数系的扩充教学设计说明

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《数系的扩充和复数的概念》教案及说明

《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。

2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。

3.能够应用复数解决实际问题。

教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。

2.复数的运算规则和表示方法。

教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。

2.掌握复数的运算规则和应用技巧。

教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。

2.整数：包括正整数、负整数和0。

3.有理数：可表示为两个整数之比的数。

4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。

5.实数：包括有理数和无理数。

6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。

二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。

3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。

3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。

教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。

3.引导学生构建复数概念。

二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。

2.给出几个例子，让学生练习表示复数。

3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。

三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。

2.演示如何计算复数的运算。

3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。

四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。

3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。

五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。

2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。

《数系的扩充》高中数学选修2—2教案

数系的扩充高中数学选修2—2教案第一部分：引言数系是数学的基础，它由整数、有理数和无理数组成。

这些数形成了数轴上的无穷多个点，构成了我们熟悉的数字系统。

然而，在高中数学选修2课程中，我们将继续探索数系的扩充，进一步拓展我们的数学视野。

第二部分：综述数系在开始学习数系的扩充之前，我们需要回顾一下已经学过的数系。

整数是由正整数、负整数和零组成，它们可以进行加、减和乘法运算。

有理数则包括整数和分数，可以进行除法运算。

无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如π和√2。

第三部分：实数系的扩充实数系是数学中最基本的数系，它包括了整数、有理数和无理数。

然而，实数系仍然存在一些限制。

为了解决这些限制，数学家们提出了一些数系的扩充。

1. 复数复数是实数系的扩充，它由实数和虚数构成。

虚数定义为负数的平方根，记作i。

复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。

复数可以进行加、减、乘和除的运算。

2. 球面数系球面数系是通过在实数系上添加了无穷远点来扩充实数系的。

它用来描述三维空间中的点和向量，常用于几何学和物理学的研究中。

3. 四元数四元数是一种更为复杂的数系扩充，它由实数和虚数构成。

四元数可以表示为a+bi+cj+dk的形式，其中a、b、c和d为实数部分和虚数部分。

四元数可以进行加、减、乘和除的运算，被广泛应用于计算机图形学和机器人学领域。

第四部分：数系扩充的应用数系的扩充不仅仅是数学理论上的概念，它们在实际生活和科学研究中具有重要的应用价值。

1. 复数的应用复数在电路分析、信号处理和量子力学等领域中得到广泛应用。

例如，复数可以表示交流电路中的电压和电流，通过复数运算可以方便地计算电路的各种参数。

2. 球面数系的应用球面数系可以用来描述天体运动和地球的形状。

例如，使用球面数系可以计算天体的位置和速度，以及地球上各地的经纬度。

3. 四元数的应用四元数在计算机图形学和机器人学领域中起着重要作用。

例如，使用四元数可以进行三维物体旋转的运算，通过四元数插值可以实现平滑的物体动画效果。

高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案

高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。

大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。

现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。

(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。

(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。

课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。

数系的扩充(教案及教学设计说明)

