八年级数学竞赛讲座由中点想到什么附答案

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八年级竞赛辅导《由中点想到什么》

由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解及中点有关问题的关键，由中点想到什么常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题讲解【例1】如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点， AB=10cm ，则MD 的长为．【例2】如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边AD ≠BC ，分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ．则AB 及MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，及直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)； (2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 及△ABC 三边又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．练习题1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ． 2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).3．如图，△ABC 边长分别为AB=14， AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是． 4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ． 5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( ) A ．40 B ．48 C 50 D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( ) A ．8cmD ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABFD 的中位线长为( )A ．不能确定B ．23C ．3D ．3+18．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题： ①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形； ②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ； ⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( ) A ．①② B ．③④ C ．③④⑤⑥ D ．①②③④9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ． 10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ． (1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31若不能，说明理由；若能，求出AB 及CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．14．四边形ABCD 中，AD>BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别及EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，BC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255 C ．32 D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 及AD+BC 的大小，并证明你的结论． 20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为DE 的中点． (1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC 是否还能成立并证明其结论．21．如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN ，过A 、B 、C 、D 四个顶点分别作MN 的垂线AA 1、BB 1、CC l 、DD l ，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1．(1)求证AA 1+ CC l = BB 1 +DD l ；(2)如图乙，直线MN 向上移动，使点A 及点B 、C 、D 位于直线MN 两侧，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，则AA 1、BB 1、CC l 、DD l 之间存在什么关系(3)如图丙，如果将MN 再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，则AA 1、BB 1、CC l 、DD 1之间又存在什么关系。

初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题

初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。

第新课标八年级数学竞赛辅导讲座-十八讲-由中点想到什么

第十八讲由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点， AB=10cm ，则MD 的长为．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨取AB 中点N ，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法．【例2】如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边AD ≠BC ，分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ．则AB 与MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．(浙江省宁波市中考题)思路点拨联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．(2003年黑龙江省中考题)思路点拨图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ． (2001年天津赛区试题)思路点拨通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口．注需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．(2003年广西中考题)2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).(200l 年山东省济南市中考题)3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．(2002年天津市中考题)5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A ．40B ．48C 50D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( )A ．8cm D ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( ) A ．不能确定 B ．23 C ．3 D ．3+1(2001年浙江省宁波市中考题)8．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题： ①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④(2001年江苏省苏州市中考题)9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．(2003年上海市中考题)10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．(2002年四川省竞赛题)13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．(重庆市竞赛题)14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．(2003年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论． (山东省竞赛题)20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．(1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．(江苏省竞赛题)21．如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN ，过A 、B 、C 、D4个顶点分别作MN 的垂线AA 1、BB 1、CC l 、DD l ，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1．(1)求证AA 1+ CC l = BB 1 +DD l ；(2)如图乙，直线MN 向上移动，使点A 与点B 、C 、D 位于直线MN 两侧，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD l 之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN 再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD 1之间又存在什么关系?。

“中点相遇”及“两次相遇”命题原理和解题技巧

“中点相遇”及“两次相遇”命题原理和解题技巧本文通过举一反三，透析小升初奥数杯赛考试中的行程问题——“中点相遇”及“两次相遇”命题原理和解题技巧！第一篇：【透析杯赛“中点相遇”命题原理和解题技巧】是指在距离中点的某个地方相遇。

借助中点，可以帮我们找到两人的路程差（即‘多走的路程’是相遇地点距离中点路程的2倍），再结合速度差，可以求出相遇时间和总路程。

解题时，关键要把握两种情形：同时出发和不同时出发。

下面我们以几个典型试题为例进行具体分析和拓展，以便同学们熟练掌握这种题型的命题特点和答题技巧。

【举一】小花猫和小花狗是一对好朋友，它们分别从A、B两地同时出发，相向而行，小花猫每分钟行80米，小花狗每分钟行100米，它们在途中的C处相遇。

问：A、B两地之间的距离是多少米？考点透析：围绕中点找两人的路程差。

由于小花猫先走9分钟，走了80×9=720米，结果小花猫先过中点。

解题核心是找出猫和狗在‘相遇时间’内的路程差。

相遇时，小花猫比小花狗多走280×2=560米，这560米是小花猫提前9分钟的结果，但为什么不是720米呢？即9分钟后，小花狗在‘相遇时间’内又追回了80×9－560=160米，进而可知‘相遇时间’是160÷（10 0－80）=8分钟。

解答：280×2=560（米）80×9-560=160（米）160÷（100-80）=8（分）80×9+（80+100）×8=2160（米）答：略。

【反三】1、甲、乙两人同时从两地相向跑步而行，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，两人刚好在距中点3千米处相遇，问两地相距多少千米？考点透析：同时出发，则相遇时间就是走完全程的时间。

路程差是相遇点距离中点的2倍，2×3=6千米，再根据甲乙的速度差可以求出相遇时间。

解答：3×2=6（千米）6÷（12-10）=3（小时）3×（12+10）=66（千米）答：略。

初中数学培优专题学习专题22 关于中点的联想

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）

八年级数学竞赛培优专题及答案19平行四边形矩形菱形.docx

专题19平行四边形、矩形、菱形（吴梅录入）阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】如图，矩形的对角线相交于。

