(10)初等数论ppt第五章-一般二次同余式、平方剩余
第4讲二次同余与平方剩余
二次同余式的一般形式ax2＋bx＋c≡0(mod m)由算术基本定理知道m可以分解成一些素数乘积,再由孙子定理知道ax2＋bx＋c≡0(mod m)可以转化为同余式组ax2＋bx＋c≡0(mod pα)因此,本章只讨论模为素数幂pα的同余式设p是素数，我们来研究素数模p的二次同余方程ax2+bx+c≡0 (mod p)。
(1)如果p= 2，则可以直接验证x≡0或1 (mod 2)是否方程(1)的解。
如果(a, p) = p，则方程(1)成为一元一次同余方程。
因此，只需考察p > 2，(a, p) = 1的情形。
此时，因为(4a, p) = 1，所以，方程(1)等价于方程4a2x2+4abx+4ac≡0 (mod p)，即(2ax+b)2≡b2-4ac(mod p)。
这样，研究方程(1)归结为对方程x2≡a(mod m) (2)定义１给定整数m，对于任意的整数a，(a，m) = 1，若方程x2 a(mod m)有解，则称a是模m的二次剩余；否则，称a是模m的二次非剩余.例1验证1是模4的平方剩余,‐1是是模4的非平方剩余 例21,2,4 是模7的平方剩余,‐1,3,5是模7的非平方剩余解因为,12≡1, 22≡4, 32≡2, 42≡2，52≡4，62≡1（mod7），例3 求满足方程E:y2≡x3+x+1(mod 7)的所有点 解x ≡0, y2 ≡1(mod 7) y ≡1,6 (mod 7)x ≡1, y2 ≡3(mod 7) 无解x ≡2, y2 ≡4(mod 7) y ≡2,5 (mod 7)x ≡3, y2 ≡3(mod 7) 无解x ≡4, y2 ≡6(mod 7) 无解x ≡5, y2 ≡5(mod 7) 无解x ≡36, y2 ≡6(mod 7) 无解4.2模为奇素数的平方剩余与非平方剩余 在这节里讨论模为素数的二次同余式定理１(欧拉判别条件) 若(a , p ) = 1，p 是奇素数则 (ⅰ) a 是模p 的二次剩余的充要条件是≡1 (mod p )；(3) (ⅱ) 若a 是模p 的二次剩余，则方程(2)有两个解； (ⅲ) a 是模p 的二次非剩余的充要条件是 ≡-1 (mod p )。
初等数论(十)——平方剩余
初等数论（十） ——二次剩余一、知识要点 （一）、基本定义与定理1、定义1：设奇质数p ，d 是整数，d p |/．若同余方程)(mod 2p d x ≡有解，则称d 是模p 的二次剩余（亦称平方剩余）；若无解，则称d 是模p 的二次非剩余（亦称平方非剩余）．注：当讨论二次（非）剩余时，一般都约定p 是奇质数． 2、定理1：在模p 的一个简化剩余系．．．．．中，恰有21-p 个模p 的二次剩余，21-p 个模p 的二次非剩余．并且，若d 是模p 的二次剩余，则同余方程)(mod 2p d x ≡的解数是2． 推论：模p 的二次剩余包含在22122)(,,2,1-p 的剩余类中． 3、几个常见模的二次剩余与二次非剩余4、定理2（Euler 判别法）：设奇质数p ，d 是整数，d p |/． (1) d 是模p 的二次剩余的充要条件是)(mod 121p dp ≡-；（2）d 是模p 的二次非剩余的充要条件是)(mod 11p d p -≡-．5、定义2（Legendre 符号）：设奇质数p ，定义整数d 的函数：⎪⎩⎪⎨⎧-=.|,0;,1;,1)(d p p d p d p d 的二次非剩余是模的二次剩余是模 注：)(pd 读作d 对p 的勒让得符号． 6、Legendre 符号的几个性质① )()(p d p p d +=； ②)(mod )(21p d p d p -≡；③21)1()1(,1)1(--=-=p pp ；④ )())(()(2121p a p a p a p a a a n n =，特别地c p pdp dc |),()(2/=． 7、定理3：（1）12)1()2(--=p p；（2）奇质数q p ,满足,1),(=p q 则∑-=-=211][)1()(p k p qkpq．推论：当18±=m p 时，2是二次剩余；当38±=m p 时，2是二次非剩余． 注：①奇质数112±=k p ，则1)3(=p ；奇质数512±=k p ，则1)3(-=p．②奇质数18+=k p 或38+=k p 时，则1)2(=-p． 8、定理4（Gauss 二次互反律）设q p ,均为奇质数，且1),(=q p ，则)()1()(11qp p q q p --⋅-=．9、定理5（Lagrange ）：每一正整数都能表示成四个整数的平方和．二、典型问题分析例1、（1）设质数5≥p ．证明：模p 的全部二次剩余的和是p 的倍数． （2）设p 是奇质数．证明：在1,,2,1-p 中全体模p 的二次剩余的和][24)1(1212∑-=--=p j p j p p p S ．例2、设奇质数p ，21,d d 是整数，1|d p /，2|d p /．（1）若21,d d 均为模p 的二次剩余，则21d d 是模p 的二次剩余； （2）若21,d d 均为模p 的二次非剩余，则21d d 是模p 的二次剩余；（3）若21,d d 分别是模p 的二次剩余和二次非剩余，则21d d 是模p 的二次非剩余．例3、设p 是奇质数．证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是)4(mod 1≡p ．例4、判断下列同余方程的解数：① )61(mod 12-≡x ； ②)51(mod 162≡x ；③)209(mod 22-≡x ； ④)187(mod 632-≡x ．