初三数学(人教版)旋转全章复习-3任务单

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新人教版九年级上册数学[《旋转》全章复习与巩固--重点题型巩固练习](提高)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.（2015•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】因为以M 或O 或N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D. 【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B. 【解析】根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP ，OQ ，过Q 作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴M Q=1，OM=，则P 的对应点Q 的坐标为（1，﹣），故选B 7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°， ∵点F 是DE 的中点， ∴FG ∥CD∴GF=CD=AC=3 EG=EC=BC=2 ∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=．故答案为：11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】【解析】由旋转可知△APP ′是等腰直角三角形，所以PP ′=15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′= BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k，在Rt△BP′P中，BP′= BP= 2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2= CP2，∴∠C P′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.。

初三第二十三章《旋转》全章集体备课资料

8．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转中心是，旋转角等于度，△ADP是三角形.
9.如图，将左边的矩形绕点B旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=．
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，原点O是斜边BC的中点，点B的坐标为。将△ABO绕点A经过旋转后到达△ACE的位置。恰与△AOC组成正方形AOCE。
例3、三角形的旋转：
如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形.
分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于，即∠BCB′=，又由对应点到旋转中心的距离，即，就可确定B′的位置，如图所示.
作图步骤：
（1）连结CD
（3）旋转前、后的图形全等．
补充1：参考小练习：以一个含角的直角三角形为基础设计问题（可考虑的因素：旋转中心用哪个顶点，旋转方向和旋转角的大小，相关线段和角度如何计算）.
补充2：探究：在上图中，作直线与直线，它们相交所成的角与旋转角有什么样的关系？请学生观察、猜想，并说明理由。这个探究内容其实也是旋转的性质之一，但教材上未提及，介绍后可以使用以前做过的经典题（两个共顶点的等边三角形或正方形）进行印证。建议中等以上的学生能够掌握该结论，对今后解决问题会有帮助.
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解:（1）画图:
（2）CE=时，
CE=时，
第三课时中心对称与中心对称图形
一、学习目标：
1、了解中心对称、对称中心、对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题。
2、掌握关于中心对称的两个图形的性质及运用。
3、了解中心对称图形的概念及应用。
4、了解中心对称与中心对称图形的区别和联系；了解中心对称图形与轴对称图形的区别和联系。

初三数学(人教版)23.1图形的旋转(1)-3学习任务单

课上学习任务
【学习任务一】
想一想：
时钟的指针在不停地转动，从3时到5时，时针是如何转动的？
【学习任务二】
探究：
1.线段OA与OA’有什么关系？
2.∠AOA’与∠BOB’有什么关系？
3.△ABC与△A’B’C’的形状和大小有什么关系？
【学习任务三】
任意画一个△ABC，作下列旋转：
1.以点A为中心，把△ABC逆时针旋转40°；
2.在△ABC外任取一点为中心，把△ABC顺时针旋转90°；
3.以AC的中点为中心，把△ABC旋转180°.
【学习任务四】
△A’B’C’是由△ABC旋转得到的，你能找出旋转中心点O吗？（要求尺规作图）
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
初三
学期
第一学期
课题
23.1 图形的旋转（1）
教科书
书名：义务教育教科书数学
出版社：人民教育出版社出版日期：2014年3月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
学习目标
通过探索旋转的性质，会按要求画简单平面图形旋转后的图形.
课前学习任务
复习平移、轴对称的定义和性质，以及发现性质的过程与方法.

人教版初中数学九年级上册《旋转》全章节精品导学案(整理含答案)

人教版初中数学九年级上册《旋转》全章节导学案1图形的旋转(1)1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念．2. 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用．难点：从生活中抽象出数学概念．(2分钟)请同学们完成下面各题．(1)将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．,第(1)小题图),第(2)小题图)(2)如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.(3)①圆是轴对称图形吗？②等腰三角形呢？③你还能指出其他的吗？答：(1)①是；(2)②是；(3)③等腰梯形、长方形、正多边形等．点拨精讲：(1)平移的有关概念及性质；(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质；(3)什么叫轴对称图形．一、自学指导．(10分钟)观察：让学生看转动的钟表和风车等．(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间点旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：(1)从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)(2)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(60°)(3)以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？归纳：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．下列物体的运动不是旋转的是(C)A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片2．下列现象中属于旋转的有__4__个．①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．3．如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点__O__，旋转角是__∠AOD(或∠BOE)，经过旋转，点A转到__D__点，点C转到__F__点，点B转到__E__点，线段OA，OB，BC，AC分别转到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分别与∠D，∠E，∠F__是对应角．点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角；(3)经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？解：(1)可以看做是由基本图案正方形ABCD通过旋转而得到的；(2)画图略；(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．2．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点__A__；旋转的度数是__45°__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为14，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由．点拨精讲：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S △OEE ′＝S △ODD ′，即说明△OEE′≌△ODD′.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．2．旋转的对应点及其它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)1图形的旋转(2)1．通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质．2．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．难点：利用旋转的性质解决相关问题．一、自学指导．(10分钟)动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．(分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明)1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？点拨精讲：(1)OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等．(2)∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．(3)△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等．归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE ＝14，△ABF 是△ADE 的旋转图形．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AF 的长度是多少？(4)如果连接EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以△AEF 是等腰直角三角形．解：(1)旋转中心是A 点；(2)∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的，∴B 是D 的对应点，∴∠DAB ＝90°就是旋转角；(3)∵AD ＝1，DE ＝14，∴AE ＝12＋（14）2＝174.∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点，∴AF ＝174；(4)∵∠EAF ＝90°(与旋转角相等)且AF ＝AE ，∴△EAF是等腰直角三角形．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．点拨精讲：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置．2．已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形．作法：1.连接OA；2．在逆时针方向作∠AOC＝100°，在OC上截取OA′＝OA；3．连接OB；4．在逆时针方向作∠BOD＝100°，在OD上截取OB′＝OB；5．连接A′B′.∴线段A′B′就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段．点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.(1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？(2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由．(3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点．解：(1)能；(2)由△BCQ绕B点旋转得到．理由：连接AB，易证四边形ABCD为正方形．再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.(3)90°.点C对应点A，点Q对应点P.2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．解：(1)连接CD；(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．点拨精讲：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置．3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM为旋转角且为90°，∴△ADM是以A为旋转中心，以∠BAD为旋转角，由△ABK旋转而成的．∴BK＝DM.点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？2．本节课要掌握：(1)旋转的基本性质．(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)1图形的旋转(3)1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．重点：用旋转的有关知识画图．难点：根据需要设计美丽图案．一、自学指导．(15分钟)1．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形．点拨精讲：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．1．旋转中心不变，改变旋转角．2．旋转角不变，改变旋转中心．我们可以设计成如下图美丽的图案．归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟)如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③.2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．所以PP′＝PA2＋P′A2＝32＋32＝3 2.解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．解：△ACE旋转后能与△DCB完全重合．旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向．(也可看作△DCB 绕点C逆时针旋转60°得到△ACE)学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2. 1中心对称1. 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念．2. 掌握中心对称的基本性质．重点：中心对称的性质及初步应用．难点：中心对称与旋转之间的关系．一、自学指导．(10分钟)自学1：中心对称，对称中心，对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．自学2：中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．(2)如果是中心对称，那么A，B，C，D关于中心对称的对称点是哪些点．解：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D 点．(2)A，B，C，D关于中心D的对称点是A′，B′，C′，D′，这里的D′与D重合．2．如图，已知AD是△ABC的中线，作出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C，B为一对对应点，因此，只要再作出A关于D的对应点即可．解：(1)延长AD，且使AD＝DA′，因为C点关于D的中心对称点是B(C′)，A点关于中心D的对称点为A′.(2)连接A′B′，A′C′.则△A′B′D为所求作的三角形，如图所示．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称．(只保留作图痕迹，不要求写出作法)点拨精讲：(1)画法总结；(2)性质归纳．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，等边△ABC内有一点O，试说明：OA＋OB＞OC.解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B 的位置，则△AOC≌△AO′B.∴AO＝AO′，OC＝O′B.又∵∠OAO′＝60°，∴△AO′O为等边三角形．∴AO＝OO′.在△BOO′中，OO′＋OB＞BO′，即OA＋OB＞OC.点拨精讲：要证明OA＋OB＞OC，必然把OA，OB，OC转化在一个三角形内，应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA，OB，OC转化在一个三角形内．2．教材第66页练习．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．中心对称及对称中心的概念；2．关于中心对称的两个图形的性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2.2中心对称图形1. 掌握中心对称图形的定义．2. 准确判断某图形是否为中心对称图形．重点：中心对称图形的判断．难点：两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P66～67的内容．探究：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．解：J.点拨精讲：这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什么？(出示课件图片)(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5)正三角形(6)线段(7)角(8)等腰梯形解：常见的中心对称图形：线段(线段中点)、平行四边形(对角线交点)、矩形、菱形、正方形、圆(圆心)等．2．中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系．解：区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称．联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．英文大写字母中有哪些中心对称图形？答：(H，I，N，O，S，X，Z)．2．说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．3．想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？点拨精讲：边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．4．课本第67页小练习2.点拨精讲：怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转180°，即倒过来后，看图形是否与原来一样．5．如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？点拨精讲：由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．中心对称图形的定义．2．怎样准确判断某图形是否为中心对称图形．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2.3关于原点对称的点的坐标掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题．重点：关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用．难点：关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P68的内容．思考：关于原点作中心对称时，(1)它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间符号又有什么特点？点拨精讲：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－2)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？解：A，B，C，D，E，F点关于原点O对称点分别为A′(3，－1)，B′(4，0)，C′(0，－3)，D′(－2，－2)，E′(－3，2)，F′(2，2)．这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数．2．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形．解：△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(－4，－1)，C(1，1)关于原点的对称点分别为A′(2，－2)，B′(4，1)，C′(－1，－1)，依次连接A′B′，B′C′，A′C′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′，如右图所示．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1.(1)在图中画出直线A1B1.(2)求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式．(3)是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y＝kx＋b(我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等)，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．点拨精讲：(1)只需画出A，B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1，B1，连接A1B1.(2)先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y＝kx代入求k.(3)要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以说明．这一条直线是存在的，因为A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的坐标作A1，B1关于原点的对称点A2，B2，连接A2B2的直线就是我们所求的直线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．点拨精讲：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.2．教材P69的第1，2，3题．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)，及利用这些特点解决一些实际问题．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)3课题学习图案设计1．认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用．2. 利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案．重点：设计图案．难点：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P72内容，思考下列问题．(1)我们学过哪些图形变换？它们分别有何特征？(2)下列图形之间的变换分别属于什么变换？探究：(1)观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？(2)观察三种图形变换的过程，回答问题：①平移、旋转和轴对称变换的基本特征；②归纳三种图形变换的共性．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．分析图案的形成过程要注意些什么？分析图案的形成过程，应注意运用__平移、__轴对称__、__旋转__进行描述，只要合理就行．2．图案设计的关键是什么？选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？点拨精讲：将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？点拨精讲：将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换，设计出和谐、丰富、美观的组合图案．2．下面花边中的图案，由圆弧、圆构成．仿照例图，请你为班级的板报设计一条花边，要求：(1)只要画出组成花边的一个图案；(2)以所给的图形为基础，用圆弧、圆或线段画出；(3)图案应有美感．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

