数学必修二的第四单元(圆与方程)测试题
人教版高中数学必修二 第四章《圆与方程》单元试卷(1)
第四章过关检测(时间90分钟，满分100分知识分布表知识表 题号分值 圆的方程 1，15，17，1834 直线、圆的位置关系 3，4，5，6，10，11，12，14，16，1841 圆与圆的位置关系 7，8，9，13，1621 空间直角坐标系 24 一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分）1.圆(x －3) 2＋(y ＋4) 2＝1关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是( )A.(x ＋3)2＋(y －4)2＝1B.(x －4)2＋(y ＋3)2＝1C.(x ＋4)2＋(y －3)2＝1D.(x －3)2＋(y －4)2＝12.空间直角坐标系中,点A (－3,4,0)与点B (2, －1,6)的距离是( ) A.432 B.212 C.9 D.863.圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1,3)处的切线方程为（ ） A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x4.若点P (3,－1)为圆(x －2)2＋y 2＝25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是（）A.x ＋y －2＝0B.2x －y －7＝0C.2x ＋y －5＝0D.x －y －4＝05.以点P (－4，3)为圆心的圆与直线2x ＋y －5＝0相离，则圆P 的半径r 的取值范围是( )A.(0，2)B.(0，5)C.(0，52)D.(0，10) 6.设直线l 过点(－2,0),且与圆x 2＋y 2＝1相切,则l 的斜率是（ ）A.±1B.21±C.33±D.3±7.设圆心为C 1的方程为(x －5)2＋(y －3)2＝9,圆心为C 2的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －9＝0,则圆心距等于( )A.5B.25C.10D.528.两圆C 1:x 2＋y 2＝1和C 2:(x －3)2＋(y －4)2＝16的公切线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条9.两圆(x －a )2＋(y －b )2＝c 2和(x －b )2＋(y －a )2＝c 2相切，则( )A.(a －b )2＝c 2B.(a －b )2＝2c 2C.(a ＋b )2＝c 2D.(a ＋b )2＝2c 210.直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)没有公共点,则a 的取值范围是( ) A.(0,12-) B.(12-,12+) C.(12--,12-) D.(0,12+)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分,共16分)11.由点P (1,－2)向圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0引的切线方程是____________.12.若经过两点A (－1,0)、B (0,2)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －a )2＝1相切,则a ＝__________.13.设M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，N ＝{(x ，y )|(x －a )2＋y 2≤9}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的取值范围是___________.14.经过点P (2,－3),作圆x 2＋y 2＝20的弦AB ,且使得P 平分AB ,则弦AB 所在直线的方程是___________.三、解答题(本大题共4小题,共44分)15.(10分)已知点A (4,6),B (－2,4),求:(1)直线AB 的方程;(2)以线段AB 为直径的圆的方程.16.（10分）求过两圆C 1:x 2＋y 2－2y －4＝0和圆C 2:x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l :2x ＋4y －1＝0上的圆的方程.17.(12分)如图,圆O 1和圆O 2的半径都是1,|O 1O 2|＝4,过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点),使得||2PN PM.试建立平面直角坐标系,并求动点P 的轨迹方程.18.(12分)已知曲线C :x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0,其中k ≠－1.(1)求证:曲线C 都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;(2)证明:曲线C 过定点;(3)若曲线C 与x 轴相切,求k 的值.参考答案1解析：只将圆心(3，－4)对称即可，设(3，－4)关于x ＋y ＝0的对称点为(a ,b )，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=-⋅-+,02423,1)1(34b a a b 解得⎩⎨⎧-==3,4b a . ∴所求圆方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝1.答案：B2解析：86)60()14()23(||222=-+++--=AB ,选择D.答案：D3解析:圆的方程化为标准方程是(x －2)2＋y 2＝4,点P 是圆上的点,由圆的切线的几何性质知,圆心与切点的连线与切线垂直,所以切线的斜率为313012=---,故切线方程是3(y －3)＝x － 1.答案: D4解析:因为圆心为C(2,0),所以13210-=-+=pc k , 所以1=AB k .所以AB l :x －y －4＝0.答案:D5解析:由r >+-+-⨯12|53)4(2|2,得525100=<<r . 答案:C6解析:设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2),则kx －y ＋2k ＝0.由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切,知11|2|2=+k k ,解得33±=k . 答案:C7解析：由已知,圆C 1、C 2的圆心坐标分别是(5,3)、(2,－1). 5)13()25(||2221=++-=C C .答案：A8解析:∵C 1(0，0)，C 2(3，4)，r 1＝1,r 2＝4,∴|C 1C 2|＝5.∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2.∴两圆相外切.故有三条公切线.答案:B9解析:由于两圆的半径相等，∴两圆必相外切. ∴c a b b a 2)()(22=-+-，即(a －b )2＝2c 2.答案:B10解析:由圆的方程可知圆心是点(0,a ),半径为a ,根据题意,得a a >-2|1|,变形为a 2＋2a －1＜0,解得1212-<<--a . 又∵a ＞0,∴120-<<a .故选A.答案:A 11解析:将圆的方程化为标准方程(x －3)2＋(y －1)2＝4,设切线方程为y ＋2＝k (x －1), 即kx －y －k －2＝0.由21|213|2=+---k k k ,得125=k ,故切线方程为)1(1252-=+x y ,即5x －12y －29＝0.经检验,知x ＝1也符合题意.综上所述,所求切线方程为x ＝1或5x －12y －29＝0.答案：x ＝1或5x －12y －29＝012解析:因为A (－1,0)、B (0,2)的直线方程为2x －y ＋2＝0,圆的圆心坐标为C (1,a ),半径r ＝1.