离散数学3_4

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离散数学课后习题答案

1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。

解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。

举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。

由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。

充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。

由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。

（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。

离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)

以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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20
Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集（在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法：隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法：如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。

赵洪銮《离散数学》第五章3-4节

证明：因为<S, *>是半群。对于b∈S，由*的封闭性，
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i，所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下：对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不相同。咋证呢？
12
3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。例如：？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*

离散数学课后习题答案（第三章）（doc）

R={＜a，b＞，＜b，a＞，＜b，c＞，＜c，d＞}
a）用矩阵运算和作图方法求出 R 的自反、对称、传递闭包； b）用 Warshall 算法，求出 R 的传递闭包。
解 a） 0 1 00
MR= 1 0 1 0 0 0 01
0 0 00
R 的关系图如图所示。
a
b
d
c
MR+MIA=
0 1 00 1 0 10
反之，若 S∩ScIX，设＜x，y＞∈S 且＜y，x＞∈S，则＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc ＜x，y＞∈S∩Sc ＜x，y＞∈IX 故 x＝y，即 S 是反对称的。
3-7.3 设 S 为 X 上的关系，证明若 S 是自反和传递的，则 S○S=S，其逆为真吗？
证明若 S 是 X 上传递关系，由习题 3-7.2a）可知（S○S）S，令＜x，y＞∈S，根据自反性，必有＜ x，x＞ ∈S，因此有＜ x，y ＞∈S○S，即 SS○S。得到 S=S○S.
自反的； b）若 R1 和 R2 是反自反的，则 R1○R2 也
是反自反的； c）若 R1 和 R2 是对称的，则 R1○R2 也是
对称的； d）若 R1 和 R2 是传递的，则 R1○R2 也是
传递的。
证明 a）对任意 a∈A，设 R1 和 R2 是自反的，则＜a，a＞∈R1，＜a，a＞∈R2 所以，＜a，a＞∈R1○R2，即 R1○R2 也是自反的。
解：L= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,6>,<3,6>,<1, 1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L∩D= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>, <2,2>,<3,3>,<6,6>}

离散数学第三章第四节

R= R1R2R3 ={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>, <a,b>,<b,a>,<d,e>,<e,d>}
15
5、等价关系、商集及划分之间的关系（4）
例3：给出A={1，2，3}上的所有等价关系。解：因A的所有划分如下图所示:
A上的所有等价关系就是π1 、π2 、π3 、π4 、π5对应的等价关系，它们依次为 EA ， R2 ， R3 ， R4 ， IA ，其中 EA=A A为全域关系， IA= {<1,1> ,<2,2> ,<3,3> }， R2={<2,3>,<3,2>} IA R3={<1,3>,<3,1>} IA R4={<2,1>,<1,2>} IA
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5、等价关系、商集及划分之间的关系（1）
定理4 集合A上的等价关系R确定A的一个划分，这个划分就是商集A／R。证：1、A/R={[a]R|aA},显然
aA
[a]
R
A
2、对aA，有a[a]R，所以A中的每个元素都属于某个分块。 3、下面证明A中的任一个元素仅属于某一个分块。设aA ，a[b]R且a[c]R，那么，bRa，cRa 。因 R对称，所以aRc。又因R是传递的,所以bRc。按定理3, [b]R=[c]R 。综上所述，A/R是A关于R的一个划分。
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3、等价类（2）
定理3 设R为非空集合A上的等价关系，a,b A, aRb当且仅当[a]R=[b]R。
证明：若aRb，任取c[a]R , c[a]RaRccRacRbbRcc[b]R , 故[a]R[b]R。同理可证[b]R[a]R。故[a]R=[b]R 。反之,若[a]R=[b]R ,则 a[a]R a[b]R bRa aRb

离散数学概论习题答案第3章

第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。

集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。

在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。

集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。

集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。

同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。

接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。

集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。

第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。

一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。

通常用大写英文字母表示集合。

例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。

用小写英文字母表示集合内元素。

若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。

集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。

表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。

1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。

这种表述方式为列举法。

例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。

且集合元素之间没有次序关系。

一个集合可以作为另个集合的元素。

例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。

因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。

,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。

当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。

离散数学第三-四章

n i 1
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与并的关系定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3）（4）（a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的补集,或相对补,记作A-B。即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?

