完全平方公式2
完全平方公式2
有人说：完全平方和公式与完全平方差公式可以统 一成一个公式，你认为有道理吗？结果中间的运算 符号的取决于什么？
问题1
计算出结果，说说你的发现：
(1) (a+b)2 (-a -b)2
(2)
1
(-2x - 4 y )2 ( - 1 y +4x)2
8
(a - b)2
(b - a)2
(-b +a)2
(-a +b)2
问题2
要求用公式进行计算，你会选用哪个公式？
1. 1032
2. 1982
问题2
计算. (a+b+2) (a+b-2)，这个题你能运用公式解答吗？
小慧的做法：设a+b=x,则题目变为: （x+2) (x-2)=x2-4=(a+b)2-4=a2+2ab+b2-4.
关键在于把两个因式中相同的部分看作一个整体，从而 实现三项式变二项式。
请仿照上述思路计算： （1） (a-b+2) (a-b-2) （2） (a-b+2)2
问题3
1.育英中学有两个方阵，分别为a行a列的男生方阵和b 行b列的女生方阵，实验中学只有一个（a+b)行(a+b） 列的方阵，育英中学和实验中学参加方阵的人数哪个 多？多多少？
2.由1题中获得的关系式：（a+b)2-(a2+b2)=2ab,解决下面问题： 已知 a+b=11, a2+b2=65, 求ab的值。
复习回顾
(a+b)2= a2 +2ab+b2
完全平方公式特征：
1.左边：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。
接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。
最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。
2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。
接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。
最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。
这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。
了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。
15.2.2完全平方公式(2)
X2+4y2 a2-9b2
4x2-1/4
X2+6x
a2b2+8ab
1/9x2+2xy
根据完全平方公式可得到a2+b2=？
从上面可以得出什么规律？如果次 数不是2，是其它的数还成立吗？ 为什么？
小结
当堂检测
导学案P94:互动探究2.3.5.
作业：
1、教材156-157页第3、4题 2、阅读与思考
a-b-c= a-(b+c)
教学目标
1.知道添括号法则。 2.能灵活应用添括号法则对式子进行变形， 并能综合利用乘法法则进行运算。
预习指导ห้องสมุดไป่ตู้
请同学们阅读课本P155完成下例问题： 1。完成导学案P93问题探究一 2。完成导学案P93问题探究一
2-4x x
+4=(
2 )
下面各式添上什么项才能成为一个完全平方 式
1. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
2. 口诀：
首平方，尾平方， 积的两倍放中央
15.2乘法公式
15.2.2 完全平方公式（2）
去括号：a+(b+c)= a+b+c
a-(b+c)= a-b-c
添括号：a+b+c= a+(b+c)
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
完全平方公式(二)
课堂小结
1. 完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和 正确认识a、b表示的意义，它们可以是 数、也可以是单项式，还可以是多项式， 所以要记得添括号.
2. 解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不 同的方法会有不同的效果，要学会优化 选择.
作业
1. 教材习题1.12 2. 联系拓广：
(2) 第二天有 b 个女孩一起去了老人家 ，老人一共给了这些孩子多少块糖？
b2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(3)第三天这(a + b)个孩子一起去看老人 ，老人一共给了这些孩子多少块糖？
如果把完全平方公式中的字母a换成2xy2xz2yz把所得结果作为推广了的完全平方公式试用语把所得结果作为推广了的完全平方公式试用语言叙述这一公式言叙述这一公式课堂小结完全平方公式的使用
6 完全平方公式（第2课时）
1. 完全平方公式：
() 22+22
(a－b) 22－22
2. 想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些 什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗?
()2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
完全平方公式口诀表
完全平方公式口诀表
中国古代数学家华罗庚曾经提出完全平方公式，也叫华罗庚定理，它给了我们解决复杂问题的有效方法。
这个定理可以用来求解自然数的完全平方。
它的公式如下：完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式有一个口诀，可以帮助我们更好地记忆它：“加减同根，平方等于毕；加减
不同根，两边和等于积。
”完全平方公式的口诀表可以帮助我
们更好地理解它的用法：
1、当两个数字的平方相加时，可以直接用完全平方公式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2、当两个数字的平方相减时，也可以直接用完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²
3、两个数字的平方相乘时，可以先用完全平方公式把它
们分解成两部分，然后再用乘法解决：(a + b) (a - b) = a² - b²
4、两个数字的平方相除时，可以先用完全平方公式把它
们分解成两部分，然后再用除法解决：(a² - b²) / (a - b) = a + b
完全平方公式口诀表给了我们一个有用的工具，可以帮助我们解决许多复杂的数学问题，比如二次方程的求解。
它的口诀表可以帮助我们更容易地记忆它的用法，从而更好地理解它的应用。
完全平方公式口诀表是一种有用的数学工具，它可以帮助我们更容易地理解和解决复杂的数学问题。
只要记住它的口诀表，就可以轻松地掌握它的用法，从而更好地理解和应用它。
§14.2.2完全平方公式(二)
1．知识与技能：会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算.
