•亭湖区月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为32，我们发现第一次输出的结果为16，第二次输出的结果为8，…，则第2022次输出的结果为4．【分析】通过计算发现，从第4次运算开始，结果每3次运算循环一次，则第2022次输出的结果与第6次输出的结果相同，求出第6次运算的结果即为所求．【解答】解：当x＝32时，输出结果为32＝16，当x＝16时，输出结果为16＝8，当x＝8时，输出结果为8＝4，当x＝4时，输出结果为4＝2，当x＝2时，输出结果为2＝1，当x＝1时，输出结果为1+3＝4，当x＝4时，输出结果为4＝2，……∴从第4次运算开始，结果每3次运算循环一次，∵（2022﹣3）÷3＝673，∴第2022次输出的结果与第6次输出的结果相同，∴第2022次输出的结果是4，故答案为：4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．5．（2021秋•滨海县期中）观察一列数：，，，，，，根据规律，请写出第16个数是﹣．【分析】通过观察发现第n个数是（﹣1）n+1•，由此求解即可．【解答】解：∵，，，，，，……，∴，﹣，，﹣，，﹣，……，∴第n个数是（﹣1）n+1•，∴第16个数是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的分子与分母的规律是解题的关键．6．（2021秋•兴化市校级月考）已知（n＝1，2，3⋯，2021），求当a1＝1时，a1a2+a2a3+⋯+a2021a2022的值为．【分析】通过计算发现规律，a n＝，则所有式子＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣，再运算即可．【解答】解：∵a1＝1，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，∴a n＝，∴a1a2+a2a3+⋯+a2021a2022＝1×++×+…+×＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察，探索出数的一般规律是解题的关键．7．（2021秋•启东市校级月考）有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．若a1＝﹣2，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：a2＝，a3＝，a4＝﹣2，a5＝．由你发现的规律计算a2021＝．【分析】通过计算发现每三次运算结果循环出现，则a2021＝a2＝．【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，a5＝＝，…∴每三次运算结果循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴a2021＝a2＝，故答案为：，，﹣2，，．。
有理数找规律
一、数字找规律 1．观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是 .2.观察下面一列数，探求其规律： .,61,51,41,31,21,1 ---（1）写出这列数的第九个数；（2）第2008个数是什么数？如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？3．下列是有规律排列的一列数：325314385，，，，……其中从左至右第100个数是__________．4、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．5. 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .6、已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321=======…推测到203的个位数字是 ；7、观察下列等式： 第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16 … …按照上述规律，第n 行的等式为____ ________ 8．已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102； …… ……由此规律知，第⑤个等式是 ． 9．观察下列各式：1×3=12+2×1，2×4=22+2×2， 3×5=32+2×3， … …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： .10．观察下列顺序排列的等式： 猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为__ _________________。
它们的和的情况如下表：加数的个数（n ）和s11、从2开始，连续偶数相加，212⨯= 1 2 32642⨯==+ 3 4312642⨯==++ 4 54208642⨯==+++ 5 6530108642⨯==++++ ......................................................当n 个连续偶数相加时，它们的和s 与n 之间有什么样的关系？请用公式表示出来，并由此计算2+4+6+...+202的值。
初一数学上册有理数找规律题型专题练习
初一数学上册有理数找规律题型专题练习一、等差型数列规律1. 有一组数：1，2，3，4，5，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．2. 有一组数：2，5，8，11，14，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．3.有一组数：7，12，17，22，27，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．4.有一组数：4，7，10，13,…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为．5.有一组数：11，20，29，38，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为．二、等比型数列规律1.有一组数：1，2，4，8，16，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．2. 有一组数：1，4，16，64，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为．3. 有一组数：1，-1，1，-1，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．4. 有一组数：27，9，3，1，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．三、含n2型数列规律1.有一组数：1，4，9，16，25，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．2.有一组数：2，6，12，20，30，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．3.有一组数：1，3，6，10，15，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．4.有一组数：0，2，6，12，20，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．四、其它数列规律列举1.有一组数：1，2，3，5，8，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第7个数为 ,2.有一组数：-2，3，1，4，5，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第7个数为 ,3. 观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2013个数是___________4. 观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是 .5. 观察下列一组数：.,61,51,41,31,21,1 ---它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第2014个数是6.观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的 第k 个数是五、循环型数列.1. 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .2.已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321=======…推测到203的个 位数字是 ；3. 若1113a =-，2111a a =-，3211a a =-，… ；则2014a 的值为 ． 六、算式型规律1. 已知22223322333388+=⨯+=⨯，，244441515+=⨯，……，若288a a b b+=⨯（a 、b 为正整数）则a b += ．2. 某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111，第2位同学报⎪⎭⎫⎝⎛+121，…这样得到的20个数的积为_________________.3. 求1+2+22+23+...+22013的值，可令S=1+2+22+23+...+22013，则2S=2+22+23+24+ (22013)因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52013的值为：4. 研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42；4×6+1=52…………，（1）请用含n的式子表示你发现的规律：___________________.（2）请你用发现的规律解决下面问题计算11111(1)(1)(1)(1)(1)132********+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值七、数列阵型1.观察下列三行数：（课本P43页例4变式题）第一行：-1,2，-3,4，-5……第二行：1,4,9，16,25，……第三行：0,3,8,15,24，……(1)第一行数按什么规律排列？(2)第二行、第三行分别与第一行数有什么关系？(3)取每行的第10个数，计算这三个数的和．2.观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，7，．．．将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边第4个数是：八、几何图形型1．观察下列图形：第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有 个★．2.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按 照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．3．如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子 枚．4．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．5. 如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是______，第n 个“广”字中的棋子个数是________6.同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1） 第5个图形有多少颗黑色棋子？ 图案1 图案2 图案3 ……… … 第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅 第1个 第2个 第3个 第4个（2）第几个图形有2013颗棋子？说明理由。
部编数学七年级上册专题04有理数运算中的规律探究(解析版)含答案
