第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论1
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地图投影的基本理论
∆u = u ′ − u
10） （4－10）
角度变形也是一个变量， 角度变形也是一个变量，它随着点位 和方向的变化而变化。 和方向的变化而变化。在同一点上某特 殊方向上，其角差具有最大值， 殊方向上，其角差具有最大值，这种最 大值称为该点上的角度最大变形。 大值称为该点上的角度最大变形。
4．标准点和标准线 标准点， 标准点，系地图投影面上没有任何变形 的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。 的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。 离开标准点愈远，则变形愈大。 离开标准点愈远，则变形愈大。 标准线，系地图投影面上没有任何变形 标准线， 的一种线， 的一种线，即投影面与地球椭球体面相切或 相割的那一条或两条线。 相割的那一条或两条线。
一个直径30厘米的地球仪，相当于 一个直径30厘米的地球仪， 30厘米的地球仪 地球的五千万分之一；即使直径1 地球的五千万分之一；即使直径1米的地 球仪， 球仪，也只有相当于地球的一千三百万 分之一。 分之一。在这一小的球面上是无法表示 庞大地球上的复杂事物。并且， 庞大地球上的复杂事物。并且，地球仪 难于制作，成本高， 难于制作，成本高，也不便于量测使用 和携带保管。 和携带保管。
由于地球（或地球仪） 由于地球（或地球仪）面是不可展的曲 而地图是连续的平面。因此， 面，而地图是连续的平面。因此，用地图表 示地球的一部分或全部， 示地球的一部分或全部，这就产生了一种不 可克服的矛盾——球面与平面的矛盾，如强 球面与平面的矛盾， 可克服的矛盾 球面与平面的矛盾 行将地球表面展成平面， 行将地球表面展成平面，那就如同将桔子皮 剥下铺成平面一样， 剥下铺成平面一样，不可避免地要产生不规 则的裂口和褶皱， 则的裂口和褶皱，而且其分布又是毫无规律 可循。 可循。为了解决将不可展球面上的图形变换 到一个连续的地图平面上，就诞生了“ 到一个连续的地图平面上，就诞生了“地图 投影”这一学科。 投影”这一学科。
第4章地球椭球及其数学投影2
b a O u
M´ M x M″ ″
所以大地纬度B与归化纬度u的关系式: 所以大地纬度B与归化纬度u的关系式:
tan u = 1 − e 2 tan B
2) 大地纬度 与地心纬度 的关系 大地纬度B与地心纬度 与地心纬度φ的关系
y
由子午平面坐标
x = N cos B y = N 1 − e 2 sin B
天 文 起
2.天文坐标系：以天文经度λ 2.天文坐标系：以天文经度λ 天文坐标系 和天文纬度φ 和天文纬度φ为点的坐标
始 子 午 面
P λ φ
以 天文 3. 为Z 为Z 的 点 点
和 ：
为 点P 点 P的 和
起 始 子 午
z
的 P
坐标系：以 为 点 以 X 点 Y XOZ 的坐标系 x
面
o
Y
z x
2 2 2 2 2
1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素： 年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素： 年北京坐标系
a = 6378245 m
α = 1 298 . 3
2）地球椭球的几何、物理元素 地球椭球的几何、 我国1980年大地坐标系采用第16届 IAG—IUGG 椭球，其椭球元素为：
a = 6378140 m GM = 3.986005 × 10 14 m 3 / s 2
X2 a
2
+
Y2 b
2
=1
n
dY b2 X X = − 2 = − 1− e2 dX Y a Y
(
)
代入第一式得： 代入第一式得：
Y = X 1 − e 2 tan B
(
)
2
将 2
X=
代入椭圆方程，化简后得： 代入椭圆方程，化简后得：
M´ M x M″ ″
所以大地纬度B与归化纬度u的关系式: 所以大地纬度B与归化纬度u的关系式:
tan u = 1 − e 2 tan B
2) 大地纬度 与地心纬度 的关系 大地纬度B与地心纬度 与地心纬度φ的关系
y
由子午平面坐标
x = N cos B y = N 1 − e 2 sin B
天 文 起
2.天文坐标系：以天文经度λ 2.天文坐标系：以天文经度λ 天文坐标系 和天文纬度φ 和天文纬度φ为点的坐标
始 子 午 面
P λ φ
以 天文 3. 为Z 为Z 的 点 点
和 ：
为 点P 点 P的 和
起 始 子 午
z
的 P
坐标系：以 为 点 以 X 点 Y XOZ 的坐标系 x
面
o
Y
z x
2 2 2 2 2
1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素： 年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素： 年北京坐标系
a = 6378245 m
α = 1 298 . 3
2）地球椭球的几何、物理元素 地球椭球的几何、 我国1980年大地坐标系采用第16届 IAG—IUGG 椭球，其椭球元素为：
a = 6378140 m GM = 3.986005 × 10 14 m 3 / s 2
X2 a
2
+
Y2 b
2
=1
