第13章达朗贝尔原理
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达朗贝尔原理
例13-6某传动轴上安装有两个齿轮，质量分别为 m1、m2，偏心距分别为 e1
和 e2。 在图示瞬时， 1D1 平行于 z 轴， 2D2 平行于 x 轴， C C 该轴的转速是 n r/min。 求此时轴承 A、B 的附加动反力。
解：研究 AB 轴，其受力图如图示 Q1 m1e1 2 Q 2 m 2 e 2 2
解得
S B 45.5 N
例13-4图示矩形块质量m1 = 100 kg，b = 0.5 m，h = 1.0 m，置于平台车上。车质量m2 = 50 kg。此车沿光 滑水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m3的物体 牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足 够阻止相互滑动，求能够使车加速运动的质量m3的最 大值，以及此时车的加速度大小。
解：研究 ABC 杆，由机构可知，ABC 作平移运动，初瞬时＝0， 所以 a n 0, Q AB ma , QBC ma ，受力图如图示，由达朗贝尔原理：
X 0 Q AB Q BC mg sin mg sin 0 解得
a g sin
l l l m B (F ) 0 S A cos l Q AB sin mg Q BC cos 0 2 2 2 解得 S A 5.38 N Y 0 S A S B mg cos mg cos 0
M1、M2的惯性力的方向如图示，大小
在定滑轮上，质量为mi的轮缘质点的虚加切向
惯性力和法向惯性力方向如图示，大小分别为 n 2
qi mi r
qi mi r
根据质点系的达朗贝尔原理，由平衡方程得
X 0
n X O qix qix 0
例 13-1单摆摆长l，摆锤质量m，求单摆的运动规律 及绳的约束力。
第十三章 达朗贝尔原理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
O
η
θ
mg
dFI A y
η
3. 建立平衡方程：
ω
M
Oxi
l mg sin cosdFI 0 2 0
l
3g arccos 2 2 l
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
FI mi ai maC
主矩
mi ri ri i )
FIit
FIin
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
达朗伯原理
第十三章
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理（动静法）。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力 为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程，动静法体现不出优点，但是虚加惯性力和惯 性力偶后，动静法可以对任意点取矩（二矩式、三矩式） 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知：m , h , , l。 求：A、D处约束反力。 解： 取 AB 杆为研究对象
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理（动静法）。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力 为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程，动静法体现不出优点，但是虚加惯性力和惯 性力偶后，动静法可以对任意点取矩（二矩式、三矩式） 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知：m , h , , l。 求：A、D处约束反力。 解： 取 AB 杆为研究对象
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
达朗贝尔原理
α O
有质量对M称O面 F且i转e 轴垂直M此O面F的Ii 定轴0转动
的刚体, 其上达朗伯惯性力系向对称面与
C
定轴的交点O简化可得一力和一力偶.
FI
M IO
惯性力: FI M aC
惯性力偶: M IO JO
3. 刚体平面运动( 刚体有质量对称面且运动平面平行于此面).
刚体平面运动是随质心的平动和绕质心 的转动的合成. 其上的达
下面, 我们将对常见的几种运动的刚体上的达氏惯性力进行简化.
§14 – 3 刚体惯性力系的简化
1. 刚体的平动
FI C
刚体作平动, 其上所有点的加速度矢都相等. 因而惯性力系是一同向平行力系. 这个力系 与重力系类似, 其合力过质心C .
a a
C
i
F I
F Ii
mi ai
mi a C M a C
§13 – 1 惯性力 . 质点的达朗贝尔原理
1. 达朗贝尔惯性力:
FI
定义: F I ma
m
F
FN ma
▲: 达朗贝尔惯性力是在惯性参考系下定 义的惯性力, 惯性力中所含的加速度是绝 对加速度 , 在合成运动的分析中, 它是相 对, 牵连和科氏加速度的总和.