课题：数系的扩充授课教师：吴晶教材：苏教版选修1-2第三章第一节【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结.教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台.【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业创设情境：用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔.名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型.建构数学：数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数.数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程：1x 2x1201x 22=+===+x规定：（1）i 2=-1 虚数单位：i（2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.找到了方程012=+x 的解.试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数.设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课.设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.复数),(i R ∈+=b a b a z ，复数集：C 实部：a 虚部： b 复数),(i R ∈+b a b a ⎩⎨⎧=≠=)0)(0()0(时是纯虚数虚数实数a b b .练习用文氏图表示N 、Z 、Q 、R 、C 的关系N →Z →Q →R →C ,这就是近代数学在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而得到的数系的一般扩充过程.知识运用：例1 写出复数6i,i 25,i ,πsin i ,0,i 322+-的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.例2 实数m 是什么值时，复数)1()1(-+-=m m m z i 是 (1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数? （4）6+2i? 解：(1) 当m-1=0即m=1时，复数z 是实数.(2) 当m-1≠0即m ≠1时，复数z 是虚数.(3) 当m （m-1）=0 且m-1≠0即m=0时，复数z 是纯虚数. (4) 如何解决，请同学们讨论后给出解决方案.两复数相等的充要条件),,,(.,i i R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+d c b a d b c a d c b a .例3 已知)2()(y x y x -++i=)3()52(y x x ++-i .求实数y x ,的值. 解：根据两复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧+=--=+yx y x x y x 32522，解得⎩⎨⎧-==23y x .评述：把复数问题转化为实数问题. 试一试：仿照例3自编题目，并求解.复数相等的内涵：复数b a +i ),(R ∈b a 可用有序实数对),(b a 表示. 练习：1、说出下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数.).,(i )(,π,i ),31(i ,i 72223R ∈+-+b a b a2、实数m 是什么值时，复数)1()1(2-++=m m m z i 是(1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数?3、已知)()(y x y x -++i=42-i.求实数y x ,的值.归纳总结： 1、数系的扩充 2、复数的基本概念 3、复数相等的充要条件挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍，你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西------克莱因.设计意图：巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息．设计意图：学生发现自己的方案与课本中的结论完全一致，自信心大增且记忆更牢固.设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动式学习的快乐，理解转化的思想在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.巩固作业:1.搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展.2.完成习题3.1 1-4.【板书设计】数系的扩充）规定：（1）（2),,,(i i )0)(0()0(),,(i R C R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+⎩⎨⎧=≠=∈+=d c b a db ca d cb a a b b ba b a b a z 时是纯虚数虚数实数复数；虚部：实部：复数集：复数3例.23,3252⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+y x y x y x x y x 解得条件，可得要解：由两复数相等的充教学设计说明一确定教学目标的主要依据(1)依据教学大纲和教材内容的特点，确定第一个教学目标； (2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标；(3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在学习过程中认识数学的应用价值.重点：数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 二教学的过程设计说明 1 情境引入激发学生学习兴趣，引入新课.指出“矛盾是事物发展的根本动力”，以此为契机，自然顺畅地展开研究.设计了从N 到R 的三次扩充历程的回顾，在面对求解方程012=+x 的问题时，为解决矛盾创造一个新数，自然成了学生的一种心理预期，是学生提出了解决问题的想法.2 新课推进从简单而又深刻的问题出发，到引出虚数单位、复数的有关概念，再到复数相等的充要条件，构成了一条稳妥、科学的理论构建的知识线.3 例题讲解及练习掌握基本解题方法，巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息.精心设计了环环相扣、步步深入、层层渐进的练习题，既巩固了知识，又构成了思维训练问题链.知识线与问题链巧妙交叉、搭配组合，使学生的认知水平、理解能力、思维品质、解决问题的操作能力、数学思想的树立与意志品质的优化，均得到长足的发展提高.4 课堂小结与作业对前面研究的问题，进行总结、反思、交流，使学生体会数学解决问题的方法，深入体会复数扩充的思想和应用价值.三板书设计说明合理布局，重点突出.将主要概念一一呈现，与课件交相辉映.本节课将数系扩充的知识与复数知识有机地结合起来，通过教学，让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学科学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识.。

数系的扩充和复数的概念(教学设计)

§7.1.1 数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析内容：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.二、目标和目标解析目标：（1）了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．（2）理解复数的概念、表示法及相关概念．（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件．目标解析：（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用．（2）学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则"，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用．（3）学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn 图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题．基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数的分类及复数相等的充要条件．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受．解决方案：适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性．2．教学问题二：由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难．解决方案：通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性．3．教学问题三：学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难．解决方案：引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数的概念、表示法及相关概念．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生类比得到复数的概念，应该为学生创造积极探究的平台，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数概念的理解和表示，让学生体会数系扩充的基本过程．五、教学过程与设计纯虚数．[课堂练习2]已知M＝{2，m2－2m ＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，12.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i2 021＝________.4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.教师14：提出问题10．学生14：学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