专题04 有理数运算中的规律探究1．观察下列等式：第1个等式：111111323a æö==´-ç÷´èø第2个等式：2111135235a æö==´-ç÷´èø第3个等式：3111157257a æö==´-ç÷´èø第4个等式：4111179279a æö==´-ç÷´èø……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：5a =________=_______(2)用含有n 的式子表示第n 个等式：（n 为正整数）n a =______=_______(3)求12341000a a a a a ++++¼+的值．【答案】(1)1911´，1112911æö´-ç÷èø(2)()()12121n n -´+，11122121n n æö´-ç÷-+èø(3)100201【解析】【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可；（2）根据所给的等式，进行总结可得出规律；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．(1)解：观察等式找到规律，第5个等式为： 511119112911a æö==´-ç÷´èø故答案为：1911´，1112911æö´-ç÷èø(2)解：Q 第1个等式：111111323a æö==´-ç÷´èø第2个等式：2111135235a æö==´-ç÷´èø第3个等式：3111157257a æö==´-ç÷´èø第4个等式：4111179279a æö==´-ç÷´èø第5个等式：511119112911a æö==´-ç÷´èø……第n 个等式：()()1111212122121n a n n n n æö==´-ç÷-´+-+èø故答案为：()()12121n n -´+，11122121n n æö´-ç÷-+èø(3)解：12341000a a a a a ++++¼+=11123æö´-ç÷èø+111235æö´-ç÷èø+111257æö´-ç÷èø…+1992011112æö´-ç÷èø11111112335199201æö=-+-+×××+-ç÷èø1112201æö=-ç÷èø12002201=´100201=【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．2．先阅读下列式子的变形规律：111122=-´；1112323=-´；1113434=-´；1111111113111223342233444++=-+-+-=-=´´´然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】(1)类比计算：1910=´______，120192020=´______，归纳猜想：若n 为正整数，那么猜想()11n n =+______．(2)知识运用，选用上面的知识计算111112233420192020++++´´´´LL 的结果．(3)知识拓展：试着写出111113355779+++´´´´的结果．【答案】(1)11910-；1120192020-；111n n -+(2)20192020(3)49【解析】【分析】（1）根据题意分解形式求解即可；（2）根据式子规律求解即可；（3）将113´分解成11123æö-ç÷èø的形式，其余各式比照该分解形式进行分解，然后求和计算即可．(1)解：由题意知111910910=-´1112019202020192020=-´()11111n n n n =-´++故答案为：11910-；1120192020-；111n n -+．(2)解：1111······+12233420192020+++´´´´1111111111 (223342018201920192020)=-+-+-++-+-211200=-20192020=(3)解：111113355779+++´´´´11111111111123235257279æöæöæöæö=-+-+-+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø11111111123355779æö=-+-+-+-ç÷èø11129æö=´-ç÷èø49=【点睛】本题考查了数字类规律的探究．解题的关键在于概括出分解运算规律．3．（1）观察下列各式：123456733,39,327,381,3243,3729,32187,=======L1234561313,13169,132197,1328561,13371293,134826809,======L根据你发现的规律回答下列问题：①20223的个位数字是___________；9913的个位数字是___________；②9943的个位数字是___________；5543的个位数字是___________；（2）自主探究回答问题：①997的个位数字是___________，557的个位数字是___________；②9952的个位数字是___________，5552的个位数字是___________．（3）若n 是自然数，则9955n n -的个位上的数字（ ）A ．恒为0B ．有时为0，有时非0C ．与n 的末位数字相同D ．无法确定【答案】（1）①9；7 ②7；7 （2）①3；3 ②8；8 （3）A【解析】【分析】（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（3）根据（1）（2）中的结论可知99n 与55n 个位上的数字相同即可得出答案．【详解】解：（1）①Q 123456733,39,327,381,3243,3729,32187,=======L\3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环20224505 (2)¸=Q \20223的个位数字是9；Q 1234561313,13169,132197,1328561,13371293,134826809,======L\13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环99424 (3)¸=Q \9913的个位数字是7；故答案为：9；7；②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环99424...355413 (3)¸=¸=Q ，\9943的个位数字是7，5543的个位数字是7；故答案为：7；7；（2）①123456777497343724017168077117649...======Q ，，，，，\7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环99424...355413 (3)¸=¸=Q ，\997的个位数字是3，557的个位数字是3故答案为：3；3②123456222428216232264...======Q ，，，，，\2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环\52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环99424...355413 (3)¸=¸=Q ，\9952的个位数字是8，5552的个位数字是8故答案为：8；8（3）由（1）（2）中的结论可知99n 与55n 个位上的数字相同\9955n n -的个位上的数字恒为0故选A ．【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．4．观察下列各式：3312189+=+=，而2332(12)9,12(12)+=\+=+；33312336++=，而23332(123)36,123(123)++=\++=++；33331234100+++=，而233332(1234)100,1234(1234)+++=\+++=+++；(1)猜想并填空：3333312345++++=_______2=_______；(2)根据以上规律填空：3333123n ++++=L _______2=_______；(3)求解：333331617181920++++．【答案】(1)（1+2+3+4+5），225(2)()123n ++++L ，()212n n +éùêúëû(3)29700【解析】【分析】观察题中一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，据些规律来求解．（1）根据上述规律填空即可求解；（2）根据上述规律填空，然后把123n ++++L 变为2n 个()1n +相乘来求解；（3）对所求的式子前面加上1到15的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与16到20的立方和，再求出两数相减即可求解．(1)解：由题意可知：()2333331234512345225++++=++++=．故答案为：（1+2+3+4+5），225；(2)解：()()()1121211222n n n n n n n n +éùæö+++=+++-++-+=éùç÷êúëûèøëûQ L L ()()22333311231232n n n n +éù\+++=++++=êúëûL L ．故答案为：()123n ++++L ，()212n n +éùêúëû；(3)解：333331617181920++++()()333333331232012315=+++-+++L L()()221232012315=+++-+++L L 22210120=-29700=故答案为：29700．【点睛】本题考查了探究数字规律，主要要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，运用总结的规律解决问题的能力．找出规律是解答关键．5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．(1)如图2所示，则幻和＝______；(2)若b＝4，c＝6，求a的值；(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．【答案】(1)-6(2)8(3)图形见解析(答案不唯一)【解析】【分析】(1)根据幻和等于九宫格中最中心数的3倍即可得答案；(2)根据b=4先求出第二行第三列的数字，根据c=6求出第一行第三列的数字，根据对角线求出第一行第一列的数字，最后根据第一行三个数字之和等于幻和即可求解；(3)根据九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍先求出中心数为3，幻和为9，进一步将数据分成5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，按照此条件分组将数据填入九宫格中即可．(1)解：由题意可知：幻和等于九宫格中最中心数的3倍，∴图2中幻和=-2×3=-6．(2)解：由(1)知幻和为-6，当b＝4，c＝6时：第二行第三列的数字为：-6-b-(-2)=-6-4+2=-8，第一行第三列的数字为：-6-(-8)-c=-6+8-6=-4，根据对角线可知：第一行第一列的数字为：-6-(-2)-6=-10，∴a=-6-(-10)-(-4)=-6+10+4=8．(3)解：将图3中的九宫格分别标记为A~I，如下图所示：由于九宫格中横行、纵向的数字之和均相等，其和叫做幻和，∴九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍，∴幻和=(5+7-5+3+9-1+11-3+1)÷3=9，又幻和为九宫格中最中心数的3倍，∴最中心的E代表的数为3，∵对角线、横行、纵向的数字之和是幻和的3倍，∴A+I=6，B+H=6，C+G=6，D+F=6，故5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，只需要满足此条件写出来九宫格必然满足题目要求，取A=5、B=7时，此时I=1，H=-1，G=9，C=-3，D=-5，F=11，如下图所示(答案不唯一)：【点睛】本题主要考查数字的变化规律，读懂题意，解题的关键是掌握幻方的定义及幻和与中心数的关系即可．6．探究规律，完成相关题目．将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到33´的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等．（1）设下面的三阶幻方中间的数字是m （其中m 为正整数），请用含m 的代数式将下面的幻方填充完整；（2）若设（1）幻方中9个数的和为S ，则S 与中间的数字m 之间的数量关系为______；（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面33´的方格中．【答案】（1）答案见解析；（2）9m S =；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由第3列的三个代数式的和为3,m 再利用每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等逐一填好其余的空格，即可得到答案；（2）由每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等，可得()3123,S m m m =++++-从而可得答案；（3）由（2）的规律先确定最中间的数据0, 把－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40按从小到大的顺序排列，再把第2,4,6,8个数据放在四角的位置，再根据每行，每列，每一条对角线上的三个数之和相等，填好其余空格即可．【详解】解：（1）1m +4m -3m +2m +m 2m -3m -4m +1m -（2）由每行每列及对角线上的三个代数式的和相等可得：()31239,S m m m m =++++-=故答案为：9.S m =（3）幻方如图所示（答案不唯一）：10－4030200－20－3040－10【点睛】本题考查的是数或代数式的排列的规律的探究，有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化(1)平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 A .（＋3）＋（＋2）＝＋5；B ．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C ．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D ．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1②一机器人从原点O 开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．(2)翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2018（A 在B 的左侧，且折痕与①折痕相同），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 点表示 B 点表示 ．③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a ，b 的式子表示）【答案】(1)①D ； ②﹣1009(2)①﹣2015； ②﹣1008，1010；③2a b+【解析】【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB ＝2018，可知A 点是1左边距1为1009个单位的点表示的数，B 点是1右边距1为1009个单位的点表示的数，即可求出点A 、B 所表示的数；③利用中点坐标公式即可解决问题．(1)解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），故选D ．②一机器人从数轴原点处O 开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是（﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+…+（+2016）+（﹣2017）＝1×1008+（﹣2017）＝﹣1009，故答案为：﹣1009．