海伦公式

A
25
解：设⊿ABC的面积为S,由本题
AB=c=x,AC=b=1,BC=a=3-x,
∴p=
1 2
abc
( a b c )( a b c )( b a c )( b a c )
4c2
c-
t
tc D B
h(a b c)a ( b c 4 )c2 b (a c)b ( a c)
(abc)(abc)(bac)(bac)
2 cA
18
[求出面积S ]
C
S 1 ch 2
1 c (a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
勾股定理法
向量法
内切圆法
A
15
二：勾股定理证明法 如图, AB=c, BC=a, CA=b,CD⊥AB于D, CD=h, 又记 BD=t,则 AD= c-t
b
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
C
h
a
[再用a,b,c表示h]
c-t
t
A
cD B
[进而求出面积S ]
A
16
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2, Rt△ACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2, h2=a2-t2=b2-(c-t)2 由a2-t2=b2-(c-t)2
移项得 a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c) A
进而有
t a2 b2 c2 2c
C
b
h
a
c-t c
t DB
A
17
C
将(2)式代入(1)式, 并化简得:
A
21
S 2 1 [a 2b2 1 (c2 a 2 b2 )2 ]
4
4
1 [2ab (c 2 a 2 b2 )][2ab (c 2 a 2 b2 )] 16
1 [(a b)2 c 2 ][c 2 (a b)2 ] 16
1 (a b c)(a b c)(c a b)(c a b) 16
转化为数学语言为下列图形：
A
7
问题提出
•
A
8
公式推导
一：余弦定理证明法
①
② ③
把③② 代入①，得：
“三斜求积” 公式
A
9
公式转化
A
10
•
A
11
过程梳理
•
余弦定理
等价
A
“三斜求积”公式
海伦公式
12
公式转化
•
等 价
A
13
课堂练习
•
A
14
自主探究 除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？
海伦公式
选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修 五
第一章“阅读与思考”
高一年级组 宋树燕
A
1
新课导入
运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
A
2
问题提出
•
A
3
海伦
• 海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。 约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等 课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某 些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。
• 海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传 。主要著作是《量度论》一书。该书共3卷，分别论述平 面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题 。其中卷Ⅰ第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的 海伦公式。
A
4
A
5
A
6
新课导入
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中 斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为 田几何？
2
2
2
2
p( p a)( p b)( p c)
A
19
三、向量证明法
证明: 在三角形ABC
,ar a
b
b,
c c
uB中uCur,
ar设CuuAur
r b
uuur r AB c
,
ABC ,
S 1,absinC
,
S 2 1 |a r|2 |b r|2s in 2 C 1 |a r|2 2|b r|2( 1 c o s 2 C )
2
2c
(a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
A
4
b
h
a
c-t c
t DB
(a b c) (a b c) (a b c) (a b c)
2
2
2
2
(a b c) [(a b c) b][(a b c) c][(a b c) c]
因为： 所以:
4 1|a r|2|b r|2的1面|a r积|2 4 |b r为|2:cos2C
4
4
＝
1(|
rr a|2|b|2
4
rr (ab)2)
………………(1)
A
20
因为: a b c 0
,
所以: a b c
(arbr)2,cr2所以:
,
ab1(c2a2b2)
所以:
2
…………………… (2)
22
22
22
图中有
tan
A
rB ; ta n
rC ; ta n
r
2y 2z 2x
代入前式得
r•r r•r r•r 1 yz yx zx
r 2 ( x y z ) xyz ..............(1)
A
23
又如图
a b c (x z) (x y) (z y) 2x
x abc 2
同理：y b c a ;z a c b ..........(2)
2
2
将（2）代入（1）得
r2 a b c a b ca c bb c a
2
8
r2
a
b 2
c
2
a
b
ca
c 8
bb
c
a
a
b 2
c
r a b c a b ca c bb c aa b c
2
16
即S= p( p a)( p b)( p c)
A
24
运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两点， ，MN4M，A1MB1 ．以A为中心顺时针旋转 点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点 重合成一点C，构成△ABC，设 ABx ．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
C
M
A
B
N
（第24题）
1 2 p (2 p 2c) (2 p 2b) (2 p 2a ). 16
S 2p (p a )(p b )(p c )
Sp(pa)(pb)(pc)
A
22
四：内切圆证明法
由内切圆易知S=pr,
又A+B+C=180o
tan Atan B +tan Atan C +tan B tan C =1
[再用a,b,c表示出h]
h2
a2
t2
a2
a2
b来自百度文库 2c
c2
2
b
ha
4a 2c 2 (a 2 b 2 c 2 )2
4c2
[ 2 ac ( a 2 b 2 c 2 )][ 2 ac ( a 2 b 2 c 2 )] A
4c2
[( a
c)2
b 2 ][ b 2 4c 2
(a
c)2 ]