北师大版数学八年级上册2.7《二次根式》课件
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北师大版八年级数学上册《2.7二次根式(第1、2课时)》课件
2 5;
2
3 12；
3 2
xy
1 ; x
4
288
1 . 72
2 5 2 5 10；
3 12 36 6；
(2) 3 12
1 1 2 xy 2 y； 3 2 xy x x
的式子叫做
例1 当x是怎样的实数时， 义？
x2
在实数范围内有意
解：由
x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
当x是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？ x ?
2
3
x为任意实数
x为大于或等于零的实数
练
习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？ 解：设其宽为2x，长为3x，则有
把
a a 反过来，就得到 b b
a a a 0, b 0 . b b
利用它可以进行二次根式的化简.
例5 化简：
1
3 ; 100
2
25 y . 2 9x
3 3 3 解： ； 1 100 10 100
25 y 5 y 25 y . 2 2 2 9x 3x 9x
2 3 2 a 2、 、 19 a
等，你发现有何特点？
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
被开方数4ab含 4，a，b这样的因 数或因式，其中4 可以开方后移到根 号外，它是开得 尽的因数
练习
1.计算：
1
解: (1)
6 5 2 30 2；
3
北师大版数学八年级上册2.7二次根式第1课时课件
教科书第43页 习题2.9 第1、2 、3题
再见
n
(2)二次根式作为分式的分母时，如
有意义
m
的条件：m ＞ 0.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做 (1) 计算下列各式.
49= 6
4= 2 93 25 = 5 49 7
4 9= 6
4= 2 93 25 = 5 49 7
ab= a b
a= a bb
你有什么猜想？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
抢答
1.选择.
(1)下列各式是最简二次根式的是( C )
A. 7
B. 3 2
C. 3
2
D. 5
(2)下列各式正确的是( B )
A. a b a b C. （ 2）（ 3） 2 3
B. 2 3 2 3
D.
8 =2 27 3
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式. a叫做被开方数.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
1 外貌特征：含有“ ”. 2 内在特征：被开方数a ≥0.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1) 18； (2) 9； (3) 0.2； (4) m m≤0； (5) xy x，y异号； (6) x2 1；(7) 3 7.
个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ a ”.
什么数有算术平方根? 正数和0有算术平方根，负数没有平方根.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
新北师大版数学八上2.7《二次根式》(第1课时)课件
， 4＝ 9
2 3；
16 ＝ 4 ， 16 ＝ 4 ．
25 5
25 5
有何发现： 4 9 ＝ 4 9， 16 25 ＝ 16 25 ，
Байду номын сангаас
初中数学课件
4 ＝
9
4 9，
16 ＝ 25
16 25 ．
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7 ＝ 6.480 ；
6 ＝ 0.9255 ，
其中字母a、b可以是什么数？有什么
限制条件吗？
注意公式里的条件噢！
初中数学课件
例1 化简 （1） （2） （3）
知识巩固
； ；
。
初中数学课件
知识小结
（1）掌握并会运用公式： a b a b（a≥0，b≥0）， a a （a≥0， b＞0）． bb
（2）理解本节课中用过的数学方法： 类比，找规律，归纳总结．
第二章 实数
7. 二次根式（第1课时）
初中数学课件
问题1 ： （其中b=24,c=25），上述式子有什么共同
特征？
问题2：二次根式怎样进行运算呢？
初中数学课件
做一做：
填空：（1） 4 9＝ 6 ， 4 9 ＝ 6 ；
16 25＝ 20 ， 16 25 ＝ 20 ；
4 ＝
9
2 3
7
6 ＝ 0.9255 ． 7
有何发现：
6 7 ＝
6 7，
6 ＝
7
6 7．
4 9 ＝ 4 9， 16 25 ＝ 16 25 ，
4 ＝
4，
99
16 ＝
16
．
25 25
八级数学上册2.7二次根式课件(新版)北师大版
四种运算
加 、减、乘、除
初中数学
初中数学
1. x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x≥0 (2) 3x x≤0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x 0 x
(5) x3 x≥0
(6)
1 x2
x0
初中数学
2.当 x 1 y 3 0时， x （ -1 ），y （ 3 ）
3.已知 x 5 6 3y z 22 0
初中数学
（一）二次根式
a2 2500
b3
2
h
5
观察以上各式，它们有什么共同特点？
表示一些正数的算术平方根
初中数学
形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式 1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
5
，用含有h的式子
.