2. 质点的达朗贝尔原理:
由动力学基本方程
这个‘ 平衡力系’ 显然是一个空间的平衡力系. 根据空间力系的 平衡理论 , 就是: 系统中的所有质点的达朗贝尔惯性力和外力系的 矢量和为零( 主矢为零), 以及这些力对任意点的矩的矢量和为零( 主 矩为零). 用数学式表示, 即是:
e
F i F Ii 0
M
O
F
e
i
M O
F Ii
0
达朗贝尔原理
e i F F 把作用于i质点的所有力分为外力的合力 i ，内力的合力 i ，则
F F FIi 0 ( i 1,2,......,n )
e i i i
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在 形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分 必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
3 质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力 和假想加上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的 达朗贝尔原理。
iy iz (e) (e)
F F
FIix 0 ,
Iiy
0 , 0 ,
Iiz
M (F M (F
y z
M x ( Fi (e) )
i (e)
i
(e)
M (F ) 0 ) M (F ) 0 ) M (F ) 0
x Ii y Ii z Ii
动力学
达方向、作用物体；
• 2、质点的达朗贝尔原理；
• 3、质点系的达朗贝尔原理及其分量表述。
动力学
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 ·达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
本章介绍动力学的一个重要原理—— 达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动 力学问题从形式上转化为静力学问题，并
利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
达朗贝尔原理
F F FIi 0 ( i 1,2,......,n )
e i i i
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在 形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分 必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
3 质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力 和假想加上的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的 达朗贝尔原理。
iy iz (e) (e)
F F
FIix 0 ,
Iiy
0 , 0 ,
Iiz
M (F M (F
y z
M x ( Fi (e) )
i (e)
i
(e)
M (F ) 0 ) M (F ) 0 ) M (F ) 0
x Ii y Ii z Ii
动力学
达方向、作用物体；
• 2、质点的达朗贝尔原理；
• 3、质点系的达朗贝尔原理及其分量表述。
动力学
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 ·达朗贝尔原理
动力学
达朗贝尔原理
本章介绍动力学的一个重要原理—— 达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动 力学问题从形式上转化为静力学问题，并
利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
达朗贝尔原理
理论力学 第十三章 达朗贝尔原理
（1）选取研究对象； （原则与静力学相同）
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
第十三章达朗贝尔原理
解:1,运动分析与加速度分析 杆件AB跟随汽车作平移, 杆件AB跟随汽车作平移,因 跟随汽车作平移 此杆件上各点都具有与汽车行 驶加速度a 相同的加速度. 驶加速度a 相同的加速度. 2,受力分析 杆件重力W 杆件重力W; 在杆件AB各点上施加惯性力 在杆件AB各点上施加惯性力 约束力F 约束力FNA,FBx, FBy 3,应用动静法
■
达朗贝尔原理与惯性力 达朗贝尔原理与惯性力
例 题2
y 振动筛
y
O
平衡位置
y=a sin ω t 求:颗粒脱离台面的 最小振动频率
y FN m
y
FI
解:通过分析受力,分析运动并施加惯性 通过分析受力, 确定颗粒脱离台面的位置和条件. 力,确定颗粒脱离台面的位置和条件. y
a W O
平衡位置
y
O FN m a W
◇ 刚体惯性力系简化
☆刚体作平移 ☆刚体作定轴转动(转轴垂直于对称面) 转轴垂直于对称面) ☆刚体作平面运动(平行于对称平面) 平行于对称平面)
☆ 刚体作平移
刚体作平移时,每一瞬时刚体内各质点的加速度相 刚体作平移时, 同,都等于质心的加速度即 ai = aC m2 FI1 FIR FIn m1
对质系中的每个质点i ai 对质系中的每个质点 :
Fi + FNi + FIi = 0 式中FIi = mai i
a2
主动力系,约束力系,惯性力系组成形 主动力系,约束力系, 式上的平衡力系, 式上的平衡力系,则:
∑F + ∑F + ∑F =F
i Ni Ii i i i
R
= 0
∑M
i
O
(Fi ) + ∑MO (FNi ) + ∑MO (FIi )=MO= 0
第13章 达朗贝尔原理
绕水平轴 O 转动。突然剪断绳，求圆
盘的角加速度和轴承O处的反力。
FIO
n FIO
a a
n C
t C
B
r
解：1.取圆盘 2.受力分析如图 3. 定轴转动 atC , anC , . 虚加惯性力（转轴O ）
n IO n C
O
FOy
FOx
C
主矢 FIO = Mac FIO maC mr
2.转轴通过质心，但 0 。
M IO J O
3.刚体作匀速转动，且转轴通过质心。
FIR 0 , M IO 0