又圆和直线相切,因此有15|22|=+-=a d ,解得54±=a . 答案:54±13解析:圆x 2＋y 2＝25的圆心为O (0，0),半径r m ＝5；圆(x －a )2＋y 2＝9的圆心为A (a ,0)，半径r n ＝3.由于M ∩N ＝N ，∴圆面A 在圆面O 内，即圆A 内切于或内含于圆O 内.∴|OA |≤r M －r N ＝2.∴|a |≤2.∴－2≤a ≤2.答案:－2≤a ≤214解析：把点P 的坐标代入圆x 2＋y 2＝20的左边,得22＋(－3)2＝13＜20,所以点P 在圆O 内.经过点P ,被点P 平分的圆的弦与OP 垂直. 因为23-=OP k ,所以弦AB 所在直线的斜率是32, 弦AB 所在的直线方程是)2(323-=+x y , 即2x －3y －13＝0.答案:2x －3y －13＝015解:(1)设直线上的点的坐标为(x ,y ), 则有)4(42646----=-x y ,化简得x －3y ＋14＝0.(2)由102)64()42(||22=-+--=AB , 所以圆的半径10=r , 圆心坐标为)5,1()264,242(=++-. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y －5)2＝10.16解:设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0,其中λ≠－1,即(1＋λ)(x 2＋y 2)－4x ＋(2－2λ)y －4λ＝0.0141)1(21422=+-+-++-+λλλλλy x y x . 其圆心为)11,12(λλλ+-+,在直线2x ＋4y －1＝0上，∴011)1(414=-+-++λλλ， 故31=λ. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.17解:以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O 1(－2，0)，O 2(2，0).设P (x ,y ).∵||2PN PM =,∴22||2||PN PM =.又两圆半径均为1，∴|PO 1|2－12＝2(|PO 2|2－12).则(x ＋2)2＋y 2－1＝2［(x －2)2＋y 2－1］，即为(x －6)2＋y 2＝33. ∴所求点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.18解:(1)原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2.∵k ≠－1,∴5(k ＋1)2＞0.故方程表示圆心为(－k ,－2k －5), 半径为|1|5+k 的圆.设圆心为(x ,y ),有⎩⎨⎧--=-=,52,k y k x消去k ,得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上.(2)将原方程变形成k (2x ＋4y ＋10)＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0.上式关于参数k 是恒等式,∴⎩⎨⎧=+++=++.02010,0104222y y x y x 解得⎩⎨⎧-==.3,1y x∴曲线C 过定点(1,－3).(3)∵圆C 与x 轴相切,∴圆心到x 轴的距离等于半径,即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方,得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴535±=k .。
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
必修二第四章《圆与方程》单元测试题含答案
必修二第四章单元测试题（时间：90分钟总分：100分）若直线（1 + a ）x + y + 1 = 0与圆x 2 + y 2 — 2x = 0相切，则a 的值为（ ）C . 1点M （3 , — 3,1）关于xOz 平面的对称点是（）A 是点B （1,2,3）关于x 轴对称的点，点C 是点D （2 , — 2,5）关于y 轴对称的点，则 |AC |=(B. 13P 在圆x 2+ y 2 = 1上变动时，它与定点 Q （3,0）的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是、选择题（本大题共8小题，每小题 5分，共40分.）已知两圆的方程是 x 2 + y 2= 1和 x 2 + y 2 — 6x — 8y + 9 = 0,那么这两个圆的位置关系是A .相离B •相交C .外切D .内切 过点（2,1）的直线中，被圆x 2+ y 2 —2x + 4y = 0截得的最长弦所在的直线方程为 （ ） A. 3x — y — 5 = 0B. 3x + y — 7 = 0C. x + 3y — 5 = 0 D . x — 3y + 1 = 0 经过圆x 2 + y 2= 10上一点M (2, 6) 的切线方程是（ ） A . x + 6y —10 = 0 B. 6x — 2y + 10 = 0C . x — 6y + 10 = 0D . 2x + 6y —10 = 0 C . (一 3,3，一 1)B . （一 3，一 3，一 1） （3，一 3，一 1） D . (3,3,1) 若点 C . 107 .当点=|PA|2+ |PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标.15 . (12 分)已知曲线C: x2+ y2+ 2kx + (4k + 10) y + 10k + 20 = 0 ,其中k^ - 1.(1) 求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2) 证明曲线C 过定点；(3) 若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．必修二第四章测试卷答案、选择1.C2.A3..D4.D5.D6.B7.C8.D填空9.4 10..X + y —3 = 0, 11 ②12.4 5三、解答题13 .解：解法1 :连接0P，则0P丄BC,设P(x, y),当x#0 时，k op k AP二—1 , 即二—1x x —4即x2+ y2—4x = 0①当x= 0时，P点坐标为（0,0）是方程①的解，•••BC中点P的轨迹方程为x2+ y2—4x = 0（在已知圆内）.1解法2 :由解法1知OP丄AP，取OA中点M，贝U M （2,0），|PM匸pOA| =2,由圆的定义知，P点轨迹方程是以M（2,0）为圆心，2为半径的圆.14 .解：设点P的坐标为（X。
人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于圆心 到该直线的距离为 ，
故 ，解得 ，
∴直线 的方程为 ，即 .
综上可得，直线 的方程为 或 .
18．解：（1）因为直线 的方程可化为 ，
所以 过直线 与 的交点 .
又因为点 到圆心 的距离 ，
所以点 在圆内，所以过点 的直线 与圆 恒交于两点．
参考答案
1．B2．D3．D4．C5．A6．C7．A8．B9．D10．D11．A12．A
13． .
14．
15．
16．
17．解：（1）设圆 的方程为 ，
因为圆 过 三点，
所以有 ，解得 ， ，
∴ 外接圆 的方程为 ，
即 .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立 ，
得 或 ，此时弦长为 ，满足题意；
（2）由（1）可知：过点 的所有弦中，弦心距 ，
因为弦心距、半弦长和半径 构成直角三角形，
所以当 时，半弦长的平方的最小值为 ，
所以弦长的最小值为 .
此时， .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以当 时，得到最短弦长为 .