n
dY b2 X X = − 2 = − 1− e2 dX Y a Y
(
)
代入第一式得： 代入第一式得：
Y = X 1 − e 2 tan B
(
)
2
将 2
X=
代入椭圆方程，化简后得： 代入椭圆方程，化简后得：
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论2
16 32
16
32
X
a(1 e2 )[A
B2
B1
B 2 (sin 2B2
sin2B1)
C 4 (sin 4B2
sin4B1)
D 6
(sin 6B2
sin6B1)
E 8
(sin 8B2
sin8
B1
)
F 10
(sin10B2
sin10B1)
L
]
A 1 3 e2 45 e4 175 e6 11025 e8 43659 e10 +L 4 64 256 16384 65536
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
2）子午圈曲率半径：
N RA 1 e '2 cos2 Acos2 B
N M R0 1 e2 cos2 B
a(1 e2 ) c M W3 V3
E
315 e8 3465 e10 +L
16384 65536
F
639 e10 +L
131072
180o 57.2958 ' 60 3437.7468 '' ' 60 206264.8098
3、子午线弧长和平行圈弧长
Arc Length of Meridian and Parallel Circle
2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
4）平均曲率半径：
(椭球、投影、变形)PPT课件
椭球变换
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
4.7 大地主题解算
• 4.7.4 高斯平均引数反算公式 • 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
73
4.7 大地主题解算
74
4.7 大地主题解算
75
4.7 大地主题解算
• 4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球 面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面 上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面 上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球 面上的计算结果换算到椭球面上。
33
4.4 椭球面上的弧长计算
34
4.4 椭球面上的弧长计算
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内 的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个 弧长约为4 0 0 0 8 5 4 9 . 9 9 5 m。即一象限子午线弧 长约为10000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需 按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mｍ
47
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以ξ,η表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)
48
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 标高差改正
49
4.6 将地面观测值归算至椭球面
20
地球椭球与椭球计算理论课件
地球质量
表示地球的质量，是影响地球引力和重力场的重要参数。
地球自转速度
表示地球自转的角速度，是影响地球表面时间和经度的重要 参数。
03
地球椭球的应用
地球椭球在地图学中的应用
地图投影
地球椭球作为地理坐标系统的参考椭球，是地图投影的基础。通过将地球椭球投 影到平面或球面上，可以制作各种比例尺的地图。
测量数据处理
在大地测量中，地球椭球用于处理各 种测量数据，如经纬度、高程等。通 过将实地测量数据归算到地球椭球上 ，可以实现测量数据的统一处理和精 度保障。
地球椭球在气象学中的应用
气候模拟
地球椭球用于构建气候模型，通过对地球表面的气象要素进行模拟和分析，预测气候变 化趋势。
气象数据分析
地球椭球作为地理坐标系统的参考框架，用于分析和处理各种气象数据，如风场、气压 场等。通过将气象数据投影到地球椭球上，可以实现数据的统一处理和可视化展示。
地球椭球的几何参数
01
02
03
赤道半径
地球椭球在赤道平面上的 投影与地球赤道面之间的 距离，是地球椭球的最大 半径。
极半径
地球椭球在极平面上的投 影与地球极点之间的距离 ，是地球椭球的最小半径 。
地球自转轴倾角
表示地球自转轴与地球椭 球旋转轴之间的夹角，决 定了地球椭球的旋转方向 和倾斜角度。
地球椭球的物理参数
重力场模型
地球椭球的物理计算涉及到地球的重力场模型，包括地球的质量分布、重力加速度和地球的旋转角速度等参数。这些 参数对于研究地球的物理特征、地震预测和导航定位等领域具有重要意义。
物理计算公式