数学人教课标版九年级上册《旋转》复习课优秀学案

图形的旋转复习学案学习目标：1.了解旋转定义；2.理解旋转的性质；3.了解中心对称的性质；4.了解各种中心对称图形；5.探索图形的变换。

学习过程：一、知识回顾1.在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一个，这样的图形运动称为旋转。

2.这个称为，转动的称为。

3.旋转性质：（1）对应点到旋转中心的相等；（2）任意一对对应点与旋转中心所连的都是旋转角；（3）图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了的角度.即旋转角。

4. 在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相，那么这两个图形叫做中心对称，这个点叫做它的。

5. 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心。

6.点P （x,y ）关于原点对称的点是________，关于x 轴对称的点是______，关于y 轴对称的点是_______. 7、请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有。

8、中心对称与中心对称图形两个概念区别和联系中心对称是全等图形之间的；中心对称图形是图形本身成对称的。

中心对称的两个图形性质：成中心对称的两个图形是；成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过，并且被对称中心。

9、下列图形中，是中心图形又是轴对称图形的有（1）平行四边形（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）等腰梯形；（6）线段；（7）角；（8）线段；（9）等边三角形；（10）圆；二、探究：如图,在正方形ABCD 中,E 是CB 延长线上一点,△ABE 经过旋转后得到△ADF,请按图回答: (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度?(3)∠EAF 等于多少度?(4)经过旋转,点B 与点E 分别移动到什么位置? (5)若点G 是线段BE 的中点,经过旋转后,点G 移到了什么位置?请在图形上作出.(6)连结EF,请判断△AEF 的形状,并说明理由.一石激起千层浪汽车方向盘铜钱ABE G(7)试判断四边形ABCD 与AFCE 面积的大小关系三、总结反思四、检测1、一个平行四边形绕着它对角线的交点旋转90○能够与它本身重合，则该四边形（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定2、如图,ΔABC 和ΔADE 均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（） A. ΔABC 和ΔADE B. ΔABC 和ΔABD C. ΔABD 和ΔACE D. ΔACE 和ΔADE3、钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，秒针旋转的角度是；分针经过15 分后,分针转过的角度是；分针从数字12出发,转过150○，则它指的数字是；4、如图，ABC △中(23)A -，，(31)B -，，(12)C -，．（1）将ABC △向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；（2）画出ABC △关于x 轴对称的222A B C △；（3）将ABC △绕原点O 旋转180，画出旋转后的333A B C △；（4）在111A B C △，222A B C △，333A B C △中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______。

人教版九年级数学第23章《旋转》复习参考教案

第二十三章《旋转》复习教案一．概念：1.旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A 、B 、C 分别移动到什么位置？图1图22 .中心对称图形：图形绕着中心旋转180°后与自身重合称中心对称图形（如：平行四边形、圆等）。

有）○1旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等). ○2任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角). ○3经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等 2.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.例：1.若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法：○1对称点的连线必过对称中心； ○2这两个图形一定全等； ○3对应线段一定平行且相等； ○4将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合。

其中正确的是（）。

(A) ①② (B) ①③(C) ①②③ (D) ①②③④2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF 是△ADE 的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？三．基本练习1．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（）2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线3．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等4．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60° B．50° C．75° D．55°5.如图，△ABC是等边三角形。

数学人教版九年级上册《图形的旋转》单元复习

（3,2）， B 1 的坐标为_________
（1,4）， C 1 的坐标为_________
C1 B1 A1
7、如图，矩形ABCD的长和宽分别为4和2，以D为圆心， AD为半径作弧AE，再以AB的中点F为圆心，FB长为半 4 径作弧BE，则阴影部分的面积为； 2 2 2
2
2
8、在旋转与作图的第6题中，求点C旋转到点 C 1的路径长解：依题意得：（结果保留 π ） n 90, r 4
三、关于原点对称的点的坐标知识点 1、如果两个点关于y轴对称：那么它们的纵坐标的符号不变；横坐标的符号相反。 2、如果两个点关于x轴对称：那么它们的横坐标的符号不变；纵坐标的符号相反。 3、如果两个点关于原点对称：那么它们的横坐标和纵坐标的符号都相反；
1、下列图形中的“笑脸”是由笑脸①逆时针旋转900后的图形是B ( )
①
2、(2011广西南宁市)在平面直角坐标系中，点 A 1 ,3 (1, -3) ．点M a, b 关于关于原点对称的点A′的坐标是______
A
B
C
D
a , b 原点对称的点 M的坐标是________.
3、在学习轴对称时，我们学习过“轴对称图形”，在学习旋转时，我们学习了“中心对称图形”，请把下列图形分类： ④
5、已知Rt△ABC，∠C=900，画出△ABC绕点O顺时针旋转900后得到的 A C BB NhomakorabeaA
C
6、(2010广西河池市) 如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的顶点坐标分别为A（2，-2），B（3，-2），C（5,0），D（1,0），将梯形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到梯形 A 1B 1C 1D 在平面直角坐标系中画出梯形 A 1B 1C 1D ，则（3,1）， A 1 的坐标为_________