离散数学(第二版)最全课后习题答案详解

27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,证明: 重言式.
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
解：
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可得，当且仅当 A 和 B 都是重言式时，
0 0 0 1 是重言式。
28. 设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,已知
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为 1.
真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5 是有理数.
答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值
5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或 3 是偶数. （2）2 或 4 是偶数. （3）3 或 5 是偶数. （4）3 不是偶数或 4 不是偶数. （5）3 不是素数或 4 不是偶数.
答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为 1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为 1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为 0.

离散数学第3-5章习题答案

第三章1、用枚举法写出下列集合。

①英语句子“I am a student”中的英文字母；解：{I,a,m,s,t,u,d,e,n}②大于5小于13的所有偶数；解：{6,,8,10,12}③20的所有因数；解：{1,2,4,5,10,20}④小于20的6的正倍数。

解：{6,12,18}2、用描述法写出下列集合。

①全体奇数；解：S={x|x是奇数}②所有实数集上一元二次方程的解组成的集合；解：S={x|x是实数集上一元二次方程的解}③二进制数；解：S={x|x是二进制数}④能被5整除的整数集合。

解：S={x|x是能被5整除的整数}3、求下列集合的基数。

①“proper set”中的英文字母；解：S={p,r,o,e,s,t}所以 cardS=|S|=6②{{1,2}，{2,1,1}，{2,1,2,1}}；解： cardS=|S|=3③{x|x=2或x=3或x=4或x=5}；解：cardS=|S|=4④{{1，{2,3}}}。

解：cardS=|S|=14、求下列集合的幂集。

①“power set”中的英文字母；解：S={p,o,w,e,r,s,t}(S)是所有S的子集构成的集合，这里不一一列举了。

②{3,6,9}；解：℘(S)={Φ ,{3},{6},{9},{3,6},{3,9},{6,9},{3,6,9}} ③小于20的5的正倍数；解：S={5,10,15} ℘(S)={Φ,{5},{10},{15},{5,10},{5,15},{10,15},{5,10,15}} ④{{1,3}}。

解：℘(S)={Φ,{1,3}}5、设Φ=A ，B=a ，求P(A) ，P(P(A)) ，P(P(P(A))) ，P(B) ，P(P(B)) ，P(P(P(B)))。

解：P(A)={Φ};P(P(A))={Φ,{Φ}};P(P(P(A)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}P(B)={Φ,a };P(P(B))={Φ,{Φ},{a},{Φ,a}};P(P(P(B)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{{a}},{{Φ,a}},{Φ,{Φ}},{Φ,{a}},{Φ,{Φ,a}},{{Φ},{a}},{{Φ},{Φ,a}},{{a},{Φ,a}},{Φ,{Φ},{a}},{Φ,{Φ},{Φ,a}},{Φ,{a},{Φ,a}},{{Φ},{a},{Φ,a}},{{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}}.6、如果集合A 和B 分别满足下列条件，能得出A 和B 之间有什么联系？ ①A ∪B=A ； ②A ∩B=A ； ③A －B=A ； ④A ∩B=A －B ； ⑤A －B=B －A ； ⑥A B A =⊕。

离散数学_第_4_章习题解答讲解

第四章归结法原理习题与解答1. 用归结法证明：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1) 首先将p→q,p→r，¬(p→q∧r)化为合取范式。

p→q⇔¬p∨qp→r⇔¬p∨r¬(p→q∧r)⇔¬(¬p∨(q∧r))⇔p∧(¬q∨¬r) 给出子句集{¬p∨q,¬p∨r,p,¬q∨¬r}的反驳如下。

⑴ ¬p∨q⑵ ¬p∨r⑶ p⑷ ¬q∨¬r⑸ q 由⑴和⑶由⑵和⑶⑹ r⑺ ¬r 由⑷和⑸⑻ □ 由⑹和⑺因此，p→q,p→r|=p→q∧r(2) 首先将p→r，q→r，¬(p∨q→r)化为合取范式。