，AE^ZBAD,交3。

于E, ZCAE= 15°,那么ZBOE=.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2］下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.lB. 2C. 3D.4（全国初中数学联赛试题）解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD的边长为2, BD=2, E, F分别是边AD, CD上的两个动点且满足AE+CF=2.（1）判断的形状，并说明理由；（2）设ABEF的面积为S,求S的取值范围.（烟台中考试题）解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2）,只需求出BE的取值范围.【例4】如图，设F为等腰直角三角形ACB斜边上任意一点，PE±AC于点E, PF ±BC于点F, FG1EF于点G,延长GP并在春延长线上取一点Z）,使得PD=PC.求证：BCLBD, BC=BD.（全国初中数学联赛试题）解题思路：只需证明左CPB^ADPB,关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在口ABCZ）中，ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线OC的延长线于点F.(1)在图1中证明CE=CF；(2)若ZABC=90°, G是EF的中点(如图2),直接写出ZBDG的度数；(3)若ZABC= 120°, FG//CE, FG=CE,分别连结QB, DG (如图3),求/BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于(1),由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于(2),用测量的方法可得ZBDG=45°,进而想到等腰直角三角形，连CG, BD,只需证明4BGC盆DGF,这对解决(3),有不同的解题思路.对于(3)【例6】如图，△ABC中，/C=90。

初中数学竞赛几何专题：点共线问题(含答案)