地球椭球的物理计算公式包括用于计算地球重力场的公式和用于确定地球自转轴的公式。这些公式涉及到复杂的物理 原理和数学方法，需要专业知识和技能进行应用。
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系
U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '
第四章 1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
极点曲率半径
1 − e 2 sin 2 B 2 2 1 + e ′ co s B
t、η2、W、V写在黑板
四、经线和纬线的曲线方程
• 起始子午线的曲线方程： 起始子午线的曲线方程：
X 2 Z2 + 2 =1 2 a b Y =0
• 经度为 的经线方程： 经度为L的经线方程： 的经线方程 两个面的截线 • 纬度为 的纬线方程： 纬度为B的纬线方程： 的纬线方程
第四章 地球椭球及其 数学投影变换的基本理论
第四章 第一讲主要内容
一、地球椭球的几何、物理参数 二、地球椭球参数间的相互关系 三、旋转椭球面上的几种坐标系 四、各坐标系间的关系
上一讲应掌握的内容
1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程 、垂线偏差公式和
ξ =ϕ −B η = (λ − L) cos ϕ
A = α − (λ − L) sin ϕ
二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球） 个基本参数及关系 • 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其 物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特 征。 a, J2 , fM (GM ), ω • 根据4个基本参数可求得椭球扁率：
3 q 近似公式：α = J 2 + 2 2 1 ≈ 298.257
b2 x 2 x c tgB = 2 ⋅ = (1 − e ) a y y
y = x (1 − e 2 ) tan B
x = a cos B 1 − e 2 sin
2
B
=
a cos B W
子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)
a N= x = N cos B W a cos B a cos B = x= 2 2 W 1 − e sin B
第四章 地球椭球数学投影(8-9-10-11节)——【武汉大学 大地测量学】
l
q
将上述两式代入（4-334）式，整理，令
x 2 y 2
m2 E(dq)2 2F (dq)(dEl) G(dl)2
r 2 (dq)2 (dl )2
(4q 339)
q
F
x x q l
y y q l
G
x l
2
y l
2
正形投影的一般条件
2、柯西.黎曼条件
tan(90 A) P2P3 MdB dq P1P3 rdl dl
f (B), l
Light Source
投影变换的基本概念
2）圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切， 将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面 沿某条经线剪开成平面。
f (B), l
Standard Line
True Length Exaggerated
投影变换的基本概念
3）圆柱(或椭圆柱)投影
4.9.2 正形投影的一般条件
1、长度比的通用公式
dS2 (MdB)2 (N cosBdl)2
正形投影的一般条件
ds2 (dx)2 (dy)2
正形投影的一般条件
m2
ds dS
2
dx2 dy2 (MdB)2 (N cos
Bdl )2
dx2 dy2
(
N
cos
B)2
MdB N cos B
方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影 称为正形投影。 2）等积投影：投影前后的面积不变形. 3）任意投影：既不等角，又不等积.
投影变换的基本概念
2.按经纬网投影形状分类 1）方位投影 取一平面与椭球极点相切，将极点 附近区域投影在该平面上。纬线投 影后为以极点为圆心的同心圆，而 经线则为它的向径，且经线交角不 变。
大地测量学基础-第4章地球椭球及其数学投影变换的基本理论
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，GPS应用的是WGS84椭球参数, 2000国家大地坐标系采用CGCS2000椭球。
• 涉及我国的这几组参数值见表4－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
• 同样，（4－34）可根据右图得到。
sinB＝Z / (H+P'Q)
• 教材4.2.3“站心地平坐标系”实际应用较少。
OP″=OP2 Ne2
Ne2sinB
第四章 地球椭球及其数学投影变换的 基本理论
§4－1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 §4－2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 §4－3 椭球面上的几种曲率半径 §4－4 椭球面上的弧长计算 §4－5 大地线 §4－6 将地面观测值归算到椭球面 §4－7 大地测量主题解算概述 §4－8 地图数学投影变换的基本概念 §4－9 高斯平面直角坐标系 §4－10 通用横轴墨卡托投影和高斯投影簇