19．解：将方程 化为标准方程为 ，
此方程表示以 为圆心，2为半径的圆．
（1） 表示圆上的点 与定点 连线的斜率，
A． B．
C． D．
6．在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标为（）
A． B． C． D．
7．圆 的圆心到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．2
8．已知直线l：y＝x＋m与曲线 有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A．［－1, )B．(－ ，－1］C．[1， )D．(－ ，1］
必修二第4章圆的方程练习
必修2第四章《圆与方程》单元测试题一一、选择题1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为 （ ） （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切4.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a5.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ） (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 56.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为 （ ）A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-18.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 9.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 （ ）A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=410．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 （ ）A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 11．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．5D ．112．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ） A 、相切 B 、相交 C 、相离 D 、相切或相交二、填空题13.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 . 14.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为_ _.15.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.16.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .17．已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
高中数学必修二第四章圆与方程高频率考题附答案 教师版
所以圆 C 的方程是（x﹣ 答 ）2+（y﹣ 答 ）2=
答 答 ，①
又 x2+y2=4，②，
②﹣①得，（2m﹣9）x﹣my+4=0，即公共弦 AB 所在的直线方程是：（2m﹣9）x﹣my+4=0，
即 m（2x﹣y）+（﹣9x+4）=0，
由
t t
得 x=
，y=
，
所以直线 AB 恒过定点（ ， ），
故选 A．
系，即可求解答案。
9.已知点
，点 是圆
上的动点，点 是圆
上的
动点，则
的最大值为（ ）
A.
B. h
C.
D.
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【答案】 D 【解析】【解答】如图：依题意得点
在直线
上，
点 关于直线
对称的点 ′ ,
点 ′ 在圆
关于直线
对称的圆
上，
则
′ ，设圆
的圆心为
因为 ′
′，
，
所以
′
，当 ′
五点共线， ′ 在线段 上，
C. t
所以直线 l 过定点 P （ ， ） . 当 CP⊥l 时，弦 AB 最短.
交于 A，B 两点，则当弦 AB 最短时直线 l
t
D.
t
t t
，
第 4 页 共 23 页
由题得
t
所以 答
答
所以直线 l 的方程为 故答案为：A
, .
t.
【分析】根据直线 l 的方程，确定直线恒过定点（ ， ） ， 结合弦长公式，当 CP⊥l 时，弦 AB 最短，
高中数学必修二第四章圆与方程高频率考题附答案
一、单选题（共 17 题；共 34 分）
高中数学必修二第四章《圆与方程》单元练习题
高中数学必修二第四章《圆与方程》单元练习题(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【补偿训练】(2014·北京高一检测)以(5,6)和(3,-4)为直径端点的圆的方程是( )A.x2+y2+4x-2y+7=0B.x2+y2+8x+4y-6=0C.x2+y2-4x+2y-5=0D.x2+y2-8x-2y-9=02.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则= ( )A.2B.4C.6D.24.若直线y=kx-1与曲线y=-有公共点,则k的取值范围是( )A. B.C. D.[0,1]5.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是( )A.x-2y-1=0B.x-2y-1=0(x≠1)C.x+2y-1=0D.x-2y+1=0(x≠1)二、填空题(每小题4分,共12分)7.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.【补偿训练】以点P(2,-3)为圆心,并且与y轴相切的圆的方程是.8.已知经过点A(1,-3),B(0,4)的圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交,它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0,则圆C的方程为.9.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2015·厦门高一检测)已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求当m 为何值时,(1)直线平分圆.(2)直线与圆相切.11.求与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在2x+y+3=0上的圆的方程.高中数学必修二第四章《圆与方程》单元练习题参考答案(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【解析】选A.根据(x,y)关于y轴的对称点坐标是(-x,y),则得(-x+2)2+y2=5,即(x-2)2+y2=5. 【补偿训练】以(5,6)和(3,-4)为直径端点的圆的方程是( )A.x2+y2+4x-2y+7=0B.x2+y2+8x+4y-6=0C.x2+y2-4x+2y-5=0D.x2+y2-8x-2y-9=0【解题指南】求出圆心即可用排除法选出选项.【解析】选D.因为以(5,6)和(3,-4)为直径端点,所以圆心为(4,1),故选D.2.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【解析】选B.将两圆化成标准方程分别为x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,可知圆心距d=,由于2<d<4,所以两圆相交.3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则= ( )A.2B.4C.6D.2【解析】选C.圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径为r=2,因为直线l为圆的对称轴,所以直线经过圆心C(2,1),即2+a-1=0,所以a=-1,A(-4,-1),所以==2.又AB为圆的切线,所以===6.4.若直线y=kx-1与曲线y=-有公共点,则k的取值范围是( )A. B.C. D.[0,1]【解析】选D.曲线y=-表示的图形是一个半圆,直线y=kx-1过定点(0,-1),在同一坐标系中画出直线和半圆的草图,由图可知,k的取值范围是[0,1],故选D.5.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.圆x2+2x+y2+4y-3=0的圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=2,如图所示,圆心C到直线x+y+1=0的距离为,故过圆心C与直线x+y+1=0平行的直线l与圆的两个交点A,B到直线x+y+1=0的距离为.又圆的半径r=2,故过圆心C作直线x+y+1=0的垂线段,并延长与圆的交点C′到直线x+y+1=0的距离为,故选C.6.动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是( )A.x-2y-1=0B.x-2y-1=0(x≠1)C.x+2y-1=0D.x-2y+1=0(x≠1)【解析】选B.圆心为(2m+1,m),r=|m|,(m≠0),令x=2m+1,y=m消去m即得方程x-2y-1=0(x≠1).二、填空题(每小题4分,共12分)7.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.【解析】点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,所以半径为r=.圆的方程为x2+y2=5,在点P处的切线上任取一点Q(x,y),则PQ⊥OP.因为=(x-1,y-2),=(1,2),所以·=x-1+2(y-2)=0,即x+2y-5=0,即该圆在点P处的切线方程为x+2y-5=0.