人教版数学九年级上学期课时练习-《旋转》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)

专题23.7《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比【典型例题】类型一、旋转三要素1．如图，E是正方形ABCD的边AB上任意一点（不与点A，B重合），DAE△按逆时针方向旋转后恰好能够与DCF重合．(1)旋转中心是________，旋转角为________；(2)请你判断DFE△的形状，并说明理由．【答案】(1) 点D ；90° (2) 等腰直角三角形，理由见分析【分析】（1）由已知可知，旋转中心为点D ，旋转角∠ADC = 90°，即可求解；（2）由旋转的性质可得DE = DF ，∠EDF = ∠ADC = 90，可得结论． (1)解：由题意得：旋转中心是点D ；旋转角为∠ADC ，在正方形ABCD 中，∠ADC =90°， ∠旋转角为90°；故答案为：点D ；90°(2)解：根据题意得：DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，∠DEF 是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】在ABC 中，30B ACB ∠+∠=︒，4AB =，ABC 逆时针旋转一定角度后与ADE 重合，且点C 恰好成为AD 中点，如图． (1) 旋转中心是点______，AE =______； (2) 求直线BC 与直线DE 的夹角．【答案】(1) A ,AC (2)30 【分析】（1）根据旋转后A 点与自身对应，则旋转中心为点A ，进而根据12AC AD =，可知AE 与AC 对应，即可求解；（2）延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，证明AEG △是等边三角形，进而求得1,120,902EG AB BG EGB BEA ==∠=︒∠=︒在EBF △中，根据三角形内角和定理求得EFB ∠，即直线BC 与直线DE 的夹角．(1)解：∠旋转后A 点与自身对应，∠旋转中心为点A ， 12AC AD =，则AC 旋转后与AD 不对应，则AC 与AE 对应故答案为：A ,AC(2)延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，30ABC ACB ∠+∠=︒，4AB =，180150BAC B ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒∴ABC 逆时针旋转150︒后与ADE 重合， ∴150CAE BAC ∠=∠=︒,BCA DEA ∠=∠36060EAG EAC DAB ∴∠=︒-∠-∠=︒ G 是AB 的中点，122AG AB ∴== 1,22AD AB AC AD === ∴2AE AC ==∴AEG 是等边三角形60AGE ∴∠=︒ 120EGB ∴∠=︒又2EG AG AE BG ====30∴∠=∠=︒GBE GEB∴∠=∠+∠=︒90BEA BEG GEABEF中∠+∠FBE BEF=∠+∠+∠+∠CBA ABE BEA AED=∠+∠+∠+∠ABE BEA CBA AED()==︒+︒︒12030150∴∠=︒EFB30即直线BC与直线DE的夹角为30【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．【变式2】如图，点P是正方形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，将∠ABP绕点B 顺时针旋转到∠CBP′的位置．（1）旋转中心是点__________，旋转角度是__________．（2）连接PP′，∠BPP′的形状是__________ 三角形．（3）若P A＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6【分析】（1）根据旋转的定义解答；（2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定；（3）∠根据勾股定理列式求出PP′，先根据旋转的性质求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解．解：（1）∠P是正方形ABCD内一点，∠ABP绕点B顺时针旋转到∠CBP′的位置，∠旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度，故答案为：B ，90°；（2）根据旋转的性质BP=BP′，旋转角为90°，∠∠BPP′是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（3）在等腰Rt ∠BPP '中，∠PB ＝BP '＝4，∠PP ′= ∠∠BP ′C ＝∠BP A ＝135°，∠∠PP ′C ＝∠BP ′C －∠BP ′P ＝135°－45°＝90°， ∠P 'C ＝P A ＝2 在Rt ∠PP ′C 中，PC 6==【点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质．类型二、利用旋转性质求值或证明2．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △． (1) 若30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，求DFC ∠； (2) 若3CE =，求CEF △的面积．【答案】(1) 70DFC ∠=︒ (2) CEF △的面积为92【分析】（1）根据三角形内角和定理，先算出70BEC ∠=︒，根据旋转性质，得出70DFC BEC ∠=∠=︒；（2）根据旋转性质得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，即可算出∠CEF 的面积． (1)解：∠30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，∠18070BEC EBC BCE ∠=︒-∠-∠=︒，∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠70DFC BEC ∠=∠=︒．(2)∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠90ECF ∠=︒，3CF CE ==， ∠11933222CEF S CE CF ∆=⨯⨯=⨯⨯=．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，根据旋转得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，是解题的关键．举一反三：【变式1】已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD AB ⊥于点D ．在边BC 上取一点E ，连接DE ，将线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接AF ，交线段CD 于点G ．(1) 如图，若点E 与点C 重合，求证：FCG ADG △△≌； (2) 探究线段AG 与GF 之间满足的数量关系，并说明理由；(3) 若10AB =，请直接写出点C 与点F 之间的最小距离，不必写解答过程．【答案】(1)见分析(2)AG =GF ，理由见分析(3)5 【分析】（1）根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB ，所以CD =AD ，根据旋转的性质，CD =CF ，所以CF =AD ，又因为∠GCF =∠GDA =90°，∠CGF =∠DGA ，所以FCG ADG △△≌（ASA ）；（2）作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，则可证明∠FEH ≌∠CED (SAS )，得到FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45°，从而证明∠FHG =90°，又因为对顶角相等，可证明∠FGH≌∠AGD (AAS )，所以AG =GF ；（3）根据（2）中的结论，CF ，所以当CE 取最小值0时CF有最小值5．解：(1)根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，∠CD AB ⊥∠CD 是斜边AB 的中线 ∠CD =AD∠线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ∠∠FCG =∠ADG =90°，CD =CF ∠AD =CF在△FCG 和ADG 中FCG ADG CF ADFGC AGD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠FCG ADG △△≌（ASA ） (2)AG =GF ，理由如下：作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，如图，∠∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB∠∠BCD =12ACB ∠=45°，CD =AD =12AB∠EH ∠BC∠∠EHC =∠BCD =45° ∠CE =HE∠∠FED +∠DEH =∠DEH +∠HEC ∠∠FEH =∠DEC 又∠EF =ED∠∠FEH ≌∠CED (SAS )∠FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45° ∠∠CHF =∠CHE +∠EHF =45°+45°=90° ∠∠FHG =90°=∠ADG 又∠∠FGH =∠AGD ∠∠FGH ≌∠AGD (AAS ) ∠AG =GF (3)连接CF ，∠FH =AD =12AB =11052⨯=，CH∠CF当CE 最小时CF 最小，CE 最小值为0，∠CF 5=点C 与点F 之间的最小距离为5．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式2】如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1) 旋转角为_____度； (2) 求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC∠的度数；S．(4)求ABC的面积ABC【答案】+9．【分析】（1）根据∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案，（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP ＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断∠PBQ 是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理证明∠PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．解：(1)∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠旋转角为60°故答案为：60；(2)连接PQ，如图1，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，BA＝BC，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠∠QCB∠∠P AB，∠BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∠BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∠∠PBQ是等边三角形，∠PQ＝PB＝4；(3)∠QC ＝5，PC ＝3，PQ ＝4，而32+42＝52， ∠PC 2+PQ 2＝CQ 2，∠∠PCQ 是直角三角形，且∠QPC ＝90°， ∠∠PBQ 是等边三角形， ∠∠BPQ ＝60°，∠∠BPC ＝∠BPQ +∠QPC ＝60°+90°＝150°； (4)如图2，过点C 作CH ∠BP ，交BP 的延长线于H ， ∠∠BPC ＝150°， ∠∠CPH ＝30°， ∠CH 12=PC 32=，PH=， ∠BH ＝4 ∠BC 2＝BH 2+CH 2232⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2425⎛+ ⎝⎭＝ ∠S △ABC =2， ∠S △ABC 25=+=9．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．类型三、中心对称图形与轴对称图形3、如图，在平面直角坐标系中，ABC 为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC ＝90°，点A 的坐标为（1，4）．已知ABC 与DEF 关于点(),0a 成中心对称（点D ，E ，F 分别为A ，B ，C 的对应点，0a ≥且4a ≠）．连接AF ，CD ．(1) 若0a =，画出此时DEF 的位置；(2) 线段AF 与CD 的位置和大小关系是______；(3) 若四边形AFDC 是一个轴对称图形，则a 的值为______．【答案】(1)见分析(2)AF CD ∥，且AF CD =(3)1 【分析】（1）当0a =时，点（a ，0）即为原点，作出ABC 关于原点成中心对称的图形即可；（2）设对称中心为点P （a ，0），根据中心对称的性质，即可得出结论；（3）当四边形AFDC 是菱形或矩形时，可得出a 的值． (1)如图，DEF 即为所画；(2)如图所示，AF CD ∥，且AF CD =故答案为：AF CD ∥，且AF CD =(3)∠ABC 是直角三角形，且B （1，0），∠ABC 与DEF 关于点()1,0成中心对称时，四边形AFDC 是菱形，如图，∠1,a = 故答案为：1【点拨】本题考查作图-中心对称、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】已知：BD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC AB ，上，且DE AB ，BE AF =．(1) 如图1，求证：四边形ADEF 是平行四边形；(2) 如图2，若ABC 为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．【答案】(1)证明见分析(2)等边ABC ，等边BEF ，等边CDE ，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF【分析】（1）由角平分线可知ABD CBD ∠=∠，由平行可知BDE ABD ∠=∠，可得CBD BDE ∠=∠，DE BE AF ==，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF 是菱形，,,D E F 是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．(1)证明：∠BD 是ABC 的角平分线∠ABD CBD ∠=∠ ∠DE AB ∥ ∠BDE ABD ∠=∠ ∠CBD BDE ∠=∠ ∠DE BE AF == ∠DE AF ∥，DE AF = ∠四边形ADEF 是平行四边形．(2)解：由（1）知四边形ADEF 是平行四边形∠EF AC∠ABC 是等边三角形 ∠60EFB C B ∠=∠=∠=︒ ∠BE EF DE == ∠四边形ADEF 是菱形 ∠,,AF BF BE CE CD AD === ∠,,D E F 是等边三角形的中点 ∠,BG EF BD EF ⊥⊥∠由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边ABC ，等边 BEF ，等边CDE △，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF ．【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出ABC 向左平移4个单位长度后得到的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标；222A B C △可看作111A B C △以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．（3）已知ABC 关于直线l 对称的333A B C △的顶点3A 的坐标为()4,2--，请直接写出直线l 的函数解析式________．【答案】（1）图见详解，C 1（-1，2）；（2）图见详解，C 2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y =-x【分析】（1）根据平移的性质即可画出ABC 向左平移4个单位后的111A B C △；（2）根据中心对称的性质即可作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，再根据旋转的性质即可得出结论；（3）根据轴对称的性质，可以知道直线必过点（-1，1），即可求出解析式．解：（1）如图所示，点C 1的坐标（-1，2）；（2）如图所示，点C 2的坐标（-3，-2），222A B C △可看作111A B C △以点（-2，0）为旋转中心，旋转180°得到的；（3）因为A 的坐标为（2，4），A 3的坐标为（-4，-2），所以直线必过点（-1，1），所以直线的解析式为y =-x ．【点拨】本题主要考查了平移，轴对称，中心对称的作图，熟练其概念准确的画出图形是解决本题的关键．类型四、直角坐标系中的中心对称图形4、已知∠ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．(1)画出∠ABC关于坐标原点O成中心对称的∠A′B′C′；(2)将∠ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的∠A′′B′′C′′；(3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为．【答案】(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．(1)如图所示，∠A′B′C′就是求作的图形；(2)如图所示，∠A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （1，1），B （4，2），C （3，4）．(1) 若ABC 经过平移后得到111A B C △，已知点C 的对应点1C 的坐标为()2,4-，画出111A B C △；(2) 请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2．【答案】(1)见分析(2)见分析【分析】（1）根据C 点的平移方式依次得到A 点和B 点的对应点的位置，顺次相连即可；（2）根据中心对称的定义确定对应点的位置后顺次连接即可． (1)如图，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．【点拨】本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移和中心对称，解题关键是牢记平移作图与中心对称图形的作图方法．【变式2】已知抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7．(1) 二次函数的图象与已知抛物线关于y 轴对称，求它的解析式；(2) 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与已知抛物线关于原点对称，求a ，b ，c 的值．【答案】(1)y ＝﹣2x 2﹣8x ﹣7(2)a ＝2，b ＝8，c ＝7 【分析】（1）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变进行求解即可；（2）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数进行求解即可；(1)解：抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变，∠y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7；(2)抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数，∠﹣y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7，即y ＝2x 2+8x +7∠二次函数y ＝ax 2+bx +c 中的a ＝2，b ＝8，c ＝7．【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．类型五、旋转几何综合拓展5、∠ABC 和∠DEC 是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =．(1)【观察猜想】当∠ABC 和∠DEC 按如图1所示的位置摆放，连接BD 、AE ，延长BD 交AE 于点F ，猜想线段BD 和AE 有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将∠DCE 绕着点C 顺时针旋转一定角度()090αα︒<<︒，线段BD 和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在∠ACD 中，45ADC ∠=︒，CD =4=AD ，将AC 绕着点C 逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD 的长．【答案】(1)BD AE = ，BD AE ⊥(2)成立，理由见分析(3)【分析】（1）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（2）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（3）过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．解：(1)BD AE = ，BD AE ⊥，证明如下：在BCD △和ACE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，BCD ACE ∴≅，,BD AE CBD CAE ∴=∠=∠，90ACB ∠=︒，90CBD BDC ∴∠+∠=︒，BDC ADF ∠=∠，90CAE ADF ∴∠+∠=︒，BD AE ∴⊥；(2)成立，理由如下：∠ACB DEC ∠=∠，∠ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在BCD △和ACE 中，∠AC BC =，BCD ACE ∠=∠，CD CE =，∠BCD ACE ≌，∠BD AE =，CBD CAE ∠=∠，∠BGC AGF ∠=∠，∠CBD BGC CAE AGF ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠90CBD BGC ∠+∠=︒，∠90CAE AGF ∠+∠=︒，∠90AFB ∠=︒，∠BD AE ⊥；(3)如图，过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，由旋转性质可得：90ACB ∠=︒，AC BC =，∠CH CD ⊥，∠90DCH ∠=︒，∠90ADC CHD ∠+∠=︒，且45ADC ∠=︒，∠45CHD ∠=︒，∠CHD ADC ∠=∠，∠CD CH ==在Rt DCH 中：2DH =，∠90ACB DCH ∠=∠=︒，∠ACB ACH DCH ACH ∠+∠=∠+∠，即ACD BCH ∠=∠，在ACD △和BCH 中，∠AC BC =，ACD BCH ∠=∠，CD CH =，∠ACD BCH ≌△△，∠4BH AD ==，CBH DAC ∠=∠，∠12CBH DAC ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠190CBH ∠+∠=︒，∠290DAC ∠+∠=︒，∠90∠=°，BHA∠BH AD⊥，∠BHD△是直角三角形，在Rt BDH中，BD=【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式1】如图1，在∠ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为∠ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：∠BDA∠∠BFE；（2）∠CD+DF+FE的最小值为；∠当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∠BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解答；（2）；∠见解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；（2）∠由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE 最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；∠先由∠BDF 为等边三角形得∠BFD =60°，再由C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠BFE =120°=∠BDA ，最后ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，即证；（3）由中位线定理知道MN ∠AD 且PN ∠EF ，再设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，得∠PNM =120°．（1）证明：∠∠DBF =∠ABE =60°，∠∠DBF -∠ABF =∠ABE -∠ABF ，∠∠ABD =∠EBF ，在∠BDA 与∠BFE 中，BD BF ABD EBF AB BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠BDA ∠∠BFE （SAS ）；（2）∠∠两点之间，线段最短，即C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠CD +DF +FE 最小值为CE ，∠∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，∠BE =AB =2，BC∠∠CBE =∠ABC +∠ABE =90°，∠CE=∠证明：∠BD =BF ，∠DBF =60°，∠∠BDF 为等边三角形，即∠BFD =60°，∠C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠∠BFE =120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠∠BDA =120°，∠∠ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，∠∠ADF =∠BFD ，∠AD ∠BF ；（3）∠MPN 的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN ，∠M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，∠MN ∠AD 且PN ∠EF ，∠AB =BE 且∠ABE =60°，∠∠ABE 为等边三角形，设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠AEF =∠APN =60°-α，∠EAD =60°+α，∠∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，∠∠PNM =∠PNF +∠FNM =60°-α+β+60°+α-β=120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠MN =12AD =12FE =PN ， ∠∠MPN =12(180°-∠PNM )=30°．【点拨】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键．【变式2】如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边AD 上（P 不与,A D 重合），连接,PB PC ．将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到PF ．连接EF EA FD ,,．（1）求证：∠PDF ∆的面积212S PD =； ∠EA FD =；（2）如图2，EA FD.的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．【答案】（1）∠见详解；∠见详解；（2）4≤MN＜【分析】≌，即可得到结论；（1）∠过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，证明PFG CPD∠过点E作EH∠DA交DA的延长线于点H，证明PEH BPA≌，可得≌，结合PFG CPDGD=EH，同理：FG=AH，从而得AHE FGD≌，进而即可得到结论；（2）过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，过点E作EH∠DA交DA的延长线于点EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重H，可得∠AMD=90°，MN=12合时，EF最大值=P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．解：（1）∠证明：过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，∠∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∠∠FPG=∠CPD，又∠∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∠PFG CPD ≌（AAS ），∠FG =PD ，∠PDF ∆的面积21122S PD FG PD =⋅=； ∠过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，∠∠EPH +∠PEH =90°，∠EPH +∠BP A =90°，∠∠PEH =∠BP A ，又∠∠PHE =∠BAP =90°，PB =PE ，∠PEH BPA ≌（AAS ），∠EH =P A ，由∠得：FG =PD ，∠EH +FG =P A +PD =AD =CD ，由∠得：PFG CPD ≌，∠PG =CD ，∠PD +GD = CD = EH +FG ，∠FG + GD = EH +FG ，∠GD =EH ，同理：FG =AH ，又∠∠AHE =∠FGD ，∠AHE FGD ≌，∠EA FD =；（2）过点F 作FG ∠AD 交AD 的延长线于点G ，过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，≌，由（1）得：AHE FGD∠∠HAE=∠GFD，∠∠GFD+∠GDF=90°，∠∠HAE+∠GDF=90°，∠∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∠∠MAD+∠MDA=90°，∠∠AMD=90°，∠点N是EF的中点，EF，∠MN=12∠EH=DG=AP，AH=FG=PD，∠HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．。