初中数学竞赛几何专题：点共线问题（含答案）1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=︒，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心.解析如图，由条件45BAE ∠=︒，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点.另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知12EM MF BC ==，12EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点.从而命题获证.2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ，点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线.解析设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=︒，有 tan cot ASB ATB S SP AS BSP T S AT BTαβ'⋅===⋅'⋅△△ MS ST MS SPST TE TE PT =⋅==，即点P 与点P '重合.3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上.解析连结OB 、OD .因为KL MN ∥，KM 与LN 相交于O ，所以KLO △∽MNO △，可得KL LOMN NO=，KLO MNO ∠=∠.BMNAS P TFED M C NOLA K B又因BC AD ∥，所以BLO DNO ∠=∠，则BLK DNM ∠=∠；因此Rt BLK △∽Rt DNM △.综上，BL LK LODN NM NO ==，BLO DNO ∠=∠，所以BLO △∽DNO △，可得BOL DON ∠=∠，即B 、O 、D 共线.4. 证明：如果一个梯形内的n （2>）个点到梯形四边距离之和相等，那么这n 个点共线.解析如图，延长梯形ABCD 的腰BA 、CD 交于点E .设P 为这n 个点中的一个点，过P 作一直线，交EB 、EC 于点G 、H ，使得EGH △为等腰三角形（EG EH =）.设Q 是这n 个点中的另一个点，我们证明Q 在直线GH 上.由条件Q 到EG 、EH 的距离和等于P 到EG 、EH 的距离和.若Q 在四边形AGHD 内，则EQG S +△ EQH EGH S S <△△，从而(,)(,)(,)(,)EG d Q EG EH d Q EH EG d P EG EH P EH ⨯+⨯<⨯+⨯，这里(,)d X YZ 表示点X 到直线YZ 的距离.结合EG EH =，可得()(,)(,)d Q EG d Q EH d P EG +<∥ (,)d P EH +，矛盾.类似地，若Q 在四边形BGHC 内，则(,)(,)(,)(,d Q EG d Q EH d P EG d P +>+ )EH ，亦矛盾.故Q 在线段GH 上.5. 设四边形仅有一个内角是直角，且两对角线相等，则对边中垂线交点与直角顶点共线.解析如图，设四边形ABCD 中，90B ∠=︒，作矩形ABCE ，则BE AC BD ==，又设BC 的中垂线GP 与AD 之中垂线FP 交于P ，则易知PE PA PD ==，于是B 、P 均在DE 中垂线上.同理AB 、CD 中垂线之交点也在DE 中垂线上，故而结论成立.6. 等腰梯形ABCD 中AB CD =.将ABC △绕点C 旋转一个角度，得一个新的A B C ''△.证明：线段A D '、BC 和B C '的中点共线. 解析如图，设A D '、BC 、B C '的中点分别为X 、Y 、Z ，W 为CA '的中点.并设ACA α'∠=，ABC β∠=，则ZW A B ''∥，WX CD ∥，且111222ZW A B AB CD WX ''====，即XWZ △为等腰三角形，并且XWZ ∠等于180︒减去A B ''与CD 所成的角γ.AFDEPB G C注意到，(180)2180γβαββα=-︒--=-︒+，所以，3602XWZ αβ∠=︒--，从而1(180)9022XZW XWZ αβ∠=︒-∠=+-︒.于是902CZX XZW αβ∠=-∠=︒-.另一方面，YZ BB '∥，而1(180)9022CB B αα'∠=︒-=︒-，故902CZY α∠=︒-.综上，CZX CZY ∠=∠.故X 、Y 、Z 共线.7. 直角三角形ABC 中，AB 是斜边，CH 为斜边上的高，以A 为圆心、AC 为半径作A ⊙.过B 作A⊙的割线，交A ⊙于点D 和E ，交CH 于点F （D 在B 与F 之间）.在A ⊙上取一点G ，使得ABG ABD ∠=∠，且G 与D 不在AB 的同一侧.证明：E 、H 、G 三点共线.解析延长EH 交A ⊙于点G '，我们证明G 与G '重合，即证G BA DBA '∠=∠.由90ACB ∠=︒知BC 为A ⊙的切线，故2BC BD BE =⋅.再在Rt ABC △中，CH 为高，从而由身影定理可知2BC BH BA =⋅，所以BD BE BH BA ⋅=⋅，故E 、D 、H 、A 共圆，因此EDA EHA BHG '∠=∠=∠. 注意到EA DA =，故EDA DEA DHB ∠=∠=∠（这里再次用到E 、D 、H 、A 共圆），结合前面的结果，可知BHD BHG '∠=∠.由圆的对称性，即得HBG HBD '∠=∠. 8. 设锐角三角形ABC ，AD 、BE 、CF 为高，H 是垂心，M 、N 分别在BF 、AE 上，且MHF NHE ∠=∠，求证：BM 、CN 的中垂线之交点在BC 上.解析如图，若设BM 、CN 中垂线分别交BC 于K 、K '（K 、K '在图中未画出），只要证明BK CK BC '+=，即知结论成立.由于2cos BM BK B =，2cos CN CK C '=，而2cos 2cos 22BF CE BC BC BC B C +=+=，故只需证明2cos 2cos BM CNB C+=CZ B'YB W A'DXAG 'AHBDF C EAF M BDCE N H2cos 2cos BF CE B C +或cos cos NE MFC B=即可. 由条件知MFH △∽NEH △，故sin cos sin cos MF FH AH BAD BNE HE AH CAD C∠===∠.结论证毕. 9.ABC △的内切圆切边AC 、BC 于点M 、N ，直线l 与该内切圆切于劣弧MN 内一点，l 分别交NC 、MC 于点P 、Q .T 为AP 与BQ 的交点.证明：T 在线段MN 上.解析设AP 交MN 于点1T ，ABC △的内切圆切l 与AB 于点X 、Y .AP 交XY 于点2T ，先证：1T 与2T 重合.由正弦定理，可知11sin sin PT PNCNM PT N =∠∠， 11sin sin AT AMAMN AT M=∠∠，结合11PT N AT M ∠=∠，180180AMN CMN CNM ∠=-∠=-∠，可知11PT PN AT AM =.同理可证：22PT PXAT AY=.所以，由PX PN =及AM AY =，可知1212PT PT AT AT =，即1T 与2T 重合.这表明AP 过MN 与XY 的交点. 类似可知，BQ 与MN 与XY 的交点.所以，AP 与BQ 的交点在线段MN 上.10. 在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC <.D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 上的点，使得四边形AFDE为正方形.设A l 为过A 所作ABC △的外接圆的切线.证明：BC 、EF 和A l 三线共点.解析设A l 交直线BC 于点G ，连GF 延长交AC 于点E '.只需证明E 与E '重合. 记ABC △的三边长分别为a 、b 、c ，而正方形AFDE 的边长为x .则由DF FB AC AB =，可知x c xb c-=，故C Q XP lMN TAYBCE AD FB Gbcx b c=+. 由AG 为ABC △外接圆的切线，得BAG C ∠=∠，而AGC ∠为公共角，故ABG △∽CAG △，从而AB BG AG CA AG GC ==，于是222GB BG AG AG c GC AG GC CA b ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，即22GB c a GB b =+，从而222ac GB b c =-，结合BD DF x BC CA b ==，可知ac BD b c =+，故22222ac ac abc GD b c b c b c =+=-+-，22222b ab GC GB c b c =⋅=-.所以DF CE ='GD c GC b=，即2b CE bc '=+. 而2bc b CE b x b b c b c=-=-=++.所以CE CE '=，故E 与E '重合，命题获证. 11. AC 、BD 均为圆的切线，AB 是该圆的一条能弦，CD 与圆交于点Q 、P ，已知AP BP =，点M为AB 中点，求证：点M 、R 、Q 共线，这里R 为AD 与BC 的交点.解析连结MC 、MR 、MD ，易知题目无非是要证明 CMR DMR S CQS DQ =△△. 易知12CMRACR S S =△△，12DMR BDR S S =△△，2AC CQ CP =，2BD DQ DP =，于是问题转变为求证 22ACR BDR S AC BDS BD CP⋅=⋅△△. 由切线性质知CAB DBA ∠=∠，于是根据三角形面积公式，有 ACR ABC ACD ACDBDR DBC ABD CBD S S S S AR CR AC S DR BR S S BD S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△△△，于是待证式又变为求证 ACD CBD S AC DPS BD CP ⋅=⋅△△. 事实上， ACPACD ACP CBDPBD PBD CDS S S DP DP AC CP CD S CP S CP BD S DP⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△，这是由于AP BP =，且CAP DBP ∠=∠.A MBC QPDR。

八年级思维拓展：三角形中的中点(讲义及答案)