(2)①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合， 132-+＝1，∴对称中心为1，∴2017﹣1＝2016，∴1﹣2016＝﹣2015，∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，故答案为：﹣2015；②∵对称中心为1，AB ＝2018，∴点A 所表示的数为：1﹣20182＝﹣1008，点B 所表示的数为：1+20182＝1010，故答案为：﹣1008，1010；③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为2a b+；故答案为：2a b+．【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．8．观察下面三行数：2，4-，8，16-，32，64-，……； ①0，6-，6，18-，30，66-，……； ②1-，2，4-，8，16-，32，……； ③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第n 个数是________；（2）第②行的第n 个数是________，第③行的第n 个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】（1）256-；1(1)2n n +- ；（2）1(1)22n n +--， 11(1)2()2n n+-´-或1(1)2n n --；（3）1538-【解析】【分析】（1）第①行有理数是按照1(1)2n n +-排列的；（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n 个数的表达式即可；（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．【详解】解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2， ﹣1×22，23， ﹣1×24，…，故第8个数是861522´=-﹣，第n 个数为（﹣2）n （n 是正整数）；故答案为：256-；1(1)2n n +- ；（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n 的数为1(1)22n n +--（n 是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n 个数是11(1)2()2n n +-´-或1(1)2n n --（n 是正整数）；故答案为：1(1)22n n +--， 11(1)2()2n n+-´-或1(1)2n n --；（3）∵第①行的第10个数为101011(1)22--=，第②行的第10个数为1022--，第③的第10个数为1099(1)22-=，所以，这三个数的和为：101092(22)2-+--+1024(10242)512=-+--+102410242512=---+1538=-【点睛】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝；②|－12＋15|＝；（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．【答案】（1）①7+2；②1125-；（2）20194042【解析】【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【详解】解：（1）①∵7+20> ，∴|7＋2|＝7+2；②∵11025-+< ，∴|－12＋15|＝1125-；（2）原式＝11111111+...+23344520202021-+-+-- ，1122021=- ，＝20194042．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，以此类推，第n 个数记为n a （n 为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，11a =，23a =，35a =，47a =，59a =．规定运算1123(:)n n sum a a a a a a =+++¼¼+，即从这列数的第一个数开始依次加到第n 个数，如在上面这列数中：1312313(:)59sum a a a a a =++=++=．（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则110(:)sum a a =______．（2）已知一列有规律的数：1(1)1-´，2(1)2-´，3(1)3-´，4(1)4-´，¼¼，按照规律，这列数可以无限的写下去．①求12021(:)sum a a 的值．②是否有正整数n 满足等式1(:)50n sum a a =-成立？如果有，请直接写出n 的值．如果没有，请说明理由．【答案】（1）5；（2）①-1011；②n =99．【解析】【分析】（1）直接根据题中所给定义运算进行求解即可；（2）①由题意可知()12341,2,3,4, (1)n a a a a a n =-==-==-×，由此可得20212021a =-，然后求解即可；②由题意易得()12345....150nn -+-+-++-×=-，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意得：110(:)123456789105sum a a =-+-+-+-+-+=，故答案为5．（2）解：由题意得：()12341,2,3,4, (1)n a a a a a n =-==-==-×，∴12021(:)sum a a =-1+2-3+4···+2020-2021=1×1010-2021=-1011．②由题意得：()12345....150nn -+-+-++-×=-，∴当n 为奇数时，则有11502n n -´-=-，解得：n =99，当n 为偶数时，则有1502n ´=-，解得：100n =-，（不符合题意，舍去），∴综上所述：n =99．【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及数字规律问题，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及数字规律问题是解题的关键．11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是、、；（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．【答案】（1）24，60，120；（2）-10，-13，-16；（3）191，理由见解析【解析】【分析】（1）根据有理数乘法的性质计算，即可得到答案；（2）根据有理数加法的性质计算，即可得到答案；（3）根据有理数乘法和加法的性质计算，并结合前三个图形的数字规律，即可完成求解．【详解】（1）(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24；(－1)×(－3)×(－5)×(－4)＝60；(－1)×(－4)×(－5)×(－6)＝120；故答案为：24，60，120；（2）(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＝－10；(－1)＋(－3)＋(－5)＋(－4)＝－13；(－1)＋(－4)＋(－5)＋(－6)＝－16；故答案为：-10，-13，-16；（3）(－1)×(－5)×(－6)×(－7)＝210；(－1)＋(－5)＋(－6)＋(－7)＝－19；∵第1个正方形中的数()241014=+-= 第2个正方形中的数()601347=+-=第3个正方形中的数()12016104=+-=∴第四个正方形中的数()21019191=+-=．【点睛】本题考查了有理数加减法、乘法，以及数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减法和乘法的性质，结合数字规律，从而完成求解．12．一跳蚤P 从数轴上表示﹣2的点A 1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A 2；第二次从点A 2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A 3；第三次从点A 3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A 4，…，点P 按此规律移动，那么：（1）第一次移动后这个点P 在数轴上表示的数是 ；（2）第二次移动后这个点P 在数轴上表示的数是 ；（3）第五次移动后这个点P 在数轴上表示的数是 ；（4）这个点P 移动到点An 时，点An 在数轴上表示的数是 ．【答案】（1）﹣1；（2）0；（3）3；（4）﹣2+n ．【解析】【分析】（1）根据题意可得第一次移动后这个点P 在数轴上表示的数是﹣1；（2）第二次移动后这个点P 在数轴上表示的数是2120-+´=；（3）第五次移动后这个点P 在数轴上表示的数是2153-+´=；（4）这个点P 移动到点An 时，点An 在数轴上表示的数212n n -+´=-+．【详解】解：（1）记某次向左移动m 个单位长度，则向右移动()1m +个单位长度，从而每次移动的实际量为：123411,m m -+=-+=-++=∵一跳蚤P 从数轴上表示﹣2的点A 1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位∴211-+=-，即第一次移动后这个点P 在数轴上表示的数是﹣1故答案为﹣1（2）∵2120,-+´=∴第二次移动后这个点P 在数轴上表示的数是0故答案为0（3）∵2153,-+´=∴第五次移动后这个点P 在数轴上表示的数是3故答案为3（4）∵212n n -+´=-+，∴这个点P 移动到点An 时，点An 在数轴上表示的数是﹣2+n 故答案为﹣2+n ，【点睛】本题考查的是点在数轴上的移动规律的探究，有理数的加法运算，掌握数轴上点的移动后对应的数的变化规律是解题的关键．13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n ﹣1）+（2n +1）=_____；（用含n 的式子表示）（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）【答案】（1）1+3+5+7+9+11=62；（2）400；（3）（n +1）2；（4）1400【解析】（1）类比得出第6行等式为：1+3+5+7+9+11=62；（2）由图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可；（3）利用（1）（2）的规律推出一般规律即可；（4）用从1到89的连续奇数的和减去从1到49的连续奇数的和，进行计算即可得解．【详解】解：（1）第6行等式：1+3+5+7+9+11=62；（2）1至39共有（39+1）÷2=20个奇数，∴1+3+5+7+9+…+39=202=400；（3）1+3+5+7+9+…+（2n -1）+（2n +1）=22112n ++æöç÷èø=（n +1）2；（4）51+53+55+…+87+89=1+3+5+7+…+87+89-（1+3+5+7+…+47+49）=2289149122++æöæö-ç÷ç÷èøèø=452-252=2025-625=1400．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，解决问题．14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，124,6K K ==，……按此规律排列下去，第n 个图形中实心圆的个数表示为Kn ．（1）n K =______（用n 表示）：100K =_______（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a 和正整数n ．规定*2n na K a K a n -++=，例如：223336|36|(3)*2322K K --+-+--+-+-===-．①计算：(26.6)*10-的值；②比较：3*n 与(3)*n -的大小．【答案】（1）2（n +1），202；（2）①-22；②3☆n ＞（-3）☆n 【解析】【分析】（1）由图形可知：第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，…由此得出第n 个图形中有2（n +1）个实心圆，进一步代入求得答案即可；（2）①根据规定的运算顺序与计算方法，转化为有理数的混合运算计算即可；②根据规定的运算顺序与计算方法分别计算得出结果比较得出结论即可．【详解】解：（1）Q 第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，¼2(1)n K n \=+；1002(1001)202K =´+=；（2）①(26.6)-*10101026.6|26.6|2K K --+-+=26.6(2102)|26.6(2102)|2--´++-+´+=22=-；②n Q 是正整数，224n K n \=+…；3\*n3|3|2n n K K -++=332n nK K -++=3=，(3)-*n3|3|2n n K K --+-+=332n nK K ---+=3=-．n>-*n．所以3*(3)【点睛】此题考查图形的变化规律，有理数的混合运算，找出图形的运算规律，理解规定的运算方法是解决问题的关键．。
七年级数学上册有理数找规律题型专题练习
