圆辅助线的常用做法

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圆添加辅助线的方法与技巧

圆添加辅助线的方法与技巧

圆添加辅助线的方法与技巧哎呀,今天咱们聊聊圆,圆这个家伙,看似简单,其实里面的门道可不少。

说到圆,大家脑海里是不是浮现出那优美的曲线,像个大饼、又像个球,真是惹人爱呢。

不过,要想把圆弄得更漂亮、更有意思,咱们就得动动脑筋,添加一些辅助线,嘿,这可不是随便画几条线那么简单哦。

咱们得理解什么叫辅助线。

这可不是随便画的线,而是要起到帮助我们理解、分析的作用。

比如,咱们在画一个圆的时候,加几条径向线,这样一来,圆的每个部分都能清晰可见,真是方便极了。

就像开车时要有导航,不然你可真是迷了路。

这样的辅助线还能够帮助我们分清圆的各个部分,比如直径、弧长之类的,哎呀,这可不是小事,做数学题可全靠这些呢。

然后说到如何添加辅助线,其实方法多着呢。

比如说,可以从圆心向外画几条线,这样就能把圆分成若干个扇形,像个美味的披萨,让人一看就想吃。

这样的做法可真是让人眼前一亮。

再比如,咱们可以画出直径,直径可是圆中最重要的线之一,能够告诉我们圆的大小。

这条线也方便我们后续的计算,比如圆的面积、周长,嘿,真是一箭双雕呀。

还有一种常见的辅助线是切线。

这可是一个非常有意思的概念,切线就像是在圆边上轻轻一碰,接触的那一瞬间,哇,简直太完美了。

想象一下,一辆车刚好驶过圆的边缘,不留痕迹,恰到好处,这样的画面是不是美得不要不要的呢。

通过添加切线,咱们能更好地理解圆的性质,像是给自己的知识加了一把钥匙,打开了新世界的大门。

哎,我忍不住想起了生活中的一些例子。

就像咱们做菜,添加调料的时候,如果只是一味的撒盐,味道可能就很单调。

可如果你把盐、酱油、花椒粉统统加上,哇塞,味道就丰富多了,口感层次分明,简直让人欲罢不能。

圆也是这个道理,辅助线就像是调料,添加进去,立马让原本简单的圆生动起来。

咱们还可以通过对称性来添加辅助线。

就像是把圆对折,能够形成对称的两个部分,这样不仅让圆看起来更有美感,也方便我们在解题时找到关键点。

生活中很多事物也是这样的,像情侣间的默契,总是能在关键时刻彼此呼应,简直让人羡慕。

有关圆的七种辅助线的作法

有关圆的七种辅助线的作法

有关圆的七种辅助线的作法作者:来源:《语数外学习》2015年第10期圆是初中几何的重要内容之一,与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线,就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.一、有关直径问题,常作直径上的圆周角例1 ; 如图1,在△ABC中,∠C=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB 于点M,交BC于点N.(1)求证:BA·BM=BC·BN;(2)如果CM是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC=3时,求AB的值.图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2(1)证明:如图2,连结MN,则∠BMN=90°=∠ACB,∴△ACB∽△NMB,∴ ;= ;,∴AB·BM=BC·BN;(2)解:如图2,联结OM,则∠OMC=90°,∵N为OC中点,∴MN=ON=OM,∴∠MON=60°,∵OM=OB,∴∠B= ;∠MON=30°,∵∠ACB=90°,∴AB=2AC=2×3=6.说明:若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用“直径所对的圆周角是直角”,从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.二、有关弦的问题,常作其弦心距例2 ; 如图3,AB是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于点P,弦PN与AB相交于点M,求证:PM·PN=2PO2.图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4证明:如图4,过O作OC⊥NP于点C,则PC= ;PN,∵OC⊥NP,PO⊥AB,∴∠POM=∠PCO= 90°,又∵∠OPM=∠CPO,∴△OPM∽△CPO,∴ ;= ;,∴PO2=PM·PC=PM·( ;PN),即PM·PN= 2PO2.说明:求解圆中与弦有关的问题,常需作弦心距,其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形,并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.三、对于直线与圆相切的问题,常连结过切点的半径例3 ; 如图5,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦ED分别交⊙O于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于P.(1)若PC=PF,求证:AB⊥ED.(2)点D在劣弧的什么位置时,才能使AD2=DE·DF,为什么?图 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图6证明:(1)如图6,连接OC.∵PC=PF,∴∠4=∠5,∵∠4=∠3,∴∠3=∠5.∵OA=OC,∴∠1=∠2,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∴∠1+∠5=90°,∠2+∠3=90°.∴∠AHF=90°,即AB⊥DE.(2)当D在劣弧AC的中点时,才能使AD2=DE·DF.如图6,连接AE,∵ ;= ;,∵∠ADF=∠ADE,∴△ADF∽△EDA,∴ ;= ;.即AD2=DE·DF.说明:命题的条件中含有圆的切线,解题时往往连结过切点的半径,利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.四、对于相切两圆,常添公切线作辅助线例4 ; 如图7,已知⊙O1、⊙O2外切于点P,A是⊙O1上一点,直线AC切⊙O2于点C,交⊙O1一点B,直线AP交⊙O2于点D .(1)求证:PC平分∠BPD;(2)将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”,其它条件不变,①中的结论是否仍然成立?画出图形并证明你的结论.图7证明:(1)如图8,过P点作两圆公切线PQ,∵∠QPC=∠PCQ,∠QPB=∠A,∠CPD=∠A+∠QCP,∴∠CPD=∠CPB,即PC平分∠BPD.图8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图9(2)上述结论仍然成立.如图9,过点P作两圆公切线PM,则∠MPB=∠A,∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA,说明:在解答有关两圆相切的问题时,作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁,可使两圆的圆周角产生联系,运用弦切角定理.五、两圆相交,常连结公共弦或连心线例5 ;已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E,连结EB并延长交⊙O1于点C,直线CA交⊙O2于点D.(1)如图10,当点D与点A不重合时,试猜想线段EA=ED是否成立,证明你的结论.(2)当点D与点A重合时,直线AC与⊙O2有怎样的位置关系?此时若BC=2,CE=8,求⊙O1的直径.图10 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图11(1)EA=ED成立.证明:如图11,联结AB,在EA延长线上取点F,∵AE是⊙O1的切线,切点为A,∴∠FAC=∠ABC,∵∠FAC=∠DAE, ;∴∠ABC=∠DAE,而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D,∴∠DAE=∠D,∴EA=ED;(2)当点D与点A重合时,直线CA与⊙O2只有一个公共点,所以直线CA与⊙O2相切.解:如图12,由弦切角定理知:∠PAC=∠ABC,∠MAE=∠ABE,∴∠ABC=∠ABE=90°,∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图12∴由切割线定理知:AC2=CB·CE,而CB=2,CE=8 ;∴AC2=2×8=16,AC=4,故⊙O1直径为4.说明:在解两圆相交问题时,常作两圆的公共弦,构成圆内接四边形,再利用圆内接四边形定理,架设两圆之间的”桥梁”,从而寻找两圆之间的等量关系.六、圆中有相交弦,常作线段构造相似三角形例5 ;如图13,已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点,求证:AP·BP=CP·DP.图13 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图14证明:如图14,连结AC,BD,∵∠C和∠B都是⊙O中弧 ;所对的圆周角,∴∠C=∠B,同理可得∠A=∠D,∴△ACP∽△DBP,∴ ;= ;,即AP·BP=CP·DP.说明:在求解圆中与线段有关的等积式(或比例式)问题时,通常需要连结两条相交弦的两组端点,利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径,则连线后可以构成全等的等腰三角形.七、圆中有特殊角,常作直径构造直角三角形例6 ; 如图15,点A、B、C在⊙O上(AC不过O点),若∠ACB=60°,AB=6,求⊙O 半径的长.图15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图16解:如图16,作直径AD,连结BD.∵∠ACB与∠D都是 ;所对的圆周角,∴∠D=∠ACB=60°,又∵AD是直径,∴∠ABD=90°,∴∠DAB=30°,∴BD= ;AD,设BD=x,则AD=2x,∴AB= ;= ;= ;x,∴x= ;= ;=2 ;,∴r= ;AD=x=2 ;.说明:当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时,通常需要作直径构造直角三角形,以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.《轴对称》拓展精练参考答案1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;8.309087;9.15°;10.480m2或768 m211. 解:(1)图略,∠ABC=90°时,PR=7.证明如下:连接PB、RB,∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点,∴PB=OB=3 ;,RB=OB=3 ;,∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°,∴点P、B、R三点共线,∴PR=2×3 ;=7;(2)PR的长度是小于7,理由如下:∠A BC≠90°,则点P、B、R三点不在同一直线上,∴PB+BR>PR,∵PB+BR=2OB=2×3 ;=7,∴PR图形的平移与旋转强化练习参考答案1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;;6.5;7. ;+1;8. (1)△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;(2)a=5或a=6.9.(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴CO=CD,∠OCD=60°,∴△COD是等边三角形.(2)解:当α=150°时,△AOD是直角三角形.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴△BOC≌△ADC,∴∠ADC=∠BOC=150°,又∵△COD是等边三角形,∴∠ODC=60°,∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°,∵∠α=150°,∠AOB=110°,∠COD=60°,∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°,∴△AOD不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形.(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,∴190°-α=α-60°,∴α=125°;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°,∴α-60°=50°,∴α=110°;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α,∠AOD= ;=120°- ;,∴190°-α=120°- ;,解得α=140°.综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.。

圆中常用的作辅助线的八种方法

圆中常用的作辅助线的八种方法

证明:1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD=∠EAD=90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC=∠ACE ∴B︵C=A︵E ∴BC=AE 在Rt△AED中;AD2+AE2=DE2; ∴AD2+BC2=4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x+5=0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证:PB是⊙O的切线; 证明:1 如图;连接OB;∵OA=OB;
∴∠OAB=∠OBA ∵PA=PB; ∴∠PAB=∠PBA ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA
即∠PAO=∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO=90° ∴∠PBO=90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解:2∵OE⊥DB;∴EB=
D1 B=3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD=30°;
∴OE=
1 2
OB
∵EB=3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB=6 cm
又∵∠CDB=∠DBO;DE=BE;
∠CED=∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB=∠OBD=30°;DB=6 3cm
1求证:AC是⊙O的切线;
证明:1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O=2∠CDB=60° 又∵∠OBE=30°; ∴∠BEO=180°60°30°=90° ∵AC∥BD;∴∠ACO=∠BEO=90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线

圆辅助线作法汇总(值得一看)

圆辅助线作法汇总(值得一看)