平面运动(向质心点简化)
将平面运动分解为跟随基点 C的平移和绕基点C的转动 主矢 大小： FIC = Mac 虚加点：刚体质心C上
大小： MIC = JC
C
几个工程实际问题
几 个 工 程 实 际 问 题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
几 个 工 程 实 际 问 题
惯性力
定义：由于物体具有惯性，抵抗其 FI
运动状态改变，而给予外界 的一种反作用力。
F m
a
大小： FI = ma FI ma 方向： FI与a的方向相反 作用点：在施力物体上 F v a 动静法(达朗伯原理) FI 1. 质点 F + FN＝ FR =m a m F FR N F + FN +(－ m a) ＝0 F + FN ＋ FI ＝0 －－质点的达朗贝尔原理
x F 主矢 FIC = Mac Ic macx y 主矩 MIC = Jc FIc macy 1 2 M Ic ml 方向如图 12
O
FT A l FICx θ FICy C mg l B MIC
13 达朗伯原理
Fi FNi FIi 0 MO (Fi ) MO (FNi ) MO (FIi ) 0
重量WA=WB=W的两个物块A和B，系在一无重软绳的两端，软绳绕过 半径为R的无重定滑轮，光滑斜面的倾角为q 。试求物块A下降的加速度及 轴承O的反力。
a g (1 sin q ) / 2
I N
FOx W (1 sin q ) cosq / g
FOy W (1 sin q )2 / 2
5
第二节 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
I IR 2 I2 2 2 I1 1 1 1
主矢 FI R FI i (mi ai ) ( mi ) ai maC 主矩 M I C M C ( FI i ) ri (mi ai ) ( mi ri ) ac mrc aC 0
Fy 0 FOy FI A WA FI B sin q WB FN B cosq 0
FOy Wa (1 sin q ) / g W (1 sin 2 q )
MO 0
I
WB R sin q WA R FI A R FI B R 0
W (sinq 1) R 2WRa / g 0
令
I F ma 称为质点 M 的惯性力.
F FN ma
F FN (ma) 0
质点的达朗伯原理：
I F FN F 0
质点在运动的每一瞬时，作用在质点上的主动力，约束反力与质点的惯性 力构成一形式上的平衡力系。
二、质点惯性力的概念
作用线通过质心C。
IR
第十三章 达朗伯原理
ε
aiτ ain mi Fiτ
ω
Fgi = Fgi + F
τ
n gi
Fin
R 主矢： gi
= ∑ Fgi = ∑ (− mi ai ) = −∑ mi ai = −maC
m z (Fgi ) = ∑ m z F n + ∑ m z F τ ∑
gi gi
Rgi = − MaC
主矩： M gz =
( )
FgA A mAg B mBg A
FgA = m A a
FgB = mB a
三、列方程求解： mBg
图示系统，滑 轮的半径为r， 质量略去不 计。两重物的 质量分别为 mA、mB。求重 物的加速度和 轴承处的约束 反力。
∑ M (F ) = 0
O i
FgB
m A g ⋅ r − mB g + FgA + FgB r = 0
(
)
即： m A g − mB g − (m A + mB )a = 0
∑F
y
=0
FO − m A g − mB g + FgA − FgB = 0
a= m A − mB g m A + mB
FO = 2 m A mB g m A + mB
解得：
§13—3 刚体惯性力系的简化
应用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，需要 对刚体内每个质点都加上它的惯性力，这就构成了 一个惯性力系。如果用静力学中力系简化的方法将 惯性力加以简化，对于解题就方便多了。 以下，分别对刚体做平动、绕定轴转动和平 面运动时的惯性力系进行简化。
一、刚体做平动。
a
C
aC
∵刚体平动 ∴ a i = aC
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
13达朗贝尔原理
§9-2达朗贝尔原理在刚体动力学中的应用
刚体惯性力系的简化
1.刚体作平动 1.刚体作平动
F
I R
I R
aC
F = ∑ FIi = ∑ (−mi ai ) = −aC ∑ mi
F = −maC
I R
2.刚体绕定轴转动 2.刚体绕定轴转动
（仅讨论刚体具有垂直于转轴的 质量对称面的情况） 质量对称面的情况） 取质量对称面与转轴的交点O点为简化中心 取质量对称面与转轴的交点 点为简化中心
Fi e + ∑ FIi = 0 ∑
∑M
O
( Fi ) + ∑ MO ( FIi ) = 0
e
例 如图所示,滑轮的半径为 ，质量m均匀分布在轮缘上，可绕 如图所示 滑轮的半径为r，质量 均匀分布在轮缘上， 滑轮的半径为 均匀分布在轮缘上 水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m 水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为 1和m2的重 绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动， 物,且 m1 > m2 。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，摩 且 擦不计。求重物的加速度。 擦不计。求重物的加速度。
a
FR
注意： 注意： 非处于平衡状态。 非处于平衡状态。
F + FN + FI = 0
是形式上的平衡方程， 是形式上的平衡方程，实际质点并
质点的惯性力是真实的力， 质点的惯性力是真实的力，但是它不是作用在该质点 而是作用在使该质点运动变化的其他物体上。 上，而是作用在使该质点运动变化的其他物体上。故不能 质点受到惯性力作用” 而应该说“ 说“质点受到惯性力作用” ，而应该说“在质点上假想的 加上惯性力” 加上惯性力” 。 在质点上假想的加上惯性力只是为了借用静力学的研 究方法来解决动力学物体。故达朗伯原理也称为动静法。 究方法来解决动力学物体。故达朗伯原理也称为动静法。