七年级数学上册有理数找规律题型专题练习一、等差型数列规律1. 有一组数：1，2，3，4，5，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n个数为 ．2. 有一组数：2，5，8，11，14，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n个数为 ．3.有一组数：7，12，17，22，27，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n个数为 ．4.有一组数：4，7，10，13,…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为 ．5.有一组数：11，20，29，38，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为 ．二、等比型数列规律1.有一组数：1，2，4，8，16，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n个数为 ．2. 有一组数：1，4，16，64，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为 ．3. 有一组数：1，-1，1，-1，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n个数为 ．4. 有一组数：27，9，3，1，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n个数为 ．三、含n2型数列规律1.有一组数：1，4，9，16，25，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．2.有一组数：2，6，12，20，30，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．3.有一组数：1，3，6，10，15，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．4.有一组数：0，2，6，12，20，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．四、其它数列规律列举1.有一组数：1，2，3，5，8，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第7个数为 ,2.有一组数：-2，3，1，4，5，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第7个数为 ,3. 观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2013个数是___________4. 观察下列一组数：，，，，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组21436587数的第k 个数是 .5. 观察下列一组数：.,61,51,41,31,21,1 ---它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第2014个数是6.观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是五、循环型数列.1. 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .2.已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321=======…推测到203的个位数字是 ；3. 若，，，… ；则的值为 ．1113a =-2111a a =-3211a a =-2014a 六、算式型规律1. 已知22223322333388+=⨯+=⨯，244441515+=⨯，……，若288a a b b+=⨯（a 、b 为正整数）则a b += ．2. 某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111，第2位同学报⎪⎭⎫⎝⎛+121，...这样得到的20个数的积为_________________.3. 求1+2+22+23+...+22013的值，可令S=1+2+22+23+...+22013，则2S=2+22+23+24+ (22013)因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52013的值为：4. 研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1=22； 2×4+1=32； 3×5+1=42； 4×6+1=52 …………，（1）请用含n 的式子表示你发现的规律：___________________.（2）请你用发现的规律解决下面问题计算的值11111(1)(1)(1)132********+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 七、数列阵型1.观察下列三行数： （课本P43页例4变式题）第一行：-1,2，-3,4，-5……第二行：1,4,9，16,25，……第三行：0,3,8,15,24，……(1)第一行数按什么规律排列？第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形(2)第二行、第三行分别与第一行数有什么关系？(3)取每行的第10个数，计算这三个数的和．2. 观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，7，．．．将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边第4个数是：八、几何图形型1．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有 个★．2.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按 照这样的规律摆下去，则第个n 图形需要黑色棋子的个数是 ．3．如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子 枚．4．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．图案1图案2图案3…………第1幅第2幅第3幅第n 幅5. 如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是______，第个“广”字中的棋子个数是________n 6.同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗棋子？说明理由。
有理数找规律word版本
一、数字找规律 1．观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是 .2.观察下面一列数，探求其规律： .,61,51,41,31,21,1（1）写出这列数的第九个数；（2）第2008个数是什么数？如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？3．下列是有规律排列的一列数：325314385，，，，……其中从左至右第100个数是__________．4、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．5. 已知221 ，422 ，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .6、已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321 …推测到203的个位数字是 ；7、观察下列等式： 第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16 … …按照上述规律，第n 行的等式为____ ________ 8．已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102； …… ……由此规律知，第⑤个等式是 ．9．观察下列各式：1×3=12+2×1，2×4=22+2×2， 3×5=32+2×3，… …请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： .10．观察下列顺序排列的等式：猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为__ _________________。
11、从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数（n ）和s 1 212 2 32642 3 4312642 4 54208642 5 6530108642 ......................................................当n 个连续偶数相加时，它们的和s 与n 之间有什么样的关系？请用公式表示出来，并由此计算2+4+6+...+202的值。
有理数找规律专题
有理数找规律专题一、等差型数列 律1. 有一 数： 1，2，3，4，5，⋯⋯， 察 数的组成 律，用你 的 律确立第8 个数 , 第 n 个数 ．2. 有一 数： 2，5，8，11，14，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 8 个数 , 第 n 个数 ．3.有一 数： 7， 12，17，22，27，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 8 个数 , 第 n 个数 ． 4.有一 数： 4， 7， 10，13,⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 n 个数 ．5.有一 数： 11，20，29， 38，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 n 个数 ． 二、等比型数列 律1.有一 数： 1， 2， 4， 8， 16，⋯⋯， 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 8 个数 , 第 n 个数 ． 2. 有一 数： 1，4，16，64， ⋯⋯， 察 数的组成 律，用你 的 律确立 第 n 个数 ．3. 有一 数： 1，-1，1， -1，⋯⋯， 察 数的组成 律，用你 的 律确立 第 8 个数 , 第 n 个数 ．4. 有一 数： 27，9，3，1，⋯⋯， 察 数的组成 律，用你 的 律确立第8个数 , 第 n 个数 ． 三、含 n 2 型数列 律1.有一 数： 1， 4， 9， 16，25，⋯⋯， 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 8 个数 , 第 n 个数 ． 2.有一 数： 2， 6， 12，20，30，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 8 个数 , 第 n 个数 ． 3.有一 数： 1， 3， 6， 10，15，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 8 个数 , 第 n 个数 ． 4.有一 数： 0， 2， 6， 12，20，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 8 个数 , 第 n 个数 ． 四、其余数列 律列1.有一 数： 1， 2， 3， 5， 8，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 7 个数 ,2.有一 数： -2，3，1，4，5，⋯ 察 数的组成 律，用你 的 律确立第 7 个数 , 3. 察以下边一列数： 1， -2， 3， -4，5， -6， ⋯依据你 的 律，第 2013 个数是 ___________ 4. 察以下一 数： 1 ， 3 ， 5， 7，⋯⋯ ，它 是按必定 律摆列的 . 那么 一 数2 46 8的第 k 个数是.5. 察以下一 数： 1, 1 , 1,1,1, 1,. 它 是按必定 律摆列的 .2 34 5 6那么 一 数的第2014 个数是6. 察以下一 数：2，4，6 ， 8 ， 10，⋯⋯ ，它 是按必定 律摆列的，那么 一 数的357911第 k 个数是五、循 型数列 .1. 已知 21 2 ， 224 ， 23 =8， 24=16，2 5 =32 ，⋯⋯ 察上边 律， 猜想22008的末位数是.2.已知 31 3,329,33 27,3 481,35 243,36729,372187 ⋯推 到320的个位数字是；3. 若 a 1 1 1 ， a 21 1 ， a 31 1 ，⋯ ； a 2014 的．3a 1a 2六、算式型 律1. 已知 22 2 22 ，323，4 424 ，8a 2 a3383415⋯⋯，若8（ a 、 b 正整数）a b3815bb．2. 某数学活 小 的 20 位同学站成一列做 数游 ， 是：以前方第一位同学开始，每位同学挨次 自己 序的倒数加1，第 1 位同学1 1 ，第2 位同学1 1，⋯ 获得的20 个数12的 _________________.232013的 ，可令2 3201323 420133. 求 1+2+2 +2 +⋯ +2S=1+2+2 +2+⋯ +2， 2S=2+2 +2 +2+⋯+2 ，20131．模仿以上推理， 算出232013的 ：所以 2S S=21+5+5 +5 +⋯ +54. 研究以下算式，你会 什么 律1× 3+1=22； 2× 4+1=32；3× 5+1=42； 4× 6+1=52⋯⋯⋯⋯，（ 1） 用含 n 的式子表示你 的 律： ____________ _______.（ 2） 你用 的 律解决下边算 (11 )(111 1 1 1 3)(13)(14 6)K (1) 的2 459 11七、数列 型1. 察以下三行数： （ 本 P43 例 4 式 ）第一行： -1,2 ， -3,4 ， -5 ⋯⋯ 第二行： 1,4,9 ， 16,25 ，⋯⋯ 第三行：0,3,8,15,24 ，⋯⋯(1) 第一行数按什么 律摆列(2) 第二行、第三行分 与第一行数有什么关系(3) 取每行的第 10个数， 算 三个数的和．2.察下边一列数： 1， 2，3， 4， 5， 6，7，．．．将列数排成以下形式：依据上述律排下去，那么第10 行从左第 4 个数是：八、几何形型1．察以下形：它是按必定律摆列的，依据此律，第16 个形共有2.如所示，把同大小的黑色棋子放在正多形的上，按形需要黑色棋子的个数是．个★．照的律下去，第n 个第 1个形第 2个形第 3个形第 4个形3．如，用同大小的黑色棋子按所示的方式案，依据的律下去，第棋子枚．100 个案需⋯⋯案 1案 2案34．如，每一幅中有若干个大小不一样的菱形，第 1 幅中有 1 个，第 2 幅中有 3 个，第 3 幅中有 5 个，第 4 幅中有个，第n 幅中共有个．⋯⋯第 1 幅第 2 幅第 3 幅第 n 幅5.如 7-①， 7-②， 7-③， 7-④，⋯，是用棋棋子依据某种律成的一行“广”字，按照种律，第 5 个“广”字中的棋子个数是______，第n个“广”字中的棋子个数是________ 6.同大小的黑色棋子按如所示的律放：第1个第2个第3个第4个（1）第 5 个形有多少黑色棋子（2）第几个形有 2013 棋子明原因。