辅助线是指在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段,是初中学生学习中很重要的一部分,也是各种考试的热点,下面就让我们看下与圆有关的辅助线的做法。

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心,定长称为半径。

圆虽然是初中数学最熟悉的几何图形之一,但它有很多新的知识点,尤其有许多知识点都与前面的知识紧密联系着,解题时必须用到直线型中的定理、法则。

因此,解题时先要由条件对图形有比较好的认识,再联想相关知识,分析隐会条件,将做题过程化解为若干小问题,逐一解决。

下面就让我们看看圆中常见的辅助线的作法:1.遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

2.遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。

作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

3.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用:利用圆周角的性质,可得到直径。

4.遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用:①可得等腰三角形;②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5.遇到有切线时(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。

(2)常常添加连结圆上一点和切点作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。

6.遇到证明某一直线是圆的切线时(1)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。

作用:若OA=r,则l为切线。

(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径)作用:只需证OA⊥l,则l为切线。

(3)有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7.遇到两相交切线时(切线长)常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内切圆,内角平分线梦园;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;若是添上连心线,切点肯定在上面;二:圆中常见辅助线的添加:1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径;作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量;2、常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点;作用:①可得等腰三角形;②据圆周角的性质可得相等的圆周角;2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角;作用:利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点;作用:利用圆周角的性质,可得到直径;4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形;5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径;2若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心即作半径,再证其与直线垂直;6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段;作用:利用内心的性质,可得:1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用:外心到三角形各顶点的距离相等;例题1、如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A=45°,BC=2,求⊙O的面积; 例题2、如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在弧AMB上,则∠C的度数是________.例题3、如图,AB是⊙O的直径,AB=4,弦BC=2,∠B=例题4、如图,AB、AC是⊙O的的两条弦,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,⊙O的半径是例题5、如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB;求证:直线L与⊙O相切;例题6、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB 上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为______________例题7、如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=例题8、如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB 于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离.课后练习1、已知:P是⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证:PO平分∠BPD.2、如图,ΔABC中,∠C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15㎝,BO=10㎝,求圆O的半径.3、已知:□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点.求证:AD也和⊙O相切.4、如图,学校A附近有一公路MN,一拖拉机从P点出发向PN方向行驶,已知∠NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A周围100米以内受到噪音影响,问:当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时,则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线;圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一,与圆有关的问题,汇集了初中几何的各种图形概念和性质,其知识面广,综合性强,随着新课程的实施,园的考察主要以填空题,选择题的形式出现,不会有比较繁杂的证明题,取而代之的是简单的计算;圆中常见的辅助线有:1作半径,利用同圆或等圆的半径相等; 2涉及弦的问题时,常作垂直于弦的直径弦心距,利用垂径定理进行计算和推理; 3作半径和弦心距,构造直角三角形利用勾股定理进行计算; 4 作直径构造直径所对的圆周角; 5 构造同弧或等弧所对的圆周角; 6遇到三角形的外心时,常连接外心与三角形的各个顶点; 7 已知圆的切线时,常连接圆心和切点半径; 8 证明直线和园相切时,有两种情况:1已知直线与圆有公共点时,连接圆心与公共点,证此半径与已知直线垂直 ,简称“有点连线证垂直,”2已知直线与圆无公共点时,过圆心作已知直线的垂线段,证它与半径相等,简称“无点做线证相等”此外,两解问题是圆中经常出现的问题,涉及弧,弦,与圆有关的角,点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系等知识,着重考察思维的完备性和严谨性,应特别引起重视。

初中数学圆的辅助线八种作法

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线在平面几何中,与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目,添上合适的辅助线,问题就会迎刃而解,思路畅通,从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多,本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦,可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时,常常需要作出弦心距、半径等辅助线,以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P , 且AC=BD 。

求证:PO 平分∠APD 。

分析1:由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ,从而可证等弦AB=CD ,由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦,因此可作辅助线OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,易证△OPE ≌△OPF ,得出PO 平分∠APD 。

证法1:作OE ⊥AB 于E ,OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2:如图1-1,欲证PO 平分∠APD ,即证AB(BD , (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ,可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中,证三角形全等,于是不妨作辅助线即半径OA ,OD ,因此易证△ACP ≌△DBP ,得AP=DP ,从而易证△OPA ≌△OPD 。

证法2:连结OA ,OD 。

∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径,可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时,可作直径上的圆周角,以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

例谈圆中常见作辅助线的方法

例谈圆中常见作辅助线的方法

例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一,与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。

只要添上合适的辅助线,不仅会使问题迎刃而解,而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。

通过对实践教学中的归纳与总结,发现添加辅助线的方法有很多,本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下:一、作弦心距(在与弦有关的计算或证明题时,常作辅助线的方法是作弦心距)例1:如图1,ab为⊙o的直径,pq切⊙o于t,ac⊥pq于c,交⊙o于d,ad=2,tc=.求⊙o的半径。

解:过点o作om⊥ac于m,∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t,∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq,om⊥ac,∴∠otc=∠act=∠omc=90°,∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=,∴在rt△aom中,.即⊙o的半径为2.例2:如图2,已知在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证:ac=bd.证明:过点o作oe⊥ab于e,则ae=be,ce=de,∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce,bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径(与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时,常作辅助线的方法是连半径)例3:如图3,⊙o的直径cd=20cm,直线l⊥co,垂足为h,交⊙o于a、b两点,ab=16 cm,直线l平移多少厘米时能于⊙o相切?解:连接oa,∵l⊥co,∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中,oh=6cm.∴ch=4cm,dh=16 cm.答:直线l向左平移4cm,或向右平移16cm时能于⊙o相切。

例4:如图4,pa是⊙o的切线,切点是a,过点a作ah⊥op于点h,交⊙o于点b.求证:pb是⊙o的切线.证明:连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线,∴∠oap=90°.∵oa=ob,ab⊥op,∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob,op=op,∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径(与半径和弦都有关的计算时,常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径,利用勾股定理来解决)例5:直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图5,若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米?解:连接oa,作oc⊥ab于c,则ac=bc=ab.在rt△oac中,oa=×52=26厘米,oc=26-16=10厘米,∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形(在圆中与弦或其他有关的计算或证明时,常作辅助线的方法是连弦,利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形,从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明)例6:已知,如图6,在半径为4的⊙o中,ab,cd是两条直径,m为ob的中点,cm的延长线交⊙o于点e,且em>mc.连结de,de=. (1)求证:am·mb=em·mc;(2)求em的长;(3)求sin∠eob的值.解:(1)连接ac,eb,则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb,∴△amc∽△emb.∴,即am·mb=em·mc.(2)∵dc为⊙o的直径,∴∠dec=90°,ec=∵oa=ob=4,m为ob的中点,∴am=6,bm=2.设em=x,则cm=7-x. 代入(1),得6×2=x(7-x).解得x1=3,x2=4.但em>mc,∴em=4. (3)由(2)知,oe=em=4,作ef⊥ob于f,则of=mf=ob=1. 在rt△eof中,∴sin∠eob=.例7:如图7所示,△abc是直角三角形,∠abc=90°,以ab为直径的⊙o交ac于点e,点d是bc边的中点,连结de.(1)求证:de与⊙o相切;(2)若⊙o的半径为,de=3,求ae.(1)证明:连结oe,be,∵ab是直径,∴be⊥ac.∵d是bc的中点,∴de=db,∴∠dbe=∠deb.又oe=ob,∴∠obe=∠oeb,∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°,∴∠oed=90°,∴de是⊙o的切线.(2)解:∵,∴,∴.五、作直径构造直角三角形(在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时,常作辅助线的方法是作直径,利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形,从而将问题转化到直角三角形中去解决)例8:如图8,点a、b、c在⊙o上(ac不过o点),若∠acb=60°,ab=6,求⊙o半径的长。

圆中常见的辅助线

圆中常见的辅助线

圆中常见辅助线的做法一.遇到弦时(解决有关弦的问题时)1.常常添加弦心距,或作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径.作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

例:如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。

求证:AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心,OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习:如图,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上的一点,AB = 10cm,PA = 4cm 。

求⊙O 的半径。

2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例:如图,已知AB 是⊙O 的直径,M 、N 分别是AO 、BO 的中点,CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证: AC BD = 证明:(一)连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB ∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =(二)连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD =3.有弦中点时常连弦心距例:如图,已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ,求证:∠AMN = ∠CNM证明:连结OM 、ON∵O 为圆心,M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o-∠OMN ∠CNM = 90o -∠ONM∴∠AMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算;弦心距来中间站..圆上若有一切线;切点圆心半径连..要想证明是切线;半径垂线仔细辨..是直径;成半圆;想成直角径连弦..弧有中点圆心连;垂径定理要记全..圆周角边两条弦;直径和弦端点连..要想作个外接圆;各边作出中垂线..还要作个内切圆;内角平分线梦园..如果遇到相交圆;不要忘作公共弦..若是添上连心线;切点肯定在上面..二:圆中常见辅助线的添加:1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距;或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径..作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形;根据勾股定理求有关量..2、常常连结圆心和弦的两个端点;构成等腰三角形;还可连结圆周上一点和弦的两个端点..作用:①可得等腰三角形;②据圆周角的性质可得相等的圆周角..2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角..作用:利用圆周角的性质;得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点..作用:利用圆周角的性质;可得到直径..4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB;得到直角或直角三角形..5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定;则常过圆心作直线的垂线段;再证垂足到圆心的距离等于半径..2若直线过圆上的某一点;则连结这点和圆心即作半径;再证其与直线垂直..6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点;或过内心作三角形各边的垂线段..作用:利用内心的性质;可得:1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时;连结外心和各顶点作用:外心到三角形各顶点的距离相等..例题1、如图;已知△ABC内接于⊙O;∠A=45°;BC=2;求⊙O的面积..例题2、如图;弦AB的长等于⊙O的半径;点C在弧AMB上;则∠C的度数是________.例题3、如图;AB是⊙O的直径;AB=4;弦BC=2;∠B=例题4、如图;AB、AC是⊙O的的两条弦;∠BAC=90°;AB=6;AC=8;⊙O的半径是例题5、如图所示;已知AB是⊙O的直径;AC⊥L于C;BD⊥L于D;且AC+BD=AB..求证:直线L与⊙O相切..例题6、如图;P是⊙O外一点;PA、PB分别和⊙O切于A、B;C是弧AB上任意一点;过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E;若△PDE的周长为12;则PA长为______________例题7、如图;△ABC中;∠A=45°;I是内心;则∠BIC=例题8、如图;Rt△ABC中;AC=8;BC=6;∠C=90°;⊙I分别切AC;BC;AB于D;E;F;求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离.课后练习1、已知:P是⊙O外一点;PB;PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证:PO平分∠BPD.2、如图;ΔABC中;∠C=90°;圆O分别与AC、BC相切于M、N;点O在AB 上;如果AO=15㎝;BO=10㎝;求圆O的半径.3、已知:□ABCD的对角线AC、BD交于O点;BC切⊙O于E点.求证:AD 也和⊙O相切.4、如图;学校A附近有一公路MN;一拖拉机从P点出发向PN方向行驶;已知∠NPA=30°;AP=160米;假使拖拉机行使时;A周围100米以内受到噪音影响;问:当拖拉机向PN方向行驶时;学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时;则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线..圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一;与圆有关的问题;汇集了初中几何的各种图形概念和性质;其知识面广;综合性强;随着新课程的实施;园的考察主要以填空题;选择题的形式出现;不会有比较繁杂的证明题;取而代之的是简单的计算..圆中常见的辅助线有:1作半径;利用同圆或等圆的半径相等; 2涉及弦的问题时;常作垂直于弦的直径弦心距;利用垂径定理进行计算和推理; 3作半径和弦心距;构造直角三角形利用勾股定理进行计算; 4 作直径构造直径所对的圆周角; 5 构造同弧或等弧所对的圆周角; 6遇到三角形的外心时;常连接外心与三角形的各个顶点; 7 已知圆的切线时;常连接圆心和切点半径; 8 证明直线和园相切时;有两种情况:1已知直线与圆有公共点时;连接圆心与公共点;证此半径与已知直线垂直 ;简称“有点连线证垂直;”2已知直线与圆无公共点时;过圆心作已知直线的垂线段;证它与半径相等;简称“无点做线证相等”此外;两解问题是圆中经常出现的问题;涉及弧;弦;与圆有关的角;点与圆;直线与圆;圆与圆的位置关系等知识;着重考察思维的完备性和严谨性;应特别引起重视。

