高中数学_反证法教学设计学情分析教材分析课后反思

反证法教学设计

教学目标：

1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用反证法证明不等式。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

教学难点：会用反证法证明简单的命题。

教学过程:

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

例1、已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:

x y

+

1

与

y x

+

1

中至少有一个小于2.

思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法.

证明:假设

x y

+

1

≥2,

y x

+

1

≥2.

∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.

两式相加,得2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2.这与已知x+y>2矛盾.

∴

y x

+

1

与

x y

+

1

中至少有一个小于2成立.

例2、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

课堂练习：

[练习1]已知f(x)是R上的单调递增函数，f(a)＋f(－b) ＜f(－a)＋f(b)．求证：a＜b.

[练习2]已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．

课时小结：

1、利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；、

2、在证明中含有“否定性、存在性词语，或者直接证明困难时，可使用反证法证明．

3、在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以

自相矛盾．

反证法学情分析

学生在选修2-2中，已经学习了反证法，并亲学会了用反证法证明一些数学问题，本节主要是让学生学会用反证法证明一些不等式有关问题，关键是以下3个问题：

1、学生在解决用反证法来证明不等式时不会假设结论不成立，因此在教学中开始就对反设进行深入讨论，加深对反设的练习，让学生真正学会对命题的否定。

2、在反证法中步骤格式化非常关键，教学中应引导学生揭主动总结出反证法整体的的主要步骤，尤其是一些程序化的东西。

3、得到矛盾是反证法的核心问题，例1例2重点讲解了矛盾的推导，让学生自己总结出矛盾的类型。体会矛盾的本质。

反证法效果分析

一、设计意图：

根据反证法在高考中的地位及考试要求，

本节课的设计意图很明确，就是在降低难度的同时，规范学生的解题步骤。

二、优点：

在导学案的设计上有意识的设计“有顺序和无顺序”之间的比较，把学习的主动性还给学生，通过自己的思考与小组的讨论，解决反证法中比较棘手的问题；再通过学生观察总结出反证法基本步骤。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

三、缺点：

这节课还是“讲”的比较多，在学生讨论时指导得不够到位，应该赋予学生更多的时间，他们更多的自主权。在今后的教学中，要在学生合作等方面加强指导，注意平时的培养与提高。

四、总结：

反证法是一种特殊的证明方法，也是一种基本的证明方法，在不等式证明中占有相当重要地位。学好反证法有利于数学思维的培养，有利于解释生活中的一些问题。

反证法教材分析

知识·巧学

1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.

记忆要诀

用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示.

2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；

第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.

辨析比较

原结论词

等于

（=）

大于

(>)

小于

(<)

对所

有x

成立

对任

意x

不成

立

至少

一个

至多

一个

至少

n个

至多

n个

p或q p且q

反设词不等

于(≠)

不大

于(≤)

不小

于(≥)

存在

某个

x不

成立

存在

某个

x成

立

一个

都没

有

至少

两个

至多

n-1

个

至少

n+1

个

p

⌝

且

q

⌝

p

⌝

或

q

⌝

有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的.

学法一得

凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.

典题·热题

知识点一：反证法证明不等式

例已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:

x y

+

1

与

y x

+

1

中至少有一个小于2.

思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法.

证明:假设

x y

+

1

≥2,

y x

+

1

≥2.∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.