专题2.9 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型(浙教版)(解析版)
专题2.9 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型【浙教版】考卷信息：本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！【题型1数列型规律探究】1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（）A．(3n−2)个B．(3n+2)个C．(5n+1)个D．(5n−1)个【答案】B【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数．【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即5=2×1+3，第2个图形有8个小圆，即8=2×2+(3+1)，第3个图形有11个小圆，即11=2×3+(3+2)，⋯依此规律，第n个图形的小圆个数是：2n+[3+(n−1)]=3n+2，故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律．2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）A．253B．255C．257D．259【答案】C【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成．【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；……n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n＝8时，存活个数是28+1＝257．故选：C．【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（）A．380B．382C．384D．386【答案】B【分析】根据已知图形得出下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，据此可得答案．【详解】解：由4＝1×2+2，8＝2×3+2，14＝3×4+2，22＝4×5+2，得到规律：下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，y＝19×20+2＝382，故选：B．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出右边数字是左边数字与1的和，下面数字是上面两个数字乘积与2的和．4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（ ）A．−3029B．−3032C．−3035D．−3038【答案】B【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.【详解】∵A表示的数为1，∴A1=1+（-3）×1=-2，∴A2=-2+（-3）×（-2）=4，∴A3=4+（-3）×3=-5= -2+（-3），∴A4=-5+（-3）×（-4）=7，∴A5=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2，×(−3)=−3032，∴A2021= −2+2021−12故选B.【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，现用等式A M=(i，j)表示正整数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1×2n×n=n2，则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n-1)=12当n=44时，n2=1936，当n=45时，n2=2025，∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数；故选：D．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法；6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．【答案】1【分析】根据7的指数从1到5，末位数字从7，9，3，1，7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写出72020个位数字．【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7，∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4，∵2020÷4=505，∴72020的个位数字为1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．【题型2 裂差型规律探究】1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256=．【答案】511256【分析】根据题意及图形可得12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，….依此规律可进行求解．【详解】解：由图及题意可得：12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，…；依此规律可得：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= 511256；故答案为：511256．【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可．2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：第1个等式：a 1=11×3=12×1−2个等式：a 2=13×5=12×第3个等式：a 3=15×7=12×4个等式：a 4=17×9=12×…请回答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a 5=_________=_________；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n =_________=_________(n 为正整数)；（3）求a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 2018的值．（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值【答案】（1）19×11=12×2）1(2n−1)(2n1)=3）20184037；（4）40310100【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果．【详解】解：(1)19×11=12×(19−111)；(2)1(2n−1)(2n1)=12(12n−1−12n 1)；(3)a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2018，=12×(1−13+13−15+⋯+14035−14037)，=12×(1−14037)，=20184037；(4)15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020，=15×(15−110+110−115+115−120+120−125+⋯+12015−12020)，=15×(15−12020)，=15×4032020，=40310100．【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，并运用运算规律解决问题”是解题的关键．3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝ ；②|－12＋15|＝ ；（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．【答案】（1）①7+2；②12−15；（2）20194042【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【详解】解：（1）①∵7+2>0 ，∴|7＋2|＝7+2；②∵−12+15<0 ，∴|－12＋15|＝12−15；（2）原式＝12−13+13−14+14−15+...+12020−12021 ，=12−12021 ，＝20194042．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：−1×12=−1+12−12×13=−12+13−13×14=−13+14……(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________(2)第n 个等式是：________________________(3)运用你发现的规律计算：−15+−16(4)−1×+−12×+−13×+⋯+−12021=________【答案】(1)−14×15=−14+15(2)−1n ⋅1n 1=−1n +1n 1(3)−235(4)−20212022【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案；（2）根据题目规律可发现，−1n ⋅1n1=−1n +1n 1；（3）按（2）的公式运算即可得出答案；（4）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案．【详解】（1）−14×15=−14+15；（2）−1n ⋅1n1=−1n +1n 1；（3）−15×+−16×=−15+16−16+17=−15+17=−235；（4）原式=−1+12−12+13−···−12021+12022=−20212022．【点睛】本题考查找规律，抽象概括出规律并能计算是解题的关键．5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）12×23=________12×23×34=________12×23×34×45=________猜想：12×23×34×45×⋯⋯×n n1=________（2）根据上面的规律，解答下列问题：①−1×−1×−1×⋯⋯×−1×−1②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?【答案】（1）13；14；15；1n 1；（2）①−1100，②1【分析】（1）约分计算即可求解；（2）①先算括号里面的减法，再约分计算即可求解；②根据题意列出算式2020×(1−12)×(1−13)×…×(1−12020)，再先算括号里面的减法，再约分计算即可求解．【详解】解：（1）12×23=13，12×23×34=14，12×23×34×45=1512×23×34×45×⋯⋯×nn1=1n 1，故答案为：13；14；15；1n 1；（2）①(1100−1)×(199−1)×(198−1)×…×(14−1)×(13−1)×(12−1)=−99100×9899×9798×…×34×23×12=−1100；②依题意有：2020×(1−12)×(1−13)×…×(1−12020)=2020×12×23×…×20192020=1．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，第（2）问根据题意列出算式是解本题的关键．6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1−12=21×2−11×2=11×2；12−13=32×3−22×3=12×3；13−14=43×4−33×4=13×4；…，反过来，可得：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…，各式相加，可得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．根据上面的规律，解答下列问题：(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=___________；(2)计算：11×5+15×9+19×13+⋅⋅⋅+197×101；(3)计算：11×4×7+14×7×10+17×10×13+⋅⋅⋅+194×97×100．【答案】(1)67(2)25101(3)1012425【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解；（2）每项提出14，然后根据规律，裂项相减即可求解；（3）每项提出16，然后根据规律，裂项相减即可求解．【详解】（1）解：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=1−12+12−13+14−14+15−15+16−16+17−17=1−17=67（2）解：原式=14×1−15+15−19+19−113+⋅⋅⋅+197=14×1−=14×100101=25101．（3）解：原式=16×14×7+14×7−17×10+17×10−110×13+⋅⋅⋅+194×97=16×=1012425．【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键．【题型3 新定义型规律探究】1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C 23=3×21×2=3，C 35=5×4×31×2×3=10，C 46=6×5×4×31×2×3×4=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C 811= ．【答案】165【分析】对于C b a (b <a)来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b 的b 个数相乘，分子是从a 开始，依次减1，b 个连续的自然数相乘．