圆中常见的辅助线的作法分类大全

圆中常见的辅助线的作法分类大全

1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

或者连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用:1、利用垂径定理;2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形;5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例:如图,AB是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点,弦PN 与AB 相交于点M , 求证:PM •PN=2PO 2.分析:要证明PM •PN=2PO 2,即证明PM •PC =PO 2,过O 点作OC ⊥PN 于C ,根据垂经定理 NC=PC ,只需证明PM •PC=PO 2,要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ,∴PC=21PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ,∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ,∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ,∴PM •PN=2PO 2. 【例1】如图,已知△ABC 内接于⊙O ,∠A=45°,BC=2,求⊙O 的面积。

【例2】如图,⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一个动点,那么OP 的长的取值范围是_________.【例3】如图,弦AB 的长等于⊙O 的半径,点C 在弧AMB 上,则∠C 的度数是________.CBBA2. 遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。

作用:利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形。

例 如图,在△ABC 中,∠C=90°,以BC 上一点O 为圆心,以OB 为半径的圆交AB 于点M ,交BC 于点N .(1) 求证:BA ·BM=BC ·BN ;(2) 如果CM 是⊙O 的切线,N 为OC 的中点,当AC=3时,求AB 的值.分析:要证BA ·BM=BC ·BN ,需证△ACB ∽△NMB ,而∠C=90°,所以需要△NMB 中有个直角,而BN 是圆O 的直径,所以连结MN 可得∠BMN=90(1) 证明:连结MN ,则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB ∴BN AB BMBC∴AB ·BM=BC ·BN(2) 解:连结OM ,则∠OMC=90° ∵N 为OC 中点∴MN=ON=OM ,∴∠MON=60° ∵OM=OB ,∴∠B=21∠MON=30° ∵∠ACB=90°,∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,弦BC=2,∠B=3. 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

圆中常用辅助线的作法【八大题型】(学生版)

圆中常用辅助线的作法【八大题型】(学生版)

圆中常用辅助线的作法【八大题型】【题型1遇弦连半径构造三角形】 1【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 5【题型3遇直径作直径所对的圆周角】 8【题型4遇切线作过切点的半径】 11【题型5遇90°的圆周角连直径】 16【题型6转移线段】 19【题型7构造相似三角形】 23【题型8四点共圆】 30【题型1遇弦连半径构造三角形】1.(2024·陕西渭南·三模)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上,连接CD、BD,BD =BC,延长DB到点E,使得BE=BD,连接CE.(1)求证:∠A+∠E=90°;(2)若⊙O的半径为256,BC=5,求CE的长.2.(23-24九年级上·重庆大足·期末)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点P,若CD=8,OP =3,则⊙O的直径为()A.10B.8C.5D.33.(2024·贵州黔东南·二模)如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AC=BC,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,延长BE交⊙O于点D,连接AD,CD,CO,并延长CO交BD于点F.(1)写出图中一个与∠ACD相等的角∶;(2)求证∶CD=CF;(3)若BC=10,BE=6,求⊙O的半径.4.(2024·陕西咸阳·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC是⊙O的直径,⊙O与边AB交于点D,E为BD的中点,连接CE,与AB交于点F.(1)求证:AC=AF.(2)当F为AB的中点时,求证:FC=2EF.【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5.(23-24九年级上·云南昆明·期末)如图,半径为5的⊙O中,有两条互相垂直的弦AB、CD,垂足为点E,且AB=CD=8,则OE的长为()A.3B.3C.23D.326.(23-24九年级上·山东潍坊·期末)如图,⊙O的半径是4,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=6,∠APO=30°,则弦AB的长为()57.(23-24九年级下·上海·阶段练习)如图,⊙O1和⊙O2相交于A和B,过点A作O1O2的平行线交两圆于C、D,已知O1O2=20cm,则CD=cm.8.(23-24九年级上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0,如果a、b、c满足a2 +b2=c2且c≠0,那么我们把这样的方程称为“勾系方程”,请解决下列问题:(1)求证:关于x的“勾系方程”2ax2+2cx+2b=0必有实数根.(2)如图,已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦,AB=2a,CD=2b,且关于x的方程2ax2+ 10x+2b=0是“勾系方程”.①求∠BDC的度数,②直接写出BD的长:(用含a、b的式子表示).【题型3遇直径作直径所对的圆周角】9.(2024·安徽合肥·一模)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD于点M,连接OD.(1)若∠ODB=54°,求∠BAC的度数;(2)AC,DB的延长线相交于点F,CE是⊙O的切线,交BF于点E,若CE⊥DF,求证:AC=CD.10.(2024九年级上·湖北武汉·期中)如图,AB为⊙O的直径,点C为BE的中点,CD⊥AE交直线AE于D点.(1)求证:OC∥AD;(2)若DE=1,CD=2,求⊙O的直径.11.(2024·浙江温州·三模)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=3,点E是AC边上的动点,以CE为直径作⊙F,连接BE交⊙F于点D,则AD的最小值为.12.(23-24九年级上·福建莆田·期中)如图,AB是半圆O的直径,AB=10,点D在半圆O上,AD=6,C是弧BD上的一个动点,连接AC,过D点作DH⊥AC于H,连接BH,在点C移动的过程中,BH的最小值是.【题型4遇切线作过切点的半径】13.(2024·贵州·模拟预测)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点P 为边BC 上一点,连接AP ,分别以点A ,P 为圆心,大于是12AP 的长为半径画弧,两弧交于点E ,F ,EF 交AB 于点D ,再以点D 为圆心,DA 长为半径作圆,交AB 于点M ,BC 恰好是⊙D 的切线.若∠B =30°,AC =3,则BM 的长为()A.233B.33C.34D.314.(2024·辽宁大连·一模)如图,△ABC 内接于⊙O ,AD 是⊙O 的直径与BC 交于点F ,∠CAD =45°,过B点的切线交AD 的延长线于点E .(1)若∠C =64°,求∠E 的度数;(2)⊙O 的半径是3,OF =1,求BE 的长.15.(2024·福建泉州·模拟预测)已知AB与⊙O相切于点B,直线AO与⊙O相交于C,D两点(AO>AC),E为BD的中点,连接OE并延长,交AB的延长线于点F.(1)如图①,若E为OF的中点,求∠A的大小;(2)如图②,连接BD与OF相交于点G,求证:∠D=∠F.16.(23-24九年级上·北京西城·期中)如图,AB为⊙O的直径,CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F.若BC=6,DE=4.(1)求证:∠FEB=∠ECF;(2)求⊙O的半径长.(3)求线段EF的长.【题型5遇90°的圆周角连直径】17.(2024·安徽合肥·一模)如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,∠BAD =90°,BC =CD ,过点C 作CE ,使得CD =CE ,交AD 的延长线于点E .(1)求证:AB =AE .(2)若AD =DE =2,求CD 的长.18.(2024·浙江嘉兴·模拟预测)如图,矩形ABCD 内接于⊙O ,AB =2,BC =23,则AB ⏜的长为()A.13πB.23πC.33πD.233π19.(23-24九年级下·四川成都·开学考试)《墨子·天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD 的边长为2.以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A B C D ,若A B :AB =2:1,则四边形A B C D 的外接圆半径为.20.(2024·江西景德镇·三模)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙P经过点O,与y轴交于点A0,6,与x轴交于点B8,0,则OP的长为.【题型6转移线段】21.(23-24九年级上·四川泸州·阶段练习)如图,⊙O的直径AB=8,弦CD=3,且弦CD在圆上滑动(CD的长度不变,点C、D与点A、B不重合),过点C作CP⊥AB于点P,若M是CD的中点,则PM的最大值是.22.(2024九年级上·浙江台州·期中)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是.23.(2024·江苏徐州·三模)【问题情境】如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B.小明认为线段P A是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段,他是这样考虑的:在⊙O上任意取一个不同于点A的点C,连接OC、CP,则有OP<OC+PC,即OP-OC<PC,由OA=OC得OP-OA< PC,即P A<PC,从而得出线段P A是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段.小红认为在图1中,线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段,你认为小红的说法正确吗?请说明理由.【直接运用】如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是;【构造运用】如图4,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN,连接A C,请求出A C长度的最小值.【深度运用】如图5,已知点C在以AB为直径,O为圆心的半圆上,AB=4,以BC为边作等边△BCD,则AD的最大值是.24.(23-24九年级上·河南开封·阶段练习)如图,以G(0,3)为圆心,半径为6的圆与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,点E在G的运动过程中,线段FG的长度的最小值为.【题型7构造相似三角形】25.(2024·贵州六盘水·二模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,DB平分∠ADC,CA=CD,DB与CA交于点E,延长AB,DC交于点F.(1)直接写出线段AB与线段BC的数量关系;(2)求证:△AFC≌△DEC;(3)设△ABD的面积为S1,△BCD的面积为S2,求S1S2的值.26.(2024·吉林长春·模拟预测)已知DE是⊙O的直径,DE=6.点A是圆外一点,点D和点E在同一条直线上.且AD=2.过点A另一条直线交⊙O于B、C.(1)如图1,当AC=5时,研究发现:连接CE、BD可以得到△ABD∽△AEC,继而可以求AB长.请写出完整的解答过程.(2)如图2,当B、C重合于一点时,AC=.(3)如图3,当OB平分∠AOC时,AC=.27.(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)如图,以AB为直径的⊙O与AH相切于点A,点C在AB左侧圆弧上,弦CD⊥AB交⊙O于点D,连接AC,AD,点A关于CD的对称点为E,直线CE交⊙O于点F,交AH于点G.(1)求证:∠CAG=∠AGC;(2)当点E在AB上,连接AF交CD于点P,若EFCE=25,求DPCP的值;(3)当点E在射线AB上,AB=2,四边形ACOF中有一组对边平行时,求AE的长.28.(2024九年级上·上海·专题练习)已知AB是⊙O的一条弦,点C在⊙O上,连接CO并延长,交弦AB于点D,且CD=CB.(1)如图1,如果BO平分∠ABC,求证:AB⏜=BC⏜;(2)如图2,如果AO⊥OB,求AD:DB的值;(3)延长线段AO交弦BC于点E,如果△EOB是等腰三角形,且⊙O的半径长等于2,求弦BC的长.【题型8四点共圆】29.(2024九年级上·北京海淀·阶段练习)如图1,在正方形ABCD中,点F在边BC上,过点F作EF⊥BC,且FE=FC(CE<CB),连接CE、AE,点G是AE的中点,连接FG.(1)用等式表示线段BF与FG的数量关系:;(2)将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转,使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上,点G仍是AE的中点,连接FG、DF.①在图2中,依据题意补全图形;②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明.30.(23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∠CPB=∠A,过点C作CP的垂线,与BP的延长线交于点Q,则CQ的最大值为()A.4B.5C.154D.16531.(2024·浙江嘉兴·中考真题)如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连结DE,点F,G分别是BC,DE的中点,连接AG,FG,当AG=FG时,线段DE长为()A.13B.522C.412D.432.(23-24九年级下·重庆·阶段练习)在△ABC中,AC=BC,点D在BC上方,连接CD,将CD绕点D顺时针旋转90°到ED.(1)如图1,∠ACB=90°,点D在AC右上方,连接AE,CE,若∠ACD=15°,AB=22,CD=26,求AE的长;(2)如图2,点D在AC的左侧上方,连接BE交CD于点M,F为BE上一点,若∠DEF=∠EDF+∠EBC,且M为BF的中点,过F作FH⊥DE于点H,求证:DM=12DE+FH;(3)如图3,∠ACB=90°,BC=2,CD=25,将△EDC沿着直线CD翻折至△E CD连接E B,连接。