例5、设p 是奇质数，若1)(-=pd ，求证：p dy x =-22无整数解．例6、证明：不定方程17232=+y x 无整数解．例7、证明：不定方程1222322=-+y xy x 无整数解．例8、证明：14+x 的奇质因数)8(mod 1≡p ．例9、证明：费马数122+=nn F )2(≥n 的质因数122+=+t p n ，t 是整数．例10、设12+=k p ，N k ∈，且2≥k ． 求证：p 是质数的充要条件是)(mod 1321p p -≡-．例11、设p 是满足)4(mod 1≡p 的奇质数，求∑-=112}{p k pk 的值，其中][}{x x x -=，][x 为不超过实数x 的最大整数．例12、设p 为奇质数，证明：不定方程222y x p +=有正整数解的充要条件是1)2(=-p，即18+=m p 或38+=m p ．。
初等数论简介PPT课件
数论是研究整数性质的一门很古老的数学 分支，其初等部分是以整数的整除性为中心 的，包括整除性、不定方程、同余式、连分 数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
方程 xn yn zn (n 3) 无非0整数解
经过8年的努力，英国数学家 安德鲁·怀尔斯 终于 在1995年完成了该定理的证明。
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个 大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的 乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至 今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
初等数论 2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
初等数论 四、我国古代数学的伟大成就
1、算经十书 唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学
习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算 经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、 《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》 十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为 算经十书．算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部 数学著作．北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行， 这是世界上最早的印刷本数学书．（此时《缀术》已经失 传，实际刊刻的只有九种）。
《平方剩余》课件
选取一个较大的模数，并计算出满足模数的平方根。在这个过程中，可以深入探讨平方剩余的性质， 如模数的周期性、模数的奇偶性等。同时，也可以介绍平方剩余在密码学、数论等领域的应用。
实例三：实际应用中的平方剩余
总结词
通过实际应用案例，展示平方剩余在解决实际问题中的价值。
详细描述
介绍一些实际应用案例，如利用平方剩余解决几何问题、利用平方剩余进行数据加密等。通过这些案例，可以说 明平方剩余在实际问题中的应用价值，并激发学习者对数学的兴趣和热情。
详细描述
费马小定理是数论中的一个重要 定理，它说明了模n的同余方程 x^2≡a(mod n)有解的充分必要 条件是a^(n-1)≡1(mod n)。利用 费马小定理，我们可以证明平方 剩余。
证明方法二：欧拉定理
总结词
欧拉定理是数论中的另一个重要定理，它揭示了模n的指数和 与模n的乘法逆元之间的关系。通过欧拉定理，我们可以证明 平方剩余。
平方剩余与离散对数问题之间存在一 定的联系。离散对数问题是一个著名 的数学难题，而平方剩余在解决某些 离散对数问题时具有一定的帮助。
通过利用平方剩余的性质，可以设计 出一些算法来求解离散对数问题，这 对于密码学和网络安全等领域具有重 要意义。
在密码学中的应用
平方剩余在密码学中有广泛的应用，因为它们具有一些特 殊的数学性质，这些性质使得它们在加密和解密过程中具 有重要的作用。
详细描述
中国剩余定理说明了对于任意给定的正整数m1,m2,...,ms，且两两互质，存在 唯一的一组解x1,x2,...,xs，满足xi≡b[i] (mod mi)(i=1,2,...,s)，并且mi|(b[i+1]b[i])。利用中国剩余定理，我们可以证明平方剩余。
数论01二次同余式与平方剩余
2019/10/24
数论
三 模为奇素数的平方剩余
与平方非剩余
定理2 若p是素
再根据 1.4 定理 2，我们有
数，如果p| ab, 则有p| a 或 p| b
p1
p1
p | a 2 1或 p | a 2 1
因此，结论(i)告诉我们： a 是模 p 的 平方非剩余的充分必要条件是
p1
a 2 1(mod p)
第四章 二次同余式与平方剩余
一 二次同余式的概念 二 二次同余式的应用 三 模为奇素数的平方剩余与平方
非剩余
2019/10/24
数论
一 二次同余式的概念
二次同余式的一般形式是ax2 bx c 0(mod m)(1)
其中 a 0(mod m).