p→r⇔¬p∨rq→r⇔¬q∨r¬(p∨q→r)⇔(p∨q)∧¬r给出子句集{¬p∨r,¬q∨r,p∨q,¬r}的反驳如下。

p→q∨r⇔¬p∨q∨r¬((p→q)∨(p→r))⇔¬((¬p∨q)∨(¬p∨r))⇔p∧¬q∧¬r 给出子句集{¬p∨q∨r,p,¬q,¬r}的反驳如下。

⑴ ¬p∨q∨r⑵ p⑶ ¬q⑷ ¬r⑸ q∨r 由⑴和⑵⑹ r 由⑶和⑸⑺ □ 由⑷和⑹因此，p→q∨r|=(p→q)∨(p→r)(4) 首先将p∧q→r,¬((p→r)∨(q→r))化为合取范式。

离散数学第三版课后习题答案

反之，对任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，xB\C。由x∈A\C，可知x∈A，xC。又因为xB\C及xC，可知xB。所以，x∈（A\B）\C。因此（A\B）\C（A\B）\C。
由此可得（A\B）\（B\C）（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
4）真。因为是集合{}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4.对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
A′∪B=(A∪A′)∪B（∪的交换律）
A′∪B=X∪B（互补律）
A′∪B=Ｘ（零壹律）
方法三：因为A′X且BX，所以根据定理2的3）就有A′∪BＸ；
另一方面，由于BA′∪B及根据换质位律可得B′A′A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3），可得X=B∪B′A′∪B，即XA′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。
=（A\C）\B（根据1））
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，xB，xC。由为x∈A，xC，所以，x∈A\C。又由xB，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B（A\B）\C。
9.设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
离散数学习题解答

离散数学4.3-4

5
例子
例1：R是N上的整除关系，则R具有自反性证明：x∈N，x能整除x，∴<x,x>∈R，∴R
具有自反性。
6
例子
例2：R是Z上的同余关系，则R具有自反性，证明：x∈Z，x-x/k=O∈Z, ∴x与x横直同余， ∴<x,x>∈R，∴R具有自反性。其它≤，≥关系，倍数关系，人与人的同姓关
系。集合的≤关系，均是自反关系。
20
例3:设A＝{a,b,c}, R＝{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>} S＝{<a,a>,<c,c>}, T＝{<a,c>,<b,b>}, R,S是对称关系,T不是对称关系。
21
(4) 若x y(x,y∈A ∧<x,y> ∈R ∧ x≠y <y,x>R),
则称R在A上是反对称的。( 隐含x = y <y,x>∈R )
例如：设A={1,2,3}，R 是 A 上的关系， R={<2,3>,<3,2>} R是反自反的
3
§4.3 关系的性质
应该指出，任何一个不是自反的关系，未必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的关系，未必是自反的。这就是说，存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。
例如：设A={1,2,3}, R 是 A 上的关系， R={<1,1>,<2,2>} 缺少{<3,3>}
10
结论
R是A上的关系，则：（1）R是自反关系的主要条件是IAA （2）R是反自反关系的主要条件是R∩IA=Ф。
11
(3) 若x y(x,y∈A ∧<x,y> ∈R <y,x> ∈R),则称R 在A上是对称的。

华科离散数学第三章

14
例3 设有函数f, g, h,均是由实数集R到R的函数,
且f (x)=x+3 ,g (x)=2x+1, h (x) ＝x/2 求复合函数 h •(g•f) , (h•g)•f 。
解: 所求的复合函数都是由R到R的函数
g f (x) g( f (x)) g(x 3) 2(x 3) 1 2x 7
所以# (BA)=8 。
f5={(a,2),(b,1),(c,1)} f6={(a,2),(b,2),(c,1)} f7={(a,2),(b,1),(c,2)} f8={(a,2),(b,2),(c,2)}
因此, #(BA)=(#B)#A 6
二、几种特殊的函数定义3－3 设f是一由A到B的函数,
8
练习 3－1
１.设A＝{1, 2, 3, 4, 5} , B={6, 7, 8, 9, 10}, 判断下列由A到B的关系哪些是函数,哪些不是函数。在相应的括号中键入“Y”或“N”。
(1) f1＝{(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ Y ）
(2) f2＝{(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)}
注意：当g•f 是内射时，g可能不是内射，例如
22
当g•f 是满射，f可能不是满射.
例如
当g•f 是双射时，f可能不是满射，g可能不是内射.
例如
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例6 设有函数f：R→R和g：R→R，定义为
f(x)=x2－2 , g(x)=x＋4 试判断f是否内射？g•f是否内射。
解（1）f不是内射。
因为3 ≠－3 ,但f(3)=f(－3)=7
f 3 (1)= (f•f 2)(1)=f (f 2(1))=f (3)=4 类似地f 3 (2)=1, f 3 (3)=2, f 3 (4)=3