圆的辅助线的常见添法

圆的辅助线的常见添法

圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线是画圆过程中常用的技巧,可以帮助我们更准确地画出所需的图形。

下面介绍几种常见的圆的辅助线添法。

一、正方形法
正方形法是最基本、最简单的圆的辅助线添法之一。

具体步骤如下:
1. 画一个正方形,边长等于所需圆的直径。

2. 将正方形对角线画出来,并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心,以垂线长度为半径画出所需圆。

二、三角形法
三角形法也是常用的一种圆的辅助线添法。

具体步骤如下:
1. 画一个等腰直角三角形,底边等于所需圆的直径。

2. 将底边中点与顶点相连,并做垂线。

3. 在垂足处作为圆心,以底边长度为半径画出所需圆。

三、六边形法
六边形法同样是一种常用的添法。

具体步骤如下:
1. 画一个正六边形,外接于所需圆上。

2. 连接相邻两个顶点,形成一个正三角形。

3. 在正三角形的垂心处作为圆心,以正六边形边长为半径画出所需圆。

四、四边形法
四边形法也是一种常用的添法。

具体步骤如下:
1. 画一个矩形,长宽分别等于所需圆的直径。

2. 将矩形对角线画出来,并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心,以矩形长或宽的一半为半径画出所需圆。

以上就是几种常见的圆的辅助线添法。

通过这些方法可以更加准确地
画出所需图形,并且在实际应用中也有很大的帮助。

圆中常用辅助线的作法【八大题型】(解析版)

圆中常用辅助线的作法【八大题型】(解析版)

