圆辅助线的常用做法

浅谈圆的辅助线作法

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距

在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，

且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。

分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE≌△OPF，得出PO 平分∠APD 。

证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F

AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF

∠OEP=∠OFP=90

° => △OPE≌△OPF 0OP=OP

=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证

PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线

即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OP A ≌△OP D 。

证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP

∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP

AB (

BD ，

(

CD (

D 图 1 AC (

AC (

BD (

AB (

CD

(

D 图1-1

AC=BD

=>AP=DP

OA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=

∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP

2.有直径，可作直径上的圆周角

对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，

以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D 作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。求证 DM ⊥AC 。

分析：由AB 是直径，很自然想到其所

对的圆周角是直角。于是可连结AD ，得∠ADB=Rt ∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B ，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM ⊥AC 。

证明 连结AD 。

AB 为⊙O 的直径 =>∠ADB=Rt ∠

AB=AC

DM 切⊙O 于D => ∠ADM=∠B

=> ∠1+∠B=∠2+∠ADM =>∠AMD=∠ADB= Rt ∠ => DM ⊥AC 说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。 3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦

例3 如图3,AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，DC 切⊙O 于C 点。求∠A 的度数。

分析：由过切点的半径垂直于切线， 于是可作辅助线即半径OC ，得Rt △， 再由解直角三角形可得∠COB 的度数， 从而可求∠A 的度数。

图 2

=>∠1=∠2

D

图 3

解：连结OC 。

DC 切⊙O 于C =>∠OCD=90

°

OC=OB=BD

=> ∠A=1/2∠COB=30°

例4 如图4，已知△ABC 中，∠1=∠2， 圆O 过A 、D 两点，且与BC 切于D 点。

求证 EF//BC 。

分析：欲证EF//BC ，可找同位角或内错角

是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE ，得一对内错角∠BDE 与∠DEF ，由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，故易证EF//BC 。

证明 连结DE 。

BC 切⊙O 于D =>∠BDE= ∠1

∠2= ∠DEF =>∠BDE= ∠DEF =>EF//BC ∠1= ∠2

说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。

4.当两圆相切，可作公切线或连心线 例5 已知：如图5，⊙O 1与⊙O 2外切 于点P ，过P 点作两条直线分别交⊙O 1与 ⊙O 2于点A 、B 、C 、D 。求证 PB •PC=PA •PD 。

分析：欲证PB •PC=PA •PD ，即证PA ∶PB=PC ∶PD ，

由此可作辅助线AC 、BD ，并证AC//DB ，要证平行，需证一对内错角相等，如∠C=∠D ，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN ，从而问题迎刃而解。

证明 连结AC 、BD ，过P 点作两圆的内公切线MN

=>∠APM=∠C ，∠BPN=∠D

∠APM=∠BPN

A

C N B

D M P

O 1

O 2 .

. 图 5

=> COS ∠COD=OC/OD=1/2 =>∠COB=60°

=> ∠C=∠D

=> AC//DB => PA ∶PB=PC ∶PD => PB •PC=PA •PD

说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。

例6 已知：如图6，⊙O 1与⊙O 2内切于点T ，经过

切点T 的直线与⊙O 1与⊙O 2分别相交于点A 和B 。

求证 TA ∶TB=O 1A ∶O 2B 。

分析：欲证TA ∶TB=O 1A ∶O 2B ，可考虑证这四条线段

所在的三角形相似，即证△TO 1A ∽△TO 2B ，于是只需连结O 2O 1，并延长，必过切点，则产生△TO 1A 和△TO 2B ，由∠1= ∠2=∠T ，则O 1A// O 2B ，易证线段比相等。

证明 连结并延长O 2O 1 ⊙O 1 和 ⊙O 2内切于点T O 1A=O 1T =>∠1= ∠T O 2T= O 2B =>∠2= ∠T

=>△TO 1A ∽△TO 2B => TA ∶TB=O 1A ∶O 2B

说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。 5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。 例7 如图7，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 点作⊙O 2的切线交⊙O 1于点C ， 直线CB 交⊙O 2于点D ，DA 延长线交⊙O 1 于点E ，连结CE 。求证 CA=CE 。

分析：欲证CA=CE ，考虑在三角形中证它们所对的角相等，即∠E=∠CAE ，

又由∠DAF=∠CAE ，想到弦切角∠DAF 与所夹弧对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB ，得∠E=∠DBA ，易证CA=CE 。

证明 连结AB 。

CA 切⊙O 2于A =>∠DAF=∠DBA

四边形ABCE 内接于⊙O 1 =>∠E=∠DBA

T B

A O

1 O 2

1

2

图 6

=> O 2O 1必过切点T

=> ∠1= ∠2 => O 1A// O 2B F

E

B

C

A

O 1 O 2

.

.

图 7

D