数系的扩充和复数的概念教学设计

数系的扩充和复数的概念教学设计1. 引言在数学的世界里，数系就像是一条漫长的河流，我们每个人都是这条河流上的小船。

今天，我们要聊的是这条河流的扩展，尤其是复数的概念。

让我们一起“扬帆起航”，探寻数系的奥秘吧！2. 数系的扩充2.1 从自然数到整数首先，我们来回顾一下，数系的起点是自然数，也就是大家熟悉的1、2、3、4……这就是我们平时用来计数的基本数字。

可是，当我们遇到像1、2这种情况时，自然数就显得有些“力不从心”了。

这时，整数登场啦！整数包括了自然数和它们的负数，比如1、0、1、2、3等等。

这样一来，我们的数系就更加全面了。

2.2 从整数到有理数接下来，我们来看看有理数。

有理数的概念其实不难理解，它就是可以表示成两个整数之比的数。

举个例子，1/2、3/4这些都是有理数。

有理数的出现，让我们不仅可以处理整数量，还可以处理分数。

它就像是为我们的数系加上了一层新色彩。

2.3 从有理数到无理数不过，有时候我们还会遇到一些数，它们不能用两个整数之比来表示，比如√2、π。

这些数叫做无理数。

无理数的出现，就像给我们的数系带来了些许“神秘感”，它们让我们感受到数学的无限与奇妙。

3. 复数的引入3.1 复数的由来现在，我们进入了今天的重头戏：复数。

复数的诞生，是为了应对一些我们无法用实数解决的问题。

比如，方程x² + 1 = 0就没有实数解。

于是，复数的“英雄”——虚数单位i登场啦！i的平方等于1，这个看似“疯狂”的设定，让我们能够解决更多数学难题。

3.2 复数的基本概念复数其实很简单，它由两个部分组成：实数部分和虚数部分。

比如，3 + 4i就是一个复数，它的实数部分是3，虚数部分是4i。

这样一来，我们就可以用复数处理更多复杂的数学问题了。

复数的引入，犹如为数学的“工具箱”增加了新工具，让它变得更加全面。

4. 教学设计建议4.1 形象化教学为了让学生们更好地理解复数，可以使用一些形象化的教学方法。

比如，使用图像将复数表示在平面上，直观地展示复数的实部和虚部。

数系的扩充与复数的概念》教案

数系的扩充与复数的概念》教案教案：数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1.理解数系的扩充是为了解决方程$x^2=a$(a<0)而引入复数的概念；2.掌握复数的定义与基本运算；3.了解复数在平面直角坐标系中的表示方式；4.掌握解一元二次方程及其应用。

二、教学重难点：1.复数的定义与基本运算；2.复数在平面直角坐标系中的表示；3.解一元二次方程及其应用。

三、教学过程：Step 1: 引入教师在黑板上写下方程$x^2=-1$，并询问学生这个方程有没有实数解。

引导学生思考并让他们发表自己的观点。

Step 2: 数系的扩充1.教师讲解当a<0时，方程$x^2=a$没有实数解的情况。

为了解决这个问题，数学家们引入了复数的概念，即数系从实数扩充为复数。

2.教师简要介绍复数的历史背景和意义，以增加学生对复数概念的兴趣。

Step 3: 复数的定义与表示1. 教师引导学生理解复数的定义：复数表示为 a + bi，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。

2. 通过例子引导学生掌握复数的表示方式，如 2 + 3i、-5i、$\sqrt{2} + \sqrt{3}i$。

Step 4: 复数的基本运算1.教师简要介绍复数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。

2.通过例子分别演示复数的加减乘除运算，并指导学生进行练习。

Step 5: 复数的图示表示1. 教师引导学生理解复数在平面直角坐标系中的表示方法。

将实部和虚部分别看作是复平面上的横坐标和纵坐标，复数 a + bi 对应复平面上的一个点。

2.通过例子和练习让学生熟悉复数在复平面上的图示表示。

Step 6: 一元二次方程的解及其应用1. 教师复习一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 a、b 和 c 都是实数，且 $a \neq 0$。