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M A 0 m2aRsin 30 m2gR cos30 0
a 3g
FAy
FAx
FIC
研究整体
得
FIA
m1a,
MIA
1 2
m1R
2
a R
MD 0 FR FIAR MIA FIC Rsin 30 m2gRcos30 0
Fx 0 F Fs m1 m2 a 0
解得
F
3 2
有
Fie FIi 0
M 0 Fi e M 0 FIi 0
也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外
力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.
例13-2
已知：如图所示,定滑轮的半径为r,质量为m均匀分布在轮缘
上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量
为m1和m2的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求：重物的加速度.
FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0
M Iy J yz J xz 2 0
必有 aC 0
J xz J yz 0
称满足 J xz J yz 0 的轴z为惯性主轴
通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴
因此,避免出现轴承动约束力的条件是: 刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴.
m1
m2
3g
Fs
3 2 m1g
F
Fs fs FN fs m1 m2 g
解得
fs
Fs FN
3m1
2m1 m2
A
mg
D m2 g
FN
FS
M IA
FIA
FIC
B
§ 13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
Fx 0 FAx FBx FRx FI x 0 Fy 0 FAy FB y FR y FI y 0
mgl1
Pl1
l2
l3
a
ml1
J R
上式中前两项为静约束力,附加约束力为
FA
l1
a
ml2
J R
FB
l1
a
l2
ml1
J R
例13-7
已知：均质圆盘 m1, R, 纯滚动. 均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
B
解:刚好离开地面时,地面约束力为零. 研究 AB 杆
转子质心Ｃ位于最低位置,转子以匀角速度 转动.
求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
解: FI m2e 2
Fx 0, Fx FI sin 0
Fy 0, Fy (m1 m2)g FI cos 0 M A 0, M m2gesin FI hsin 0
因 t,得
Fx m2e2 sint
研究》中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨 大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教 会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。
数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析、
三角级数理论、流体力学的主要开拓者。另外，达朗贝 尔在复数的性质、概率论、力学、天文学等方面都有所 研究，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。
M IC ＝ 0
的
简 化
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合
力。其方向与平移加速度的方向相反，大小等于
刚体质量与加速度的乘积。
2、定轴转动刚体惯性力系的简化
第
三 节
a
C
a
n C
C
刚
体 惯 性 力
F
n R
O
系
的 简
FR
FR
化
FR miai maC
m(aC aCn )
O
MIO
F R
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力， 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与 加速度方向反向。
2 刚体定轴转动
Ft Ii
miait
mi ri
Fn Ii
mi ain
mi ri 2
M Ix M x FIi M x FIti M x FIin
miri cosi zi (miri2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x m i x i z i 2 m i y i z i
记 J y z m i y i z i, J xz m i x i z i
为对于z 轴的惯性积.
M Ix J xz J yz 2 同理 M Iy J yz J xz 2
M IO M Iz J z
３ 刚体作平面运动 （平行于质量对称面）
向质心简化
M Ic JC
FIR maC
刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关
第
三 节
1、平移刚体惯性力系的简化
刚 体
以刚体质心为简化中心（各点相对质心静止）
惯
性 力 系
FIR ＝－ m a C
贝 尔
。
原 理
FI=－ma
§ 13-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0
令 FI ma
惯性力
有 F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系.
动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法
力,约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系.
记 Fi(e) 为作用于第i个质点上外力的合力.
F (i) i
为作用于第i个质点上内力的合力.