答案:x+2y-5=0【补偿训练】以点P(2,-3)为圆心,并且与y轴相切的圆的方程是.【解析】由已知条件可得圆心为(2,-3),半径为2,故方程为(x-2)2+(y+3)2=4.答案:(x-2)2+(y+3)2=4.8.已知经过点A(1,-3),B(0,4)的圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交,它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0,则圆C的方程为.【解析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则两圆的公共弦方程为(D+2)x+(E+4)y+F-4=0,由题意得解得.所以圆C的方程为x2+y2+6x-16=0,即(x+3)2+y2=25.答案:(x+3)2+y2=259.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.【解题指南】由A,B两点在圆上,所以AB的垂直平分线过圆心,求得直线BC的方程,从而确定圆心.【解析】由题意知A,B两点在圆上,所以AB的垂直平分线x=3过圆心,又圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),所以k BC=-1,故直线BC的方程为y=-x+3,所以圆心坐标为(3,0),所以r=,故圆的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求当m为何值时,(1)直线平分圆.(2)直线与圆相切.【解析】(1)因为直线平分圆,所以圆心在直线上,即有m=0.(2)因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,所以d===2,解得m=±2.即m=±2时,直线l与圆相切.11.求与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在2x+y+3=0上的圆的方程.【解析】设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意知,两平行线间距离d==,且(a,b)到两平行线x+3y-5=0和x+3y-3=0的距离相等,即=,所以a+3b-5=-(a+3b-3)或a+3b-5=a+3b-3(舍).可得a+3b-4=0. ①又圆心(a,b)在2x+y+3=0上,所以2a+b+3=0. ②由①②得a=-,b=.又r=d=.所以,所求圆的方程为+=.。
必修二第四章《圆与方程》单元测试题及答案
A . 3x — y — 5=B . 3x + y — 7= 0D . x — 3y + 1= 03.若直线(1 + a)x + y + 1 = 0与圆x 2 + y 2— 2x = 0相切，则a 的值为()B . 2,— 2C . 15.点M （3,— 3,1）关于xOz 平面的对称点是（ ）B. . 13C . 10D. 107.若直线y = kx + 1与圆x 2+ y 2= 1相交于P 、Q 两点，且/ POQ = 120°其中0为坐标原点), 则k 的值为( )A. .3B. 2C. 3或—3D. 2和—2吉林省德惠市实验中学2014-2015学年必修二第四章单元测试题（时间：120分钟 总分：150分） 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 、选择题（本大题共 一项是符合题目要求的 1已知两圆的方程是 ） x 2 + y 2= 1和x 2+ y 2— 6x — 8y + 9= 0,那么这两个圆的位置关系是 A •相离 B •相交 C .外切 2 .过点（2,1）的直线中，被圆 D .内切 x 2+ y 2— 2x + 4y = 0截得的最长弦所在的直线方程为 （C . x + 3y — 5 = 0 A . 1,— 1 4.经过圆x 2 + y 2= 10上一点A . x + ?6y — 10= 0 C . x — ',6y + 10= 0M(2 , 6)的切线方程是()B. 6x — 2y + 10= 0D . 2x + ,6y — 10= 0A . (— 3,3, — 1) （一 3，一 3，一 1）C . (3，一3,— 1)(3,3,1)6.若点A 是点B （1,2,3）关于x 轴对称的点, 点C 是点D （2, — 2,5）关于y 轴对称的点, 贝 U |AC|9. C . 直线 D .l 将圆x 2 + y 2— 2x — 4y = 0平分，且与直线 x + 2y = 0垂直，则直线I 的方程是（2x — y = 0B . 2x — y — 2= 0O 1: x 2 + y 2+ 4x — 4y + 7= 0 和圆 10. 圆x 2 + y 2— (4m + 2)x — 2my + 4m 2 + 4m + 1 = 0的圆心在直线 x + y — 4 = 0上，那么圆的面 积为()A . 9 nB . nC . 2 nD .由m 的值而定11. 当点P 在圆x 2 + y 2 = 1上变动时，它与定点 Q(3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是 ( )2 2 2 2A . (x + 3) + y = 4B . (x — 3) + y = 1C . (2x — 3)2 + 4y 2= 1D . (2x + 3)2 + 4y 2= 112.曲线y = 1+ 4 — x 2与直线y = k(x — 2) + 4有两个交点，则实数 k 的取值范围是()A . (0,寻)B .请‘+^ )1 3 5 3 C .(3，4】 D .(正，4】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上）13. _______________________________________________________________ 圆x 2 + y 2= 1上的点到直线3x + 4y — 25= 0的距离最小值为 _________________________________ . 14. __________________________________________________ 圆心为（1,1）且与直线x + y = 4相切的圆的方程是 _________________________________________ .15 .方程x 2 + y 2 + 2ax — 2ay = 0表示的圆，①关于直线y = x 对称；②关于直线x + y = 0对称; ③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是 ______________ 16 .直线x + 2y = 0被曲线x 2+ y 2— 6x — 2y — 15= 0所截得的弦长等于 ___________ . 三、 解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤）17 . （10分）自 A （4,0）引圆x 2+ y 2= 4的割线ABC ,求弦BC 中点P 的轨迹方程.O 2： x 2 + y 2— 4x — 10y + 13= 0都相切的直线条数是 与圆C . x + 2y — 3 = 0D . x — 2y + 3= 018 . （12 分）已知圆M : x2+ y2—2mx+ 4y+ m2— 1 = 0与圆N: x2+ y2+ 2x + 2y—2 = 0 相交于A,B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标.19 . （12 分）已知圆C1: x2+ y2—3x—3y+ 3= 0，圆C2：x2+ y2—2x—2y= 0,求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长.20. (12分)已知圆C：X2+ y2+ 2x—4y+ 3= 0,从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M , O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小值.21. (12 分)已知O C: (x—3)2+ (y—4)2= 1,点A( —1,0), B(1,0)，点P 是圆上动点，求d= |PA f + |PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标.22. (12 分)已知曲线C: x2+ y2+ 2kx+ (4k + 10)y+ 10k + 20= 0，其中心―1.(1) 求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2) 证明曲线C过定点；⑶若曲线C与x轴相切，求k的值.答案:1•解析：将圆x 2 +寸—6x — 8y + 9= 0，化为标准方程得(x — 3)2 + (y — 4)2= 16.二两圆的圆心距 0-3 2+ 0-4 2 = 5，又门+匕=5,「.两圆外切.答案：C 2•解析：依题意知，所求直线通过圆心(1,— 2)，由直线的两点式方程得 严!= ㈡，即3x1 +2 2— 1—y — 5= 0.答案：A3•解析：圆x 2+ y 2— 2x = 0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得卩+ a + 02+11= 1,即|a + 2| =寸(1 + a )+ 1a + 1 2+ 1,平方整理得a =— 1.答案：D4. 解析：•••点M(2, 6)在圆x 2 + y 2= 10上，k oM =专，二过点M 的切线的斜率为k =—£,2 3故切线方程为y — 6 =— f(x — 2)，即2x + ■,6y — 10= 0.答案：D 5.解点M(3 , — 3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1).答案：D 6.解析：依题意得点 A(1 ,— 2 , — 3) , C( — 2 , — 2 , — 5).二 |AC| = —2— 1 2+ — 2 + 2 2+ — 5 + 3 2= . 13.答案：B答案：C 8.解析：两圆的方程配方得，O 1： (x + 2)2+(y— 2)2= 1,。