2．过程与方法：会用几何拼图方式验证平方差公式
教学过程：
一．自主学习：
1.请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：
（1）=
（2）= ; （3）= ; （4）= ; （5）= ;（6）= ;
归纳：完全平方公式：（a+b）2=
（a-b）2=
2.去括号和添括号
；
（）；（）
添括号法则：语言叙述：
生练1：课本P111练习1题；
二．合作探究
1.你能计算吗？
（1）（2）
生练2：:课本P111练习2题；
三．解决实际问题
例3.从一块直径为（a+b)的圆形钢板中，挖去直径分别为a与b的两个圆，请你求出剩下钢板的面积？
例4：计算:
例5:化简求值：
四．盘点提升
（1）
（2）
（3）
（4）
五．达标检测
1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）
A．8 B．4 C．±8 D．±4
2．下列多项式能写成完全平方式的是（）
A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．多项式 x4-2x2y2+y4是（）计算的结果
A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C． D．
4.计算: ; 计算:
5.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面
积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：
就可以用图1或图2等图表示.
(1)请你写出图3中,能恒成立的代数等式:
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
六.总结反思。
14.2.2 完全平方公式2去括号
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式2
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
针对训练 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
＝(3a)2－(b－2)2 ＝9a2－b2＋4b－4. (2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)] ＝(x－y)2－(m－n)2 ＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形成 符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结果 两方面）
完全平方公式
1 1 2 已知 x 3，求x 2 的值 . x x 1 2 1 1 2 解 : x 2 ( x ) 2( x ) x x x 1 2 (x ) 2 x
3 2 7
2
2ab
填一填：
1、如果 x²+ax+16 是一个完全平 +8 方式， 则a=___ 2、如果 25a²-30ab+m 是一个完全 平方式，则 m=___ 2 9m 3,16x²+（ +40xy)+25y²=（ 4x+5y ）²
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
做题时要边念边写： 2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 第一数 的平方, = 4x2 − 12x + 9 ; 加上 第二数 的平方.
1.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z ). 2.如图，一块直径为a+b的圆 形钢板，从中挖去直径分别为 a与b的两个圆，求剩下的钢板 的面积.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
4、 填空 : 1 a 6a _______ (a ______) 9 3
2 2
a 2 a 3 3
2
2
2 x
2 4 x 2 3 a
2
2
2 2x 5 5
2
5 2 20x ______ (2 x ______) 25 2
14.2.2乘法公式—完全平方公式(2)
（2）(a + b +c ) 2. (a + b + c ) 2 解： = [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
练习
2.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
遇加不变遇减变
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b - c );
(4) a + b + c = a - ( -b - c ).
