第五讲 二次剩余

(1)
m2 1 8
q=-1
(1)
m1 2
q p1k1 p2k2 pr kr
(1)
m 1 p1 1 p2 1 pi 1 ( ) 2 2 2 2
m m m p1 p2 pi
k1 , k2 ,ki 为奇数； ki1 , ki2 ,kr 为偶数。
y 2,5(mod7) y 0(mod7)
无解
y 2 6(mod7) y 2 0(mod7)
y 0(mod7)
二、模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
(a 定理1(欧拉判别条件) 设p是奇素数， , p) 1，则
(1) a是模p的平方剩余的充分必要条件是
p 1 2
a
1(mod p)
m
n (5) 设m,n都是奇数，则 (1) m
m1 n1 2 2
m 。 n
例 判断同余式是否有解？
x2 286(mod563)
解：不用考虑563是否为素数，直接计算雅可比符号:
5635631 1431 5631 563 286 2 143 8 2 2 (1) (1) 563 563 563 143 1431 9 1 2 1 (1) 143 143
例2 判断同余式
x 2 1(mod305)
是否有解？有解时，求出其解数。 例3 判断同余式
x 2 2(mod413 )
是否有解？有解时，求出其解数。
四、雅可比符号
定义 设 m p1 pr 是奇素数 pi 的乘积。对任意整 数 a ，定义雅可比(Jacobi)符号为
a a a m p1 pr
-1
Байду номын сангаас
-1
1
定理3.12 若n=pq，且n的素因子p和q已知，则整数a为 模n的二次剩余，当且仅当
1
a p

a q
结论：猜想二次剩余问题的难度与因子分解难度相当。
五、小结
1、m是正整数
x2 a(modm)
(a, m) 1
a是m的二次剩余。 2、欧拉判别条件 p是奇素数
p 1 2
(2) a是模p的平方非剩余的充分必要条件是
1(mod p) 2 当a是模p的平方剩余时，同余式 x a(modp)恰有两解。 a
p1 2
例 判断137是否为模227平方剩余。 解: 137
227 1 2
mod 227 137113 mod 227 1
所以137是模227平方非剩余。 定理2 设p是奇素数，则模p的简化剩余系中平方剩余与 平方非剩余的个数各为 p 1 ，且 p 1 个平方剩余与序列
p1 a a 2 (mod p) p
设p是奇素数，则勒让德符号有如下性质：
p1 1 1 2 1 ， (1) ； (1) p p
a p a a b ，进一步，若 a b(modp) ，则 ； (2) p p p p (3) ab a b ，进一步，若 (a, p) 1 ，则 p p p
例1 计算如下勒让德符号的值。 (1) 2 ,
3
2 , 17
3 17
137 (2) 227
(3)
911 2003
n m
返回
否
m是否为素数
是，计算nmodm=q
q=0
停止 out:0
q=1
1
q=2
2
y 2ax b, d b2 4ac
定义1 设m是正整数，若同余式
x2 a(modm)
(a, m) 1
有解，则a叫做模m的平方剩余(或二次剩余)；否则a叫做 模m的平方非剩余(或二次非剩余)。
例1 分别求出模11，12的二次剩余和二次非剩余。 解：
模11的二次剩余是：1，3，4，5，9； 二次非剩余是：2，6，7，8，10。
( a, p ) 1
a是p的平方剩余 a
1(mod p)
p 1 2
a是p的平方非剩余 a
1(mod p)
3、勒让德符号的定义 设p是素数，定义如下：
1, a 1, p 0,
若a是模p的平方剩余 若a是模p的平方非剩余 若p | a
4、雅可比符号定义 对任意奇数m，定义为：
a a a m p1 pr
1, 1, 0,
a不一定是模m的平方剩余 若a是模m的平方非剩余 若(m, a) 1
课后作业
（1）习题1、3、8 （2）复习数论知识、 预习群
a2 1 ， p
a2 若 (a, p) 1 ，则 0 ； p 2 (4) (1) p
p 2 1 8
；
p 1 q 1 q p 2 2 p, q 是互素的奇素数，则 (1) (5) 若 。 p q
2 2
12 ,2 2 , , (
p 1 2 ) 2
中的一个数同余，且仅与一个数同余。
三、勒让德符号
定义 设p是素数，定义勒让德符号如下：
1, a 1, p 0,
若a是模p的平方剩余 若a是模p的平方非剩余 若p | a
由此定义，欧拉判别法则可以表示成如下形式： 定理 设p是奇素数，则对任意整数a，有
x 1(mod7)
y 3,4(mod7) y 2,5(mod7)
无解
y 2 4(mod7)
x 2(mod7) y 2 5(mod7)
y 2 4(mod7) x 3(mod7) y 2 0(mod7) x 4(mod7)
x 5(mod7) x 6(mod7)
余式都无解，所以3是模119的平方非剩余。
设m是奇数，则雅可比符号有以下性质：
1 (1) 1 1 ， (1) m m
m1 2
am a (2) ； m m
a2 a ab a b (3) ，如果 (a, m) 1 ，则 2 1； m m m m m a2 如果 (a, m) 1 ，则 0 ； mm1 m 2 (4) (1) 8
第5讲 二次剩余
教师：李艳俊
本讲内容
一、二次剩余的概念
二、模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
三、勒让德符号
四、雅可比符号
五、小结
一、二次剩余的概念
二次同余式的一般形式是
ax2 bx c 0(modm)
a 其中m是正整数， 0(modm) 。
上式等价于同余式
y d (mod m)
所以同余式无解。
当n是合数的时候，若（a/n）=1，则a不一定是模n的二 次剩余。定义 a J n {a | 1} Qn {a | (a, n) 1, a是模n的二次剩余} n 则有 Qn J n。集合 Qn J n Qn中的数称为模n的伪二次剩余。 例： a
模12的二次剩余是：1；
二次非剩余是：5，7，11。
例2 求满足同余式 y 2 x3 x 2(mod7) 的所有的点。 解：
模7的二次剩余是：1，2，4；二次非剩余是：3，5，6。
对 x 0,1,2,3,4,5,6(mod7) ，分别求出 y 对应的的值为
y 2 2(mod7) x 0(mod7)
当m为奇素数时，则上式为勒让德符号。 注意：雅可比符号为1时，不能判断a是否为模m的平 方剩余。例如
x 2 3(mod 7) 因为 119 7 17，而同余式组 2 的每个同 x 3(mod 17 )
3 3 3 (1) (1) 1 119 7 17
1 2 4 -1 4 16 1 5 4 -1 8 1 -1 10 16 1 11 16 -1 13 1 1 16 4 1 17 16 -1 19 4 1 20 1 -1
a 2 mod 21 1

a 3 a 7 a 21
1
1
1
1
-1
1
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
1
-1