欧拉函数公式及其证明

欧拉函数：
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n ，小于n 且和n 互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

完全余数集合：
定义小于n 且和n 互质的数构成的集合为Zn ，称呼这个集合为n 的完全余数集合。

显然|Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：
对于素数p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数p，q ，它们的乘积n = p * q 满足φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ，则φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理：
对于互质的正整数a 和n ，有aφ(n)≡ 1 mod n。

证明：
( 1 ) 令Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ，S= {a * x1mod n, a * x2mod n, ... , a * x
mod n} ，
φ(n)
则Zn = S 。

①因为a 与n 互质，x i (1 ≤ i ≤φ(n)) 与n 互质，所以a * x i与n 互质，所以a * x i mod n ∈ Zn 。

②若i ≠ j ，那么x i≠x j，且由a, n互质可得a * x i mod n ≠a * x j mod n （消去律）。

( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n)mod n
≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n
≡ (a * x1mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n)mod n) mod n
≡x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n
对比等式的左右两端，因为x i(1 ≤ i ≤φ(n)) 与n 互质，所以aφ(n)≡ 1 mod n （消去律）。

注：
消去律：如果gcd(c,p) = 1 ，则ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

费马定理：
若正整数a 与素数p 互质，则有a p - 1≡ 1 mod p。

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

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补充：欧拉函数公式
( 1 ) p k的欧拉函数
对于给定的一个素数p ，φ(p) = p -1。

则对于正整数n = p k，
φ(n) = p k - p k -1
证明：
小于p k的正整数个数为p k- 1个，其中
和p k不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (p k - 1-1)}共计p k - 1 - 1个所以φ(n) = p k- 1 - (p k - 1- 1) = p k- p k - 1。

( 2 ) p * q 的欧拉函数
假设p, q是两个互质的正整数，则p * q 的欧拉函数为
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ，gcd(p, q) = 1 。

证明：
令n = p * q ，gcd(p,q) = 1
根据中国余数定理，有
Zn 和Zp × Zq 之间存在一一映射
（我的想法是：a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。

）
所以n 的完全余数集合的元素个数等于集合Zp × Zq 的元素个数。

而后者的元素个数为φ(p) * φ(q) ，所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。

( 3 ) 任意正整数的欧拉函数
任意一个整数n 都可以表示为其素因子的乘积为：
I
n = ∏ p i k i (I 为n 的素因子的个数)
i=1
根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为：
I I
Φ(n) = ∏ p i k i-1(p i-1) = n∏(1 - 1 / p i)
i=1 i=1
对于任意n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在p i -1 是偶数。

//直接求解欧拉函数
int euler(int n){ //返回euler(n)
int res=n,a=n;
for(int i=2;i*i<=a;i++){
if(a%i==0){
res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
while(a%i==0) a/=i;
}
}
if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}
//筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
int euler[Max];
void Init(){
euler[1]=1;
for(int i=2;i<Max;i++)
euler[i]=i;
for(int i=2;i<Max;i++)
if(euler[i]==i)
for(int j=i;j<Max;j+=i)
euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出}。