初中数学
?米 50米
b-3
1.知识目标
（1）掌握二次根式的概念和性质，会确定被开方数的取值 范围；
（2）能利用积（或商）的算术平方根的性质进行二次根式 的化简和运算.
2.教学重点
二次根式的加减乘除运算.
3.教学难点
二次根式的乘除法与二次根式的积（或商）的算术平方根 的关系及应用.
A. 10 3 B.3 C. 3 D. 10 3
初中数学
初中数学
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式
1、ab a ba 0,b 0
二 次
两个公式
2、
a b
a b
最新北师大版八年级数学上2.7第2课时二次根式的运算ppt公开课优质课件
边长
8
边长
2
82 2
讲授新课
一 二次根式的乘除运算
8 根据什么法则化成 2 2 ?
a b a b（a≥0，b≥0），
还记得吗?
a a （a≥0，b＞0）． b b
a b a b（a≥0，b≥0），
二次根式的乘 法法则和除法法则
a a （a≥0，b＞0）． b b
典例精析
例1：计算:
(1) 3 5；
1 (2) 27； 3
24 (3) . 3
解： (1) 3 5 3 5 15;
(2) 1 1 27 27 9 3; 3 3
24 24 (3) 8 4 2 2 2. 3 3
二 二次根式的加减运算
同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前
4 2 2. 把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式= 2 2
课堂小结
乘除法则
二次根式 的运算
加减法则
乘除公式
课后作业
见本课时练习
(2)原式= 6 4 2 3 2 4 2 2;
1 2 3 4 3 (3)原式= 2 3 2 3 3 3. 2 2 3 3 3 3
2
当堂练习
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（ 2 ）＝ 4； （2） 2 5 （ 5 ）＝10； （ 1 ）8
（3）
第二章 实数
2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算.（重点） 2.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点）
导入新课
北师大版八年级上册2.7.2二次根式课件 (共26张PPT)
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算3a2·2a3= 6a5 .
提示：可 类比上面
2. 计算:
(1)2 5 3 7；
的计算哦
(2)4
27
-
1 2
3 .
解:(1)2 5 3 7 2 3 5 7 =6 35;
(2)4
27
课堂小结（1分钟）
1、在实数范围内，有理数的运算法则及运算律仍然成立。
2、会正确运用公式： a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0， b＞0）．
bb 3、同类二次根式：几个被开方数相同的最简二次根式.
4、在二次根式的运算中， ：
（1）最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式. （2）加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并” （3）合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根 式（即同类二次根式）才能进行合并.
a b c n abc n a 0,b 0,c 0n 0
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
m a n b mn ab a 0,b 0
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
(3) 2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
或者 2 3 5 2 3 5 30
归纳 (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算， 说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二 次根式相乘，即 a b k a b k（a 0,b 0,k 0).
2.7.1 二次根式及其性质 北师大版数学八年级上册教学课件
替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外 时，要注意应写在分母的位置上； (3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母． 注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式；
(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3)去根号后漏掉括号．
例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由．
0.7 x 2 y 3 x .
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
法则； (2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负
数，除式是正数； (3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分
母中的根号化去．
分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化； (2)依据：分式的基本性质及 ( a )2 a (a≥0)； (3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
积的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__积__; 商的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__商__;
例3 化简：
(1)
81 64;(2)
25 6;(3)
5 .