则有
Fie
Fi i
FIi 0
M0 Fie M0 Fii
M 0 FIi 0
因
Fii 0,
M0 Fii 0,
第
具有质量对称平面的刚体
三 作平面运动，并且运动平面
节 与质量对称平面互相平行。
刚 体
惯性力系简化为对称平面内
惯 性
的一个力和一个力偶。
力
系
的
简
化
MIC
C
例题1、质量为m、半径为R的均质圆板C，绕其
边缘一点O转动，设在图示瞬时的角速度为，角 加速度为，求此时圆板惯性力系分别向C点和O
点简化的结果。
MI=(3mR2)F/2I=mR
O
C
FIn=m2R MI=(mR2)/2
FI=mR
FIn=m2R
例题2 、 均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰 链支承，A端用细绳悬挂，如图所示，试求将细绳 突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。
第 三 节
刚
体 惯
O
性
A
力
系 的 简 化
ml/2
FOx
FOy
（ml2）/12
M O M O ( Fi )
miri ri J z
定轴转动刚体惯性力系的简化
第 三 节
刚
体 惯
O
性 力
系
的
简
化
MIO FR
MIC
C
O
FR
FR maC m(aC aCn )
当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴
转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和 一个力偶。
3、平面运动刚体惯性力系的简化
第 一
开普勒：任何物体都将给予企图改变它运动
节 状态的其它物体以阻力（惯性力）。
惯 性
当物体受到力的作用，其运动状态发生变化时
力 ，由于物体的惯性，对外界产生反作用，抵抗运动
质 的变化。这种抵抗力称为惯性力。
点
的 达
惯性力的大小等于质量乘加速度，方向与加速
朗 度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上
求：支座A，B受到的附加约束力.
M IO
解 : FI ma
FA
FB
MI0
J
J
a R
FI
MB 0 mgl2 FIl2 Pl3 MIO FA l1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得:
FA
l1
1 l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
FB
l1
1 l2
解:
FItO
m
l
2
FIOn
m
l 2
2
M IO
1 3
ml 2
例13-5
已知：如图所示,电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位于O
处.转子的质量为m2 ,质心位于Ｃ 处,偏心矩ＯＣ＝e ,
图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定
于水平基础上,轴O与水平基础间的距离为h.运动开始时,
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0 M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB
M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
Fy m1 m2 g m2e 2 cost
M m2gesin t m2e 2hsin t
例13-6
已知：如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上, 绞车与梁共重为P.绞盘半径为R,与电机转子固结在一 起,转动惯量为J ,质心位于O 处.绞车以加速度a提升质 量为m的重物,其它尺寸如图.
轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 的影响.
求:轮缘横截面的张力.
解:
FIi
miain
m
2R
Ri R 2
a 3g
FAy
FAx
FIC
研究整体
得
FIA
m1a,
MIA
1 2
m1R
2
a R
MD 0 FR FIAR MIA FIC Rsin 30 m2gRcos30 0
Fx 0 F Fs m1 m2 a 0
解得
F
3 2
有
Fie FIi 0
M 0 Fi e M 0 FIi 0
也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外
力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.
例13-2
已知：如图所示,定滑轮的半径为r,质量为m均匀分布在轮缘
上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量
为m1和m2的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求：重物的加速度.
FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0
M Iy J yz J xz 2 0
必有 aC 0
J xz J yz 0
称满足 J xz J yz 0 的轴z为惯性主轴
通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴
因此,避免出现轴承动约束力的条件是: 刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴.
m1
m2
3g
Fs
3 2 m1g
F
Fs fs FN fs m1 m2 g
解得
fs
Fs FN
3m1
2m1 m2
A
mg
D m2 g
FN
FS
M IA
FIA
FIC
B
§ 13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
Fx 0 FAx FBx FRx FI x 0 Fy 0 FAy FB y FR y FI y 0
mgl1
Pl1
l2
l3
a
ml1
J R
上式中前两项为静约束力,附加约束力为
FA
l1
a
ml2
J R
FB
l1
a
l2
ml1
J R
例13-7
已知：均质圆盘 m1, R, 纯滚动. 均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
B
解:刚好离开地面时,地面约束力为零. 研究 AB 杆
转子质心Ｃ位于最低位置,转子以匀角速度 转动.