三角形中的中点（讲义）➢知识点睛一、中点结构中点怎么用？看中点所在背景，跟谁组合搭配1.遇到等腰三角形底边的中点，考虑三线合一；2.直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边中线；3.遇到三角形一边上的中线，可以考虑倍长中线，借助中心对称转移边和角；4.遇到平行线所截线段的中点，考虑平行夹中点（延长证明全等）；5.遇到多个中点，考虑（或构造）中位线．6.遇到坐标系背景下的中点：中点坐标公式如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的坐标为________．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°．若BE =6 cm ，DE =2 cm ，则BC =________．AE DB C2. 如图，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ．若BF =2，DE =3，CG =4，则△ABC 的周长为__________．A E BCGFD3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD ∥BC ，BD 交AC 于点E ，12CBE ABE ∠=∠，F 是DE 的中点．若BC =1，AF =4，则AC 的长为_______．中线，且BD =CE ．设∠ABE=α，则∠BEC = _______．（用含α的式子表示）ABC DE5. （2018·威海）矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点C ，D ，G 在同一条直线上，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ，若BC =EF =2，CD =CE =1，则GH 的值为____________．A BCD EFG H6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 边上，AE =BE ，F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ．若AD =2.7，AF =4，AB =6，则CE 的长为（） A．B．1C ．2.5D ．2.3F EA B CD7. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点．若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =__________．ABCD FE G8. （2019·扬州）如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M ，N 分别是DC ，DF 的中点，连接MN ．若AB =7，BE =5，则MN =__________．N MGFEDCBA【参考答案】1.8cm2.303.4.3α5.26. D7.23°8.13 2。

八年级数学竞赛例题专题讲解12：心中有数含答案

专题12 心中有数阅读与思考现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.例题与求解【例l 】在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：（1）该班有________名学生.（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.（3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.【例2】某学生通过先求x 与y 的平均值，再求得数与z 的平均值来计算x ，y ，z 三个数的平均数.当z y x <<时，这个学生的最后得数是（）A .正确的B .总小于AC .总大于AD .有时小于A ，有时等于AE .有时大于A ，有时等于A（第二届美国中学生邀请赛试题）解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.【例3】某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min 跳绳次数的平均值．（安徽省中考试题）解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.（每组数据含左端点值不含右端点值）【例4】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠？（第十六届江苏竞赛试题）解题思路：用字母分别表示篮子A ，B 中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？（全国初中数学联赛试题）解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.能力训练A级1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.（大连市中考试题）2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有___________人．（江苏竞赛试题）3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7所以应确定_______去参加射击比赛. 4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x ，6，4，若这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.（包头市中考试题）5.如果一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是x ，则另一组数据1x ，12+x ，23+x ，34+x ，45+x 的平均数是（）A .xB .2x +C .52x + D .10x + （天津市中考试题）6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为a ，众数为b ，中位数为c ，那么（）A . c b a <<B .a c b <<C .b c a <<D .c a b <<（宁夏中考试题）7.为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的是（）A ．7 000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．500名学生是样本D ．样本容量为5008.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为12549，则未取的数字是（） A ．20 B ．28 C ．72 D ．78（台湾省中考试题）9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：（1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.第五次第四次第三次第二次16151413121110第一次次数得分甲：乙：（安徽省中考试题）10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：厘米）（1）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170（2）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167（1）补充完成下面的统计分析表（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.（2013宁夏回族自治区中考试题）11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；（2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）；（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.073m ，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅?计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g ，所用木材的密度为0.5×1033/m kg ；（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为1c ，2c ，…，12c ，且1221c c c ≤≤，求1c 的最大值.(第十九届江苏省竞赛试题)B 级1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A 、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B 、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C 、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选________；理由：______________________________________________________________（2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：初中男生身高情况抽样调查表（注：每组可含最低值，不含最高值）①根据表中的数据填写表中的空格；②根据填写的数据绘制频数分布直方图．193183173163153143（上海市中考试题）2.其中1a ，2a ，3a ，…，8a 是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是________.（辽宁锦州市竞赛试题）3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米，前两名的平均身高为c ，后三名的平均身高为d ，则2b a +与2d c +比较（） A .2b a +大 B .2d c +大 C .两者相等 D .无法确定（“五羊杯”邀请赛试题）4.已知数据1x ，2x ，3x 的平均数为a ，1y ，2y ，3y 的平均数为b ，则数据1132y x +，2232y x +，3332y x +的平均数为（）A .b a 32+B .b a +32 C .b a 96+ D .b a +2 （全国初中数学竞赛试题）5.小林拟将1，2，…，n 这n 个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入)1(-n 个数，平均数为7535，假设这)1(-n 个数输入无误，则漏输入的一个数是（）A .10B .53C .56D .67（江苏省竞赛试题）6.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120mm ，高AD =80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上．设该矩形的长QM =y mm ，宽MN =x mm ．（1）求证：x y 23120-=；（2）当矩形PQMN 的面积最大时，它的长和宽是关于t 的一元二次方程0200102=+-q pt t 的两个根，而p 、q 的值又恰好分别是a ，10，12，13，b 这5个数据的众数与平均数，试求a 与b 的值．（广西壮族自治区中考试题）E NC MD Q BP A7.某班参加一次智力竞赛，共a ，b ，c 三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题a 满分20分， b 、c 题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.（全国初中数学联赛试题）8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：（1）把上表中x 、y 想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m ，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？（济南市中考试题）9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）．（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？（山东省中考试题）10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：请根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）表中的x的值为________，y的值为_______；（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．（2013年成都市中考试题）。