2.教师讲解如何用复数解一元二次方程，通过例题引导学生理解。

四、课堂练习与讨论五、作业布置1.练习册上的相关习题；2.解一些一元二次方程。

新教材下《数系的扩充》教学设计意图说明

新教材下《数系的扩充》教学设计意图说明作者：黄艳来源：《科学导报·学术》2020年第39期教学设计的主要思路和意图：一、对复数部分作章节整体教学设计，将学法指导渗透在整体教学设计中;二、引导学生经历数系扩充的发生、发展和应用的全过程;通过对数系扩充的再探究、再发现和再创造，让学生感悟：（1）为什么要建立相关数学知识？（为什么要引入复数？）（2）数学知识是怎样建立的？（数系扩充的发生、发展过程）（1）为什么要建立相关数学知识？数学知识的引入必定有它存在的价值，复数的出现亦是如此。

虽然印象中，没有哪个阶段给过“数”的概念是什么，但是我们在小学入校之前就已经接触到“数”，可想而知，这是一个如影随形的概念。

数是相当神秘的，人类最初对数并没有概念，只是出于生活方面的需要让人们脑海中有了数的影子。

那么，我们是否有过数学哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，“数”的出现也不例外，为什么要出现正整数、0、分数、复数、无理数、虚数？（2）数学知识是怎么建立的？数是如何发展成为今天这个模样呢？远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的难题，比如想表示一棵树，两头野兽等等，在当时并没有符号表示具体的数量，所以当时人们主要以结绳记事或在树木石头上刻痕迹的方法计数。

后来引进罗马数字（现在常在钟表中出现），但是罗马数字中是没有0的，在公元5世纪，罗马有一位学者从印度计数法里发现了“0”这个符号，并把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。

但是罗马教皇凶残且守旧，他非常恼怒的说：“神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！“0”被那个愚昧残忍的罗马教皇命令禁止了。

我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算。

筹算是用竹制的或骨制的小棍，按规定的横竖长短顺序摆好，用来记数和进行运算。

随着筹算的普及，筹算的摆法也就成为记数的符号了，筹算摆法有横纵两式，都能表示同样的数字，从筹算数码中没有10这个数可以清楚的看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制，这样的计算法在当时是很先进的。

人教版高中选修2-23.1数系的扩充和复数的概念教学设计

人教版高中选修2-23.1数系的扩充和复数的概念教学设计一、教学目标本节课的教学目标主要有以下几个方面：1.理解数系的扩充及其应用；2.掌握复数的概念、符号、实部、虚部及共轭复数的概念；3.掌握复数与实数的加减乘除法则；4.能够将数学问题转化为对应的复数问题，并加以解决。

二、教学内容及教学方法1. 数系的扩充内容：（1）有理数的扩充：引出无理数的概念，例如 $\\sqrt{2}$、$\\sqrt{3}$ 等，同时介绍无理数的性质。

