清华大学-理论力学-习题解答-2-03

2-3 圆盘绕杆AB 以角速度rad/s 转动，AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度

100=Ω10=ωrad/s 转动。已知mm ，当140=R °=90θ，rad/s ，时，试求圆盘上两相互垂直半径端点C 点及D 点的速度和加速度。

5.2=θ 0=θ

解：圆盘的运动是由三个定轴转动组成的复合运动，且三个轴交于O 点。取O 点为基点，建立动坐标系Oxyz ，Oxyz 绕铅垂轴以角速度ω转动，则牵连角速度e ω=−ωk 。圆盘相对于动坐标系的运动是由框架绕Ox 轴的转动和圆盘绕Oy 轴的转动组成，则圆盘的相对角速度为：

r θ

=−+Ωωi j 所以圆盘的绝对角速度为：

r θω′=−+Ω−e ω=ω+ωi j k

C 点及

D 点的矢径分别为：

0.140.5()C m =−+r i j

0.50.14()D m =+r j k

由公式可得C 点及D 点的速度：

=×v ωr 5 1.412.75(/)C C m s ′=×=++v ωr i j k

190.35 1.25(/)D D m s ′=×=+−v ωr i j k

下面来求加速度。首先求圆盘相对于动系的相对角加速度ε，在动系中，我们可以步将

框架绕Ox 轴的转动看作牵连运动，牵连加速度为r 1e θ=−ωi 1r ，牵连角加速度为ε；将圆盘绕Oy 轴的转动看作相对运动，相对角速度为1e = θ

=Ωj 0ωθ

，相对角加速度为。则根据角加速度合成公式并由此时1r 0==εΩ

e e r r =+×+εεωωε= 可得： 211250(/)r e r rad s θ

=×=−×Ω=−εωωi j k 接下来求圆盘的绝对角加速度，再次利用角加速度合成公式，并由0e =ε可得：

2100025250(/)e r r rad s ′=×+=+−εωωεi j k

利用公式a 可得C 点及D 点的加速度 ：

(=×+××εr ωωr )

2141416.875(/)C m s =+a i j 27333.1252400.875(/)D m s =−−a i j k