【详解】解：∵C 23=3×21×2=3，C 35=5×4×31×2×3=10，C 46=6×5×4×31×2×3×4=15，…，∴C 811=11×10×9×8×7×6×5×41×2×3×4×5×6×7×8=165，故答案为：165．【点睛】此题考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键．2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，…．利用以上规律计算：f(12008)−f(2008)= ．【答案】1【分析】直接利用运算公式化简，即可得出答案．【详解】解：f(12008)−f(2008)=2008-2007=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x ，规定f (x )=x1x ，例如：f (2)=212=23，f (3)=313=34，=1211213，=13113=14……利用以上规律计算：+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++f (1)+f (2)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f (2019)的值为： .【答案】201812【分析】按照定义式f(x)=x 1x ，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的12，最后再求和即可．【详解】f(12019)+f(12018)+f(12017)+……+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+……+f(2019)=12020+12019+12018+…+14+13+12+23+…+20172018+20182019+20192020=(12020+20192020)+(12019+20182019)+(12018+20172018)+…+(14+34)+(13+23)+12=2018+12=201812故答案为：201812【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；(−3)※(−5)=+(|3|+|5|)=+8；(−3)※(+4)=−(|3|+|4|)=−7；(+5)※(−6)=−(|5|+|6|)=−11；0※(+8)=8；(−6)※0=6．小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．两数进行※（加乘）运算时，运算法则是： ；特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是： ．(2)计算：①(−5)※0※(−3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）②(−4)※3※(−10)※(−5)．【答案】(1)两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值(2)①−8；②−22【分析】（1）归纳总结得到加乘法则，写出即可；（2）各式利用得出的法则计算即可求出值．【详解】（1）两数进行※（加乘）运算时，运算法则是：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是：0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值；（2）①根据题中的新定义得：(−5)※0※(−3)=(−5)※3=−(5+3)=−8；②根据题中的新定义得：(−4)※3※(−10)※(−5)=−7※15=−(7+15)=−22．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)∗(+3)=+5；(−1)∗(−9)=+10；(−3)∗(+6)=−9；(+4)∗(−4)=−8；0∗(+1)=1；0∗(−7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：(−2)∗(−7)=；(+4)∗(−3)=；0∗(−5)=．请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算时，．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，．(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）【答案】(1) +9−75同号得正，异号得负，并把绝对值相加等于这个数的绝对值(2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析.【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则；（2）对于加乘运算的交换律，可举例(−3)∗(−5),(−5)∗(−3),进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例[0∗(−3)]∗(−5),0∗[(−3)∗(−5)],进行运算后再判断即可.【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得：(−2)∗(−7)=+9；(+4)∗(−3)=−7；0∗(−5)=5．归纳可得：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值．（2）解：加法的交换律仍然适用，例如：(−3)∗(−5)=8,(−5)∗(−3)=8,所以(−3)∗(−5)=(−5)∗(−3),故加法的交换律仍然适用．加法的结合律不适用，例如：[0∗(−3)]∗(−5)=3∗(−5)=−8,0∗[(−3)∗(−5)]=0∗(+8)=8,所以[0∗(−3)]∗(−5)≠0∗[(−3)∗(−5)],故加法的结合律不适用．【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键.6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1234=（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？【答案】（1）是，+1-2-3+4=0；（2）m=±1，±3，±9，±11；（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义即可求解；（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的方程，解方程即可；（3）根据“运算平衡”数组的定义可以得到n个数的规律．【详解】解：（1）数组1，2，3，4是“运算平衡”数组，+1-2-3+4=0；（2）要使数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，有以下情况：1+4+6+m=0；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16中情况，经计算得m=±1，±3，±9，±11；（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．【点睛】本题考查了新定义问题，理解“运算平衡”数组的定义是解题关键．【题型4含n2型规律探究】1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：（1）13=12（2）13+23=32（3）13+23+33=62（4）13+23+33+43=102……根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（）A．45B．54C．55D．65【答案】C【分析】根据所给的算式，探索其底数之间的关系，根据规律解答即可.【详解】其底数之间的关系为：（1）1=1（2）1+2=3（3）1+2+3=6（4）1+2+3+4=10……（10）1+2+3+…+10=55故选：C【点睛】本题考查的是探索数字之间的规律，关键是要善于观察，抓住其底数之间的关系.2．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n 2−12，偶数项表示为n 22．如：第一个数为12−12=0，第二个数为222=2，…现在数轴的原点上有一点P ，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点P 在原点，记为P1；第2秒时，点P 向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；第3秒时，点P 向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；…按此规律跳跃，点P20表示的数为 ．【答案】-110【分析】通过总结规律和数轴上表示即可求解.【详解】第1秒时，点P 在原点，记为P1；第2秒时，点P 向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；第3秒时，点P 向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；第4秒时，点P 向左跳8个单位，记为P4，此时点P3所表示的数为-6；第5秒时，点P 向右跳12个单位，记为P5，此时点P4所表示的数为6；第6秒时，点P 向左跳18个单位，记为P6，此时点P5所表示的数为-12；第7秒时，点P 向右跳24个单位，记为P7，此时点P6所表示的数为12；通过规律得出以0为轴左右两边的绝对值相等，符号相反，只要求出一边即可得出结论，通过秒数为奇数 1对应0，3对应2，5对应6，7对应12，以此推类得出奇数所对应的数值为n 2−12，将P21代入得110，所以P20为-110.答案为-110.【点睛】本题主要考查了规律和数轴，正确找出规律是关键.3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④……（1）第⑤个式子 ，第⑩个式子 ；（2）请用含n （n 为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…（1+12016×2018）．【答案】（1）4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）（n ﹣1）（n +1）+1＝n 2；（3）20171009.【分析】(1)观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方；（2）根据（1）中发现的规律解答即可；（3）先通分，然后根据（2）中结论解答即可.【详解】解：（1）第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102，故答案为4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）第n 个式子为（n ﹣1）（n +1）+1＝n 2，证明：左边＝n 2﹣1+1＝n 2，右边＝n 2，∴左边＝右边，即（n ﹣1）（n +1）+1＝n 2．（3）原式＝1×311×3×2×412×4×3×513×5×…×2016×201812016×2018=221×3×322×4×423×5×524×6×...×201722016×2018 ＝2×20172018＝20171009．【点睛】本题考查了规律型--数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：1﹣122(1+13)(1−13) 1﹣132(1+15)(1−15)1﹣142(1+14)(1−14)1﹣152(1+12)(1−12)(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n 2＝______(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-142)×…×(1-1992)×(1-11002)【答案】(1)见解析；(2)(1+1n )(1−1n )；(3)101200.【分析】（1）根据有理数的乘法和乘方运算分别计算结果可得；（2）根据以上表格中的计算结果可得；（3）根据以上规律，将原式裂项、约分即可得．【详解】(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：1﹣122(1+12)(1−12)1﹣132(1+13)(1−13)1﹣142(1+14)(1−14)1﹣152(1+15)(1−15)(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1−1n 2＝(1+1n )(1−1n )，故答案为(1+1n )(1−1n )(3)原式=(1+12)(1-12)×(1+13)(1-13)×(1+14)(1-14)×…×(1+199)(1-199)×(1+1100)×(1-1100)=12×32×23×43×34×54×…×99100×101100 =12×101100=101200.【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法和乘方运算法则及数字的变化规律．5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；(2)你能用一个含有n （n 为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152．【答案】(1)55(2)12+22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n 2(3)780【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式利用得出的规律计算即可求出值．