因为正整数
m
有素因数分解式
m
p1 1
2019/10/24
数论
二 二次同余式的应用
x=2, y2 =5 (mod 7), 无解， x=3, y2 =4 (mod 7), y=2,5(mod 7)， x=4, y2 =0 (mod 7), y=0(mod 7)， x=5, y2 =6 (mod 7), 无解， x=6, y2 =0 (mod 7), y=0(mod 7).
反过来，若(2)成立，则同样根据 3.4 定 理 5，我们有同余式 x2 ≡a (mod p) 有解，
即 a 是模 p 平方剩余.
(ii)因为 p 是奇素数，(a, p)=1,根据 2.4 定
理 1（欧拉定理），我们有表达式
p1
p1
(a 2 1)(a 2 1) a p1 1 0(mod p)
2019/10/24
数论
数论01二次同余式与平方剩余
平方非剩余
如果一个数$a$模$p$同余于$x^2$模$p$ ，则称$a$为$x^2$的平方非剩余。
判定法则
判定法则一
费马小定理，若$p$是质数，且$(a, p)=1$，则有$a^{p-1} equiv 1 pmod{p}$。
判定法则二
二次互反律，设$p, q$是两个不同的奇素数，且$(p, q)=1$，则有$(p equiv q pmod{4}) Leftrightarrow (q equiv p pmod{4})$。
03
具体的证明过程需要用到一些较为复杂的数学符号 和逻辑推导，这里不再赘述。
应用案例
01
02
03
在密码学中，二次同余 式与平方剩余的概念被 广泛应用于一些加密算 法的设计，如 RSA 算法
。
在数论研究中，这些概 念也是重要的工具，可 以帮助我们解决一些数
论中的难题。
在实际生活中，这些概 念在金融、物流等领域 也有一定的应用，例如 在电子支付和电子签名 的安全性验证等方面。
解释
这是一个关于 (x) 的二次方程，但它 的解必须满足同余条件，即解必须是 模 (m) 的同余类。
性质
性质1
如果 (a, b, c, m) 满足二次同余式的定义，那么对于任意整数 (x)，如果 (x^2 + bx + c equiv 0 (mod m)) 成立 ，那么 (ax^2 + bx + c equiv 0 (mod m)) 也一定成立。
THANKS
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应用实例
在密码学中的应用
平方剩余在密码学中有重要的应用，例如RSA公钥密码算法中就使用了平方剩余的性质 。
在数论中的应用
平方剩余是数论中的一个重要概念，它在证明费马大定理、哥德巴赫猜想等数学问题中 发挥了重要作用。
二次同余式和平方剩余
§2 勒让德符号
定义：p是一个给定的奇素数，对于整数a定 义勒让德符号
1, a是平方剩余
( 例：
a) p
(1)
1, a是平方剩余
0, p | a
1, (2) 1, (3) 1, (4)
1
55
5
5
为了更方便地计算勒让德符号，我们给出其 相关的性质，即有下面的定理。
定理1：（1）
(a)
p 1
有解。例
(2) (2)(2) 1 ,但 x2 2(mod 9) 无解。
9 33
3、雅可比符号为-1时，则 x2 a(mod m)
一定无解。
因为若
(a) m
=-1，则至少有一个i使得
(
即 x2 a(mod pi ) 无解，则 x2 a(mod
a )
pi
m)
=-1,
无解.