人教版数学九年级上册第二十三章旋转(章末总结)(复习课件)

B．
C．
D．
的
07
题型七（设计图案）
14 在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转
D．旋转和轴对称
15 五一节前，市园林部门准备在文化广场特设直径均为4米的八个圆形花坛，在内放置面
积相同的两种颜色的盆栽草花，要求各个花坛内两种草花的摆设不能相同，如图中的①、
故选：B.
）
04
题型四（中心对称的性质）
7 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（
A．O1
B．O2
C．O3
D．O4
8．（2020·甘肃张掖市九年级期末）如图，四边形ABCD是
菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成
阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，
形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
1）这个点叫做对称中心。
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的性质: 1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对
称中心所平分。
2)中心对称的两个图形是全等形。
基础巩固（平移、轴对称、旋转的区别与联系）
04
平移
相同点
120°
旋转角度是_________.
O
120°
P′
02
基础巩固（旋转的性质）
1）旋转前、后的图形全等。
2）对应点到旋转中心的距离相等。
3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
03
基础巩固（理解中心对称的概念和性质）
中心对称的概念：像这样，把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图

部编数学九年级上册23.10《旋转》全章复习与巩固(培优篇)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题23.10 《旋转》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A ．M （1，﹣3），N （﹣1，﹣3）B ．M （﹣1，﹣3），N （﹣1，3）C ．M （﹣1，﹣3），N （1，﹣3）D ．M （﹣1，3），N （1，﹣3）2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（）A B ．C D 3．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB Ð等于（）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°4．如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN Ð绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF V 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．B 2C ．4D 16．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为（8，4），若直线经过点D （2，0），且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式是（）A ．y=x-2B ．y=2x-4C ．y=x-1D ．y=3x-67．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，把AB 绕点B 逆时针旋转一定角度到点D ，连接AD 、DC ，使得∠DAC=∠BDC ，当时，线段AC 的长（）A ．3B ．C ．D 8．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P （2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l 上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C ，若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（）A ．12B ．14C ．16D ．189．在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()2,0，()0,2，()2,0-．一个电动玩具从原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点2021P 的坐标是（）.A ．()4,-0B ．()4,0C ．()4,4D ．()0,4-二、填空题11．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，60ABC Ð=°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是______．14．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =PB =PC个等边三角形ABC 的边长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．16．如图，C 为线段AB 的中点，D 为AB 垂直平分线上一点，连接BD ，将BD 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB =6AE =，则CD 的长为 __________ ．17．如图所示，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3顶点为Q ，交x 轴于点E 、F 两点（F 在E 的右侧），T 是x 轴正半轴上一点，以T 为中心作抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的中心对称图形，交x 轴于点K 、L 两点（L 在K 的右侧），已知∠FQL ＝45°，则新抛物线的解析式为 __．18．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB 1C 1D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 (如图1（2）)；以此下去，则正方形 A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；(3)请在x 轴上找一点D 得到▱ACDB ，则点D 的坐标为________，若直线y =32-x +b 平分▱ACDB 的面积，则b =_______．20．如图，一伞状图形，已知120AOB Ð=°，点P 是AOB Ð角平分线上一点，且2OP =，60MPN Ð=°，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN Ð在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转a 度()060a <<°，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．21．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB V V ≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE V 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.22．[问题提出]（1）如图,ABC ADE V V ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE V绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB Ð的大小为度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．23．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM Ð=°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.24．（1）观察理解：如图 1，ABC D 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线l 过点C ，点,A B 在直线l 同侧， ,BD l AE l ^^，垂足分别为,D E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以AEC CDB D @D （）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且,AE AB BC CD =^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =_________；（3）类比探究：如图 3， Rt ABC D 中，90ACB Ð=°,4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转 90°至AB ¢，连接B C ¢，则AB C ¢D 的面积=_________ .（4）拓展提升：如图4，等边EBC D 中，3EC BC ==cm ，点O 在BC 上，且2OC =cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以1cm/s 速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段OF ，设点P 运动的时间为t 秒．①当t =________秒时，OF ∥ED ；②当t =________秒时，点F 恰好落在射线EB 上．参考答案1．C解：M 点与A 点关于原点对称，A 点与N 点关于x 轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M 点与A 点的横、纵坐标都互为相反数，N 点与A 点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M （－1，－3），N （1，－3）．2．C【分析】连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AB CAE =Ð=°，再根据等边三角形的判定与性质可得AE CE ==，然后根据勾股定理分别求出EH BE 、，由此即可得出答案．解：连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC BC ==∴2AB ===，∴112AB =，由旋转可知：60AC AE CAE ==Ð=°，∴ACE V 是等边三角形，∴60AC AE EC ACE ===Ð=°，∴30BCE Ð=°，∴12EH EC ==∴CH ==∴BH BC CH =-=，∴1BE =====，∴1112BE AB +=+=故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．3．C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．解：连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点拨】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM 为等边三角形以及△PMB 是直角三角形是解答本题的第一个关键．4．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．解：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S =V V ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、同角的余角相等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．B【分析】连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，通过SAS 证明△AEF ≌△AGP ，得PG =EF =2，再利用勾股定理求出GE 的长，在△GPE 中，利用三边关系即可得出答案．解：连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，∵将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，∴AF =AP ，∠PAF =90°，∴∠FAE +∠PAE =∠PAE +∠PAG =90°，∴∠FAE =∠PAG ，在△AEF 和△AGP 中，,AF AP FAE PAG AE AG =ìïÐ=Ðíï=î∴△AEF ≌△AGP （SAS ），∴PG =EF =2，∵BC =3，CE =2BE ，∴BE =1，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE ==，∵AG =AE ，∠GAE =90°，∴GE =，在△GPE 中，PE ＞GE -PG ，∴PE 的最小值为GE -PG 2，故选：B ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B 的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，则4220k b k b +=ìí+=î，解得12k b =ìí=-î，∴直线DE 的解析式为y=x-2．故选：A ．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．7．D【分析】如图（见分析），先根据等腰直角三角形的性质可得45,BAC AC AB Ð=°=，再根据旋转的性质、等腰三角形的性质可得,45AB BD ADC BAC =Ð=Ð=°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45,BEC ADC BE AD Ð=Ð=°=，从而可得,2,4BE AD AE DE BE AD ^====，最后利用勾股定理即可得．解：如图，过点C 作CE CD ^，交AD 于点E ，连接BE ，ABC Q V 是等腰直角三角形，AC BC =，45,BAC AB \Ð=°==，即AC AB =，由旋转的性质得：AB BD =，BAD BDA \Ð=Ð，DAC B B C C AC AD D \Ð+=ÐÐ+Ð，DAC BDC Ð=ÐQ ，45ADC BAC \Ð=Ð=°，CDE \V是等腰直角三角形，2,45CE CD DE CED \====Ð=°，又90DCE ACB Ð=Ð=°Q ，DCE ACE ACB ACE \Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE ACD SAS \@V V ，45,BEC ADC BE AD \Ð=Ð=°=，90BED BEC CED \Ð=Ð+Ð=°，即BE AD ^，又AB BD =Q ，2AE DE \==（等腰三角形的三线合一），24BE AD DE \===，在Rt ABE △中，AB ==AC AB \===故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键．8．A【分析】连接CQ ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB ＝90，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．解：连接CQ ，如图：由中心对称可知，AQ ＝BQ ，由轴对称可知：BQ ＝CQ ，∴AQ ＝CQ ＝BQ ，∴∠QAC ＝∠ACQ ，∠QBC ＝∠QCB ，∵∠QAC +∠ACQ +∠QBC +∠QCB ＝180°，∴∠ACQ +∠QCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图，∵A （2，0），C （8，6），∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB Ð=°-Ð=°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为（14，0），设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∵C ，E 点在直线上，可得：14086k b k b ì+=ïí+=ïî，解得：114k b ì=-ïí=ïî，∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点拨】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解：当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10．A【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后1P 、2P 、3P 、4P 、5P 、6P 、7P的坐标，可得出规律，继而可求点2021P 的坐标．