最新极坐标练习题(含详细答案)

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨

⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y

后，曲线C 变为曲线

x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )

A ．25x 2

＋9y 2

＝1 B ．9x 2

＋25y 2

＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 2

9＝1

2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝1

4 B ．x 2＋(y ＋12)2＝1

4 C ．x 2＋(y －12)2＝1

4 D ．(x －12)2＋y 2＝1

4

答案 D

解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C

4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π

2) B ．(1，－π

2) C ．(1,0) D ．(1，π) 答案 B

解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π

2)，故应选B.

5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π

3，3) B ．(2，2π

3，3) C ．(2，4π

3，3) D ．(2，5π

3，3) 答案 C

6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )

A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2

B．θ＝π

2(ρ∈R)和ρcosθ＝2

C．θ＝π

2(ρ∈R)和ρcosθ＝1

D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1

答案 B

解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.

所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方

程化为极坐标方程分别为θ＝π

2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.

7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()

A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθ

C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1

答案 C

解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.

8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标

为(4，π

3)，则|CP|＝________.

答案2 3

解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝2 3.

9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P(2，－π

6)到直线l：ρsin(θ－π

6)＝1的

距离是________．

答案3＋1

解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线

l 的距离为3＋1.

10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2

，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，

得ρ＝2y ρ＋4x

ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.

11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π

4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 答案 4 3

解析 直线ρsin(θ＋π

4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得

2

r 2－d 2＝2

42－(222

)2

＝4 3.

12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π

4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．

答案 (1,0) (2，π

4)

解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)． 当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．

13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．

答案 (2，3π

4)

解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.

联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1，

y ＝1，

即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π

4)．

14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．

答案 ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2，3π4

解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π

4.

∴点M 的极坐标为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2，3π4.

15．已知点M 的极坐标为(6，11π

6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．

答案 (－33，－3)

解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π

6)， ∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×3

2＝33， y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×1

2＝－3. ∴点M 的直角坐标为(33，－3)．

∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．