（2）实数的扩充：引出复数的概念，解释实数无法满足的问题，例如$\\sqrt{-1}$，简单介绍复数的概念和符号。

教学方法：教师可以通过实例演示进行讲解，便于学生理解和记忆。

2. 复数的概念内容：（1）复数基本概念：引出复数的基本概念，包括实部和虚部，概念的符号表示以及共轭复数的概念。

（2）复数运算：引出复数的四则运算。

教学方法：教师可以通过图示、图像等方式进行讲解，便于学生形象理解。

3. 复数的应用内容：（1）复数与向量的关系，引出共线和垂直的概念。

（2）解二次方程。

教学方法：教师可以通过实例演示，将实际问题转化为复数问题并进行解决，便于学生理解和掌握。

三、教学步骤1. 数系的扩充（1）引言：通过实际场景引出有理数的扩充。

（2）有理数扩充：介绍无理数的概念、性质以及常见的无理数。

（3）实数扩充：引出复数的概念，解释实数无法满足的问题，例如$\\sqrt{-1}$，简单介绍复数的概念和符号。

2. 复数的概念（1）实部和虚部：介绍复数的实部、虚部、基本运算法则以及符号表示。

（2）共轭复数：介绍共轭复数的概念和计算方法。

（3）复数运算：介绍复数的四则运算法则。

3. 复数的应用（1）复数与向量的关系：简单介绍复数与向量的关系，并引出共线和垂直的概念。

（2）解二次方程：将实际问题转化为复数问题，并通过实例进行演示和解答。

四、教学反馈教师要通过各种方式反馈学生的学习情况，例如考试、作业、提交问题等。

数系的扩充教案

数系的扩充教案教案标题：数系的扩充教案教案目标：1. 引导学生理解数系的概念及其扩充；2. 帮助学生掌握数系的扩充规则；3. 提高学生在数系扩充问题上的解决能力。

教学重点：1. 数系的概念；2. 数系的扩充规则；3. 数系扩充问题的解决方法。

教学难点：1. 数系的扩充规则的理解和应用；2. 数系扩充问题的解决方法的灵活运用。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教案课件；2. 学生准备：教材、练习册。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问的方式引导学生回顾数系的概念，并与学生讨论数系的扩充是什么意思。

Step 2：概念讲解（10分钟）教师通过教案课件或板书的形式，向学生介绍数系的扩充规则，包括自然数、整数、有理数、无理数和实数的扩充关系。

Step 3：例题演练（15分钟）教师给学生提供一些数系扩充问题的例题，要求学生根据扩充规则解决问题，并进行解题讲解和讨论。

Step 4：巩固练习（15分钟）学生独立完成教材或练习册上相关的练习题，教师在学生完成后进行答案讲解和订正。

Step 5：拓展应用（10分钟）教师提供一些拓展应用题，要求学生运用数系的扩充规则解决问题，并进行解题讲解和讨论。

Step 6：归纳总结（5分钟）教师与学生一起总结数系的扩充规则和解决问题的方法，并强调学生在实际生活中的应用价值。

Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生练习巩固所学内容，并预告下节课的主题。

教学延伸：教师可以引导学生进行数系扩充问题的探究，提供更复杂的问题，让学生运用所学知识解决。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解数系的概念及其扩充规则，并能够运用所学知识解决数系扩充问题。

同时，教师还可以根据学生的实际情况进行个别辅导，帮助他们更好地掌握数系的扩充知识。

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生了解数系的扩充过程，理解实数和复数的概念。

2. 培养学生运用数系知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学美的感受，培养学生的创新意识。

二、教学内容1. 数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

2. 实数和复数的概念及其性质。

3. 复数的几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数系的扩充过程，实数和复数的概念及其性质。

2. 教学难点：复数的几何意义，复数方程的求解。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数系的扩充过程。

2. 运用实例讲解法，让学生理解实数和复数的概念。

3. 利用数形结合法，揭示复数的几何意义。

五、教学过程1. 导入新课：通过复习实数的概念，引出数系的扩充过程。

2. 讲解数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

3. 讲解实数和复数的概念：实数的定义、性质；复数的定义、性质。

4. 讲解复数的几何意义：复平面、复数的几何表示。

5. 巩固练习：解决一些与实数和复数有关的实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

7. 布置作业：布置一些有关实数和复数的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，如电路分析中的复数表示法。

2. 引导学生探究复数的运算规则，如复数的乘法、除法、乘方等。

七、案例分析1. 分析实际问题，如利用复数解决几何问题、信号处理问题等。

2. 引导学生运用复数知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

八、课堂互动1. 组织学生进行小组讨论，探讨复数的几何意义。

2. 开展课堂提问，检查学生对实数和复数概念的理解。

3. 引导学生进行互动交流，分享学习心得和解决问题的方法。

九、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。

3. 课后反馈：收集学生对课堂内容的反馈，了解学生的学习效果。

十、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。

《数系的扩充与复数的概念》教学设计（范文大全）

《数系的扩充与复数的概念》教学设计（范文大全）第一篇：《数系的扩充与复数的概念》教学设计《数系的扩充和复数的概念》教学设计安阳市第三十八中学付娟本节为人教A版选修1-2，第二章第一节第一课时一、《课程标准》对本节课的学习要求：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、教材内容和学生情况分析：在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。