离散数学3、4章

• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此，的逆关系是B到A的映射。
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双射的逆也是双射
• 显然，若是A到B的双射，则其逆映射 – 1也是B到A的双射，并且对任意的x∈A，均有： – 1((x)) = x .
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抽屉原理（鸽巢原理）
我们知道，若A，B均为有限集，且A与B 之间存在双射，则A和B的元素个数相等，即 A～B。但是：
定理4.1.2 任何有限集均不能和其真子集等势。
• 此定理也称为抽屉原则：若将n+1个物体放入 n个抽屉中，则至少有一个抽屉中放了两个或两个以上的物体。
第三章映射
映射又称为函数，是两个集合之间一种特殊的二元关系。
本章主要介绍各种典型的映射及其性质、运算以及它们之间的联系。
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§3.1 基本概念
定义3.1.1：设A，B是两个集合，是A到B的二元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B，使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为：
本章将利用“映射”的概念建立集合间的等势关系，并拓广集合中元素个数的概念，引进集合的基数的概念，最后讨论可数集与不可数集。
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§4.1 等势
如何比较两个集合中元素的多少呢？引入等势的概念。
定义4.1.1 设A和B是集合，若存在A到B 的双射，则称A与B等势，记为A ~B 。 (可形象理解为A与B的元素一样多。)
在，于是A～C，故～是传递的。综上所

《离散数学》第七章_图论-第3-4节

图的可达性矩阵计算方法（3）无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩阵。分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法：将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度为2通路数目为0，G中长度为2的路（含回路）总数为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度为3的通路数目为2， G中长度为3的路（含回路）总

图的邻接矩阵的应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

《离散数学》第3章集合

P ( A) = {φ , A}
第二节集合的运算内容：内容：集合的运算，文氏图，运算律。重点：重点：(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互关系和运算， (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。集合的运算。集合 A, B 的并集 A ∪ B，交集 A ∩ B，相对补集
三包含排斥定理设A和 B是两个有限集合，则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ，
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定理表述：设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合，其元数分别为 A , A ,⋯, A ，则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合，若 A ∈ B 且B ∈ C ，、有可能 A ∈ C 吗，有可能 A ∉ C 吗？解：两种情形都有可能。设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} ，则 A ∈ B, B ∈ C ，有 A ∈ C 。又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}，则 A ∈ B, B ∈ C ，但 A ∉ C 。

离散数学04

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例题 n元谓词的符号化
例4.5 将下列命题符号化（1）兔子比乌龟跑得快。（2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。（3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。（4）不存在跑得同样快的两只兔子。
解：令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快， L(x,y):x与y跑得同样快。
(1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)→F(x))
(2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x))
在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此结引进了谓词M(x)，称为特性谓词。论同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。
思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为 x(M(x)∧F(x))？能否将15(2)符号化为x(M(x)→G(x))？
定义4.4 一阶语言F的合式公式定义如下:
(1) 原子公式是合式公式。
(2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
(3) 若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB) 也是合式公式。
(4) 若A是合式公式，则xA，xA也是合式公式。
(5) 只有有限次的应用(1)～(4)构成的符号串才是合式公式。
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量词及相关概念
量词（quantifiers）是表示个体常项或个体变项之间数量关系的词。
1. 全称量词：符号化为“”
日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、“凡”、“都”等词可统称为全称量词。
x表示个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里所有个体都有性质F。
命题真值为假。（2）有的人登上过月球。
令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)∧G(x))。