【详解】（1）12+22+32+42+52 =5×6×116=55；（2）12+22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n 2=n (n 1)(2n 1)6；（3）112+122+132+142+152 =(12+22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅152)−(12+⋅⋅⋅⋅⋅⋅102) =1240−460 =780．【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．我们知道，1+2+3+…+n=n (n 1)2，那么12+22+32+…+n 2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n+n+n+…+n ，即n 2．这样，该三角形数阵中共有n (n 1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n 2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．【解决问题】⋯的结果为 ．【答案】2n+1，n(n1)(2n1)2，n(n1)(2n1)6；7.【分析】根据图1和图2，归纳总结得到一般性规律，利用此规律确定出所求即可．【详解】解：【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均2n+1；由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=n(n1)(2n1)2；因此，12+22+32+…+n2=n(n1)(2n1)6；23⋯7．故答案为2n+1；n(n1)(2n1)2；n(n1)(2n1)6.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型5定义两个数的运算】1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a−b,a≥ba−2b,a<b．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1＝12﹣2×1＝﹣32，若x*3＝5，则有理数x 的值为（ ）A ．4B ．11C ．4或11D ．1或11【答案】A【分析】对x 的取值分为两种情况，当x≥3和x ＜3分类求解，得出符合题意得答案即可.【详解】当x≥3，则x*3＝2x ﹣3＝5，x ＝4；当x ＜3，则x*3＝x ﹣2×3＝5，x ＝11，但11＞3，这与x ＜3矛盾，所以此种情况舍去．∴若x*3＝5，则有理数x 的值为4，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键．2．（2023春·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a ⊗b =2a−3b 等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗(−3)=2×2−3×(−3)=4+9=13，1⊗2=2×1−3×2=2−6=−4．则(−1)⊗[3⊗(−2)]的值是（ ）．A ．−2B ．−18C ．−28D ．−38【答案】D【分析】根据新运算的运算法则，先计算3⊗(−2)，再计算(−1)⊗[3⊗(−2)]即可得解．【详解】解：由题意，得：3⊗(−2)=2×3−3×(−2)=12，∴(−1)⊗[3⊗(−2)]=(−1)⊗12=2×(−1)−3×12=−38；故选D ．【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．3．（2023春·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a ，b (a ≠b )，a ⊕b =12(|a−b|+a +b)(1)探究性质：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；(−3)⊕2=_________；(−3)⊕(−2)=________；②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a ，b 的式子表示出a ⊕b 的一般规律；(2)性质应用：①运用发现的规律求【(−92.5)⊕16.33】⊕【(−33.8)⊕(−4)】的值；②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，求出a ⊕b ，10组数代入后可求得10个a ⊕b 的值，则这10个值的和的最小值是 ．【答案】(1)①3，3，2，−2；②见解析，一般规律为a⊕b=a,a>b b,b>a(2)①16.33；②−10【分析】（1）①根据定义a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b即可求解；②举例3⊕(−2),(−2)⊕(−3)，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题．【详解】（1）解：①∵a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b，∴3⊕2=12(|3−2|+3+2)=3，2⊕3=12(|2−3|+2+3)=3，(−3)⊕2=12(|−3−2|−3+2)=2，(−3)⊕(−2)=12(|−3+2|−3−2)=−2，故答案为：3，3，2，−2；②例如：3⊕(−2)=12(|3+2|+3−2)=3，(−2)⊕(−3)=12(|−2+3|−2−3)=−2，通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为a⊕b=a,a>b b,b>a；（2）解：①【(−92.5)⊕16.33】⊕【(−33.8)⊕(−4)】=16.33⊕(−4)=16.33；②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，∴代数式等于a，a为偶数，b=a−1最小值=(−10)+(−8)+(−6)+(−4)+(−2)+0+2+4+6+8=−10，故答案为：−10．【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．4．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a ，b 定义运算“⊗”，a ⊗b =a +b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．材料二：规定[a ]表示不超过a 的最大整数，如[3.1]=3，[−2]=−2，[−1.3]=−2．(1)2⊗6 =______，[−π][π]=______；(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：(3)若有理数m ，n 满足m =2[n ]=3[n +1]，请直接写出m ⊗[m +n ]的结果．【答案】(1)−20072，−64(2)2023(3)−20532【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出[−π][π]的值；（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；（3）根据m =2[n ]=3[n +1]求出m 的值和n 的范围，再求出[m +n ]的值，即可得出m ⊗[m +n ]的值．【详解】（1）解：∵a ⊗b =a +b−20232，∴2⊗6=2+6−20232=−20072，∵[−π]=−4，[π]=3，∴[−π][π] =(−4)3=−64，故答案为：−20072，−64；（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023=1+2+3+……+2023+2022×−=1+20232×2023−2022×20232=2023；（3）∵[n +1]=[n ]+1，2[n ]=3[n +1]，∴2[n]=3[n]+3，∴[n]=−3，∴m=2×(−3)=−6，∴[m+n]=[−6+n]=−9，∴m⊗[m+n]=−9⊗(−6)=−9−6−20232=−20532．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．5．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．(1)计算(−5)⊙(−1)的结果是______．(2)有理数m，n满足(m+2)2+|n−3∣=0，求(m⊙n)⊙(−1)的值．【答案】(1)4(2)2【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案；（2）直接利用非负数的性质结合新定义计算得出答案.【详解】（1）解：原式=(−5)⊙(−1)=(−5)×(−1)+(−1)=4；（2）解：∵(m+2)2+|n−3∣=0，∴m=−2，n=3，原式=(m⊙n)⊙(−1)=[(−2)⊙3]⊙(−1)=[(−2)×3+3]⊙(−1)=(−3)⊙(−1)=(−3)×(−1)+(−1)=2.【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.6．（2023春·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：a★b=a2−ab，如：(−2)★3=(−2)2−(−2)×3=10，那么(−3)★(−2)★13的结果是 ．【答案】8【分析】根据运算律a ★b =a 2−ab ，先算括号内，再算括号外即可【详解】解：(−3)★(−2)★13=(−3)2−(−3)×(−2)★13=3★13=8故答案为8【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题【题型6 定义多个数的运算】1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）对一组数(x , y)的一次操作变换记为P 1(x , y)，定义其变换法则如下：P 1(x , y)=(x +y , x−y)；且规定P 0(x , y)=P 1(P n−1(x , y))（n 为大于1的整数），如P 1(1 , 2)=(3 , −1),P 2(1 , 2)=P 1(P 1(1 , 2))=P 1(3 , −1)=(2 , 4)，P 3(1 , 2)=P 1(p 2(1 , 2))=P 1(2 , 4)=(6 , −2)，则P 2011(1 , −1)=（ ）A ．(0 , 21005)B ．(0 , −21005)C ．(0 , −21006)D ．(0 , 21006)【答案】D【详解】试题分析：根据变换的计算法则可得：P 1(1，-1)=(0，2)，P 2(1，-1)= (2，-2)，P 3(1，-1)= (0，4)，P 4(1，-1)= (4，-4)，P 5(1，-1)= (0，8)，P 6(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出P 2011(1 , −1)=(0 , 21006).点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案.2．（2023春·全国·七年级期中）对于正整数n ，定义F (n )=n 2,n <10f (n ),n ≥10 ，其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)=62=36，F (123)=12+32=10．规定F 1(n )=F (n )，F k +1(n )=F (F (n ))（k 为正整数），例如，F 1(123)=F (123)=10，F 2(123)=F (F 1(123))=F (10)=1．按此定义，则由F 1(4)= ，F 2019(4)= ．【答案】16 58【分析】根据题意分别求出F 1（4）到F 8（4），通过计算发现，F 1（4）＝F 8（4），只需确定F 2019(4)=F 3(4)即可求解．【详解】F 1（4）＝16，F 2（4）＝F （16）＝12+62=37，F 3（4）＝F （37）＝32+72=58，F 4（4）＝F （58）＝52+82=89，F 5（4）＝F （89）＝82+92=145，F 6（4）＝F （145）＝12+52=26，F 7（4）＝F （26）＝22+62=40，F 8（4）＝F （40）＝42+0=16，…通过计算发现，F 1（4）＝F 8（4），∵2019÷7＝288…3，∴F 2019（4）＝F 3（4）＝58；故答案为16，58．【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．3．（2023春·山东东营·八年级统考期中）对于正数x 规定f(x)=11x ，例如：f(3)=113=14，f(15)=1115=56，，则f (2019)＋f (2018)＋……＋f (2)＋f (1)＋f(12)+f(13)+⋯+f(12018)+f(12019)＝．【答案】201812【分析】根据所给f(x)=11x 计算每一个值，再把所有的数值相加即可.【详解】解：f(2019)＋f(2018)＋…＋f(2)＋f(1)＋f(12)+f(13)+⋯+f(12018)+f(12019)=12020+12019+…13+12+23+34…20182019+20192020=(12020+20192020)+(12019+20182019)+…+12=2018×1+12=201812.故答案为201812.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意利用f(x)=11x 计算，并能找出f(n)和f(1n )之间的关系.4．（2023春·甘肃兰州·七年级兰州十一中校考期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”写作(−3)④，读作“(−3)的圈4次方”一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a(a≠0)记作：a n，读作“a的圈n次方”别地，规定：a①=a．n个a【初步探究】a的圈n次方(1)直接写出计算结果：2022②=______，−=______；(2)若n为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）A．任意非零数的圈2次方都等于1B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数C．圈n次方等于它本身的数是1或−1D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(3)请把有理数a(a≠0)的圈n(n≥3)次方写成幂的形式：a n=________；(4)比较：(−9)⑤______(−3)⑦；（填“>”或“=”）(5)计算：−142÷−×(−7)⑥−(−48)÷−+(−1)【答案】(1)１；−20222023(2)ABCDF(4)>(5)−5149【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可．（2）利用a的圈n次方的意义，进行判断．（3）利用圈n次方的意义，进行计算即可．。