提分微课01 关于中点的联想

11.如图W1-11,在矩形ABCD中,AB=3,
BC=2,H是AB的中点,将△CBH沿CH折叠,
点B落在矩形内点P处,连接AP,则
tan∠HAP=
.
图W1-11
[答案]4
3
[解析]如图所示,连接 PB 交 CH 于点 O.
∵ H 是 AB 的中点,∴ HB=12AB=32.∵ 将△ CBH
沿 CH 折叠,点 B 落在矩形内点 P 处,
6.如图W1-6,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点
F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为
.
图W1-6
[答案] 19
2
[解析]连接 DE, ∵ D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴ DE∥AC,2DE=AC=4,EC=2, ∵ EF⊥AC,∴ DE⊥EF.∴ △ DEG 为直角三角形, 在 Rt△ EFC 中,EC=2,∠C=60°, ∴ EF= 3. ∵ G 为 EF 的中点,∴ EG= 23. 在 Rt△ DEG 中,DE=2,EG= 23,由勾股定理得,DG= ��2 + ��2= 219. 故答案为 219.
图W1-14
解:(1)证明:如图①,连接AD. ∵ ∠BAC=90°,AB=AC, ∴ ∠BDA=∠EDF=90°, ∴ ∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF. ∴ ∠BDE=∠ADF. 又∵ D为BC的中点,△ABC是等腰直角三角形, ∴ BD=AD,∠B=∠DAC=45°. ∴ △BDE≌△ADF(ASA).∴ BE=AF.
类型二构造中位线法
4.如图 W1-4,在△ ABC 中,延长 BC 至 D,使得 [答案]B

第四节线段中点的应用(含答案)...八年级数学学而思

第四节线段中点的应用线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径是：1. 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线，如图8-4-1①，②，③，④，所示2. 作直角三角形斜边中线，如图8-4-1⑤所示148--3. 构造中位线如图8-4-1⑥⑦⑧所示4. 构造等腰三角形三线合一，如图8-4-⑨所示5. 三角形的中线可以等分三角形的面积。