另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

三、教学目标：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为：1、通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部。

2、通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题。

3、通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目。

四、教学环节设计第二篇：3.1数系的扩充和复数的概念教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）知识目标：理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类. （2）过程与方法目标：从为了解决方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数i,使i是方程的虚数根.到将i添加到实数集中去,使新引入的数i和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。

（3）情感与能力目标：通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。

优秀参赛课件《数系的扩充和复数的概念》教案及说明

数系的扩充和复数的概念【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．【教学过程】1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数整数有理数无理数实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．5．提出复数的概念根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*NZ Q R C ．【巩固练习】下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.1,010131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=⎩⎨⎧≠-=+≠≠-==-6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是由此容易得出：6cos 6sin ,,0,2,7212ππi i i i --+）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．4,25)3(112==⎩⎨⎧--==-y x y y x 解得解：由复数相等可知练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x ∈=--++【课堂游戏】【想一想】两个复数是否可以比较大小.【归纳总结】一、数系的扩充；二、复数有关的概念：1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部。

《数系的扩充》教学设计

《数系的扩充与复数的概念》教学设计-----高中人教A版选修2-2王海艳唐山市第六十二中学【教材分析】本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。

引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。

教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。

本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。

【学情分析】在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。

另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

【三维目标】知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。

情感、态度与价值观：（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法；（２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点；（３）感受人类理性思维的作用。

【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件【教学难点】数集扩充的必要性和过程【教学设计】设计思想知识来源于实际生活。

教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。

本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。

媒体设计本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。

设计特色（１）重视数学的人文价值。

数系的扩充和复数的概念教案

数系的扩充和复数的概念教案一、教学目标1. 了解数系的扩充，掌握实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 掌握复数的定义和表示方法；3. 理解复数加法和乘法的几何意义；4. 能够计算复数的模、共轭和商。

二、教学重难点1. 数系的扩充，包括实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 复数的定义和表示方法；3. 复数加法和乘法的几何意义。

三、教学内容1. 数系的扩充（1）实数集：包括有理数和无理数两部分，用符号“R”表示。

（2）有理数集：可以表示为两个整数之比（分母不为0），用符号“Q”表示。

（3）无理数集：不能表示为两个整数之比，用符号“Q'”表示。

（4）复数集：由实部和虚部构成，形如a+bi，其中a和b均为实数，i是虚单位，用符号“C”表示。

2. 复数的定义与表示方法（1）定义：由一个实部a和一个虚部b构成的有序数组(a,b)称为一个复数z，即z=a+bi。

其中a称为z的实部，b称为z的虚部。

（2）表示方法：用复平面上的点表示。

3. 复数加法和乘法的几何意义（1）复数加法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。

即把两个复数看作向量，在复平面上用平行四边形法则相加。

（2）复数乘法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。

即把两个复数看作向量，在复平面上用角度叠加原理相乘。

4. 计算方法（1）模：|a+bi|=√(a²+b²)。

（2）共轭：若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。

（3）商：设z1=a+bi，z2=c+di，则它们的商为(z1/z2)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。