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
例 运用乘法公式计算: (1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2. 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形
(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 （ ）
完全平方公式(二)公式变形试题讲解
1 1 2 3ab 2 （5） a +______+9b =（ a+3b）2 2 4
你会吗？
选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是（c）
A ．4
B．-4
C．±4
D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则 正方形的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2
达标检测 反思目标
1.（ ）2=ｘ2＋６ｘｙ＋_____ 2.ａ2－ｋａｂ＋９ｂ2是完全平方式，则ｋ＝ _____． 3.计算（－ａ－ｂ）2结果是（ ） Ａ． a2－2ab+b2 Ｂ． a2+2ab+b2 Ｃ． a2+b2 Ｄ． a2－b2 4运用乘法公式计算 1 (1) ( x 1) 2 (2) 1052 (3) (a b 3)(a b 3)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 D （2）代数式2xy-x2-y2= ( A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
5. x y 8, x y 4, 求xy. xy 12
完全平方式. 4 k
4k
k 4
是 4 2
拓展：
思考题：
1 已知： x 3 x 1 2 1 2 求： x 和 (x ) 2 x x
的值
人教版八年级数学上册14.2.2完全平方公式(2)
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
(b c)
(b c)
(b) (2a c) (b) (2a c)
点拨精讲：添括号可用在将多项式变形中，主要是将多项式变成乘法公式的结构；
【点拨精讲】（3分钟）
【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
完成下列填空。5分钟
abc
abc
b c
(b c)
总结归纳：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项符号；
如果都括不号变前号面是负号，括到括号里的各项符号。有些整式相乘都需改要变先作 适当变形，然后再用公式。
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。7分
钟
1、教材P111页练习第1题； C 2、下列等式中，不成立的是（ ）
(2n2 1) (b c d )
(b c d ) (2 y 3z)
点拨精讲：答案不唯一，第1题括号前是正号；第2题括号前是负号。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
点拨精讲：此式需用添括号变形成公式结构，再运用公式使计算简便。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
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第十四章 整式的乘法与 因式分解
14.2.2 完全平方公式（2）
【学习目标】 1、掌握添括号法则；
2、综合运用乘法公式进行计算。 【学习重、难点】 重点：灵活运用乘法公式进行计算。
难点Байду номын сангаас掌握添括号法则。
【预习导学】
一、自学指导 1、自学1：自学课本P11页“例5”，掌握添括号法则，
完全平方公式2PPT课件
(2) (2xy+ 1 x )2 ;
5
(3)(n +1)2 − n2; (4)(-x-y)2.
.
10
生活在线：
老王去年承包了一块边长为a的正方形实验田，今年把 实验田进行了扩建，建成了一个边长增加了2米的大正 方形，问现在实验田的面积是多少？比原来增加了多 少？
2
a
a.
2
11Leabharlann 本节本课节你课你的学收到获了是什么什?么？
得出结论：
(a+b)2 = a2+2ab+b2
其实，据有关资料表明，古代中国人在很 多年以前就利用类似的图形认识了这个规 律。
.
3
三：自主探究
请你大胆猜想，科学验证 1：根据上面的结论，你能猜出(a-b)2 的结果吗？ 2：你能用不同的方法验证你猜测的结果吗？
(a-b)2 = a2-2ab+b2
.
6
完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b 2
(a-b)2= a2 - 2ab + b 2 即：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的两倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的两倍。
谐音记忆：
首平方，末平方，2倍的首末中间放，
符号与前一个样。
.
7
学以致用：
例1：利用平方差公式计算 (1)(2x-3)2 (2)(4x+5y)2 (3)(mn-a)2 (4)(-2t-1)2
.
8
做题后反思：
1：利用完全平方公式简便了我们的运算。
2：利用完全平方公式时，我们应注意的 一些问题有：
(1)中间项是积的2倍；
20个完全平方公式
20个完全平方公式
数学完全平方公式
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
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完全平方公式教学设计
【教学目标】
进一步熟悉完全平方公式，能根据题目适当添括号变形，选择适当的公式进行计算.
【教学重点】
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．
【教学难点】
活用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.【教学过程】
一、知识链接，预习导课
1.回忆完全平方公式
（a+b）2= .
(a－b) 2= ______________________
2. 想一想：
（1）两个公式中的字母都能表示什么?
（2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?
二、合作探究
(一)活动探究1
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……
(1) 第一天有a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子____________糖？
(2) 第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子____________糖？
(3)第三天这(a + b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子________________________糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
(二)活动探究2
有一些多项式乘多项式，没有办法直接运用公式，需要在式子中添加括号再运用公式计算.如何加括号呢？它有什么法则呢？
(a + b + c)2=
(a – b - c)2= 三、运用新知
例1：利用完全平方公式计算
(1)1022 (2)1972
例2:计算
(1) (x+3)2 - x2 (2) (x+5)2–(x-2)(x-3) (3) (a+b+3)(a+b-3)
四、课堂检测，学习反思
1.运用公式计算：
(1) (a－b+3) (a－b－3)
(2) (x－2) (x+2) －(x+1) (x－3)
(3) (ab+1)2－(ab－1)2
(4) (2x－y)2－4(x－y) (x+2y)
2.已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值.
(1)(a-b)2(2)a2+b2
六、课外作业
1、计算：
(1)9982 (2)2
(2)
x y z
--
(3)(23)(23)
x y z x y z
-++-
(4)2
(351)(2)(2)
x y x y x y
-+-+-。