解：由题意得：点()14,0P 、()24,4P -、()30,4P -、()44,4P 、()54,0P -、()60,0P 、()74,0P ，∴点P 的坐标的变化规律是6次一个循环，∵20216336...5¸=，∴点2021P 的坐标是()4,-0．故选：A ．【点拨】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律．11．1【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =AB=2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB Ð=°，推出1''302ABD B BD ABB Ð=Ð=Ð=°，得到BD =′C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC=∴AB===2，∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，∴C′D12=AB′＝1，'60ABBÐ=°，∴1''302ABD B BD ABBÐ=Ð=Ð=°，∴BD=∴C′B＝C′D＋BD＝1故答案为1【点拨】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D，BD的长是解题的关键．12．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD ＝2，∴112BD =．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12B D 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，∴C 到BA 中点的距离即122AB =，又∵112BD =，∴CE 的最大值即1121322AB BD +=+=．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．13【分析】以AB 为边向右作等边△ABK ，连接EK ，证明△ABF ≌△KBE （SAS ），推出AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，EK 的值最小，求出EK 即可解决问题．解：如图，以AB 为边向右作等边△ABK ，由60ABC Ð=°可知点K 在BC 上，连接EK ，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，AK＝1，∴AE＝12∴EK=，∴AF【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．14【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH ⊥直线AP 于H ，如图所示，由旋转知，△BDP 为等边三角形，AD =PC =，∴BP =PD =BD ，∠BPD =60°，∵PA ，∴222PD PA AD +=，∴∠APD =90°，∴∠BPH =30°，∴BH =12BP =，由勾股定理得：AB．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．15．13【分析】将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，由矩形的条件和旋转的性质可得3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，可说明四边形EBMH 是矩形，然后由正方形的性质可得到12CN =，GM CN ^，从而说明GM 是CN 的垂直平分线，进一步推导出CG DG NG DG ND +=+³，当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值，最后由勾股定理可求解．解：将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，∵在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，2AE =，∴3EB AB AE =-=，90B BCD Ð=Ð=°，5CD =，∴3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，∴90EHM Ð=°，∴四边形EBMH 是矩形，∴3BM EH ==，90BMH Ð=°，∴()229312CN CM ==´-=，GM CN ^，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG NG =，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG DG NG DG ND +=+³，∴当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值ND ，在Rt NCD V 中，12CN =，5CD =，13ND ===，∴+CG DG 的最小值是13．故答案为：13．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点C 关于GM 的对称点N 是解题的关键．16．9【分析】连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，可证△BDE 是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，从而得到3601502BDE BAE °-ÐÐ==°，进而可求出∠HAE =30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH ，AH ，再利用勾股定理即可先后求出BE 和CD ．解：如图，连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ．∵C 为AB 中点，点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD =BD =DE ，12BC AB ==∴18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，∴()36036022ADB ADE BDE BAD EAD °-Ð+Ð°-ÐÐ+Ð==，即3602BDE BAE °-ÐÐ=．∵∠BDE =60°，∴∠BAE =150°，∴∠HAE =180°-150°=30°．∵AE =6，∴132EH AE ==，∴AH ==∴BH AH AB =+=∴BE ==，∴BD =，∴9CD ==．故答案为：9．【点拨】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17．y＝﹣x2+18x﹣77【分析】根据顶点式求得Q点的坐标，进而令0y=求得点,E F的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，根据∠FQL＝45°，证明△PQF≌△NFM（AAS），进而求得点M的坐标，求得直线QL的解析式为y11133x=-，继而求得L（11，0），T点坐标为（4，0），根据中心对称的性质可得K（7，0），根据交点式即可写出新抛物线的解析式．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴Q（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴E（﹣3，0），F（1，0），作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，∵∠FQL＝45°，∴△QFM为等腰直角三角形，∴FQ＝FM，∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，∴∠PQF＝∠MFN，∴△PQF≌△NFM（AAS），∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，∴M（5，﹣2），设直线QL的解析式为y＝kx+b，把Q （﹣1，﹣4），M （5，﹣2）代入得452k b k b -+=-ìí+=-î，解得13113k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线QL 的解析式为y 11133x =-，当y ＝0时，11133x -=0，解得x ＝11，∴L （11，0），∵点E （﹣3，0）和点L （11，0）关于T 对称，∴T 点坐标为（4，0），∵点F 与点K 关于T 点对称，∴K （7，0），∵新抛物线与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3关于T 对称，∴新抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）（x ﹣11），即y ＝﹣x 2+18x ﹣77．故答案为y ＝﹣x 2+18x ﹣77．【点拨】本题考查了二次函数的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求抛物线的解析式，求得对称中心是解题的关键．18．5n解：根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA 1B 1的面积是1，新正方形A 1B 1C 1D 1的面积是5，从而正方形A 2B 2C 2D 2的面积为5×5=25，正方形A n B n C n D n 的面积为5n ．考点：找规律-图形的变化【点拨】解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.19．(1)见分析(2)画图见分析，B 2(－5，－2)(3)(3，0)，6【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；(1)解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，连接相应顶点得△A1B1C即为所求；(2)解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），如图，△A2B2C2即为所求，(3)解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；∵A 点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B ，∴BD 可由AB 平移得到，即BD ∥AB ，BD =AB ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∵C （1，1），B （5，2），平行四边形是中心对称图形，∴平行四边形ACDB 的中心坐标为（3，32），如图所示，当直线y 经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，∴（3，32）代入直线y =32-x +b ，可得b =6；【点拨】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．20．（1）＝PE PF ，证明详见分析；（2）＝PE PF 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，解：（1）∵120AOB Ð°＝，OP 平分AOB Ð，∴60POF Ð°＝，∵60MPN Ð°＝，∴60MPN FOP ÐÐ°＝＝，∴PEF D 是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ^，PH OB ^，∵OP 平分AOB Ð，∴PQ PH ＝，90PQO PHO ÐÐ°＝＝，∵120AOB Ð°＝，∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH Ð+Ð+Ð，∴QPE EPF ÐÐ＝，在QPE D 与HPF D 中EQP FHP QPE HPF PQ PH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴QPE HPF AAS D D ≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ^，PH OB ^，OP 平分AOB Ð，∴30QPO Ð°＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S D ´´＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S D【点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见分析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）S £分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO Ð=Ð，再根据矩形的性质得CBA OAB Ð=Ð.从而BAD CBA Ð=Ð，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（ⅢS ££解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C Ð=Ð=°.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴DC = 4==.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE Ð=°.又点D 在线段BE 上，得90ADB Ð=°.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB Ð=°，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO Ð=Ð.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB Ð=Ð.∴BAD CBA Ð=Ð.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35æöç÷èø.（ⅢS ££【点拨】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.22．（1）见分析；（2）60或120；（3）1212S ££【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB Ð的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论解：（1）,ABC ADE Q V V 均为等边三角形，AD AE \=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAEÐ=Ð在ADB △和AEC △中AD AE BAD CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î()ABD ACE SAS \@V V ；（2）当,,D E C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵ADE V 是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°，180120AEC AED \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC @V V ，120ADB AEC \Ð=Ð=°，1206060EDB ADB ADE \Ð=Ð-=-°=°Ð°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，ADE Q V是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°180120ADC ADE \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC@V V 60ADB AEC \Ð=Ð=°，60EDB ADB ADE \Ð=Ð+Ð=° 60120+=°°综上所述，EDB Ð的大小为60°或120°（3）过点A 作AF BC ^于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==AF \==4DF \=此时1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==，AF \==4AD =Q4DF AF AD \=+=此时，1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；综上所述，DBC △的面积S 取值是1212S -££【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．23．（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见分析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是P 的坐标为（）【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN。