四、教学过程Step 1 引入新知识介绍实数集、有理数集和无理数集，并引入复数集的概念。

《数系的扩充》微课说明

《数系的扩充》设计说明1 教材内容分析1.1 本质、地位及作用复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．但是，复数的进化是数学史中比较奇特的一章，那就是它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．数学与测量或实用计算之间的关系使实数具有某种实在感．可是，复数的情形却不一样．谁也不知道复数会带来怎样的实际用途，这是在崭新的方向上走出的一步，提出了纯理论的创造．新课程中复数内容突出复数的代数表示与代数运算，同时也强调了复数的几何表示与几何意义．它的内容是分层设计的：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点，或把复数看成是从直角坐标系原点出发到平面上一点的向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义．同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想．本节课的学习，一方面让学生回忆、归纳数的概念的发展和数系扩充的过程，感悟数的概念产生于实际需求与数学内部的矛盾，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会学习新知的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容．1.2 教学重点难点根据教学内容分析及学生已有的认知基础，本节课的教学重点、难点确定为：重点：感受数系扩充的过程，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件．难点：数系扩充的过程与原则．2 教学目标分析遵循新课标，本节课的教学目标确定如下：2.1 知识与技能理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件．2.2 过程与方法让学生回忆、归纳数系扩充的过程，感悟数系扩充的基本方法，领悟复数的有关理论．2.3 情感、态度与价值观通过问题情境感受虚数引入的必要性，体会人类理性思维的作用，形成学习数学知识的积极态度．3 教学问题诊断分析结合本节教学内容，教师通过了解数系的扩充历史以及人类对数的认知过程，虚数单位i的引入是纯理论的创造，就连数学家对i的接受也是一个漫长的过程．如笛卡尔就不想与这些数发生任何关系，并造出了“虚数”这个名称．莱布尼兹的说法最有代表性：“…，介于存在与不存在之间的两栖物，……”欧拉说：“…，想象的数，……，它们纯属虚幻．”根据历史相似性原理，结合学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：为什么要引入i？如何引入？i是什么？根据教与学的关系，教师的教要符合学生的认知规律和心理特征；反之，学生的学可以促进教师的教与学．教师通过研究学习数系的扩充历史，了解数系扩充的原则与方法，从而为虚数单位i的引入奠定理论基础；虚数的引入虽然最先由于数学本身的需要，但也只有当高斯画出x轴，y轴，用表示一个向量的时候，复数在解决实际问题中才得到广泛的应用，渐渐地才被大家接受．因此，i是人类理性思维的产物，是一种创造，一种创新．4 教法特点结合以上教学问题诊断分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用．5 课堂预期效果分析5.1 体现数学的文化内涵本节课教者从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家卡当的问题，让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，感受到数学家就在自己的身边，数学大师并不神秘，他们也曾有解不开的难题，小小的“i”硬是经过了两个世纪的努力才被人接受；数学发现并不神秘，大师们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍；数学并不神秘，只要我们“更新观念”，跳出原有的旧框框，一片更为广阔的数学天地便尽收眼底……数学的文化内涵在历史的脉络中体现的淋漓至尽，学生感受的是浓浓的数学文化气息．5.2 加深对数学思想方法的理解学生在理解、把握数学知识中，不仅仅是记忆形式上的数学知识，更重要的是领会以数学知识为载体的数学思想方法等．通过对数的发展历史的研究，可以把握数学知识、思想、方法的来龙去脉．从实数系到复数系，如何扩充的？扩充的原则是什么？教者通过设计问题串，引领学生追溯数的发展历史，类比前几次数系的扩充，让学生在知识发生过程中进行“火热的思考”，实现“再创造”，抽象概括出数系扩充的原则．5.3 架起感性认识到理性认识的桥梁从虚数的“生长”过程来看，即使是数学家的认识也是逐步深入的．这是数学家几代人共同努力的产物：是一个从无到有、从疑惑到接受、从模糊到清晰、从片面到完善的过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能体验到数学家的创造过程；才能感知到数学家的认知过程；才能感悟到数学家的思维过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能消除学生对虚数的疑惑：“虚数是什么？为什么要引入？怎么引入？引入后有什么用？”．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能感受到虚数不是神秘莫测、绝对权威的，是一种创造．5.4 培养学生科学品质和创新精神复数的产生和发展是数学家们辛勤耕耘的结果，是思想观念的突破．它体现了数学家的科学品质和创新精神．象这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，既然没有实数解，为什么还要讨论它？既然负数不能开平方，又为什么要承认是有意义的？这是一种心理上的矛盾、认知上的冲突，更是观念上的碰撞．历史的再现对学生的影响作用是巨大的，他们体会到了虚数的引入是一种创造，一种发明，一种思维上突破，一种观念上的更新．他们从数学家不懈努力的历程看到了一种精神、一种力量、一种思维方法．。

数系的扩充与复数的概念参考教案

数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i ；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。

二、教学重点，难点：复数的基本概念以与复数相等的充要条件。

三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2、复数概念与复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数。