求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
解: FI m2e 2
Fx 0, Fx FI sin 0
Fy 0, Fy (m1 m2)g FI cos 0 M A 0, M m2gesin FI hsin 0
因 t,得
Fx m2e2 sint
研究》中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨 大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教 会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。
数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析、
三角级数理论、流体力学的主要开拓者。另外，达朗贝 尔在复数的性质、概率论、力学、天文学等方面都有所 研究，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。
M IC ＝ 0
的
简 化
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合
力。其方向与平移加速度的方向相反，大小等于
刚体质量与加速度的乘积。
2、定轴转动刚体惯性力系的简化
第
三 节
a
C
a
n C
C
刚
体 惯 性 力
F
n R
O
系
的 简
FR
FR
化
FR miai maC
m(aC aCn )
O
MIO
F R
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力， 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与 加速度方向反向。
2 刚体定轴转动
Ft Ii
miait
mi ri
Fn Ii
mi ain
mi ri 2
M Ix M x FIi M x FIti M x FIin
miri cosi zi (miri2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
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yi ri
有 MI x m i x i z i 2 m i y i z i
记 J y z m i y i z i, J xz m i x i z i
为对于z 轴的惯性积.
M Ix J xz J yz 2 同理 M Iy J yz J xz 2
M IO M Iz J z
３ 刚体作平面运动 （平行于质量对称面）
向质心简化
M Ic JC
FIR maC
刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关
第
三 节
1、平移刚体惯性力系的简化
刚 体
以刚体质心为简化中心（各点相对质心静止）
惯
性 力 系
FIR ＝－ m a C
贝 尔
。
原 理
FI=－ma
§ 13-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0
令 FI ma
惯性力
有 F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系.
动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法
力,约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系.
记 Fi(e) 为作用于第i个质点上外力的合力.
F (i) i
为作用于第i个质点上内力的合力.
则有
Fie
Fi i
FIi 0
M0 Fie M0 Fii
M 0 FIi 0
因
Fii 0,
M0 Fii 0,
第
具有质量对称平面的刚体
三 作平面运动，并且运动平面
节 与质量对称平面互相平行。
刚 体
惯性力系简化为对称平面内
惯 性
的一个力和一个力偶。
力
系
的
简
化
MIC
C
例题1、质量为m、半径为R的均质圆板C，绕其
边缘一点O转动，设在图示瞬时的角速度为，角 加速度为，求此时圆板惯性力系分别向C点和O
点简化的结果。
MI=(3mR2)F/2I=mR
O
C
FIn=m2R MI=(mR2)/2
FI=mR
FIn=m2R
例题2 、 均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰 链支承，A端用细绳悬挂，如图所示，试求将细绳 突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。
第 三 节
刚
体 惯
O
性
A
力
系 的 简 化
ml/2
FOx
FOy
（ml2）/12
M O M O ( Fi )
miri ri J z
定轴转动刚体惯性力系的简化
第 三 节
刚
体 惯
O
性 力
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的
简
化
MIO FR
MIC
C
O
FR
FR maC m(aC aCn )
当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴
转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和 一个力偶。
3、平面运动刚体惯性力系的简化
第 一
开普勒：任何物体都将给予企图改变它运动
节 状态的其它物体以阻力（惯性力）。
惯 性
当物体受到力的作用，其运动状态发生变化时
力 ，由于物体的惯性，对外界产生反作用，抵抗运动
质 的变化。这种抵抗力称为惯性力。
点
的 达
惯性力的大小等于质量乘加速度，方向与加速
朗 度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上
求：支座A，B受到的附加约束力.
M IO
解 : FI ma
FA
FB
MI0
J
J
a R
FI
MB 0 mgl2 FIl2 Pl3 MIO FA l1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得:
FA
l1
1 l2
mgl2
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1 l2
解:
FItO
m
l
2
FIOn
m
l 2
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M IO
1 3
ml 2
例13-5
已知：如图所示,电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位于O
处.转子的质量为m2 ,质心位于Ｃ 处,偏心矩ＯＣ＝e ,
图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定
于水平基础上,轴O与水平基础间的距离为h.运动开始时,
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0 M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB
M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
Fy m1 m2 g m2e 2 cost
M m2gesin t m2e 2hsin t
例13-6
已知：如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上, 绞车与梁共重为P.绞盘半径为R,与电机转子固结在一 起,转动惯量为J ,质心位于O 处.绞车以加速度a提升质 量为m的重物,其它尺寸如图.
轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 的影响.
求:轮缘横截面的张力.
解:
FIi
miain
m
2R
Ri R 2