人教版九年级数学上册第二十三章旋转复习课件

(3)可能是菱形，当AC绕点O旋转45°时， ∵AC= BC2 AB2=4， ∴OA=OC=2，∴OA=AB,又∠BAC=90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∠AOB=45°. 当AC绕点O顺时针旋转45°时， ∠AOE=45°，∴∠BOE=90°， ∴EF垂直平分BD，∴BE=ED. 又由（1）可知四边形BEDF为平行四边形，即此时四边形BEDF是菱形.
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第23章旋转章末复习
复习导入
本节课将回顾全章所学内容，梳理知识脉络，击破重难点的知识结构框图. （2）进一步明确旋转、中心对称、等概念的含义及它们的性质和作图等.
旋转、中心对称的概念和性质.
性质的应用及图案的设计.
本章知识结构图
图案设计利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的形状和大小
中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分关于对称中心对称的两个图形是全等图形
关于原点对称的两点：横、纵坐标分别互为相反数
下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ B ）
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总是保持相等; （3）在旋转过程中四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：(2)连接AF, EC. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AD与CB关于点O中心对称. 又E、F分别在上. ∴AE与CF关于点O中心对称. ∴AE=CF，又AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形. ∴AF=CE.
解：A(-2,2)，B(-1,-2)，C(-3,-3). 描点如图.△A1B1C1是由△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1 个单位得到的.

第二十三章旋转复习-2022-2023学年九年级数学上册单元复习(人教版)

1旋转过程中，图形上_每__一__点__都__绕__旋__转__中__心__按同一旋转方向旋转同样大小的角度． 2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是__旋__转__角__，对应点到旋转中心的距离都__相__等____． 3．旋转前后对应线段、对应角分别相__等__，图形的大小、形状 ___不__变____．
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第23章旋转复习
复习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识； 2.进一步明确旋转、中心对称、中心对称图形的概念及性质，并会作图； 3.能熟练说出一个点关于原点对称的坐标； 4.能灵活应用平移、旋转、轴对称变换进行图案设计，体会数学的美感.
知识梳理考点1 旋转的概念及性质
拓展训练
(2)证明：∵△ABE≌△C1BF， ∴BE＝BF. ∵A1B＝CB， ∴A1B－BE＝CB－BF， ∴EA1＝FC.
拓展训练
(3)：四边形 ABC1D 是菱形．理由： ∵∠A1＝∠C＝30°，∠ABA1＝∠CBC1＝30°， ∴∠A1＝∠C＝∠ABA1＝∠CBC1， ∴AB∥C1D，AD∥BC1， ∴四边形 ABC1D 是平行四边形． ∵AB＝BC1， ∴四边形 ABC1D 是菱形．
知识梳理考点3 中心对称的性质
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心__平__分___．
中心对称的两个图像是全等图形．
知识梳理考点4 中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
4．若点A(－3，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)关于原点

人教版九年级数学上册作业课件第二十三章旋转章末复习(三) 旋转

解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求 (2)如图所示，△A2B2C2即为所求
知识点四图案设计问题 8．如图，图②的图案是由图①中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是( B )
A.①② B．①③ C．①④ D．③⑤
9．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图 ①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴．把图③补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母P.(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．)
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第二十三章旋转
章末复习(三) 旋转
知识点一中心对称与中心对称图形 1．(呼伦贝尔中考)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C )
2．下面四组图形中，成中心对称的有( C ) A.1组 B．2组 C．3组 D．4组
知识点二关于原点对称的点的坐标 3．以原点为中心，将点P(4，5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q关于原点的对称点所在的象限为( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：(2)△ PMN 是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD＝ ∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE， BD＝CE，利用三角形的中位线得，PM∥CE，PN∥BD，且 PM＝12 CE，
PN＝12 BD，∴PM＝PN，∴△PMN 是等腰三角形，∴∠DPM＝∠DCE， ∠PNC＝∠DBC，
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB＝3， AC＝2，求∠BAD的度数和AD的长．

人教版九年级上册第二十三章旋转复习课导学单

第二十三章旋转复习课一、学习目标：（1）知道旋转的定义，说出旋转的三要素，记住旋转的性质，会作旋转图形，找旋转中心；（2）知道中心对称的定义及性质，能够分辨中心对称图形和轴对称图形；（3）会求某个点关于原点对称的点的坐标；（4）能够利用旋转解决一些几何问题。