圆中常用辅助线的作法【八大题型】【题型1遇弦连半径构造三角形】 1【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 5【题型3遇直径作直径所对的圆周角】 8【题型4遇切线作过切点的半径】 11【题型5遇90°的圆周角连直径】 16【题型6转移线段】 19【题型7构造相似三角形】 23【题型8四点共圆】 30【题型1遇弦连半径构造三角形】1.(2024·陕西渭南·三模)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上,连接CD、BD,BD =BC,延长DB到点E,使得BE=BD,连接CE.(1)求证:∠A+∠E=90°;(2)若⊙O的半径为256,BC=5,求CE的长.【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了圆综合,其中涉及到了等腰三角形的性质,三角形的中位线定理,勾股定理解三角形,圆周角定理及推论等知识点,熟练掌握这些知识点是解题的关键.(1)利于等边对等角的性质得到∠BCE=∠E,∠BCD=∠D,利用三角形的内角和得到∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°,即可得到∠E+∠D=90°,再由圆周角的性质等量代换即可;(2)连接OC,由垂径定理推出OB⊥CD,CF=DF,利用勾股定理建立式子运算出BF的长,再利用中位线定理即可推出CE的长.【详解】(1)证明:∵BD=BC,BE=BD,∴BC=BE,∴∠BCE=∠E,∠BCD=∠D,∵∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°,∴∠E +∠D =12×180°=90°,∵∠A =∠D ,∴∠A +∠E =90°;(2)解:连接OC ,则OC =OB =256,如图所示:∵BC =BD ,∴BC =BD ,∴OB ⊥CD ,CF =DF ,在Rt △OCF 中,CF 2=OC 2-OF 2=2562-256-BF 2,在Rt △BCF 中,CF 2=BC 2-BF 2=52-BF 2,∴256 2-256-BF 2=52-BF 2,解得BF =3,∵BD =BE ,DF =CF ,∴BF 为△DCE 的中位线,∴CE =2BF =6.2.(23-24九年级上·重庆大足·期末)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为点P ,若CD =8,OP =3,则⊙O 的直径为()A.10B.8C.5D.3【答案】A 【分析】连接OC ,由垂径定理可得CP =PD =4,然后再根据勾股定理可得OC ,进而问题可求解.【详解】解:连接OC ,如图所示:∵CD ⊥AB ,CD =8,∴CP =PD =4,∵OP =3,∴在Rt △CPO 中,OC =CP 2+OP 2=5,∴⊙O 的直径为10;故选A .【点睛】本题主要考查垂径定理,熟练掌握垂径定理是解题的关键.3.(2024·贵州黔东南·二模)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,且AC =BC ,过点B 作BE ⊥AC ,垂足为点E ,延长BE 交⊙O 于点D ,连接AD ,CD ,CO ,并延长CO 交BD 于点F .(1)写出图中一个与∠ACD相等的角∶;(2)求证∶CD=CF;(3)若BC=10,BE=6,求⊙O的半径.【答案】(1)∠ACD=∠ABD(答案不唯一)(2)见解析(3)⊙O的半径为5103【分析】本题考查圆周角定理,垂径定理及其推论,相似三角形的判定与性质;(1)根据圆周角可得∠ACD=∠ABD;(2)延长CF交AB于M,根据垂径定理的推论可得∠ACF=∠BCF,CM⊥AB,即可由BE⊥AC得到∠ACF=∠ABD,进而得到∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF,由三线合一即可得到CD=CF;(3)连OA,由勾股定理求得CE=8,进而依次得到AE=2,AB=210,AM=1AB=10,再求出CM,最2后在Rt△AOM中利用勾股定理求半径即可.【详解】(1)由圆周角可得:∠ACD=∠ABD,故答案为:∠ABD(答案不唯一);(2)延长CF交AB于M,∵AC=BC,延长CO交BD于点FAB∴∠ACF=∠BCF,CM⊥AB,AM=12∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠AMC=90°,∴∠ACF=∠ABD=90°-∠CAB,∴∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF,∵BE⊥AC,∴∠CED=∠CEF=90°,∴△CED≌△CEF,∴CD=CF;(3)连OA,∵BC=10,BE=6,∴CE=BC2-CE2=8,AC=BC=10∴AE=AC-CE=2,∴AB=AE2+BE2=210,AB=10∴AM=12∴CM=AC2-AM2=310,∴OM=CM-OA=310-OA222∴310-OA2+102=OA2解得OA=510 3,∴⊙O的半径为5103.4.(2024·陕西咸阳·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC是⊙O的直径,⊙O与边AB交于点D,E为BD的中点,连接CE,与AB交于点F.(1)求证:AC=AF.(2)当F为AB的中点时,求证:FC=2EF.【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)连接EO,交BD于点N,根据E为BD的中点,可得OE⊥BD,即有∠NEF+∠EFN=90°,再根据EO=OC,可得∠OEC=∠OCE,进而可得∠ACF=∠AFC,即可证明;(2)连接EB,在Rt△ABC中,有BF=AF=FC=12AB,即∠ABC=∠FCB,再由E为BD的中点,可得∠EBD=∠FCB,进而可得∠EBD=∠ABC,即可证明△EBF∽△CBA,问题随之得证.【详解】(1)连接EO,交BD于点N,如图,∵E为BD的中点,∴OE⊥BD,∴∠ENF=90°,∴∠NEF+∠EFN=90°,∴∠NEF+∠AFC=90°,∵EO=OC,∴∠OEC=∠OCE,∵∠ACB=90°,∴∠ACF+∠OCE=90°,∴∠ACF+∠OEC=90°,∵∠NEF+∠AFC=90°,∴∠ACF=∠AFC,∴AC=AF;(2)连接EB,如图,∵在Rt△ABC中,F为AB的中点,∴BF=AF=FC=12AB,∵E 为BD 的中点,∴DE =BE ,∴∠EBD =∠FCB ,∴∠EBD =∠ABC ,∵BC 是⊙O 的直径,∴∠BEC =90°,∴∠BEC =∠ACB ,又∵∠EBD =∠ABC ,∴△EBF ∽△CBA ,∴EF AC =BF AB ,即EF AC =BF AB=12,∴2EF =AC ,∵AF =FC ,且在(1)已证明AC =AF ,即FC =2EF .【点睛】本题主要考查了垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,等角对等边等知识,作出合理的辅助线,掌握垂径定理是解答本题的关键.【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5.(23-24九年级上·云南昆明·期末)如图,半径为5的⊙O 中,有两条互相垂直的弦AB 、CD ,垂足为点E ,且AB =CD =8,则OE 的长为()A.3B.3C.23D.32【答案】D 【分析】作OM ⊥AB 于M ,ON ⊥CB 于N ,连接OA ,OC ,根据垂径定理得出BM =AM =4,DN =CN =4,根据勾股定理求出OM 和ON 证明四边形OMEN 是正方形,即可解决问题.【详解】解:如图,作OM ⊥AB 于M ,ON ⊥CB 于N ,连接OA ,OC .∴AM =BM =4,CN =DN =4,∵OA =OC =5,∴OM =OA 2-AM 2=52-42=3,ON =OC 2-CN 2=52-42=3∴OM =ON ,∵AB ⊥CD ,∴∠OME =∠ONE =∠MEN =90°,∴四边形OMEN 是矩形,∵OM =ON ,∴四边形OMEN 是正方形,故选:D.【点睛】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定,关键在于作出辅助线,利用垂径定理得到证明.6.(23-24九年级上·山东潍坊·期末)如图,⊙O的半径是4,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=6,∠APO=30°,则弦AB的长为()A.27B.7C.5D.52【答案】A【分析】本题主要考查垂径定理,勾股定理,含30°的直角三角形,连接OA,则OA=4,过点O作OD⊥AB交AB于点D,则可计算出OD,利用勾股定理求出AD,进一步利用垂径定理即可求出弦AB的长.【详解】解:连接OA,则OA=4,过点O作OD⊥AB交AB于点D,∵若OP=6,∠APO=30°∴OD=OP÷2=6÷2=3,则AD=OA2-OD2=42-32=7=7∴AB=2AD=27.故选:A.7.(23-24九年级下·上海·阶段练习)如图,⊙O1和⊙O2相交于A和B,过点A作O1O2的平行线交两圆于C、D,已知O1O2=20cm,则CD=cm.【答案】40【分析】本题考查了矩形的性质和判定,垂径定理的应用,作O1E⊥CD于点E,O2F⊥CD于点F,利用垂径定理得到AE=CE,AF=DF,且易得四边形O1O2FE为矩形,进而得到EF=O1O2=20cm,再利用等量代换即可得到CD.E⊥CD于点E,O2F⊥CD于点F,【详解】解:作O∴O1E∥O2F,AE=CE,AF=DF,∵O1O2∥CD,易得四边形O1O2FE为矩形,∵O1O2=20cm,∴EF=O1O2=20cm,∴CD=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2EF=40cm,故答案为:40.8.(23-24九年级上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0,如果a、b、c满足a2 +b2=c2且c≠0,那么我们把这样的方程称为“勾系方程”,请解决下列问题:(1)求证:关于x的“勾系方程”2ax2+2cx+2b=0必有实数根.(2)如图,已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦,AB=2a,CD=2b,且关于x的方程2ax2+ 10x+2b=0是“勾系方程”.①求∠BDC的度数,②直接写出BD的长:(用含a、b的式子表示).【答案】(1)见解析(2)①∠BDC=45°;②2a+b【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式即可判断;(2)①由勾股定理,圆周角定理,垂径定理即可求解.②过点D作AB的垂线,垂足为G,则四边形DGEF是矩形,根据AB∥CD,得出∠GBD=∠BDC=45°,进而勾股定理,即可求解.【详解】(1)证明:∵关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0是“勾系方程”,∴a2+b2=c2且c≠0,a≠0,Δ=2c2-4⋅2a⋅2b=4c2-8ab=4a2+b2-8ab=4a2+b2-2ab=4a-b2,∵a-b2≥0,∴Δ≥0,∴方程必有实数根;(2)解:①∠BDC=45°,理由如下:作OE⊥AB于E,延长EO交CD于F,连接OB,OC,∵DC∥AB,∴EF⊥CD,∴AE=BE=a,CF=DF=b,∵BE2+OE2=OB2,∴a2+OE2=52,∵2ax2+10x+2b=0是“勾系方程”,∴a2+b2=52,∴OE=b=CF;∵OB=OC,∴Rt△BOE≌Rt△OCF HL;∴∠FOC=∠OBE,∵∠OBE+∠EOB=90°,∴∠FOC+∠EOB=90°,∴∠COB=90°,∠BOC=45°.∴∠BDC=12②如图所示,过点D作AB的垂线,垂足为G,则四边形DGEF是矩形,∴DG=EF=a+b,∵AB∥CD,则∠GBD=∠BDC=45°∴DB=2DG=2a+b故答案为:2a+b.【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念,一元二次方程根的判别式,勾股定理,圆周角定理,垂径定理,三角形全等,解题的关键是明白“勾系方程”的定义.【题型3遇直径作直径所对的圆周角】9.(2024·安徽合肥·一模)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD于点M,连接OD.(1)若∠ODB=54°,求∠BAC的度数;(2)AC,DB的延长线相交于点F,CE是⊙O的切线,交BF于点E,若CE⊥DF,求证:AC=CD.【答案】(1)36°(2)见详解【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD=54°,求得∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°,根据垂径定理得到BC=BD,于是得到结论;(2)连接OC,BC,根据切线的性质得到OC⊥CE,根据平行线的性质得到∠ACO=∠F,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO,求得AB=BF,根据等腰三角形的性质得到AC=CF,等量代换得到结论.本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,圆周角定理,正确地作出辅助线是解题的关键.【详解】(1)解:∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD=54°,∴∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°,∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,∴BC=BD,∠BOD=36°,∴∠BAC=12故∠BAC的度数为36°;(2)证明:连接OC,BC,∵CE是⊙O的切线,∵CE⊥DF,∴OC∥DF,∴∠ACO=∠F,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠A=∠F,∴AB=BF,∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AF,∴AC=CF,∵∠A=∠CDB,∴∠CDB=∠F,∴CD=CF,∴AC=CD.10.(2024九年级上·湖北武汉·期中)如图,AB为⊙O的直径,点C为BE的中点,CD⊥AE交直线AE于D点.(1)求证:OC∥AD;(2)若DE=1,CD=2,求⊙O的直径.【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)证明OC⊥EB,AD⊥BE即可得出结论;(2)设BE交OC于点T,证明四边形DETC是矩形,设OB=OC=r,利用勾股定理即可求解.