下面给出雅可比符号的类似于勒让德符号性质，
定理：在模P的简化系中，平方剩余和平方非
剩余余各为 p 1个
p 1
2
且 余，2而个且平仅方与乘一余数分一别同与余。1,22 ,
(
p 1)2 2
之一同
证明如下:
证：由欧拉判别定理知平方剩余的个数是
p 1
p 1
x 2 1(mod p) 的解数。但 x p x (x 2 1)q(x)
其余式为0，由定理知
(143) 563
时，可以不
要管143是否为素数而直接用二次互反律，为
计算提供了方便。
例2：若 ( d ) 1, 则p 不能写成x2 dy2 的形式
p
证：若p= x2 dy2 ,则有若P|x, 则有 p|y
于是可设 x px1, y py1
第五章-二次同余式与平方剩余
t 2(mod7) t 7s 2 y 49s 12. 2x 1 49s 12. 显然，取s 2n 1 x 49n 18(or 30) x 18,30(mod72 )
11
例如：x2 a(mod11)
取模11的一个简化系为1, 2, 3,4, 5.
111
2020/12/21
15
例如：取p 7,则其简化系为1, 2, 3.
模7的平方剩余为1，2，-3； 平方非剩余为 -1，-2，3. 且有：1 12(mod7);2 32(mod7);3 22(mod7).
利用欧拉判别条件虽然可以判定 x2 a (mod p) 的解的存在性，但对较大的质数模，实际运用很困难。 通过引入勒让德符号，本节给出了较方便的判别方法。
把x2 57(mod8)的解记为x (1 4t3 )， 代入x2 57(mod16)，得 t3 1(mod 2) 记t3 1 2t4 x (5 8t4 )，
再代入x2 57(mod 32)，得 t4 0(mod 2) 记t4 2t5 x (5 16t5 )， 代入x2 57(mod64)，得
3 23
( ) 231 31
(1) 2 2
23
1 .因此，方程无解。
3
42
例2 设a与b是正奇数，求 ( 2a )与( b ) 的关系。 4a b a
解：( 2a ) ( 2 )( a ) 4a b 4a b 4a b
( ) (4ab)2 1
a
(1) 8
4a b
( ) ab b21
111
可以验证：1 2 1(mod11); (2) 2 1(mod11);
111
111
111
3 2 1(mod11); 4 2 1(mod11);5 2 1(mod11).
初等数论第五章：平方剩余.ppt
要 么 无 解 ， 要 么 有 偶 数 个 关 于 模 p 的 不 同 余 的 解 。
2 为 了 确 定 同 余 式 x a ( m o d p ) 的 解 的 存 在 性 问 题 ，
我 们 引 入 平 方 剩 余 的 概 念 ：
定 义 ： 若 同 余 式
2 x a ( m o dp ) ,( ap , ) 1
p1 p1 的 个 数 各 为 ， 而 且 个 平 方 剩 余 分 别 与 序 列 2 2 p1 1 ,2 , , 2 中 之 一 数 同 余 ， 且 仅 与 一 数 同 余
2 2 2
2 例 1 、 判 断 同 余 式 x 5 ( m o d 1 1 ) 是 否 有 解
剩 余 ， 又 是 哪 些 质 数 模 p 的 平 方 非 剩 余 。
定 理 （ 1 欧 拉 判 别 条 件 ） 若 ( ap , ) 1 ， 则 a 是 模 p 的 平 方 剩 余 的 充 要 条 件 是 a 1 ( m o d p )
p 1 2
（ 2 ）
而 a 是 模 p 的 平 方 非 剩 余 的 充 要 条 件 是 a 1 ( m o d p ) 若 a 是 模 p 的 平 方 剩 余 ， ( 1 ) 式 恰 有 两 解 。
2
2
勒让德符号
a 定 义 勒 让 德 ( L e g e n d r e ) 符 号 ( 读 作 a 对 p 的 p 勒 让 德 符 号 ) 是 一 个 对 于 给 定 的 单 质 数 p 定 义 在 一 切 整 数 a 上 的 函 数 ， 它 的 值 规 定 如 下 ：
1 , a 是 模的 p 平 方 剩 余 a 1 , a 模的 p 平 方 非 剩 余 p 0 , pa
第五讲 二次剩余
4、雅可比符号定义 对任意奇数m，定义为：
a a a m p1 pr
1, 1, 0,
a不一定是模m的平方剩余 若a是模m的平方非剩余 若(m, a) 1
课后作业
（1）习题1、3、8 （2）复习数论知识、 预习群
例2 判断同余式
x 2 1(mod305)
是否有解？有解时，求出其解数。 例3 判断同余式
x 2 2(mod413 )
是否有解？有解时，求出其解数。
四、雅可比符号
定义 设 m p1 pr 是奇素数 pi 的乘积。对任意整 数 a ，定义雅可比(Jacobi)符号为
a a a m p1 pr
m
n (5) 设m,n都是奇数，则 (1) m
m1 n1 2 2
m 。 n
例 判断同余式是否有解？
x2 286(mod563)
解：不用考虑563是否为素数，直接计算雅可比符号:
5635631 1431 5631 563 286 2 143 8 2 2 (1) (1) 563 563 563 143 1431 9 1 2 1 (1) 143 143
李艳俊一二次剩余的概念二模为奇素数的平方剩余与平方非剩余三勒让德符号四雅可比符号五小结一二次剩余的概念二次同余式的一般形式是bxax定义1设m是正整数若同余式有解则a叫做模m的平方剩余或二次剩余
第5讲 二次剩余
教师：李艳俊
本讲内容
一、二次剩余的概念
二、模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
三、勒让德符号
初等数论简介PPT课件
初等数论
费马 [法]1601-1665，是数学史上 哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马 德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