人教A版必修二第四章圆与方程综合测试题
人教A 版必修二第四章圆与方程综合测试题一、单选题1．已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．()0,2，5B ．()0,2-，5C ．()0,2，5D ．()0,2-，5 2．直线230x y ++=与圆22:(1)1C x y ++=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 3．已知圆的一条直径的端点分别是()0,0A ，()2,4B ，则此圆的方程是（ ） A ．()()22125x y -+-=B ．()()221225x y -+-=C ．()2255x y -+=D ．()22525x y -+= 4．若圆()2214C x y -+=：上恰有两个点到直线30x y b -+=的距离为1，则实数b的取值范围（ ）A ．()7,3--B ．()1,5C ．()3,5-D ．()()7,31,5--⋃ 5．圆()()221:124O x y -++=，圆()()222:319O x y ++-=，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相外切D ．相内切 6．已知点A (-3，1，-4)，点A 关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A ．(-3，-1，4)B ．(-3，-1，-4)C ．(3，1，4)D ．(3，-1，-4) 7．在同一平面直角坐标系中，直线()12y k x =-+和2242410x y x ay a +--+-=的位置关系不可能是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③8．已知点)P 和圆C ：224x y +=，则过点P 且与圆C 相切的直线方程是（ ）A 4y -=B 4y +=C ．4x =D ．4x += 9．若圆1C 与圆2C ：2224360x y x y ++--=关于点()2,2P -对称，则圆1C 与圆2C 的公共弦长为（ ）A ．6B ．C ．8D ．10．已知圆O 的半径为3，且经过点()5,12P ，若点C 的坐标为(),a b ，最小值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．1011．已知半径为1的圆经过直线2110x y +-=和直线220x y --=的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-二、填空题13．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________．14．直线y ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是________.15．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =______．16．长为AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ，已知过定点()2,0P 的直线l 与曲线C 相交与E ，F 两点，O 为坐标原点，当EOF △的面积取到最大值时，直线l 的斜率为______.三、解答题17．（本题满分12分）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围；（2）求圆心C 的轨迹方程．18．已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，A 点坐标为()2,0-.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若直线:250l x y --=与坐标轴交于MN 两点，求PMN 面积的取值范围.19．已知圆C 的圆心C 在x 轴上，且圆C 与直线0x n ++=切于点3(,)22． （1）求n 的值及圆C 的方程：（2）若圆222:((0)M x y r r +-=>与圆C 相切，0-=截圆M 弦长．20．已知圆22:84160C x y x y +--+=关于直线:250l x y +-=对称的图形为圆C '.（Ⅰ）求圆C '的方程；（Ⅱ）若过点()2,1P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当AB =时，求直线l 的斜率.21．已知圆C ：2224150x y x y +-+-=.（1）过点()3,0M -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）过圆C 上一点()1,2P -作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补.求证：直线AB 的斜率为定值.22．已知()M m n ，为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点.(1)求2m n +的最大值；(2)求32n m -+的最大值和最小值； (3)求22m n +的最大值和最小值.参考答案1．C【分析】写出圆的标准方程，求圆心和半径.【详解】()222241025x y y x y +--=⇔+-=，所以该圆的圆心是()0,2，半径r =.故选：C2．A【分析】利用几何法判断，求出圆心()0,1-到直线的距离与半径比较大小即可判断.【详解】由圆22:(1)1C x y ++=得圆心()0,1C -，半径1r =， 圆心()0,1C -到直线230x y ++=的距离为：15d ==<， 所以直线230x y ++=与圆22:(1)1C x y ++=相交，故选：A【点睛】方法点睛：直线与圆的位置关系的判断（1）几何法：求圆心到直线的距离d 与半径r 比较大小，d r <时相交，d r =时相切，d r 时相离；（2）代数法：联立直线与圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，0∆>时相交，0∆=时相切，∆<0时相离.3．A【分析】根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程．【详解】直径两端点为()()0,0,2,4 ∴圆心坐标为()1,2圆的半径r ==，∴圆的方程为：()()22125x y -+-=.故选：A.【点睛】求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．4．D【分析】由题意知，0x b +=到圆心()10C ，的距离大于1小于3的直线即可满足要求. 【详解】解：()10C ，，半径2r ，圆心()10C ，到直线0x b -+=的距离：12b d +==，由题意知11r d r -<<+，即121212162b b +-<<+⇒<+<， 所以()()7,31,5b ∈--，故选：D.【点睛】 本题考查了直线和圆的位置关系以及点到直线距离公式的应用，属于基础题.5．C【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差比较即可判断.【详解】由题可知圆1O 的圆心为()1,2-，半径为2，圆2O 的圆心为()3,1-，半径为3， 则圆心距221213215O O ，1223O O ，故两圆外切.故选：C.【点睛】 本题考查两圆位置关系的判断，属于基础题.6．A【分析】根据在空间直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，即可得到结果.【详解】∵在空间直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数， ∵点()3,1,4A --，∴关于x 轴对称的点的坐标是()3,1,4--，故选：A.【点睛】本题考查空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键，属于基础题.7．D【分析】直线过定点()12，，圆的标准式:()()()222221x y a a -+-=-+，观察圆心、定点的位置关系即可.【详解】因为直线过定点()12，，圆的标准式为：()()()222221x y a a -+-=-+，圆心()2,a ，半径1r ≥，②圆心横坐标小于直线与圆公共点的横坐标，所以不可能；又定点在圆上，所以③不可能，故选:D8．B【分析】求出PC 斜率，即可得出切线斜率，求出切线方程.【详解】可知)P 在圆上，则PC k =则切线的斜率为所以切线方程为1y x -=4y +=.故选：B.9．C【分析】由圆的对称性可得点()2,2P -即为两圆公共弦的中点，由垂径定理即可得解.【详解】由题意，圆2C 的标准方程为()()221241x y ++-=，圆心()21,2C -，半径r = 因为圆1C 与圆2C 关于点()2,2P -对称，则由圆的对称性可得点()2,2P -即为两圆公共弦的中点，则公共弦长为8==. 故选：C.10．D【分析】先由题意，得到点(),C a b 的轨迹，再由圆的性质，即可求出结果.【详解】3=，即()()225129a b -+-=， 所以点(),C a b 在以()5,12P 为圆心，3为半径的圆上.(),a b 到原点的距离，3310PO -==.故选：D .11．C【分析】设出圆的方程，求出直线交点代入圆可得圆心在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，即可由此求出最值.【详解】设圆的方程为()()221x a y b -+-=， 联立直线方程2110220x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩， 将()3,4代入圆得()()22341a b -+-=， 则可得圆心(),a b 在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，则()3,45=，则圆心(),a b 到原点的距离的最大值为516+=. 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查与圆相关的距离的最值问题，解题的关键是得出圆心的轨迹是以()3,4为圆心，1为半径的圆，再求出轨迹圆的圆心到原点的距离，加上半径即可.12．