【详解】(1)证明:连接BE,如图,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,即AD⊥BE,∵点C为BE的中点,∴EC=CB,∴OC⊥EB,∴OC∥AD;(2)解:设BE交OC于点T,如图,∵CD⊥AD,∴∠D=∠DET=∠CTE=90°,∴四边形DETC是矩形,∴CD=ET=2,DE=CT=1,∴BT =TE =2,设OB =OC =r ,则r 2=r -1 2+22,∴r =52,∴AB =2r =5,即⊙O 的直径为5;【点睛】本题考查圆周角定理,垂径定理,矩形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题.11.(2024·浙江温州·三模)如图,已知△ABC 中,∠ACB =90°,AB =4,AC =3,点E 是AC 边上的动点,以CE 为直径作⊙F ,连接BE 交⊙F 于点D ,则AD 的最小值为.【答案】43-72【分析】连接DC ,由以CE 为直径作⊙F ,得∠CDE =90°,∠CDB =90°,即可得动点D 在以BC 为直径的圆上运动,当A ,D ,O 在一直线上时,根据AD ≥AO -OD ,即可求解.【详解】解:△ABC 中,∠ACB =90°,AB =4,AC =3,∴BC =AB 2-AC 2=42-32=7连接DC ,由以CE 为直径作⊙F ,BC =4,AC =5,∴∠CDE =90°,∠CDB =90°,∴动点D 在以BC 为直径的圆上运动,O 为圆心,当A ,D ,O 在一直线上时,AO =32+72 2=432∴AD ≥AO -OD =432-72=43-72即AD 的最小值为43-72故答案为:43-72.12.(23-24九年级上·福建莆田·期中)如图,AB 是半圆O 的直径,AB =10,点D 在半圆O 上,AD =6,C是弧BD 上的一个动点,连接AC ,过D 点作DH ⊥AC 于H ,连接BH ,在点C 移动的过程中,BH 的最小值是.【答案】73-3/-3+73【分析】连接BD,取AD的中点E,连接BE,由题意先判断出点H在以点E为圆心,AE为半径的圆上,当B、H、E三点共线时,BH取得最小值,然后利用勾股定理,求出BD的长,再利用勾股定理,求出BE的长,再利用直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,求出EH的长,再由BH=BE-EH,即可算出BH的长.【详解】解:如图,连接BD,取AD的中点E,连接BE,∵DH⊥AC,∴点H在以点E为圆心,AE为半径的圆上,当B、H、E三点共线时,BH取得最小值,∵AB是直径,∴∠BDA=90°,在Rt△BDA中,∵AB=10,AD=6,∴由勾股定理得:BD=AB2-AD2=100-36=8,∵E为AD的中点,AD=3,∴DE=12在Rt△BDE中,∵BD=8,DE=3,∴由勾股定理得:BE=DE2+BD2=9+64=73,又∵DH⊥AC,且点E为AD的中点,AD=3,∴EH=12∴BH=BE-EH=73-3.故答案为:73-3.【点睛】本题考查了勾股定理解三角形,直径所对的圆周角为直角,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键.【题型4遇切线作过切点的半径】13.(2024·贵州·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P为边BC上一点,连接AP,分别以点A,P为圆心,大于是1AP的长为半径画弧,两弧交于点E,F,EF交AB于点D,再以点D为圆心,DA长2为半径作圆,交AB于点M,BC恰好是⊙D的切线.若∠B=30°,AC=3,则BM的长为()A.233B.33C.34D.3【答案】A【分析】本题考查的是切线的性质、含30°角的直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.连接DP ,由线段垂直平分线的性质可得AD =DP ,再由直角三角形性质求得AB =23,根据切线的性质得到∠DPB =90°,再证明△BPD ∽△BCE ,再列出方程求解即可.【详解】解:连接DP ,由题意可得,EF 是AP 的垂直平分线,∴AD =DP ,设AD =DP =r ,∵∠B =30°,AC =3,∴AB =23,∵BC 是⊙O 的切线,∴∠DPB =90°,∵∠ACB =90°,∴∠DPB =∠ACB =90°,∴DP ∥AC ,∴△BPD ∽△BCE ,∴BD AB =DP AC ,∴23-r 23=r 3,∴r =233,∴AD =233,∴AM =433,∴BM =AB -AM =23-433=233,故选:A 14.(2024·辽宁大连·一模)如图,△ABC 内接于⊙O ,AD 是⊙O 的直径与BC 交于点F ,∠CAD =45°,过B 点的切线交AD 的延长线于点E .(1)若∠C=64°,求∠E的度数;(2)⊙O的半径是3,OF=1,求BE的长.【答案】(1)38°(2)BE的长为4【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识.(1)连接OB,由切线的性质得到∠OBE=90°,由圆周角定理得到∠AOB=2∠C,又由∠C=64°得到∠AOB =128°,则∠BOE=180°-128°=52°,利用直角三角形性质即可得到答案;(2)连接OC,OB,由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD=2×45°=90°,再证明EF=BE,在Rt△OBE中,根据勾股定理得,OE2=OB2+BE2,设BE=EF=x,得到x+12=32+x2,解方程即可得到答案.【详解】(1)解:连接OB,∵BE是⊙O的切线∴OB⊥BE∴∠OBE=90°∵AB=AB∴∠AOB=2∠C∵∠C=64°∴∠AOB=128°∴∠BOE=180°-128°=52°∴∠E=90°-52°=38°(2)解:连接OC,OB,∵CD=CD∴∠COD=2∠CAD=2×45°=90°∴∠1+∠3=90°∵OC=OB∴∠1=∠2∵∠OBE=90°∴∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∵∠3=∠5∴∠4=∠5∴EF=BE在Rt△OBE中,∠OBE=90°,根据勾股定理得,OE2=OB2+BE2设BE=EF=x,由OB=3,OF=1得,x+12=32+x2∴BE 的长为4.15.(2024·福建泉州·模拟预测)已知AB 与⊙O 相切于点B ,直线AO 与⊙O 相交于C ,D 两点(AO >AC ),E 为BD 的中点,连接OE 并延长,交AB 的延长线于点F .(1)如图①,若E 为OF 的中点,求∠A 的大小;(2)如图②,连接BD 与OF 相交于点G ,求证:∠D =∠F .【答案】(1)30°(2)见解答【分析】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理和圆周角定理.(1)连接OB ,如图①,先根据切线的性质得到∠OBF =90°,再利用余弦的定义求出∠BOF =60°,接着根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOE =∠BOE =60°,所以∠AOB =60°,然后利用互余得到∠A 的度数;(2)连接OB ,如图②,根据垂径定理得到OE ⊥BD ,再利用等角的余角相等得到∠OBD =∠F ,加上∠OBD =∠D ,从而得到∠D =∠F .【详解】(1)解:连接OB ,如图①,∵AB 与⊙O 相切于点B ,∴OB ⊥AF ,∴∠OBF =90°,∵E 为OF 的中点,∴OE =EF ,∴OF =2OB ,在Rt △OBF 中,∵cos ∠BOF =OB OF =12,∴∠BOF =60°,∵点E 为BD 的中点,∴∠DOE =∠BOE =60°,∴∠AOB =60°,∴∠A =90°-60°=30°;(2)证明:连接OB ,如图②,∵点E 为BD 的中点,∴OE ⊥BD ,∴∠OGB =90°,∵∠OBD +∠BOF =90°,∠BOF +∠F =90°,∴∠OBD =∠F ,∵OB =OD ,∴∠OBD =∠D ,∴∠D =∠F .16.(23-24九年级上·北京西城·期中)如图,AB 为⊙O 的直径,CB ,CD 分别切⊙O 于点B ,D ,CD 交BA的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F.若BC=6,DE=4.(1)求证:∠FEB=∠ECF;(2)求⊙O的半径长.(3)求线段EF的长.【答案】(1)证明见解析(2)3(3)25【分析】(1)根据切线的性质及SAS证得△COD≌△COB,可证∠OCD=∠OCB,再利用角的等量代换即可求证结论;(2)设OD=x,则OB=x,OE=8-x,在Rt△BCE和Rt△OED中,分别利用勾股定理即可求解;(3)在Rt△OED和Rt△OCD中,利用勾股定理得OE=5,OC=35,再利用相似三角形的判定及性质即可求解;【详解】(1)证明:连接OD,∵CB,CD是⊙O的切线,∴CB=CD,∠ODC=∠OBC=90°,在△COD和△COB中,OD=OB∠CDO=∠CBO CD=CB,∴△COD≌△COB(SAS),∴∠OCD=∠OCB,∵EF⊥OG,∴∠OEF+∠EOF=90°,∵∠BOC+∠BCO=90°,∠EOF=∠BOC,∴∠FEB=∠OCB,∴∠FEB=∠ECF.(2)解:由(1)得:CD=CB=6,∵DE=4,∴CE=CD+DE=10,在Rt△BCE中,根据勾股定理得:∴BE=EC2-BC2=102-62=8,在Rt△OED中,设OD=x,则OB=x,OE=8-x,由勾股定理得:DE2+OD2=OE2,即:42+x2=8-x2,解得:x=3,∴OD=3,即⊙O的半径为3.(3)解:在Rt△OED和Rt△OCD中,根据勾股定理得:OE=OD2+DE2=32+42=5,OC=OD2+CD2=32+62=35,∵∠FEO=∠DCO,∠EFO=∠CDO=90°,∴△EOF∽△COD,∴EF CD =OEOC,即:EF6=535,∴EF=25.【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质:作出合适的辅助线是解本题的关键.【题型5遇90°的圆周角连直径】17.(2024·安徽合肥·一模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,BC=CD,过点C作CE,使得CD=CE,交AD的延长线于点E.(1)求证:AB=AE.(2)若AD=DE=2,求CD的长.【答案】(1)见解析(2)10【分析】(1)如图,连接AC,根据BC=CD推出∠BAC=∠EAC,再证明BC=CE,∠B=∠E,进而证明△ABC≌△AEC AAS,即可证明AB=AE.(2)先证明BD是⊙O的直径,得到∠BCD=90°.由(1)可得AB=4.在Rt△ABD中求出BD=25;在Rt△BCD中,CD=BC=22BD=10.【详解】(1)证明:如图,连接AC.∵BC=CD,∴BC=CD,∴∠BAC=∠EAC.∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,BC=CE.∵∠B+∠ADC=180°,∠CDE+∠ADC=180°,∴∠B=∠CDE,∴∠B=∠E.在△ABC 与△AEC 中,∠BAC =∠EAC ,∠B =∠E ,BC =CE ,∴△ABC ≌△AEC AAS ,∴AB =AE .(2)解:如图,连接BD .∵∠BAD =90°,∴BD 是⊙O 的直径,∴∠BCD =90°.由(1)可得AB =AE .∵AD =DE =2,∴AB =4.在Rt △ABD 中,BD =AB 2+AD 2=25;在Rt △BCD 中,CD =BC =22BD =10.【点睛】本题主要考查了弧,弦,圆周角之间的关系,圆内接四边形的性质,等边对等角,勾股定理,90度圆周角所对的弦是直径,直径所对的圆周角是直角,全等三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键.18.(2024·浙江嘉兴·模拟预测)如图,矩形ABCD 内接于⊙O ,AB =2,BC =23,则AB ⏜的长为()A.13πB.23πC.33πD.233π【答案】B【分析】本题考查了圆的基础知识,如图,连接AC ,BD ,根据内接矩形的性质可得AB ,CD 是直径,根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高,可得OA =OB =2,可得△AOB 是等边三角形,再根据弧长的计算方法即可求解,掌握矩形的性质,圆的基础值,弧长计算公式是解题的关键.【详解】解:如图所示,连接AC ,BD ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =∠ABC =90°,∴AC ,BD 是直径,点O 是线段AC 的中点,∴在Rt △ABC 中,AC =AB 2+BC 2=22+23 2=4,∴OB =12AC =2=OA ,∴OA =OB =AB =2,∴△AOB 是等边三角形,∴∠AOB =60°,∴l AB ⏜=n πr 180=60π×2180=23π故选:B.19.(23-24九年级下·四川成都·开学考试)《墨子·天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD的边长为2.以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A B C D ,若A B :AB=2:1,则四边形A B C D 的外接圆半径为.【答案】22【分析】本题考查位似图形的性质,根据正方形ABCD的边长为2和位似比求出A B =4,进而即可求解.解题关键求出正方形的边长.【详解】解:如图,连接A C ,∵正方形ABCD与四边形A B C D 是位似图形,∴四边形A B C D 是正方形,∴∠A B C =90°∴A C 是四边形A B C D 的外接圆直径,∵正方形ABCD的边长为2,A B :AB=2:1∴A B =4∴AC =42+42=42∴四边形A B C D 的外接圆半径为22,故答案为:22.20.(2024·江西景德镇·三模)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙P经过点O,与y轴交于点A0,6,与x轴交于点B8,0,则OP的长为.【答案】5【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径,勾股定理,连接AB,通过题意判断出AB为直径,圆心P在AB上,根据勾股定理计算出AB的长,从而得出结果.【详解】解:如图,连接AB,∵∠AOB为直角,且点A,B,O都在圆上,∴AB为直径,圆心P在AB上,∵A 0,6 ,B 8,0 ,∴OA =6,OB =8,∴AB =OA 2+OB 2=10,∴OP =12AB =5,故答案为:5.【题型6转移线段】21.(23-24九年级上·四川泸州·阶段练习)如图,⊙O 的直径AB =8,弦CD =3,且弦CD 在圆上滑动(CD 的长度不变,点C 、D 与点A 、B 不重合),过点C 作CP ⊥AB 于点P ,若M 是CD 的中点,则PM 的最大值是.【答案】4【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理,延长CP 交⊙O 于点K ,连接DK ,根据垂径定理可得CP =PK ,再根据三角形中位线定理可得PM =12KD ,进而可得当KD 最大时,PM 的值最大,即即当KD 为直径时,KD 的值最大,即可求解.