第五章 精确线性化方法

第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用本章安排SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，MIMO系统的动态扩展鲁棒输入/输出线性化问题2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用本章重点精确线性化的含义精确线性化的要精确线性化的主要思想输入输出精确线性化状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而且是整体的, 即线性化对变换有定义的整个区域都适用个区域都适用。

2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化，将复杂输出的精确线性化将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题综合问题。

2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用微分几何回顾切空间向量场李括号李导数李括号、李导数分布和协分布定理一个正则分布完全可积的 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的。

----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。

2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用SISO 非线性系统的标准形定义()()⎪⎫==x h L x Φx h x Φ152()()()()⎪⎪⎭⎪⎬=−x h L x Φf f 12γγM 结论5.2（部分坐标变换）()()1,,2,1−=U i x d Φi γ中是线性无关的。

在导数L ()()()011 0110≠−=−=+−−−x h L L x h L L j i f g j j f g ad ifγγγ时，当()()⎤⎡⎤⎡−0001x h L x dh g ad γL ()()()()()[]()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣−−−−****001001000102x h L L x h L L x g ad x g ad x g x h dL x h dL f g f g ad f f f f f fγγγγM M L M 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形结论5.3则向量场定义如下非线性变换为局部微分同胚变换）。

是线性无关的（，则向量场性系统具有相对阶假设单输入单输出非线n g ad g ad g f f ≤−γγγ1,,,L 定义如下非线性变换：Φ为局部微分同胚变换()⎥⎤⎢⎡x h L x h ()()()()⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢→−γηηξf ff x h L x h x h L x ΦM M M 11,,:＝令()⎥⎦⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢−−γγηηn f x h L M 11非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四⎦⎣−γηnSISO 非线性系统的标准形ξξ⎪⎫=21&&()ξξ⎪⎪⎪⎬=29.532&M ()()()q u a b ηξηηξηξξγ⎪⎪⎪==+=,,,&y ξγγ====⎪⎭−11其中()()()()()()i f i f g f L q q h L L a h L b ηηξηξηξηξ,,,,,,非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形⎫ξ&()()⎤⎡⎤⎡⎪⎪==3221ξξξ&()()()()⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎥⎥⎤⎢⎢⎡ξf f x h L x h x h L x h ＝()()⎪⎪⎪⎬+=⇒,,ηξηξξγu a b &M ()()⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎢⎢⎢→−−γγf f x h L x h L x ΦM M 11:，令()⎪⎪⎪⎭==1,ξηξηy q &⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢ηηηM M 11⎥⎦⎢⎣⎦⎣−−γγηηn n 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四例5.2 考虑下列控制系统⎧⎪⎟⎞⎜⎛+⎟⎟⎞⎜⎜⎛+−=2311u cosx sinx x x x &⎪⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝⎟⎠⎜⎝2320x 经过下面的计算可知该系统有相对阶2。

⎪⎩==3)(x x h y 2)( ,0)(x x h L x h L f g ==322)( ,1)(sinx x x h L x h L L ff g +==非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四为获得标准形的坐标我们选择该变换阵是一非奇异阵。

因此该变换是一全局微分同胚。

其逆变换为⎧+=21ξηsin x ⎪⎪⎨==22ξx 在新的坐标系中，系统的状态方程为⎩13ξx ⎪⎧=21ξξi &&⎪⎪⎨+−+=++=3122ξξξsin cos sin u sin&非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四⎪⎩)()(1222ξξξξηη单输入仿射非线性系统精确状态线性化问题有解的条件1.（能控性条件）d d d k 2.（能精确线性化条件）{})1 ;,,,,12n g ad g ad g ad g rank n n f ff =−−L ⎧{}|,,, 202是对合分布分布⎭⎬⎫⎩⎨===∑−=−n k k f k n f g ad c p p g ad g ad g span D f Lh(x)可解的充要条件2) 是对合分布。