有理数(三)找规律分类题
三、找规律（一）规律计算1、找数段运算① 1-2+3-4+5-6+7……-100+101② -1+3-5+7-9+11……-97+99③1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2017+2018-2019-2020④在数1、2、3、4……2009、2010的每个数字前添上“+”或者“-”,使得算出的结果是一个最小的非负数，请写出符合条件的式子：2、自然数、奇数列、偶数列（等差）①5+6+7+8+9……+2020 （自然数数列不从头起确定n的多少）②1+3+7+9+11+13+15+17 （奇数列，从头有限数列）③1+3+5+7……+2007（奇数列，从头省略数列）④5+7+9+11+13+15+17……+31 （奇数列，不从头省略数列）⑤-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999 （正负号，数段法）⑥2+4+6+8+……+2020 （偶数列从头省略数列）⑦12+14+16+18+……+1000 （偶数列从头省略数列）3、复杂等差⑧)6059...601...(54535251434241323121+++++++++++）（）（）（4、乘方类型①（-1）2+（-1）3+（-1）4+……（-1）2012②()()()()20012000433221-⋯⋯-⨯-⨯-5、裂项（裂减、加）（差1裂项、差2裂项） 差1裂项数列 2 6 12 20 30 ① 1-a 2-ab 和互为相反数，求：））（（））（（））（（2007b 2007a 12b 2a 11b 1a 1ab 1++⋯⋯+++++++② 观察式子）（31121311-=⨯，）（513121531-=⨯，）（715121751-=⨯，……请你计算： 201120091751531311⨯+⋯⋯⨯+⨯+⨯ ③421-301-201-121-61-2172175615421330112091276521+-+-+-+-④100321132112111+⋯⋯++⋯⋯+++++⑤4834823993983233222552541951941431429998636235341514+++++++++6、换元法（简便运算）③a1,a2,a3，……a2004都是正数，如果M=（a1+a2+a3……+a2003）×（a2+a3+……a2004），N=（a1+a2+a3……+a2004）×（a2+a3+……a2003），那么M ，N 的大小关系是（ ）A 、M ＞NB 、M=NC 、M ＜ND 、无法确定（二）通过观察、计算找规律 1、观察规律直接写数① 观察下面一列数，按规律在横线上填写适当的数。
有理数找规律专题
有理数找规律专题一、等差型数列规律1. 有一组数：1，2，3，4，5，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．2. 有一组数：2，5，8，11，14，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．3.有一组数：7，12，17，22，27，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．4.有一组数：4，7，10，13,…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为．5.有一组数：11，20，29，38，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为．二、等比型数列规律1.有一组数：1，2，4，8，16，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．2. 有一组数：1，4，16，64，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为．3. 有一组数：1，-1，1，-1，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．4. 有一组数：27，9，3，1，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为, 第n个数为．三、含n2型数列规律1.有一组数：1，4，9，16，25，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．2.有一组数：2，6，12，20，30，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．3.有一组数：1，3，6，10，15，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．4.有一组数：0，2，6，12，20，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 , 第n 个数为 ．四、其它数列规律列举1.有一组数：1，2，3，5，8，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第7个数为 ,2.有一组数：-2，3，1，4，5，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第7个数为 ,3. 观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2013个数是___________4. 观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k 个数是 .5. 观察下列一组数：.,61,51,41,31,21,1 ---它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第2014个数是6.观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的 第k 个数是五、循环型数列.1. 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，……观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .2.已知21873,7293,2433,813,273,93,337654321=======…推测到203的个位数字是 ；3. 若1113a =-，2111a a =-，3211a a =-，… ；则2014a 的值为 ． 六、算式型规律1. 已知22223322333388+=⨯+=⨯，，244441515+=⨯，……，若288a a b b+=⨯（a 、b 为正整数）则a b += ．2. 某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111，第2位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+121，…这样得到的20个数的积为_________________.3. 求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+24+…+22013， 因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52013的值为：4. 研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1=22； 2×4+1=32； 3×5+1=42； 4×6+1=52 …………，（1） 请用含n 的式子表示你发现的规律：___________________.（2） 请你用发现的规律解决下面问题 计算11111(1)(1)(1)(1)(1)132********+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值七、数列阵型1.观察下列三行数：（课本P43页例4变式题）第一行：-1,2，-3,4，-5……第二行：1,4,9，16,25，……第三行：0,3,8,15,24，……(1)第一行数按什么规律排列？(2)第二行、第三行分别与第一行数有什么关系？(3)取每行的第10个数，计算这三个数的和．2.观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，7，．．．将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边第4个数是：八、几何图形型1．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有个★．2.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．3．如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子 枚．4．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．5. 如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是______，第n 个“广”字中的棋子个数是________6.同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：图案1 图案2 图案3……... (1)第2幅 第3幅 第n 幅（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗棋子？说明理由。
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规律专题
1.观察下面的每列数，按某种规律在横线上适当的数。
(1)-21，-15，-9,______，______ ，.....， （第n 个）;
(2)2
345,,,8163264--，_______，_______； 2．有一组数：1,2,5,10,17,26,.....，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_____，第n 个数为______； 3．观察下列算式：21=2,22 =4,23 =8,24＝16,25 =32,26=64,27＝128，通过观察，用你所发现的规律确定22018的个位数字是（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4．一根lm 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ） 31()2 B. 51()2m C. 61()2m D. 121()2
m
5.下面一组按规律排列的数：1,2,4,8,1
6.......，第2018个数应是（ ） ， A. 22018 B. 22018-1 D ．以上答案不对
6．观察下列三行数：
第一行：-1，2，-3, 4，-5，……
第二行： 1，4, 9，16, 25，……
第三行： 0，3, 8, 15, 24，……
(1)第一行数按什么规律排列
(2)第二行、第三行分别与第一行数有什么关系
(3)取每行的第10个数，计算这三个数的和．
？
7．如果对于任意非零有理数a,b定义运算如下：a△b=ab＋1，那么（-5)△（+4)△（-3）的值是多少
8．先完成下列计算：
1×9＋2＝11；12×9＋3＝______；123×9 + 4=______；……则1234567×9 + 8= ．
12．如果1+2-3-4+5+6-7-8 +9＋……，是从1开始的连续整数中依次两个取正，两个取负写下去的一串数，则前2018个数的和是多少
）
9．观察下列各式：12+1=1×2 22+2=2×3 32+3=3×4请把你猜想到的规律用自然数n表示出来___________ 10.观察下列各式：
2×4=32-1,3×5 =42-1,4×6 =52-1，……
把你发现的规律用含一个字母的等式表示_________
11.如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．
{
3. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）
4. （2011湖南常德）先找规律，再填数：
1111111111111111,,,,122342125633078456
............
111+_______.2011201220112012
+-=+-=+-=+-=-=⨯则 5.（2011湖南益阳）观察下列算式：
第1个图形第 2 个图形
' 第 4 个图形
① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1
③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1
④ ……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
-
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗并说明理由．
6.研究下列算式，你会发现什么规律 1×3+1=22； 2×4+1=32； 3×5+1=42； 4×6+1=52 …………，
（1） 请用含n 的式子表示你发现的规律：___________________.
（2） 请你用发现的规律解决下面问题
计算11111(1)(1)(1)(1)(1)132********+
++++⨯⨯⨯⨯⨯的值。