如图8-4-1-⑩所示若D 是BC 边上的中点，则ACD ABD S S ∆∆= 6．中点四边彩(1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． (2)常见的中点四边形：①任意四边形的中点四边形是平行四边形；②平行四边形的中点四边形是平行四边形； ③矩形的中点四边形是菱形； ④菱形的中点四边形是矩形； ⑤等腰梯形的中点四边形是菱形．1.一个中点(1)等腰三角形：三线合一． (2)直角三角形：斜边中线．(3)已知任意一边中点：普通中线平分面积倍长中线 (4)平行线间所截线段的中点：构造八字形全等三角形． 2.两个中点(1)三角形两边的中点：中位线定理 (2)梯形的中位线，例1．如图8-4-2所示，已知P AB ,10=是线段AB 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和等边△PDB，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是检测1.已知8-4-3所示，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使F AC CE ,=是AE 中点，求证：.DF BF ⊥ 例2．（四川宜宾中考）如图8-4-4所示，在△ABC 中，BD ABC ,90ο=∠为AC 的中线，过点C 作BD CE ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取,BD FG =连接BG ，DF.若,6,13==CF AG 则四边形BDFG 的周长为248-- 348-- 448--检测2.如图8-4-5所示，等腰梯形ABCD 中，,,,//BC AD CD AB AB DC =>AC 和BD 交于0，且所夹的锐角为M F E ,,,60ο分别为BC OA OD ,,的中点．求证：三角形EFM 为等边三角形，例3．如图8-4-6所示，△ABC 中，M AC AB ,7,4==是BC 的中点，AD 平分,BAC ∠过M 作AD FM //交AC 于F ，则FC 的长为548-- 648-- 748-- 848--检测3.如图8-4-7所示，□ABCD 中，F AB AD ,2=是AD 的中点，作,AB CE ⊥垂足E 在线段AB 上，连接,,CF EF则下列结论;21BCD DCF ∠=∠①;CF EF =②③;2S CEF BEC S ∆∆=AEF DFE ∠=∠3④中一定成立的是( )①②.A ①②④.B ①③④.C ①②③④.D例4．如图8-4-8所示，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在的平面上移动，且始终保持.//AB EF设线段CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN 的长为210.A 217.B 317.C 3102.D检测4.（灌云县模拟）如图8 -4 - 10所示，在四边形ABCD 中，对角线BD AC ⊥且F E BD AC ,,8,6==分别是边AB ，CD 的中点，则=EF第四节线段中点的应用(建议用时30分钟)实战演练1．如图8-4-1所示，矩形ABCD 中，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E ，F 分别是AM ，MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动( )A ．变短B ．变长 C.不变 D ．无法确定2．（河北中考）如图8-4-2所示，点A ，B 为定点，定直线P AB l ,//是L 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离，⑤∠APB 的大小，其中会随点P 的移动而变化的是( )②③.A ②⑤.B ①③④.C ④⑤.D148-- 248-- 348--3．如图8-4-3所示，M ，P 分别为△ABC 的AB ，AC 上的点，且,2,CP AP BM AM ==BP 与CM 相交于点N ．已知,1=PN 则PB 的长为( )2.A3.B4.C5.D4．如图8-4-4所示，梯形ABCD 中，EF AB DC ,//是梯形的中位线，对角线BD 交EF 于G ．若,8,10==EF AB 则GF 的长等于5．（辽宁鞍山中考）如图8-4-5所示，D 是△ABC 内一点，,6,=⊥AD CD BD ,4=BD H G F E CD ,,,,3=分别是BD CD AC AB ,,,的中点，则四边形EFGH 的周长是448-- 548-- 648--6．一个等腰梯形的周长为100 cm ，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20 cm ，那么这个梯形的面积是 .2cm 7．如图8-4-6所示，AD ，BE 为△ABC 的中线，交于点===∠OE OD AOE O ,23,60,ο,25求=AB8．如图8-4-7所示，梯形ABCD 中，,//BC AD 且,5:3:=BC AD 梯形ABCD 的面积是,82cm 点M ．N 分别是AD 和BC 上一点，E ，F 分别是BM ，CM 的中点，则四边形MENF 的面积是 .2cm9．如图8-4-8所示，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且N M CF BE ,.=分别为BF ，CE 的中点，过M ，N 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q.已知,70ο=∠A 那么，APQ ∠的度数是10.如图8-4-9所示，在梯形ABCD 中，,//CD AB 并且N M CD AB ,,2=分别是对角线BD AC ,的中点，设梯形ABCD 的周长为,1L 四边形CDMN 的周长为,2L 求:1L =2L748-- 848-- 948--11．如图8 -4 - 10所示，已知AD 为△ABC 的角平分线，,AC AB <在AC 上截取,AB CE =M ．N 分别为BC ，AE的中点．求证：.//AD MN12.如图8-4-11所示，在△ABC 中，AD C ABC ，∠=∠2平分,BAC ∠过BC 的中点M 作,AD ME ⊥交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F.求证：.21BD BE =1048-- 1148--13.（北京西城一模）在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q.(l)如图8-4 - 12所示，当点P 与点B 重合时，△QPM 的形状是(2)当点P 在线段CB 的延长线上时，如图8-4 -13所示，①依题意补全图8-4—13；②判断△QPM 的形状，并加以证明．1248-- 1348-- 拓展创新14.如图8-4 - 14所示，在四边形ABCD 中，F E CD AB ADC ,,,180=>∠ο分别为BC ，AD 中点．BA 交EF 延长线于点G ，CD 交EF 于点H.求证：.CHE BGE ∠=∠1448--拓展1．如图8 -4 -15所示，在△ABC 中，D AB AC ,>点在AC 上，F E CD AB ,,=分别是 BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若,60ο=∠EFC 连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．1548--拓展2．如图8 -4 -16所示，P 是△ABC 内的一点，,PBC PAC ∠=∠过点P 分别作⊥PM AC 于点BC PL M ⊥,于点L ，D 为线段AB 的中点，求证：.DL DM =1648--极限挑战15.如图8-4 - 17所示，在△ABC 的两边AB ，AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取,BE CG BC ,的中点M ，Q ，N.判断△MNQ 的形状并证明，1748--答案11。

八年级奥数：关于中点的联想

八年级奥数：关于中点的联想解读课标线段的中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中一个特殊的点．图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想：中线与中点联系紧密，中线倍长是处理中线的常用手段；直角三角形斜边中线是斜边的一半，作直角三角形斜边中线是常用辅助线；梯形中位线、三角形中位线与中点息息相关；中点还与中心对称图形相连等．熟悉以下基本图形、基本结论：问题解决例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10cm ，则MD 的长为______________．例2 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ．BN ⊥AN 于点N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长等于（）． A ．38 B ．39 C ．40 D ．41例3 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，延长BA 到点D ，使AD =AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF =BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG =DG ．12例4 如图①，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC=∠BPD，PC=P A，PD=PB，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图②，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．例5 如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E，F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P．求证：∠P AE=∠PBF．数学冲浪知识技能广场1．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长为____________cm．2．如图，若E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，则四边形EFGH是___________．（1）若把条件中的四边形依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别是___________；（2）若把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形或正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件是___________．3．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM，若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为__________．4．如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为_____________cm2．5．在一个四边形ABCD中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件（）．A．垂直B．相等C．垂直且相等D．不再需要条件6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）．A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm7．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．1 B．5 C．2 D．38．如图，小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（）．A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹；9．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．10．如图，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．11．在图①至图③中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图①，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM =MH ，FM ⊥MH ；（2）如图①中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图②，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图②中的CE 缩短到图③的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗?（不必说明理由）思想方法天地 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF =2，ED =3，GC =4，则△ABC 的周长为____________．13．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ =∠FQP ，若BD =10，则AC =___________．14．如图，正方形ABCD 、正方形CGEF 的边长分别是2、3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连接MF ，则MF 的长为____________．15．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，M 、N 是BC 边上的点，BM =MN =NC ，如果AM =4，AN =3，则MN =___________． 16．如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD =4，CE =6，那么△ABC 的面积等于（）．A ．12B ．14C ．16D ．1817．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为DC 中点，N 为AB 中点，则（）．A ．B ．C ．D ．无法确定MN 与18．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用S 、P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；用S 1、P 1分别表示四边形EFGH的面积和)(21BC AD MN +>)(21BC AD MN +<)(21BC AD MN +=1()2AD BC+周长．设K =，，则下面关于K 、K 1的说法正确的是（）． A ．K 、K 1均为常数 B ．K 为常数，K 1不为常数C ．K 不为常数，K 1为常数D ．K 、K 1均不为常数19．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是（）．A ．B ．C ．D ．20．已知：如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ， AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG =（AB +BC +AC ）．若（1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为∠ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．21．点O 是△ABC 所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并把AB 、OB 、OC 、CA 的中点D 、E 、F 、G 顺次连结起来，设DEFG 能构成四边形．．（1）如图，当点O 在△ABC 内时，求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）当点O 移动到△ABC 外时，（1）的结论是否成立?画出图形，说明理由；（3）若四边形DEFG 为矩形，则点。