初等数论 四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、孙子算经 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不
清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。
初等数论 一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学 分支，其初等部分是以整数的整除性为中心 的，包括整除性、不定方程、同余式、连分 数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
初等数论 4、最完美的数——完全数问题 完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒 发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的 因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
初等数论(严蔚敏版)12 第五章二次同余式与平方剩余
p 3
当它们同为1或同时为
1时，
3 p
1，
3
一为1，一为 1时，
p
1
24 / 38
《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
p 1
p1
显然，当 为偶数，而 p 1(mod 4)时，(1) 2 1，
2
p 1
p1
当 是奇数，即 p 1(mod 4)时，(1) 2 1。
2
再因为 p 是奇质数，关于模3我们有 p 1或 p 1，
182 28.
7 / 38
《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
故模 37 的平方剩余为： 1，3，4，7，9，10，11，12，16，21，25，26，27，
30，33，34，36 而其它的 18 个数为模 37 的平方非剩余： 2，5，6，8，13，14，15，17，18，19，20，22，23，
5 / 38
§5.2
《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
单质数的平方剩余与平方非剩余
m
1、 求出模 ( )的平方剩余与平方非剩余。
da d
p 1 解： p 37, 18，由书中定理 2 知，
2 模 p 37的简化剩余系中18个平方剩余分别与序列
12 , 22 ,,182
6 / 38
《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
11 / 38
《初等数论》习题解答（第三版）新乡学院
ar 1
,...,
a
为模
p1
p
的简化剩余系中的平方非剩余。
由(ii)知，ar1a1,..., ar1ar 为平方非剩余，显然互不同余。 故r ( p 1) r,
反
之
，
初等数论 第五章 二次同余式与平方剩余
初等数论第五章二次同余式与平方剩余第五章二次同余式与平方剩余第五章二次同余式与平方剩余§1二次同余式与平方剩余二次同余式的一般形式是ax2?bx?c?0(modm)，a??0(modm)(1)下面讨论它的解的情况。
?k?1?2令m?p1p2?pk，则(1)有解的充要条件为ax2?bx?c?0(modpi?i)，i?1,2,?,k有解，而解f(x)?ax2?bx?c?0(modp?)，p为质数(2)又可以归结为解f(x)?ax2?bx?c?0(modp)，p为质数(3)。
当p?2时，同余式(3)极易求解，因此，我们只需讨论二次同余式f(x)?ax2?bx?c?0(modp)，p为奇质数(4)若p?|a，用4a乘(4)再配方得(2ax?b)2?4ac?b2?0(modp)，令y?2ax?b,A?b2?4ac，得y2?A?0(modp)可以证明：同余式(4)和(5)是等价的。
证明必要性显然；反之，设(5)有一解y?y0，因为(p,2a)?1，所以2ax?b?y0(modp)有解，即(4)有解。
以上讨论可知，二次同余式可以化为x2?a(modp)，p为奇质数(6)(5)来求解，当p|a时，(6)仅有一个解x?0(modp)，所以我们下面总假定p?|a或(p,a)?1。
因此，下面主要研究形如x2?a(modp)，(p,a)?1，p为奇质数同余式。
(7)的定义若同余式x2?a(modp),(a,p)?1,p为奇质数有解，则a 叫做模p的平方剩余(二次剩余)，若无解，则a叫做模p的平方非剩余(二次非剩余)。
定理1(欧拉判别条件)若(a,p)?1，则a是模p的平方剩余的充要条件为ap?12?1(modp)；a是模p的平方非剩余的充要条件为a- 1 - p?12??1(modp)。
若a是模p的平方剩余，则(7)式恰有两解。
第五章二次同余式与平方剩余证明(1)设a是模p 的平方剩余，则同余式x2?a(modp)，(a,p)?1有解，设为?，于是??a(modp)，从而欧拉定理可知反之，若ap?122ap?12??p?1?1(modp)。
数论算法教案 5章(二次同余方程与平方剩余)