【详解】解:延长CP 交⊙O 于点K ,连接DK ,∵AB ⊥CK ,∴CP =PK ,∵M 是CD 的中点,∴PM 是△CKD 的中位线,∴PM =12KD ,∴当KD 最大时,PM 的值最大,即当KD 为直径时,KD 的值最大,∵⊙O 的直径AB =8,∴PM =12KD =12AB =4,故答案为:4.22.(2024九年级上·浙江台州·期中)如图,在△ABC 中,AB =5,AC =4,BC =3,经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ,则线段PQ 长度的最小值是.【答案】125/2.4/225【分析】设圆心为点F ,圆F 与AB 的切点为D ,连接FD 、CF 、CD ,则有FD ⊥AB ,由勾股定理的逆定理可得△∠ACB =90°,再由直角三角形的性质可得FC +FD =QP ,又由FC +FD ≥CD ,PQ 为圆F 的直径,可得点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时,PQ =CD 有最小值,即CD 为圆F 的直径,再利用△ABC 的面积即可求解.【详解】解:如图,设圆心为点F ,圆F 与AB 的切点为D ,连接FD 、CF 、CD ,∵圆F 与AB 相切,∴FD ⊥AB ,∵在△ABC 中,32+42=52,即BC 2+AC 2=AB 2,∴△∠ACB =90°,∴CF =12QP ,又∵CF =FD ,∴FC +FD =QP ,∵FC +FD ≥CD ,PQ 为圆F 的直径,∴当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时,PQ =CD 有最小值,即CD 为圆F 的直径,∵S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ,∴12×4×3=12×5×CD ,∴CD =125,故答案为:125.【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式,根据题意可知当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时,PQ =CD 有最小值是解题的关键.23.(2024·江苏徐州·三模)【问题情境】如图1,P 是⊙O 外的一点,直线PO 分别交⊙O 于点A 、B .小明认为线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段,他是这样考虑的:在⊙O 上任意取一个不同于点A 的点C ,连接OC 、CP ,则有OP <OC +PC ,即OP -OC <PC ,由OA =OC 得OP -OA <PC ,即P A <PC ,从而得出线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段.小红认为在图1中,线段PB 是点P 到⊙O 上各点的距离中最长的线段,你认为小红的说法正确吗?请说明理由.【直接运用】如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是;【构造运用】如图4,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN,连接A C,请求出A C长度的最小值.【深度运用】如图5,已知点C在以AB为直径,O为圆心的半圆上,AB=4,以BC为边作等边△BCD,则AD的最大值是.【答案】问题情境:正确,理由见解析;直接运用:5-1;构造运用:7-1;深度运用:23+2【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解;直接运用∶取半圆的圆心O,连接OA交半圆于点M,则当P与点M重合时,P A最小,由勾股定理得OA= 22+12=5,从而即得解;构造运用:由折叠知A M=AM,进而得点A ,A,D都在以AD为直径的圆上.如图3,以点M为圆心,MA 为半径画⊙M,连接MC.当A C长度取最小值时,点A 在MC上,过点M作MH⊥DC于点F,根据菱形的性质及勾股定理即可得解;深度运用:如图,在AB的上方作等边△ABH,连接DH,取BH的中点G连接DG,证明△ABC≌△HBD,得∠BDH=∠ACB=90°,点D在以BH为直径的半圆上,进而利用勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解.【详解】解:问题情境∶小红的说法正确,在圆О上任意取一个不同于点B的点C,连接OC、OP,∵在△POC 中,OP +OC >PC .OB =OC ,∴OP +OB >PC ,即PB >PC .∴线段PB 是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段.∴小红的说法正确;直接运用∶取半圆的圆心O ,连接OA 交半圆于点M ,则当P 与点M 重合时,P A 最小,∵∠ACB =90°,AC =BC =2,∴OC =1,OC 2+AC 2=OA 2,∴OA =22+12=5,∴P A 的最小值为OA -AM =5-1故答案为:5-1.构造运用:由折叠知A M =AM ,∵M 是AD 的中点,∴MA =MA =MD ,∴点A ,A ,D 都在以AD 为直径的圆上.如图3,以点M 为圆心,MA 为半径画⊙M ,连接MC .当A C 长度取最小值时,点A 在MC 上,过点M 作MH ⊥DC 于点F ,∵在边长为6的菱形ABCD 中,∠A =60°,M 为AD 中点,∴2MD =AD =CD =2,∠HDM =60°,∴∠HMD =30°,∴HD =12MD =12.∴HM =DM ×cos30°=32,HC =52,∴MC =HM 2+HC 2=7,∴A C =MC -MA =7-1;深度运用:如图,在AB 的上方作等边△ABH ,连接DH ,取BH 的中点G 连接DG ,∵AB 是半圆的直径,∴∠ACB =90°,∵△ABH 和△BCD 都是等边三角形,∴AB =BH =AH =4,BD =BC =DC ,∠ABH =∠CBD =60°即∠ABC +∠CBH =∠CBH +∠HBD ,∴∠ABC =∠HBD ,∴△ABC ≌△HBD ,∴∠BDH =∠ACB =90°,∴点D 在以BH 为直径的半圆上,∵G 是BH 的中点,AB =AH =BH =4,∴AG ⊥BH ,BG =DG =HG =2,∴AG =AB 2-BG 2=42-22=23,∴根据三角形的两边之和大于第三边可得AD 的最大值为AG +DG =23+2,故答案为:23+2.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定,勾股定理,等边三角形的性质,圆周角定理的推论以及三角形的三24.(23-24九年级上·河南开封·阶段练习)如图,以G(0,3)为圆心,半径为6的圆与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,点E在G的运动过程中,线段FG的长度的最小值为.【答案】33-3/-3+33【分析】本题主要考查垂径定理,圆周角定理,直角三角形30度角的判定和性质,熟练掌握性质定理,构造直角三角形是解题的关键.过点G作GM⊥AC于点F,连接AG.得到点F在MG的延长线上时,FG的长度的最小,最小值=FM-GM,即可得到答案.【详解】解:过点G作GM⊥AC于点F,连接AG,∵GO⊥AB,∴OA=OB,∵G(0,3),∴OG=3,在Rt△AGO中,AG=6,OG=3,∴OA=AG2-GO2=33,∴∠GAO=30°,AB=2AO=63,∴∠AGO=60°,∵GC=GA=6,∴∠GCA=∠GAC,∵∠AGO=∠GCA+∠GAC,∴∠AGO=∠GAC=30°,∴AC=2OA=63,MG=1CG=3,2∵∠AFC=90°,∴点F在以AC为直径的⊙M上,∴MF=AC=33,2点F在MG的延长线上时,FG的长度的最小,最小值=FM-GM=33-3,故答案为:33-3.【题型7构造相似三角形】25.(2024·贵州六盘水·二模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,DB平分∠ADC,CA=CD,DB与CA交于点E,延长AB,DC交于点F.(1)直接写出线段AB 与线段BC 的数量关系;(2)求证:△AFC ≌△DEC ;(3)设△ABD 的面积为S 1,△BCD 的面积为S 2,求S 1S 2的值.【答案】(1)AB =BC(2)见解析(3)2【分析】(1)根据等角,等弧,等弦,即可得出结论;(2)根据同弧所对的圆周角相等,利用ASA 证明△AFC ≌△DEC 即可;(3)过点C 作CH ⊥DE ,圆周角定理得到∠ACD =∠ABD =90°,勾股定理得到AD =CA 2+CD 2=2CD ,证明△ABD ∽△CHD ,得到AB CH =AD CD=2,根据同底三角形的面积比等于高线比,即可得出结果.【详解】(1)解:连接OB ,OC ,则:∠AOB =2∠ADB ,∠BOC =2∠CDB ,∵DB 平分∠ADC ,∴∠ADB =∠CDB ,∴∠AOB =∠BOC ,∴AB =BC ,∴AB =BC ;(2)∵AD 为直径,∴∠ACD =90°,∴∠ACF =90°=∠ACD ,又∵∠BAC =∠CDB ,CA =CD ,∴△AFC ≌△DEC ;(3)过点C 作CH ⊥DE ,则∠CHD =90°∵AD 为直径,∴∠ACD =∠ABD =90°,∵CA =CD ,∴AD =CA 2+CD 2=2CD ,∵∠ABD =∠CHD =90°,∠ADB =∠CDB ,∴△ABD ∽△CHD ,∴AB CH =AD CD =2,∴S 1S 2=12AB ⋅BD 12CH ⋅BD =AB CH =2.【点睛】本题考查圆周角定理,弧,弦,角之间的关系,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识点,熟练掌握相关知识点,并灵活运用,是解题的关键.线上.且AD =2.过点A 另一条直线交⊙O 于B 、C .(1)如图1,当AC =5时,研究发现:连接CE 、BD 可以得到△ABD ∽△AEC ,继而可以求AB 长.请写出完整的解答过程.(2)如图2,当B 、C 重合于一点时,AC =.(3)如图3,当OB 平分∠AOC 时,AC =.【答案】(1)AB =165;过程见解析(2)4(3)8105【分析】(1)连接BD 、CE ,证明△ABD ∽△AEC ,得出AD AC =AB AE,求出AB =165.(2)连接OC ,根据当B 、C 重合于一点时,AC 与⊙O 相切于点C ,得出∠ACO =90°,求出AC =AO 2-OC 2=52-32=4.(3)连接BD ,根据角平分线定义得出∠AOB =∠COB =12∠AOC ,证明DB =BC ,△ABD ∽△AOB ,得出AB AO =AD AB =BD OB ,即AB 5=2AB=BD 3,求出AB =10,BD =3105,即可求出结果.【详解】(1)解:连接BD 、CE ,如图所示:∵DE =6,AD =2,∴AE =AD +DE =2+6=8,∵∠ABD +∠CBD =180°,∠CBD +∠E =180°,∴∠ABD =∠E ,∵∠BAD =∠EAC ,∴△ABD ∽△AEC ,∴AD AC =AB AE ,∴25=AB 8,解得:AB =165.(2)解:连接OC ,如图所示:∵当B 、C 重合于一点时,AC 与⊙O 相切于点C ,∴∠ACO =90°,∵DE =6,∴OC =OD =OE =3,∴AO =AD +DO =2+3=5,∴AC =AO 2-OC 2=52-32=4.∵OB 平分∠AOC ,∴∠AOB =∠COB =12∠AOC ,∴DB =BC ,∵OC =OE ,∴∠OCE =∠OEC ,∵∠AOC =∠OCE +∠OEC ,∴∠OCE =∠OEC =12∠AOC ,∴∠DOB =∠OEC ,根据解析(1)可知:∠ABD =∠AEC ,∴∠ABD =∠AOB ,∵∠DAB =∠OAB ,∴△ABD ∽△AOB ,∴AB AO =AD AB =BD OB ,即AB 5=2AB=BD 3,解得:AB =10,BD =3105,∴AC =AB +BC =AB +BD =10+3105=8105.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆内接四边形的性质,等腰三角形的性质,切线的性质,解题的关键是作出辅助线,熟练掌握相关的判定和性质.27.(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)如图,以AB 为直径的⊙O 与AH 相切于点A ,点C 在AB 左侧圆弧上,弦CD ⊥AB 交⊙O 于点D ,连接AC ,AD ,点A 关于CD 的对称点为E ,直线CE 交⊙O 于点F ,交AH 于点G .(1)求证:∠CAG =∠AGC ;(2)当点E 在AB 上,连接AF 交CD 于点P ,若EF CE =25,求DP CP的值;(3)当点E 在射线AB 上,AB =2,四边形ACOF 中有一组对边平行时,求AE 的长.【答案】(1)见解析(2)57(3)2-2或3-52【分析】(1)设AB 与CD 相交于点M ,由⊙O 与AH 相切于点A ,得到∠BAG =90°,由CD ⊥AB ,得到∠AMC =90°,进而得到AG ∥CD ,由平行线的性质推导得,∠CAG =∠ACD ,∠AGC =∠FCD ,最后由点A关于CD 的对称点为E 得到∠FCD =∠ACD 即可证明.(2)过F 点作FK ⊥AB 于点K ,设AB 与CD 交于点N ,连接DF ,证明∠FAD =∠ADC 得到DP =AP ,再证明△CP A ≌△FPD 得到PF =PC ;最后根据△KEF ∽△NEC 及△APN ∽△AFK 得到KE EN =EF CE =25和P A AF =AN AK=512,最后根据平行线分线段成比例求解.(3)分两种情形:当OC ∥AF 时,当AC ∥OF 时,分别求解即可.【详解】(1)证明:如图,设AB 与CD 相交于点M ,∵⊙O 与AH 相切于点A ,∴∠BAG =90°,∵CD ⊥AB ,∴∠AMC =90°,∴AG ∥CD ,∴∠CAG =∠ACD ,∠AGC =∠FCD ,∵点A 关于CD 的对称点为E ,∴∠FCD =∠ACD ,∴∠CAG =∠AGC .(2)解:过F 点作FK ⊥AB 于点K ,设AB 与CD 交于点N ,连接DF ,如下图所示:由同弧所对的圆周角相等可知:∠FCD =∠FAD ,∵AB 为⊙O 的直径,且CD ⊥AB ,由垂径定理得:AC =AD ,∴∠ACD =∠ADC ,∵点A 关于CD 的对称点为E ,∴∠FCD =∠ACD ,∴∠FAD =∠FCD =∠ACD =∠ADC ,即∠FAD =∠ADC ,∴DP =AP ,由同弧所对的圆周角相等得:∠ACP =∠DFP ,且∠CP A =∠FPD ,∴△CP A ≌△FPD ,∴PC =PF ,∵FK ⊥AB ,AB 与CD 交于点N ,∴∠FKE =∠CNE =90°.∵∠KEF =∠NEC ,∠FKE =∠CNE =90°,∴△KEF ∽△NEC ,∴KE EN =EF CE=25,设KE =2x ,EN =5x ,∵点A 关于CD 的对称点为E ,∴AN =EN =5x ,AE =AN +NE =10x ,AK =AE +KE =12x ,又FK ∥PN ,∴△APN ∽△AFK ,∴P A AF =AN AK=5x 12x =512.∵∠FCD =∠CDA ,∴CF ∥AD ,∴DP =AP =AP =5;。