a)线性无关b)对合性非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四和坐标变换⎟⎞⎜⎛⎟⎞⎜⎛2)(x x h ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝−−−=⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜==231312)()()(x x x x x h L x h L x z f Φ即可将原系统变换为下列标准形⎠⎝f ⎞⎛⎞⎛0010v z z⎟⎟⎟⎜⎜⎜+⎟⎟⎟⎜⎜⎜=0100&⎠⎝⎠⎝1000非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四状态精确线性化)()()()()2101 ,,,,n n f ffg x ad g x ad g x ad g x x −−L 在线性无关⎡& x xx x ==&&132400x x x x u ⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+−+−&&314231214210sin ()1()x x x x x x x αβγ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦&00⎡210[,][,]0f f f ad g f g ad g f ad g β⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−320ad ad g γβγ⎣⎦⎣⎦−⎡⎤⎢⎥⎢⎥==[,]00f f g f ⎢⎥⎢⎥⎣⎦23(,,,)4f f fra n k g a d g a d g a d g =非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四状态精确线性化)()()()()322,,,,n n −−L )()()()()2 ,,,,1f ffg x ad g x adg x adg x n −张成的分布（局部）具有常数秩由于23,,,f f fg ad g ad g ad g5.1均为常向量，所以任意两个向量的李括号均为零向量，所以2[]123)3i j (,,,[,],,,2,3)f f f frank g ad g ad g ad g ad g i j ==根据非线性系统的精确线性化有解的充要条件，可以知，该系统是可以实现输入状态线性化的非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四单输入仿射非线性系统精确状态线性化问题有解的条件⎡1122123(,)0(,,)0(),()f x xf x x xf xg x⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==M M11()0()()n nf x xxxβα−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L{}21,,,,;1)f fn nfrank g ad g ad g ad g n−−=L222)nn kg p−−⎧⎫分布是对合分布{},,,| 2)ff k fkD span g ad g ad p c ad g====⎨⎬⎩⎭∑L分布是对合分布。

1()()y h x f x==非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四系统零动态输入/输出精确线性化控制规律 零点消除法 零动态 输出零化问题 最小相位系统稳定的()最小相位的。

指数点是局部渐近在则称非线性系统稳定的，指数的平衡点是局部渐近如果零动态系统)(5.1)(,00x q ηη=& 零动态系统的稳定性非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四x ⎧=13ξ渐近镇定和SISO 系统的跟踪有界跟踪定理多项是并且多项式，是局部指数最小相位的的系统如果具有相对阶Hurwitz s ss 5.11αααγγγ++++−−L 有定义且是，对所有式，如果其零动态系统011ηξγ()统能够实现有界跟踪将使系阶导数时，反馈控制律和其前出位的，则当期望输连续和全局指数最小相t y d 5.62Lipschitz γ有界。

且状态趋于阶导数是渐近和其前即统能够实现有界跟踪，x e 00γ非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO非线性系统精确线性化总结精确线性化的目的分析和综合精确线性化的目的：分析和综合①标准形②外部动态，内部动态（零动态）Æ最小相位系统的稳定性③引入状态反馈得到期望动态特性精确跟踪（逆系统）有界跟踪④精确跟踪（逆系统）、有界跟踪2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用MIMO 系统的I/O 精确线性化MIMO 系统f &()()()Tm m n x H y u x G x x5.65&==∈∈∈⎭⎬⎫=+=()()()()()()()()是充分光滑的标量函数上充分光滑的向量场是及i n i m m h R g f x h x h x H x g x g x G R y R u R x ;,,,;,,;,11L L ==∈∈∈考虑第j 个输出y j 对时间的导数()5.66 ∑+=mi j g j f j u h L h L yi &1=i 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四MIMO 系统的I/O 精确线性化相对阶向量k ≤≤≡()()()()。

具有相对阶向量在点可逆，则称系统且矩阵使得如果存在正整数m j i f g j x x A m i k x h L L γγγγ,,5.65,,1,20,0100L L =−≤≤≡⎡()⎥⎥⎤⎢⎢=−−−−f g f g L h L L h L L x A m m m 111111111γγγγM M M L ⎥⎦⎢⎣m f g m f g h L h L L m 1L ()⎤⎡⎤⎡⎤⎡11111u h L y f γγ()()⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣+⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣2u x A h L y m f m m m M M M γγ非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四MIMO 系统的I/O 精确线性化 状态反馈律⎡()()vx A h L x A u f 1111−−+⎥⎥⎤⎢⎢−=γM 输入/输出线性动态响应关系h L f 11⎥⎦⎢⎣γ⎡()⎥⎤⎢⎡=⎥⎤⎢v y 111γ()⎥⎥⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣m m v y m M M γ非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四MIMO 系统的标准形变换 选取状态变量⎫()()()573,,,,,,212222221111112111211⎪⎪======−−x h L x h L x h x h L x h L x h f f γγγξξξξξξL L ()()() 5.73 12⎪⎪⎬===−m m m f f m γγL M M M η的选择()()(),,,2,1m ⎭x h L x h L x h m f m f m γξξξ()(){}γη−≤≤≤≤≡⇒n i m j x L x g x g i g m 1 ,1 0,)(,,1张成的分布是对合的。