第5章 二次同余方程与平方剩余内容 1. 二次同余方程，平方剩余 2. 模为奇素数的平方剩余3. 勒让德符号、雅可比符号4. 二次同余方程的求解要点二次同余方程有解的判断与求解 5.1 一般二次同余方程（一） 二次同余方程2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ）） （1）（二） 化简设m ＝k kp p p ααα 2121，则方程（1）等价于同余方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡++≡++≡++）（）（）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 02221221⇒ 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （pa ） （2）（三） 化为标准形式p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ）()22b ax +≡2b －4ac （modαp ）变量代换， y ＝2ax ＋b （3）有2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4）当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。
即● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解()p y y mod 0≡，通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。
● 两者解数相同。
结论：只须讨论方程 2x ≡a （mod αp ） （5）【例5.1.1】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。
（解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得196x 2＋140x －56≡0（mod 9）配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9）移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9）变量代换 y ＝14x ＋5得 y 2≡0（mod 9）（解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为x ≡114-(y －5)≡15- (y －5)≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））（四） 平方剩余【定义5.1.1】设m 是正整数，a 是整数，m a 。
初等数论简介PPT课件
初等数论
勒让德[法]1752～1833，在分 析学、数论、初等几何与天体 力学，取得了许多成果，是椭 圆积分理论奠基人之一。对数 论的主要贡献是二次互反律， 还是解析数论的先驱者之一.
雅可比[德]1804～1851，在偏 微分方程中，引进了“雅可比 行列式。对行列式理论作了奠 基性的工作，在代数学、变分法、 复变函数论、分析力学 、动 力学及数学物理方面也有贡献。
助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。
• 整除理论是初等数论的基础； • 同余理论是初等数论的核心； • 不定方程是推进数论发展的最主要的课题；
初等数论 二、数论的发展史 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重 视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的 《几何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧几里 得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的 最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代 在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的 “中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的 下卷第26题，我国称之为孙子定理。
《线性积分方程一般理论基础》. 伟人之一。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
初等数论
陈景润1933－1996，主要研究 解析数论，他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至 今仍然在世界上遥遥领先。其 成果也被称之为陈氏定理。
王元1930－50年代至60年代 初，首先在中国将筛法用于 哥德巴赫猜想研究，并证明 了命题3+4，1957年又证明 2+3，这是中国学者首次在 此研究领域跃居世界领先地 位.
初等数论 一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学 分支，其初等部分是以整数的整除性为中心 的，包括整除性、不定方程、同余式、连分 数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
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平方剩余
本章的目的就是讨论二次同余式.首先把问 题归结到讨论形式如：x2≡a (mod m)的同余 式，从而引入平方剩余与平方非剩余的概
念. 再利用勒让德符号及雅克比符号讨论
m是单质数的情形.
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§1 一般二次同余式
设 p 是奇质数.设 p | a,二 次 同 余 式 的 一 般 形 式 是 ax 2 bx c 0 (mod p ). 由于p | 4a, 所 以 ( 1 ) 和 同 余 式 4a( ax 2 bx c ) 0 (mod p )的解 相 同 , 上 式 可 写 成 ( 2 ax b) 2 b 2 4ac (mod p ). (2) (1)
( i v ) x 63 (mod 187).