B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+， 整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6. 故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.13．240x y --=【分析】利用圆系方程的求法，求解即可．【详解】设两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=的交点分别为,A B ，则线段AB 是两个圆的公共弦．由224x y +=和22(2)(1)1x y -++=两式相减，得4280x y --=，即240x y --=，故线段AB 所在直线的方程为240x y --=；故答案为：240x y --=.14．1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】作出图象，利用数形结合法，根据直线与圆有两个不同的交点，由直线过点（0，1）和与圆相切为临近点求解.【详解】如图所示：当直线经过点A (0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d 21313m=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得23m =(切点在第一象限)， 所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点， 则m 的取值范围是31,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：23⎛ ⎝⎭15．1 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得122m d +==，解可得m 的值，即可得答案.【详解】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为22 则圆心到直线l 的距离422d =-=圆心到直线l的距离231112m md-++==+，则有212m+=，解可得1m=或-3（舍），故1m=，故答案为：1．【点睛】思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.16．3±【分析】求出M的轨迹222x y+=得到2OE OF==，再利用正弦定理求得倾斜角得解.【详解】设(,)M x y由题得：122OM AB==,所以222x y+=，2OE OF==所以1sin sin2EOFS OE OF EOF EOF=∠=∠△当EOF90∠=时，EOF△的面积取到最大值此时45OEF∠=，设直线倾斜角为α在三角形EOP中，利用正弦定理得：22sin12sinsin sin22OP OE OE OEFOEF OPαα∠=⇒===∠0απ≤<, 6πα∴=或56πk ∴=故答案为: ±【点睛】线段AB 的中点M 的轨迹及利用正弦定理求得倾斜角是解题关键.17．（Ⅰ）117m -<<；（Ⅱ）2424350x y x --+=2047x <<（）【解析】试题分析：（1）方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，且D 2＋E 2－4F ＞0,代入公式即可解出取值范围；（2）设出圆心(),C x y 由题意可得2341x m y m =+⎧⎨=-⎩， 消参数m ,此时注意参数取值范围为117m -<<，所以轨迹方程为2424350x y x --+=2047x <<（）试题解析：（1）()()()22244341441690m m m ++--+>，解得：117m -<< ．5分 （2）设圆心(),C x y则2341x m y m =+⎧⎨=-⎩， 消参数m 得：2424350x y x --+= 7分 由（1）117m -<<得2047x << 9分所以圆心C 的轨迹方程为：2424350x y x --+=2047x <<（）12分考点：圆的方程、轨迹方程．18．（1）220x y y +-=；（2）2525,4444⎡-+⎢⎣⎦. 【分析】（1）利用中点坐标公式，进而求解线段AP 中点的轨迹方程即可 （2）利用点到直线的距离公式，进行求PMN 面积的取值范围即可 【详解】（1）已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，A 点坐标为(2,0)-设AP 的中点为(,)Q x y ，()0,o P x y ，由中点坐标公式可知，00222x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以00222x x y y=+⎧⎨=⎩代 入圆22:4240C x y x y +--+=中，故线段AP 中点的轨迹方程为220x y y +-=（2）圆22:4240C x y x y +--+=化为()()22211x y -+-=，圆心()2,1C ，半径为1，圆心到直线l=，则圆上一动点P 到直线l11，又2MN =，所以面积25254444S ⎡∈-+⎢⎣⎦【点睛】关键点睛：利用中点坐标公式以及点到直线的距离公式求解即可，属于基础题 19．（1）3n =-； ()2211x y -+=.（2）外切，. 【分析】（1）利用点在直线上，求解n 的值，设出圆心，求出半径即可求出圆的方程.（2）根据圆与圆相切可得圆M 的半径，利用半弦长，圆心到直线的距离，满足勾股定理即可求解. 【详解】（1）圆C与直线0x n ++=切于点3(2，点3(2在直线0x n ++=上，则3022n ++=，解得3n =-. 圆C 的圆心C 在x 轴上，设圆心为()0m ,，半径为r ， 则圆C 的方程为()222x m y r -+=，所以0232m -=-1m =，1r ==， 则圆C 的方程为()2211x y -+=. （2）根据题意，()1,0C，(M ， 当两圆外切时，41CM r ==+，3r = 当两圆内切时，41CM r ==-，=5r ， 点M0-=的距离d ==当两圆外切时，3r =，此时弦长l ===， 当两圆内切时，=5r，此时弦长l ===20．（Ⅰ）224x y +=；（Ⅱ）83k ±=. 【分析】（Ⅰ）由圆C 与圆C '关于直线l 对称有直线CC '与直线l 垂直，且C 、C '的中点在:250l x y +-=，即可求得C '坐标，进而写出圆C '的方程；（Ⅱ）由弦长AB =，结合已知有直线l 为(2)1y k x =-+，利用点线距离公式、勾股定理即可求直线l 的斜率. 【详解】（Ⅰ）整理圆C 的方程：22(4)(2)4x y -+-=，即圆心为(4,2)C ，∴直线CC '：12y x =，令00(,)2x C x '，则0044(,)24x x ++在:250l x y +-=上， 代入可得：00x =，即(0,0)C '，又圆C 与圆C '关于直线l 对称，即圆C '的方程为224x y +=；（Ⅱ）当直线l 为2x =时，||0AB ==<不合题意； ∴可设直线l 为(2)1y k x =-+，而圆心(4,2)C 到直线l 的距离为d =由题意，有222(21)3134144k d k -==-=+，解得83k =. 21．（1）260x y -+=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于点()3,0M -在圆C 上，只要直线l 与直线MC 垂直，利用垂直关系得出斜率，即可得出直线l 的方程；（2）由直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，得出直线PA 和PB 的斜率相反数，分别设出直线PB ，PA 的方程，并与圆的方程联立，求出,A B 的坐标，再由斜率公式证明直线AB 的斜率为定值. 【详解】解：（1）由题意可知，点()3,0M -在圆C 上，则点()3,0M -是圆C 的切点. 又圆C 的方程可化为，()()221220x y -++=.所以圆C 的圆心为()1,2-，半径r =所以021312MC k +==---. 由1MC l k k ⋅=-可求得，2l k =.此时，所求直线l 的方程为()023y x -=+，即26y x =+. 故所求直线l 的方程为260x y -+=.（2）由题意知，直线PA 和PB 的斜率存在，且互为相反数.可设直线PA 的方程为()21y k x -=+由()222124150y k x x y x y ⎧-=+⎨+-+-=⎩消元，得()()22221241830k x k k x k k +++-++-=.由点()1,2P -在圆C 上可知，点()1,2P -的横坐标1x =-是上述方程的一个解.所以()228311A k k x k +-⋅-=+，即22831A k k x k --+=+. 可设直线PB 的方程为()21y k x -=-+，同理可得，22831B k k x k -++=+. 所以()()()11212B A B A B A ABB A B A B A k x k x k k x x y y k x x x x x x -+-+--+-====----. 故直线AB 的斜率为定值12-. 22．（1）16+（2）最大值为2+2；（3）最大值为61+最小值为61-【分析】（1）2m n +的最大值，等价于过圆上一点作斜率为2-的直线的截距的最大值，设2x y b +=，当直线20x y b +-=与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，计算即得解； （2）32n m -+看成是过点()M m n ，和()23Q -，的直线斜率，设直线MQ 的方程为：3(2)y k x -=+，利用圆心到直线的距离不大于半径解不等式即可.（3）22m n +表示点(),M m n 与点()0,0的距离的平方，转化为圆上的点(),M m n 与点()0,0的距离的距离平方；【详解】解：(1)∵22414450x y x y +--+=的圆心(27)C ，，半径r = 设2m n t +=，将2m n t +=看成直线方程，∵该直线与圆C 有公共点，∴圆心C到直线的距离d =≤解上式得：1616t -≤≤+，∴2m n +的最大值为16+(2)记点()23Q -，，∵32n m -+表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由直线MQ 与圆C 有公共点，≤，可得22k -≤≤+，∴32n m -+的最大值为2+2； (3)∵设22(0)(0)m n μ=-+-，等价于圆C 的圆心(27)C ，到原点的距离的平方，则22max )61r μ===+22min )61r μ===-【点睛】方法点睛：(1)ax by +型的最大值转化为直线ax by c +=的截距的最大值； (2)x ay b--型的最大值和最小值转化为过点(,)x y 和(,)a b 的直线斜率的最大值和最小值； (3)()()22x a y b -+-型的最大值和最小值转化为(,)x y 和(,)a b 的距离的最大值和最小值的平方.。