9
解：(1) 81 64 81 64 9 8 72;
(2) 25 6 25 6 5 6;
第二章 实数
2.7 二次根式 第1课时 二次根式及其性质
二次根式的定义 二次根式的性质 最简二次根式
观察下列代数式：
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24，c 25）. 121
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的 共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负 数.
(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3)去根号后漏掉括号．
例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由．
0.7 x 2 y 3 x .
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
法则； (2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负
数，除式是正数； (3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分
母中的根号化去．
分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化； (2)依据：分式的基本性质及 ( a )2 a (a≥0)； (3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
积的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__积__; 商的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__商__;
例3 化简：
(1)
81 64;(2)
25 6;(3)
5 .
9
解：(1) 81 64 81 64 9 8 72;
(2) 25 6 25 6 5 6;
第二章 实数
2.7 二次根式 第1课时 二次根式及其性质
二次根式的定义 二次根式的性质 最简二次根式
观察下列代数式：
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24，c 25）. 121
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的 共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负 数.
北师大版八年级上册数学 2.7.1二次根式 课件(28张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
归纳:二次根式中字母的取值范围
?
必须满足被开方数大于等于零.
1、 a 1 表示什么？是平方根，还是算术平方根？
算术平方根
2、 a 1 的被开方式是什么？被开方式必须满足什 么条件,二次根式才有意义？
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
下列各式中哪些是二次根式？
?
7, 1, x6, x2y(y0), x2y2, 3
3 x2y2, a1 3
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 12:21:42 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
•
归纳:二次根式中字母的取值范围
?
必须满足被开方数大于等于零.
1、 a 1 表示什么？是平方根，还是算术平方根？
算术平方根
2、 a 1 的被开方式是什么？被开方式必须满足什 么条件,二次根式才有意义？
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
下列各式中哪些是二次根式？
?
7, 1, x6, x2y(y0), x2y2, 3
3 x2y2, a1 3
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 12:21:42 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
北师版八上数学2.7 二次根式(第三课时)(课件)
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数学 八年级上册 BS版
（2）计算：
①
②
3
2 3
＋
3
3+ 3
2
3
－
；
5−1
3− 3
＋ 12 －
3+1
2
＋
3
.
4
【思路导航】先将算式中的分母有理化，再根据二次根式的性
质和运算法则以及混合运算的顺序进行计算.
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数学 八年级上册 BS版
3 3
2（ 5+1）
3（3+ 3）
3
解：①原式＝
＋
－
＝ ＋
2 3× 3
（ 5−1)( 5+1） （3− 3)(3+ 3） 2
5+1
3+ 3
3＋ 5+1−3− 3
5−2
－
＝
＝
.
2
2
2
2
②原式＝
3（3− 3）
（3+
3)(3− 3）
3
3−1
3
＝
－4＋ ＝
2
2
2
＋2 3 －3－2 3 －1＋
3
3 3−3
＝
－4＋
2
9−3
9
3－ .
2
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数学 八年级上册 BS版
公式等）在二次根式的运算中仍然成立；（3）二次根式运算的
结果应写成最简二次根式（或整式）的形式，并且分母中不含
二次根式.
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数学 八年级上册 BS版
计算：
（1） （ 2 + 1）2 － 8 ；
（2） （ 6 －2 3 ）× 3 －6
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》(3)ppt课件
B
)