初二竞赛数学讲义试卷答案

1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.101001…D. 2/3答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，所以2/3是有理数。

2. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：A解析：无理数是不能表示为两个整数之比的数，√4=2，√9=3，√16=4，√25=5，都是整数，所以A选项√2是无理数。

3. 已知a、b是方程x^2-4x+4=0的两根，则a+b的值是（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B解析：根据韦达定理，方程x^2-4x+4=0的两根之和等于系数b的相反数，即a+b=-(-4)=4。

4. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C解析：三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。

5. 已知a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值是（）A. 11B. 16C. 25D. 36答案：A解析：根据公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，将a+b=5，ab=6代入，得a^2+b^2=(5)^2-26=25-12=13，所以a^2+b^2=11。

1. 若x=2，则x^2-3x+2=（）答案：1解析：将x=2代入x^2-3x+2，得2^2-32+2=4-6+2=1。

2. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则BC的长度是AB的（）答案：√3/2解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边长度是斜边长度的√3/2。

3. 若x=3，则x^3-3x^2+3x-1的值是（）答案：1解析：将x=3代入x^3-3x^2+3x-1，得3^3-33^2+33-1=27-27+9-1=1。

八年级数学竞赛讲座数形互助附答案

第三十讲数形互助数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系．以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题．用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等．例题求解【例1】若a 、b 均为正数，且22b a +，242b a +，224b a +是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于． ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ，n 的直角三角形斜边长)，构造图形求面积．注古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系．17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备．【例2】如图，在△ABD 中，C 为AD 上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=( )A ．1B ．32C ．2D ．3 (武汉市选拔赛试题)思路点拨过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ，设AC=x ，BE=y ，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC 的值．【例3】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FC 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M ，N ，设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．(1)用x 的代数式表示y ；(2)当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少?(2001年南京市中考题)思路点拔对于(1)S 矩形AMHN =HM ×AM ，AM=AB+BM ，只需把BM 用x 的代数式表示即可，对于(2)，把关于x 的代数式通过配方变形可获解．注意相似三角形基本图形的运用．【例4】已知正数 a 、b 、c 和x 、y 、z 满足k z c y b x a =+=+=+，求证：2k cx bz ay <++．思路点拨相等的量赋予它的几何意义，易想到等边三角形、正方形，从构造边长为k 的正方形入手．注对于一个几何问题，能否通过代数运算解块，关键在于几何问题中数量关系能否方便地表示成适应代数适算的表达式：一个几何问题，能否通过列方程的手段解决，在于问题本身是否存在着构成方程的等量关系，在寻找等量关系的过程中，常用到勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识与方法．美国数学家斯蒂思说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法．”图形能直观、形象地表示数量关系，能帮助分析、理顺复杂的数量关系．用形辅数目前常见的方式是：(1)利用等量构造等边三角形、正方形；(2)利用根式的几何意义构造直角三角形、矩形．【例5】如图，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米／秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米／秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么： (1)当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似? (2002年山西省中考题)思路点拨 (1)把相关线段用t 的代数式表示，利用勾股定理建立t 的方程，(2)注意动态变化过程中某些量的不变性，从而提出相关问题，(3)借助三角形相似的判定方法，探求质点运动的时间，其中蕴含着分类讨论的思想方法．学力训练1．如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为．2．用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是．(黑龙江省中考题)3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK ，其中②~⑥中，与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥4．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和210，那么这个三角形的斜边长为( ) A ．10 B ．410 C ．13 D ．1325．如图，以长为2的定线段为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上． (1)求AM ，DM 的长； (2)求证：AM 2=AD ×DM ．6．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，设该矩形的长QM=ymm ，宽MN=xmm ． (1)求证：y=x 23120 ；(2)当x 与y 分别取什么值时，矩形P QMN 的面积最大?最大面积是多少?7．已知：如图，正方形ABCD 的周长为4 a ，四边形EFGH 的四个顶点F 、F ，G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上滑动，在滑动过程中，始终有EH ∥BD ∥FG ，且EH=FG ，那么四边形EFGH 的周长是否可求?若能求出，它的周长是多少?若不能求出，请说明理由． (2003年新疆建设兵团中考题)8．如图，在△ABC 中，AC=2，BC=4，∠ACB=60°，将△ABC 折叠，使点B 和点C 重合，折痕为DE ，则△AZC 的面积是．9．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，C 为CD 的中点，BE=13，梯形ABCD 的面积为120，那么AB+BC+DA= ．10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，M 、N 是BC 边上的点，BM=MN=NC ，如果AM=4，AN=3，则MN= ． (上海市高中理科实验班招生试题)11．代数式15324422+-++x x x 的最小值是．12．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在右图所示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明．要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母． (山西省中考题)13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P 是BC 边上的一个动点，直线l 过点P 且平行于DC ，交梯形另外一边于E 点，设BP=x ，梯形位于直线l 左侧的图形的面积为S ，分别求出当点E 位于BA 、AD 上时，S 与x 之间的关系式，并分别指出x 的取值范围． (威海市中考题)14．如图，已知正方形ABCD ，直线AG 分别交BD 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点G ，点H 是线段FG 上的点，且HC ⊥C E ． (1)求证：点H 是GF 的中点； (2)设x BEDE=(0<x<1)，y S S GCF ECH =∆∆，请用含x 的代数式表示y ．(2001年浙江省嘉兴市中考题)15．已知a 、b 、c 均为非负实数，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++． 16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D ，E 是BC 边上的两点，且∠ABC=21∠ADC=31∠AEC ，已知BD=11，DE ＝5，求AC 长． (北京市竞赛题)17．如图，在△ABC 中，BE 、CF 是中线，且BE ⊥CF ，AC=b ，AB= c (c> b ) (1)求BC 的长； (2)若△ABC 存在，讨论cb的取值范围．。