高一数学 必修2 第4章 圆与方程 章节测试
1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．() [提示]×，根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形．2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．() [提示]×，两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱．3．上、下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．() [提示]×，圆台的母线延长后交于一点．4．球的体积之比等于半径比的平方．() [提示]×，由球的体积公式可知球的体积之比等于半径比的立方．5．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．() [提示]√，根据台体与锥体之间的关系可知正确．6．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()[提示]×，由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为r，则有S＝πr2，从而圆柱侧面积为4πS.7．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．() [提示]×，由公理3可知错误．8．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．() [提示]√，如空间直角坐标系中三条坐标轴可以确定三个平面．9．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．() [提示]×，由条件知直线a与平面α相交，则平面内凡过交点的直线都与a相交．10．没有公共点的两条直线是异面直线．() [提示]×，没有公共点的两条直线可能平行或异面.11．若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．() [提示]×，根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．12．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．() [提示]×，根据线面平行的性质定理可知，此直线与平面内的无数条直线平行而不是与任一条直线平行．13．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()[提示]×，若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.14．若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．() [提示]×，直线a与点P确定一个平面β，若α∩β＝b，则a∥b.15．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.() [提示]×，如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交．16．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() [提示]√，分别在两个平面内的两条直线没有公共点，则它们平行或异面.17．直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α. () [提示]×，根据直线与平面垂直的定义可知此结论错误．18．直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. () [提示]×，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面．19．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.() [提示]×，此直线不一定与平面β垂直，因此两平面不一定垂直.20．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．() [提示]×，根据面面垂直的性质定理可知该结论错误.21．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α. ()[提示]√，两条平行线中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．22．确定圆的几何要素是圆心与半径．() [提示]√，根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径．23．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．() [提示]×，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2中当t2>0时才表示圆心为(a, b)，半径为|t|的一个圆．24．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F ＞0.()[提示]√，若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则必有x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0成立．25．过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.() [提示]√，过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2，这一结论需记住．26．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．() [提示]×，如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切或内切．27．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．() [提示]×，如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交、内切或内含．28．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．() [提示]√，由于两圆相交，故其公切线有且仅有两条．29．两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0. () [提示]×，只有当x，y对应项系数相等时才能用公式求距离．1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．2 5C．3 D．2B[由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.]①②2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10πB[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8 B．6 2C．8 2 D．8 3C[连接AC1，AC，BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB ⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2 3.又B1C1＝2，所以BB1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝8 2.] 4．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A[由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]5．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为() A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3B[设等边三角形ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin 60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－（23）2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.]6．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．22B．32C．52D．72C[如图，连接BE，AE.因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝ 5.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝BEAB＝52.故选C.]7．