B. 2＋ 3＝ 5 D. 8＝2 2 2 5 5× 50＝_______.
2 3．(3 分)(2014·衡阳)化简： 2( 8－ 2)＝_______ ．
40＋ 5 2 2＋1 4．(3 分)(2014·青岛)计算： ＝____________ ． 5
5．(8 分)计算： (1)2 8－9 1 2； (2) 3( 8－ 2＋ 1 3 )；
解：(2)2＋4 5
20．(10 分)计算： (1) 2 1 13－2 45＋2 20－2 60；
(2)(3 12－2 1 2 3. 3＋ 48)÷
2 15 解：(1)－2 5－ 3
14 解：(2) 3
21．(10 分)阅读下列材料，回答问题： 2 在进行二次根式运算时，形如 一样的式子，我们可以将其进一 3－1 2×（ 3＋1） 2 （ 3 ＋1 ） 2 步化简： ＝ ＝ ＝ 3＋1 3－1 3－1 （ 3－1）（ 3＋1） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请用上述的方法化简 2 ； 5－ 3
4 3 17．已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，则 x2－y2＝_________ ．
1 1 18．已知 x＝ ，则 x－x的值等于_______ 4 ． 5－2
19．(8 分)计算： (1)(2014·荆门)计算： 24× 1 3－4× 1 0 × (1 － 2) ； 8
解：(1) 2
(2)(5 48－6 27＋4 15)÷ 3.
2 10 _________ ．
11．下列计算正确的是( A. 8－ 2＝ 2 C. 2× 3＝6 12．计算 2 A．3 2－2 3 C．5－ 3 1 2－6
A )
B. 2＋ 3＝ 5 D. 8÷ 2＝4
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叫做
被开方数 .
2. 一般地，被开方数不含 分母 ，也不含能开得尽 方的 因数 或 因式 ，这样的二次根式，叫做最 简二次根式. 3. 二次根式的乘法法则和除法法则： (1) (2)
a
b＝
a b
ab
(a≥0，b≥0)； (a≥0，b>0).
a ＝ b
4. 在 个( C ) A. 1
1 2, , 1.5, 40 中，是最简二次根式的有 2
解 (1) 48 12 4 3 2 3 2 3.
(2)( 12 5 8) 3 12 3 5 8 3 36 5 24 6 10 3. 32 18 4 2 3 2 (3) 2 2 2 1. 2
举一反三
计算：
(1) 8 18;
B. 2
C. 3
D. 4
名师导学
新知 1
二次根式的概念
一般地，式子 a (a≥0)叫做二次根式. 【例1】当x是多少时， 3x 1 在实数范围内有意义？
解析 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于
或等于0，所以3x－1≥0时，
3x 1才有意义.
解 由3x－1≥0，得x≥
1 因此当x≥ 时， 3
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
新知 4 二次根式的加减
【例4】计算： (1) 48 12 ； (3) (2) ( 2 5 8) 3 ；
32 18 . 2 解析 (1)先将这两个二次根式化成最简二次根式，再合
并同类二次根式. (2)运用乘法分配律和二次根式的乘法 法则进行计算. (3)先将分子合并同类项，再运二次根式 的除法法则进行运算.
【例3】计算： 54 . 3 解析 解 直接利用二次根式的除法法则进行计算.
54 54 18 32 2 3 2. 3 3
举一反三
下列运算错误的有( C ) ① 16 4 ②
36 6 49 7
③ 32 3
④ ( 3) 2 3
⑤ 32 3
2.7
二次根式
学习目标
1.了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条 件和性质. 2.熟练进行二次根式的乘除法运算. 3.理解同类二次根式的定义，并能熟练进行二次根
式的加减法运算.
4.了解最简二次根式的定义，并能运用相关性质进 行二次根式的化简.
课前预习
1. 一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式，a
8 18 2 2 3 2 16x 64x ;
16x 64x 4 x 8 x (4 8) x 12 x ;
1 (3)3 48 9 3 12. 3
1 3 48 9 3 12 12 3 3 3 6 3 3 (12 2 6) 3 15 3.
1 . 3
3x 1在实数范围内有意义.
注意
二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，
即被开方数一定要大于或等于0.
新知 2 二次根式的乘法
【例2】计算： 3
解析 解
2 .
直接利用二次根式的乘法法则进行计算.
3 2 3 2 6.
举一反三
计算：
5 3.
15
新知 3 二次根式的除法及化简