2
14
§3 Legendre符号, Gauss二次互反律
a 定 义 勒 让 德(Legendre) 符 号( ) ( 读 作 a 对 p 的 勒 让 德 符 号) p 是 一 个 对 于 给 定 的 单 质 数 定 义 在 一 切 整 数 a 上 的 函 数, 它 的 值规定如下： 1, 当 a 是 模 p 的 平 方 剩 余 ； a ( ) 1, 当 a 是 模 p 的 平 方 非 剩 余 ； p 0, 当 p a .
推论 3 -1是模 p的平方剩余的充要条件是 p 1 (mod 4);当 p 1 (mod 4) 时 , p 1 2 ( ( ) ! ) 1 ( m o d p ). 2 (13)
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证 存在性 对任一a , p | a ,式 ( 9 ) 或 ( 1 0 ) 有 且 仅 有 一 式 成 立 . 由 费 马- 欧 拉 定 理 知 a 有(a 及(a
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定 理 2 (欧 拉 判 别 条 件) 设 质 数 p 2, p | a .那么, a 是模 p 的 平方剩余的充要条件是a
( p 1)/2
1 ( m o d p) ; ( 9 )
a 是模 p的平方非剩余的充要条件是 a
( p 1)/2
1 ( m o d p) .
(10)
由 于 ( - j ) 2 j 2 (mo d p ),所 以 a 是 模 p 的 平 方 剩 余 当 且 仅 当 a 12 , ,( p 1 p 1 2 1) 2或( ) (mod p)(7).当 1 i j ( p 1) / 2 时 , 2 2
2 i2 j ( mod p )( 8). 所 以 式 ( 7 ) 给 出 了 模 p 的 全 部 平 方 剩 余 , 共
Hale Waihona Puke 15定 理 Legendre 符 号 有 以 下 性 质 ： a pa (i) ( ) ( ); p p a ( p 1)/2 (i i) ( ) a (mod p); p ac a c (i i i) ( ) ( )( ); p p p a2 (i v)当 p | ( ) 1; a时 ， p 1 1 (v) ( ) 1, ( ) ( 1) ( p 1)/2 ; p p
有( p 1) / 2个 . 由 于 模 p 的 简 化 剩 余 系 有 p 1个 数 , 所 以 另 外 的 ( p 1) / 2 个 必 为 模 p 的 平 方 非 剩 余 , 这 就 证 明 前 一 半 结 论 . 当 a 是 模 p 的 平 方 剩 余 时 , 由 式 ( 7 ) 及 ( 8 ) 知 , 必 有 惟 一 的 i, 使 x i (mod p)是 ( 5 ) 的 解 , 进 而 就 推 出 在 简 化 剩 余 系 ( 6 ) 中 有 且 仅 有 x i (mo d p )是 ( 5 ) 的 解 , 即 ( 5 ) 的 解 数 为2.
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例 1 求 p 11,17,19,29的 平 方 剩 余 与 平 方 非 剩 余 . j 1 2 3 4 5 d j 2 (mod 11) 1 4 2 5 3 模11的平方剩余是:1， -2 , 3 , 4 , 5 ; 平 方 非 剩 余 是 : - 1 , 2,-3,-4,-5 j 1 2 3 4 5 6 7 8 d j 2 (mod 17) 1 4 8 1 8 2 2 4 模17的平方剩余是: 1， 2, 4, 8;平方非剩余是: 3, 5 , 6 , 7 .
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q p 由 Legendre 符 号 知 , ( )和( )分 别 刻 画 了 同 余 p q 方 程 x 2 q (mod p)和 x 2 p (mod q)是 否 有 解 , 即 q 是否是模p的二次剩余和 p 是否是模q的二次剩余， 这 里 正 好 是 模 和 剩 余 互 换 了 位 置 . 定 理3 就 是 刻 画 了这两者之间的关系,所以称为二次互反律. 二次互反律是初等数论中最重要的定理之一. 它 不 仅 可 用 来 计 算 Legendre 符 号 , 而 且 它 有 重 要 理论价值.