二、知识过关： 1、旋转:⑴旋转的定义：把一个图形绕着转动一个，叫做图形旋转。

点O 叫做，转动的角叫做。

如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做旋转的。

⑵旋转的三要素：____________,________________,____________⑶旋转的性质：①_____________________________________________； ②_____________________________________________. 2、中心对称 ⑴定义：把一个图形绕某一点旋转_______后与另一个图形______，这两个图形成___________ ⑵中心对称的性质：①_______________________________________；②______________________________________________. ③______________________________________________⑶中心对称图形定义：绕着中心点旋转后能与自身重合的图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做。

3、),(y x P 关于原点对称的点________________三、基础练习1、如图， △ABC 是等边三角形，△ABD 旋转得到△ACE （1）请说出旋转中心、旋转方向、旋转角。

（2）请判断△ADE 的形状，并说明理由.2、（1）请在图中作△ABC 绕点（2）请求出点A3.下列图形中，是中心图形又是轴对称图形的有（）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形；⑥线段；⑦角；（A ）2个；（B ）3个；（C ）4个；（D ）5个； 4.如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=23，求BB′的长为 ______ ．5.如图，平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点A 坐标为（6，0），C 点坐标为（2，2），若直线y =mx +2平分▱OABC 的周长，则m的值为 ______ ．6.如图，在方格纸中，已知格点△ABC 和格点O ．（1）画出△ABC 关于点O 对称的△A′B′C′；（2）若以点A 、O 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为 ______ ．（写出所有可能的结果）四、典型例题例1. 如图，P 是正三角形ABC 内一点，PA=6，PB=8，PC=10，若三角形PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到三角形P ’AB ，求：⑴P 与P ’之间的距离；⑵∠APBP'C B APB例2．如图，△ABC 为等边三角形，边长为1．△BCD 是顶角为∠BDC ＝120°的等腰三角形．以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB ，AC 于M ，N ，延长AC 至E 点，使CE ＝BM ，连接DE ．（1）图中有两个三角形是互相旋转而得到的吗?若有，指出这两个三角形．并指出旋转中心及旋转角的度数；（2）图中有成轴对称图形的两个三角形吗?若有，请指出，并指明对称轴；（3）利用以上结论．你能求出△AMN 的周长吗?五、课堂小结：通过复习，你对旋转有哪些新认识。

人教版数学九年级上册第二十三章旋转全章教案及配套练习(新)-3

关于原点对称的点的坐标1．•把一个图形绕着一个点旋转_______，•如果旋转后的图形与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫________．2．两个点关于原点对称时，它们的坐标______，点P（x，y）•关于的原点的对称点P′坐标为________．3．下图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的，•其中不是中心对称图形的是（）5．（体验探究题）下列图形：线段、角、等边三角形、平行四边形、正方形、圆（1）其中中心对称图形有_______，它们的对称中心分别是哪个点？（2）有一个四边形ABCD是中心对称图形，那么它一定是平行四边形吗？6．在直角坐标系中，点A（2，-3）关于原点对称的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．如图，平行四边形的中心在原点，AD∥BC，D（3，2），C（1，-2），•则其他点的坐标为_________________________．8．（体验过程题）如图，•利用关于原点对称的点的坐标的特点，•作出△ABC关于原点对称的图形．解：点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P′________．因此△ABC的顶点A（0，3），B（3，-2），C（4，3）关于原点的对称点的坐标分别为A′_____，B′______，C′_____，依次连结A′B′、B′C′、C′A′，则得△ABC关于原点对称的△A′B′C′．9．下列各图中，不是中心对称图形的是（）10．以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，•再按顺时针方向旋转180°，所得到的图形是（）11．已知如图所示，△ABC与△A′B′C′关于原点O对称，点A（-2，3），B（•-4，2），C ′（1，-1），则A′点的坐标为_______，B′点的坐标为______，•C•点的坐标为______．(第3题) (第4题)12．下图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，•按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转________度角后，两张图案．．．．构成的图形是中心对称图形．13．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）14．（易错题）如图，下列4个数字有（）个是中心对称图形．A．1 B．2 C．3 D．415．如图，网格中有一个四边形和两个三角形．（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度与自身重合？16．如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（•每个小正方形的边长为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P．（1）写出下一步“马”可能到达的点的坐标_________；（2）顺次连接（1）中的所有点，得到的图形是_________•图形（填“中心对称”，“旋转对称”，“轴对称”）；（3）指出（1）中关于点P成中心对称的点_________．。

人教版九年级数学《旋转的概念及性质》课前预习任务单和课堂小练习及答案

九年级数学课前预习任务单和课堂小练习及答案旋转的概念及性质图X23－29－1图X23－29－2解：(1)旋转中心是点旋转角.(2)经过旋转，点A 的位置.2. 如图X23△ABC 绕着点O DEF 的位置，则旋转中心是点O ，旋转角有∠COF 和∠BOE DO ，AB ＝ DE ＝∠ DFE 图X23－29 任务五：请总结一下平移课堂小练限时10分钟总分100分得分非线性循环练1. (10分)若x1，x2是一元二次方程x2－3x－8＝0的两个根，则x21＋x22的值是( A )A. 25B. －25C. 7D. －72. (10分)已知抛物线的解析式为y＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是( B )A. (－2,1)B. (2,1)C. (2，－1)D. (1,2)3. (10分)下列抛物线中，过原点的抛物线是( C )A.y＝x2－1B.y＝(x＋1)2C.y＝x2＋xD.y＝x2－x－14. (20分)直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，求斜边长.解：设一直角边长为x，则12x(7－x)＝6.解得x1＝3，x2＝4.∴两直角边长分别为3和4.∴斜边长为32＋42＝5.当堂高效测1. (10分)下列生活中的实例，不是旋转的是( A )A. 传送带传送货物B. 螺旋桨的运动C. 风车风轮的运动D. 自行车车轮的运动2. (10分)等边三角形绕着它的中心旋转一周，可与原图形重合的次数是( C )A. 1B. 2C. 3D. 43. (10分)如图X23－29－4，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.(填序号)图X23－29－44. (20分)如图X23－29－5，△ABC绕点C旋转得到△EDC，在这个旋转过程中：(1)旋转中心是点C，旋转角是∠BCD或∠ACE.(2)经过旋转，点A和点B分别移动到了点E，点D的位置.(3)旋转后，线段BC＝DC，AC＝EC，△ABC≌△EDC.图X23－29－5。

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课程基本信息
课例编号学科数学年级九年级学期秋季
课题旋转全章复习
教科书书名：义务教育教科书数学九年级上册
出版社：人民教育出版社出版日期：2014年3月
学生信息
姓名学校班级学号
学习目标
1.掌握与三角形有关的角的结论，应用这些结论解决简单的计算与证明问题.
2.在中，提高运算能力积分析问题解决问题的能力.
3.经历应用与三角形有关的角的结论解决问题的过程，发展几何直观和逻辑推理意识.
课前学习任务
请同学们梳理本章知识结构，可根据自己情况制作本章思维导图.
课上学习任务
【学习任务一】通过完成课上例题，对本章的知识与方法进行复习与回顾.
例
如图所示，把一个直角三角尺ACB顺时针旋转到△EDB的位置，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则旋转中心是___，旋转角等于___度，∠BDC的度数为___度．
例：已知：点A与点B.
（1）画出点A绕点B逆时针旋转30°得到点C，并简述作图步骤；
（2）连接点A，B，C，能得到什么图形？为什么？
（3）如果想得到等边三角形和等腰直角三角形，应该旋转怎样的角度呢？
例：如图，小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即
线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段CD，请在
图中确定旋转中心点E的位置及旋转角度．
例：如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对
称，下列结论中不一定成立的是( ).
（A）OC=OC′（B）OA=OA′
（C）BC=B′C′（D）∠ABC=∠A′C′B′
例：如图，△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图形．△ABC
内任意一点M的坐标为(x,y)，点M经过这种变换后得到点N，
点N的坐标是( ).
（A） (-y,-x) （B）( x,-y)
（C） (-x,y) （D）(-x,-y)
例：下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）（A）（B）（C）（D）D
C B
A。