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浅谈圆的辅助线作法在平面几何中,与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目,添上合适的辅助线,问题就会迎刃而解,思路畅通,从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多,本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦,可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时,常常需要作出弦心距、半径等辅助线,以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ,且AC=BD 。

求证:PO 平分∠APD 。

分析1:由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ,从而可证等弦AB=CD ,由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦,因此可作辅助线OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,易证△OPE≌△OPF,得出PO 平分∠APD 。

证法1:作OE ⊥AB 于E ,OF ⊥CD 于FAC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE≌△OPF 0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2:如图1-1,欲证PO 平分∠APD ,即证 ∠OPA=∠OPD ,可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中,证三角形全等,于是不妨作辅助线即半径OA ,OD ,因此易证△ACP ≌△DBP ,得AP=DP ,从而易证△OP A ≌△OP D 。

证法2:连结OA ,OD 。

∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBPAB (BD ,(CD (D 图 1 AC (AC (BD (AB (CD(D 图1-1AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径,可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时,可作直径上的圆周角,以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ,过D 作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。

求证 DM ⊥AC 。

分析:由AB 是直径,很自然想到其所对的圆周角是直角。

于是可连结AD ,得∠ADB=Rt ∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2,再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B ,故易证∠AMD=∠ADB=90°,从而DM ⊥AC 。

证明 连结AD 。

AB 为⊙O 的直径 =>∠ADB=Rt ∠AB=ACDM 切⊙O 于D => ∠ADM=∠B=> ∠1+∠B=∠2+∠ADM =>∠AMD=∠ADB= Rt ∠ => DM ⊥AC 说明,由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。

3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦例3 如图3,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB ,DC 切⊙O 于C 点。

求∠A 的度数。

分析:由过切点的半径垂直于切线, 于是可作辅助线即半径OC ,得Rt △, 再由解直角三角形可得∠COB 的度数, 从而可求∠A 的度数。

图 2=>∠1=∠2D图 3解:连结OC 。

DC 切⊙O 于C =>∠OCD=90°OC=OB=BD=> ∠A=1/2∠COB=30°例4 如图4,已知△ABC 中,∠1=∠2, 圆O 过A 、D 两点,且与BC 切于D 点。

求证 EF//BC 。

分析:欲证EF//BC ,可找同位角或内错角是否相等,显然同位角相等不易证,于是可连结DE ,得一对内错角∠BDE 与∠DEF ,由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2,故易证EF//BC 。

证明 连结DE 。

BC 切⊙O 于D =>∠BDE= ∠1∠2= ∠DEF =>∠BDE= ∠DEF =>EF//BC ∠1= ∠2说明,由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。

4.当两圆相切,可作公切线或连心线 例5 已知:如图5,⊙O 1与⊙O 2外切 于点P ,过P 点作两条直线分别交⊙O 1与 ⊙O 2于点A 、B 、C 、D 。

求证 PB •PC=PA •PD 。

分析:欲证PB •PC=PA •PD ,即证PA ∶PB=PC ∶PD ,由此可作辅助线AC 、BD ,并证AC//DB ,要证平行,需证一对内错角相等,如∠C=∠D ,然后考虑到这两个角分别与弦切角有关,进而再作辅助线即两圆公切线MN ,从而问题迎刃而解。

证明 连结AC 、BD ,过P 点作两圆的内公切线MN=>∠APM=∠C ,∠BPN=∠D∠APM=∠BPNAC N BD M PO 1O 2 .. 图 5=> COS ∠COD=OC/OD=1/2 =>∠COB=60°=> ∠C=∠D=> AC//DB => PA ∶PB=PC ∶PD => PB •PC=PA •PD说明,由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。

例6 已知:如图6,⊙O 1与⊙O 2内切于点T ,经过切点T 的直线与⊙O 1与⊙O 2分别相交于点A 和B 。

求证 TA ∶TB=O 1A ∶O 2B 。

分析:欲证TA ∶TB=O 1A ∶O 2B ,可考虑证这四条线段所在的三角形相似,即证△TO 1A ∽△TO 2B ,于是只需连结O 2O 1,并延长,必过切点,则产生△TO 1A 和△TO 2B ,由∠1= ∠2=∠T ,则O 1A// O 2B ,易证线段比相等。

证明 连结并延长O 2O 1 ⊙O 1 和 ⊙O 2内切于点T O 1A=O 1T =>∠1= ∠T O 2T= O 2B =>∠2= ∠T=>△TO 1A ∽△TO 2B => TA ∶TB=O 1A ∶O 2B说明,由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。

5.当两圆相交,可作公共弦或连心线。

例7 如图7,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,过A 点作⊙O 2的切线交⊙O 1于点C , 直线CB 交⊙O 2于点D ,DA 延长线交⊙O 1 于点E ,连结CE 。

求证 CA=CE 。

分析:欲证CA=CE ,考虑在三角形中证它们所对的角相等,即∠E=∠CAE ,又由∠DAF=∠CAE ,想到弦切角∠DAF 与所夹弧对的圆周角相等,故需作辅助线:公共弦AB ,得∠E=∠DBA ,易证CA=CE 。

证明 连结AB 。

CA 切⊙O 2于A =>∠DAF=∠DBA四边形ABCE 内接于⊙O 1 =>∠E=∠DBAT BA O1 O 212图 6=> O 2O 1必过切点T=> ∠1= ∠2 => O 1A// O 2B FEBCAO 1 O 2..图 7D∠DAF=∠CAE=>∠E=∠CAE => CA=CE说明,由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。

例8 如图8,在梯形ABCD 中,以两腰 AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点, 过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。

求证: MN ⊥AB 。

分析:因为MN是公共弦,若作辅助线O 1O 2,必有MN ⊥O 1O 2,再由O 1O 2是梯形的中位线,得O 1O 2//AB ,从而易证MN ⊥AB 。

证明 连结O 1O 2交EF 于G => MN ⊥O 1O 2。

DO 1=O 1A ,CO 2=O 2B => O 1O 2是梯形ABCD 的中位线 => O 1O 2//AB =>∠EFA=∠EGO 1=Rt ∠ => MN ⊥AB说明,由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。

6.有半圆,可作整圆例9 如图9,BC 为⊙O 的直径,AD ⊥BC 于D , = , AD 交BF 于E 。

求证 AE=BE分析:欲证AE=BE ,可考虑在三角形中证这两边所对角相等。

即∠ABF=∠BAE ,再考虑证这两个圆周角所对的弧相等,故需补全⊙O ,可证 = ,故有 = 易证AE=BE.证明 补全⊙O ,延长AD 交⊙O 于H ,直径BC⊥AD => = => = =>∠ABF=∠BAH => AE=BE说明,由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。

7.相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心,遇到这类问题,常用的辅助线是连结过交点的半径例10 如图10,⊙O 1与⊙O 2相交于BA (AF (BA ( BH ((AF (BH (P A . FAB D O .HE C图 9 C DE M NG ABO 2O 1F图 8BA (BH (AF , (BH( BA= AF ,(A、B两点,且O2在⊙O1上,点P在⊙O1上,点Q在⊙O2上,若∠APB=40°,求∠AQB的度数。

分析连结O2A、O2B,在⊙O1中利用圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°,在⊙O2中,∠AQB=1/2∠AO2B=70°。

证明过程略。

说明,由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。

几何辅助线的添加,是几何学习的一个难点,正确添加辅助线,是沟通题设和结论的桥梁,也是解题的重要手段。

学生在做几何题时,明知需要引辅助线,但又不知如何引,而是乱加辅助线,反而使图形复杂,影响思路与问题的解决。

因此,恰当添加辅助线,使问题迎刃而解,从而调动学生积极性,激发学习兴趣,开发智力,掌握解题技能与技巧,提高解题效率,培养思维能力。

参考文献1.赵玉宽,《数理天地》中《圆内辅助线》2.林运来,《数理天地》中〈〈圆的辅助线〉〉3.伊红钟旭天陈士军〈〈初中数学教学案例专题研究〉〉。

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