高三数学考点-集合及其运算

第一章集合与常用逻辑用语1．集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，_________.(3)集合常用的表示方法：________和________．23.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a 不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝________；⑤A∪(∁U A)＝________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋)Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－12n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2017·北京)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}解：A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则()A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅解：由3x＜1⇒x＜0，则B＝{x|x＜0}，故而A∩B＝B＝{x|x＜0}，A∪B＝A＝{x|x＜1}．故选A.(2017·全国卷Ⅱ)设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝() A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}解：由Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解：A 表示圆x 2＋y 2＝1上所有点的集合，B 表示直线y ＝x 上所有点的集合，故A ∩B 表示直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A ∩B 中元素的个数为2.故填2.(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }, 则A ∩B ＝________. 解：因为A ＝{1，2，3，4}，所以B ＝{1，4，7，10}，则A ∩B ＝{1，4}．故填{1，4}．类型一 集合及相关概念(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则实数a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 解：(1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1； 当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个．故选C . (2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.故选D .【点拨】第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解：(1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，ba ＝－1，从而b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.故填2. (2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，所以a <－98.故填⎝⎛⎭⎫－∞，－98. 类型二 集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．(2)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ； ②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．(1)已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则( ) A ．A ∩B ≠∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B解：由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝R .故选B .(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 018x －2 019≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________． 解：由x 2－2 018x －2 019≤0，得A ＝[－1，2 019]，又B ＝{x |x <m ＋1}，且A ⊆B ，所以m ＋1>2 019，则m >2 018.故填(2 018，＋∞)．类型三 集合的运算(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)(2016·浙江)设集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)解：(1)集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．故选D .(2)易知Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．所以∁R Q ＝{x |－2<x <2}，又P ＝{x |1≤x ≤3}，故P ∪(∁R Q )＝{x |－2<x ≤3}．故选B .【点拨】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．(1)如果S ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，4}，B ＝{2，4，5}，那么(∁S A )∩(∁S B )等于( ) A ．∅ B ．{1，3} C ．{4} D ．{2，5}解：因为∁S A ＝{2，5}，∁S B ＝{1，3}，所以(∁S A )∩(∁S B )＝∅.故选A .(2)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，则P ∩(∁U Q )等于( ) A ．{1，2} B ．{3，4，5} C ．{1，2，6，7} D ．{1，2，3，4，5}解：因为∁U Q ＝{1，2}，所以P ∩(∁U Q )＝{1，2}．故选A .类型四 韦恩(Venn)图设全集为R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝2x ＋1，－12≤x ≤12，N ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x )}，则韦恩图中阴影部分表示的集合在数轴上表示为( )解：因为－12≤x ≤12，y ＝2x ＋1，所以0≤y ≤2，所以M ＝{y |0≤y ≤2}．因为x 2＋3x >0，所以x >0或x <－3，所以N ＝{x |x >0或x <－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁R M )∩N ，又∁R M ＝{x |x <0或x >2}，所以(∁R M )∩N ＝{x |x <－3或x >2}．故选C .【点拨】韦恩(V enn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．如图，全集I ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |x ＜3}D ．{x |x ＞0}解：由韦恩(Venn)图可知，阴影部分表示的是集合A ∪B ＝{x |0＜x ＜3}．故选B .1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． 6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.1．(2016·北京)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |x ＜3或x ＞5}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |2＜x ＜5} B ．{x |x ＜4或x ＞5} C ．{x |2＜x ＜3} D ．{x |x ＜2或x ＞5} 解：易知A ∩B ＝(2，3)．故选C .2．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C .3．已知全集R ，集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．{1，2，－2} B ．{1，2} C ．{－2} D ．{－1，－2}解：A ＝{1，2，－2}，而B 的补集是{y |y <0}，故两集合的交集是{－2}．故选C .4．(2017·江苏)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为( ) A ．－ 2 B ．0 C ．1 D ．2 解：a 2＋3＞1，故只能有a ＝1.故选C .5．集合P ＝{1，4，9，16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是( ) A ．除法 B ．加法 C ．乘法 D ．减法 解：当⊕为除法时，14∉P ，所以排除A ；当⊕为加法时，1＋4＝5∉P ，所以排除B ； 当⊕为乘法时，m 2·n 2＝(mn )2∈P ，C 正确； 当⊕为减法时，1－4∉P ，所以排除D.故选C .6．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C . 7．(2017·天津)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝________. 解：A ∪B ＝{1，2，4，6}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故填{1，2，4}． 8．已知集合A ，B 与集合A @B 的对应关系如下表：A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8}B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1}{－4，－2，0，2} A @B{1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A ＝{－2 019，0，2 018}，B ＝{－2 019，0，2 017}，试根据图表中的规律写出A @B ＝________.解：由规律知，A @B 是由A ∪B 中元素去掉A ∩B 中元素构成的集合，故A @B ＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．9．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，且3∈A ，求m 的值．解：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，3满足题意．故m ＝－32. 10．已知集合A ＝{2，3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，求实数m 的值．解：当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6m ⊆{2，3}可得6m ＝2或6m ＝3，解得m ＝3或m ＝2，综上可得实数m ＝0或2或3.11．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}， A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅. ①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }，要使B ⊆∁R A ，只须－a ≤12，解得－14≤a ＜0.综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥－14.设整数n ≥4，集合X ＝{1，2，3，…，n }．令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( ) A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S解：题目中x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满足题意，且(2，3，4)∈S，(1，2，4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．故选B.。