八年级数学竞赛培优专题及答案18直角三角形.docx

专题18直角三角形(吴梅录入)阅读与思考直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例11 (1)直角AABC三边的长分别是x, x + 1和5,则A ABC的周长=.AABC的面积=.(2)如图，已知RtAABC的两直角边AC=5, BC=12, D是BC ±一点，当AD是/ A的平分线时，则CD=.解题思路：对于(1),应分类讨论；对于(2),能在RtAACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A, B, C,都在方格线的交点，则ZACB=( )A.1200B.135°C.150°D.165°批注[ywl]:从代数角度，考察方程a2+b2= c2的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：a = 2mnb = n2 - m227c = n + m其中m, 〃是自然数，n>m,m , 〃一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当〃>3时，方程x n + y n=z n无正整(太原市竞赛试题)解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P 为AABC 边BC 上的一点，且PC=2PB,已知ZABC=45°, ZAPC =60°,求ZACB 的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路:不能简单地由角的关系推出ZACB 的度数，综合运用条件PC=2PB 及ZAPC =60°,构造出含30。

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第十八讲由中点想到什么
线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：
1．中线倍长；
2．作直角三角形斜边中线；
3．构造中位线；
4．构造中心对称全等三角形等．
熟悉以下基本图形，基本结论：
例题求解
【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．
注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：
(1)利用直角三角斜边中线定理；
(2)运用中位线定理；
(3)倍长(或折半)法．
【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB<MN D．上述三种情况均可能出现
(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)
思路点拨中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．
【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ．
(浙江省宁波市中考题)
思路点拨联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．
【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=
2
1(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；
(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
(2003年黑龙江省中考题)
思路点拨图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．
注三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．
【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=
41AE ．
(2001年天津赛区试题)
思路点拨通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口．
注需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．
学历训练
1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．
(2003年广西中考题)
2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112
a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224
a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).
(200l 年山东省济南市中考题)
3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．
4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．
(2002年天津市中考题)
5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )
A ．40
B ．48
C 50
D ．56
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若AD=6cm，BC=18㎝，则EF的长为( )
A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm
7．如图，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB的长为6，则梯形ABCD的中位线长为( )
A．不能确定 B．23 C．3 D．3+1
(2001年浙江省宁波市中考题)
8．已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：
①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；
②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；
③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；
④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；
⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；
⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．
以上命题中，正确的是( )
A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④
(2001年江苏省苏州市中考题)
9．如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．
(2003年上海市中考题)
10．如图，已知在正方形ABCD中，E为DC上一点，连结BE，作CF⊥BE于P，交AD于F点，若恰好使得AP=AB，求证：E是DC的中点．
11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F．
(1)求证：EF＝FB；
(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的3
1?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．
(2002年四川省竞赛题)
13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．
(重庆市竞赛题) 14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)
15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )
A ．15
B ．255
C ．32
D ．2
73 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )
A ．1 D ．2 C ．3 D ．3
17．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的
关系式是( )
A ．)(23312S S S +=
B ．)(21132S S S -=
C ．)(21312S S S +=
D ．)(2
3132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．
(2003年全国初中数学联赛试题)
19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论． (山东省竞赛题)
20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．
(1)求证：MB=MC ；
(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．
(江苏省竞赛题)
21．如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN ，过A 、B 、C 、D4个顶点分别作MN 的垂线AA 1、BB 1、CC l 、DD l ，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1．
(1)求证AA 1+ CC l = BB 1 +DD l ；
(2)如图乙，直线MN 向上移动，使点A 与点B 、C 、D 位于直线MN 两侧，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD l 之间存在什么关系?
(3)如图丙，如果将MN 再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂
足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?。