高考数学专题复习破解立体几何中的动态问题

破解立体几何中的动态问题

动态问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力，在各省市的高考选择与填空中出现有较高的频次。动态立体几何指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题。就变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转。就所求变量可分为：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离。 1.简化图形——“大道至简”

从复杂的图形中分化出最简的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，从混沌中找出秩序是问题解决的关键。

例1（2006年浙江省数学高考理科试题第14题）正四面体ABCD 的

棱长为1，棱

α平面//AB （如图1），则四面体上的所有点在平面α

内的

射影构成的图形面积的取值范围是_______。

去掉与问题无关的面，将四面体看成是以AB 为棱的二面角C AB D --（二面角大小一定）

，用纸折出这个二面角，不妨将

AB 置于平面α

内，将二面角绕

AB 转动一周，观察点,C D 在平面α

上的

射影，可以发现点,C D 在平面α上的射影始终在

AB 的射影的中垂线上，

当//CD α平面时，四边形

ABCD 面积最大12

（如图3）

，当CD α⊥平面时（此时点)(D C 到AB 的距离即为异面直线AB 与CD 的距离）

，四边形'(')ABC D 面积最小4

（如图4），转动过程中D C ,在平面α上的射影从D

C ,变化至'''

',D C

。

例2．（2017年台州市高三模拟试题）如图，在棱长为2正四面体A BCD -中，E 、F 分别为直线AB 、

图1

D

C

B

A

ααA

B

C D 图3

A

图4

α

C B

图5

D "

C "C'(D')

D C

B

A

CD

上的动点，且||EF =EF 中点P 的轨迹为L ，则||L 等于 ▲ ． (注：|L |表示L 的测

度，在本题， L 为曲线、平面图形、空间几何体时，|L |分别对应长度、面积、体积.)

四面体只需抽象为两条异面直线AB 与CD

，两个动

点E 、F

（满足EF =EF 的中点的轨

迹。

设'OO 为异面直线AB 与CD 的公垂线段，过点O 作''//A B AB ，过

点E 作'''EE A B ⊥

，点P 在''A B 与CD 确定的平面上的投影G 为

'E F 的中点。则''A B CD ⊥，'1E F =，长度为定值的线段两端

点'E 、F 分别在互相垂直的直线上移动，其中点的轨迹是一个半径为

1

2

圆，

点P 的轨迹是一个等圆||L π=。

D

B

(第17题图)

例4如图，直线l

α⊥平面，垂足为O 。正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2.点A

上直线l 上的动点，点

'B 在平面α

内，则点O 到'CD 的中点P 的距离的最大值为____.

分析：从图形分化出四个点,,',O A B P ，其中'AOB 为直角

三角形，固定

'AOB ，点P 的轨迹上是在与'AB 垂直的平面上

以AB 中点Q

为圆心的圆。

1

22

OP OQ QP ≤+=，当且仅当

'OQ AB ⊥时取等号，即当直线'AB 与平面α

成45︒角时，

OP 取到最大值。

直观是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。直观感知的前提是去掉图形中的所有枝蔓，让几何实质“形销骨立”，洞察其内在的几何意义。

2.特殊分析——“穷妙极巧”

对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案。

例在正四面体ABCD 中，F 为直线BD 上的动点，则面AEF 与面ACD 所成二面角的正弦值的取值范围是

极端位置法：

D

D