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．[2，32] D．[22，32]A[由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝ 2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]8．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．402π[如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，母线SA，SB的夹角为θ，由cos θ＝78，得sin θ＝158，由△SAB的面积为12l2sin θ＝515，得l＝45，又SA与圆锥底面所成角为45°，所以r＝22l＝210，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π×210×45＝402π.]9．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．8π[由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得12l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝12l＝2，AO＝32l＝2 3.故该圆锥的体积V＝13π×AO2×SO＝13π×(23)2×2＝8π.]10．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．22[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|－1－1|2＝2，所以|AB|＝222－（2）2＝2 2.]。
高中数学必修二第四章圆与方程测试题
[综合训练B 组]一、选择题1．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ）A ．1-或3B ．1或3C ．2-或6D ．0或42．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ）Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．556 3．直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时， 斜率k 的取值范围是( )A ．），（2222-B ．），（22-C ．），（4242-D ．），（8181- 4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x5．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ） A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k６．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（） A ．1± B ．21±C ．33±D ．3±二、填空题1．直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于2．圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的外有一点00(,)P x y ，由点P 向圆引切线的长______2． 对于任意实数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系是_________4．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 . ５．P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为_______. 三、解答题１．求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程。
人教版高中数学必修二第四章《圆与方程》单元试卷(2)
第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析： 圆心 C 的坐标为 (8,1)， 由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析： 由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析： 设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解： 设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解： 设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解： 设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直． 则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式 ＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足 ＞ 0，故 a ＝－ 1.。
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数学必修二的第四单元(圆与方程)测试题（时间：60分钟，满分：100分）
班级______________ 姓名________________ 学号_________
一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分
1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C22半径为2的圆则a、b、c的值依次为（）
A2、4、4B-2、4、4C2、-4、4
D2、-4、-4
2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为（）
(A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3.点4)()()1,1(22ayax在圆的内部则a的取值范围是
(A) 11 a (B) 10a (C) 11aa或(D) 1 a
4方程02222kyxyx表示一个圆则实数k适合的条件是A45k B. 25k C. 2626kk或 D. 2525k
5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是( )
(A) 222yx (B) 422yx
(C) )2(222xyx (D) )2(422xyx
6.在方程2 20x y Dx Ey F中若2 2D E4F则该圆的位置满足（）
(A) 截两坐标轴所得的弦长相等(B)与两坐标轴都相切
(C) 与坐标轴相离(D) 上述情况都有可能7从点)3,(xP向圆1)2()2(22yx作切线切线长的最小值等于（）
A.4
B. 62
C. 5
D. 5.5
8M x0y0为圆x2+y2=a2a>0内异于圆心的一点则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）
A、相切
B、相交
C、相离
D、相切或相交
9. 若P x y在圆2 24 3 0x y x上则yx的取值范围是（）
A3,03B 3 3,3 3C3,03D3,3
10.若圆2 221x a y b b始终平分圆 2 21 1 4x y的周长则实数,a b应满足的关系是（）A22 2 3 0a a b B22 2 5 0a a b C2 22 2 2 1 0a b a b
D 2 23 2 2 2 1 0a b a b
二、填空题(本大题共7小题每小题4分共28分.把答案写在相应横线上)
11.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切则a的值为_________.
12过圆x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的交点且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为____________.
13.设A为圆1)2()2(22yx上一动点则A到直线05 yx
的最大距离为________.
14 2 2, | 4M x y x y 2 22, | 1 1 0N x y x y r r
且M∩N=N则r的取值范围是_______.
15.若过点(4,0)A的直线l与曲线2 2( 2) 1x y 有公共点则直线l的斜率范围为_________.
16. 已知圆C的圆心与点( 2,1)P关于直线1y x 对称
直线3 4 11 0x y与圆C相交于BA,两点且6 AB 则圆C的方程为________________________.
17.直线y=x与曲线x=21y有且仅有一个公共点则的取值范围是_______.
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写在文字说明、证明过程或演算步骤)
18.已知圆与y轴相切圆心在直线x-3y=0且这个圆经过点A61求该圆的方程.
19.过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA (1)求弦OA中点M
的轨迹方程 (2)延长OA到N使|OA|=|AN|求N 点的轨迹方程.
20.圆8)1(22yx内有一点P(-1,2),AB过点P, ①若弦长72||AB求直线AB的倾斜角②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于2求直线AB的方程.
21. 已知⊙C: (x3)2+(y4)2=1点A(1, 0), B(1, 0)点P是圆上的动点求d=|PA|2+|PB|2的最值及对应的点P 的坐标。
22.已知圆的方程是02)2(2222yaaxyx其中1a且Ra。
1求证a取不为1的实数时上述圆恒过定点2求与圆相切的直线方程3
求圆心的轨迹方程。