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充分性：设式(9)成立,这时必有p | a .考 虑 一 次 同 余 式 bx a ( m o d p )(12). 由 定 理 及 p | a 知,对于式(6)给出的模p的 简 化 剩 余 系 中 的 每 个 j ,当 b j时 , 必 有 惟 一 的 x x j 属 于 简 化 剩余系(6),使得式(12)成立.若a不是模p的平方剩余,则必有 j x j , 这 样 简 化 剩 余 系 ( 6 ) 中 的 p 1个 数 就 可 按 j , x j 作 为 一 对 , 两 两 分 完 . 因 此 有( p 1)! a a
5
例 如 , 当 p 3时 , a 1 (mod 3)是 模 3 的 平 方 剩 余 ， a 1 (mod 3) 是 模 3 的 平 方 非 剩 余 . 当 p 5 时 , a 1, 1 (mod 5)是 模 5 的 平 方 剩 余 ， a 2, 2 (mod 5) 是 模 5 的 平 方 非 剩 余 . 当 p 7 时 , a 1,2, 3 (mod 7)是 模 7 的 平 方 剩 余 ， a 1, 2,3 (mod 7) 是 模 7 的 平 方 非 剩 余 .
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§2 平方剩余和平方非剩余
定 义 1 设 质 数 p 2, a 是 整 数 , p | a .如果 同 余 式 x 2 a (mod p) 有 解 , 则 称 a 是 模 p 的 平 方 ( 二 次) 剩 余 ; 若 无 解 , 则 称 a 是 模 p 的 平 方 ( 二 次) 非 剩 余 .
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定 理3 ( G a u s s 二 次 互 反 律 ) 设 p, q 均 为 单 质 数 , ( p, q ) 1,则 q ( p 1)/2( q 1)/2 p ( ) ( 1) ( ). p q 定 理3 表 明 : 两 个 奇 数 p, q,只 要 有 一 个 数 q p 1 （ m o d 4 ) , 就 必 有( ) ( );当 且 仅 当 它 们 p q q p 都 是 4k 3 形 式 的 数 时 , 才 有( ) ( ). p q
( p 1)/2 ( p 1)/2
( m o d p ) . 由 wi l son 定 理 知
1( m o d p ).但 这 和 ( 9 ) 矛 盾 . 所 以 必 有 某 一 j0 , 使 j0 x j0 ,
由此及(12)证得结论.
12
推 论 4 设 素 数 p 2, p | a1 , p | a2 . 那 么 , ( i ) 若 a1 , a2均 为 模 p 的 平 方 剩 余 , 则 a1a2也 是 模 p的平方剩余; ( i i ) 若 a1 , a2均 为 模 p 的 平 方 非 剩 余 , 则 a1a2是 模 p的平方剩余; ( i i i ) 若 a1是 模 p 的 平 方 非 剩 余 , a2是 模 p 的 平 方 非 剩 余 , 则 a1a2是 模 p 的 平 方 非 剩 余 .
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这样,确定a 是否是模p的二次剩余就变为去计算 a Legendre 符 号 ( )的 值 . 定 理 的 性 质 可 以 用 来 计 算 p a 1 2 ( ),并 由 算 数 基 本 定 理 知 , 只 要 能 计 算 出 ： ( ), ( ), p p p q a ( ),就 可 以 计 算 出 任 意 的( ). 这 里 q 2是 小 于 p 的 p p 素数.
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2 ( p 2 1)/8 定 理 2 ( ) ( 1) （7 ） , 若( a, p) 1,2 | a, p 则 a ( )=(-1) k =1 p 推论
p1
[
ak ] p
p 1 （8), 其 中 p1 . 2
1, p 1(mod 8) 2 n ( )=(-1) p 1, p 3(mod 8)
( p 1)/2 ( p 1)
1 ( m o d p) , 因 而
1)(a 1, a
( p 1)/ 2
1) 0 ( m o d p )(11). 由 于 质 数 p 2
( p 1)/2
( p 1)/2
1) 2,所 以 推 出 结 论 .
必 要 性: 若 a 是 模 p 的 平 方 剩 余 ,则 必 有 x0使 得 的 充 要
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定理 1 在模 p的一个简化剩余系中, 恰 有 ( p 1) / 2个 模 p 的 平 方 剩 余 ; ( p 1) / 2 个模 p的平方非剩余.此外,若a 是模 p的 平 方 剩 余 , 则 同 余 式 x 2 a (mod p)的 解 数 为 2.
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p 1 p 1 证 只 要 取 模 p 的 绝 对 最 小 简 化 剩 余 系 ,+1, ,-1, 2 2 p 1 p 1 1, , -1, (6) 来 讨 论 . a 是 模 p 的 平 方 剩 余 当 且 仅 当 2 2 a ( p 1 2 p 1 ) ,( 1) 2 , 2 2 ,( 1) 2 ,12 , ,( p 1 p 1 2 1) 2或( ) (mod p) 2 2