• 椭球面上的测量计算公式很多。为简化书写，引入下列符号：
c a2 b
t tgB
W 1 e2 sin2 B
2 e2 cos2 B
V 1 e2 cos2 B 1 2
• 式中B为大地纬度； W、 V为辅助函数，其中W叫第一基本纬度 函数， V叫第二基本纬度函数。
• 自1738年布格（法国）推算出第一组椭球参数以来，各国大地测 量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多、数值 各异的椭球参数，比较著名的就有30多组。
1 e2 sin 2 B
W
(4 16)
y a (1 e2 )sin B b sin B
5地球椭球及数学投影
a
b
a2 c b ab a a2 b2 e a a2 b2 e b
短半径 几
何 参 扁率 第一偏心率 第二偏心率 极曲率半径
数
1、地球椭球 大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。
我国采用的地球椭球参数表
椭球名称 年代 a(m) α
克拉索夫斯基
IUGG-1975 WGS-84
KP
S
参考椭球
Байду номын сангаас
（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换 2、（X，Y，Z） → （B，L，H）
X ( N H ) cos B cos L Y ( N H ) cos B sin L Z ( N (1 e 2 ) H ) sin B
Z
N
L H
P
P0
G
Z
O
基本面和基本线。
2、参考椭球
参数之间的关系
北极N、南极S 子午面、子午圈（线）
P0
P
赤道面、赤道
B K
平行圈（线、纬圈）
大地纬度B
2、参考椭球
参数之间的关系
长半径
a
b
短半径
几 何 参 数
第一辅助函数W
W 1 e 2 sin 2 B 2 2 V 1 e cos B
（二）法线长公式 2、地面点的法线长公式
Z
P
H
P0 K P N P0Q N(1 e 2 ) QK Ne2 P
PK P N H
X
P0
G O
Q
KP
B
Y
S
参考椭球
OP2 (N （三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换 H) cos B PP3 (N H) sin B
b
a2 c b ab a a2 b2 e a a2 b2 e b
短半径 几
何 参 扁率 第一偏心率 第二偏心率 极曲率半径
数
1、地球椭球 大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。
我国采用的地球椭球参数表
椭球名称 年代 a(m) α
克拉索夫斯基
IUGG-1975 WGS-84
KP
S
参考椭球
Байду номын сангаас
（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换 2、（X，Y，Z） → （B，L，H）
X ( N H ) cos B cos L Y ( N H ) cos B sin L Z ( N (1 e 2 ) H ) sin B
Z
N
L H
P
P0
G
Z
O
基本面和基本线。
2、参考椭球
参数之间的关系
北极N、南极S 子午面、子午圈（线）
P0
P
赤道面、赤道
B K
平行圈（线、纬圈）
大地纬度B
2、参考椭球
参数之间的关系
长半径
a
b
短半径
几 何 参 数
第一辅助函数W
W 1 e 2 sin 2 B 2 2 V 1 e cos B
（二）法线长公式 2、地面点的法线长公式
Z
P
H
P0 K P N P0Q N(1 e 2 ) QK Ne2 P
PK P N H
X
P0
G O
Q
KP
B
Y
S
参考椭球
OP2 (N （三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换 H) cos B PP3 (N H) sin B
大地测量学基础作业与参考答案
7．水准面的不平行性是由于什么原因引起的?这种现象对水准测量会产生什么影响? 答：由于水准面是一重力等位面，正常重力的大小与纬度有关，当位 W 一定时，两水准面 之间的距离与重力成反比， 从而导致两水准面之间的不平行。 这种现象会引起经过不同路线 测定某点的高程不同，使某点高程产生多值性。 8．1956 年黄海高程系统与 1985 国家高程基准有何差别？ 答：1956 年黄海高程系统的高程基准面是采用 1950 年至 1956 年 7 年间青岛验潮站的潮汐 资料推求得到的。1985 国家高程基准的高程基准面是采用青岛验潮站 1952～1979 年中取 19 年的验潮资料计算确定的。两者相差 0.029m。 9．1956 年黄海高程系统与 1985 国家高程基准的水准原点高程各是多少？ 答：1956 年黄海高程系统水准原点高程是 72.289m，1985 国家高程基准的水准原点高程是 72.260m。 第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论 1.椭球面上的常用坐标系有哪些？ 答：有大地坐标系、空间直角坐标系、天文坐标系、子午面直角坐标系、地心纬度坐标系及 归化纬度坐标系、站心地平坐标系。 2. 地球椭球基本参数有哪些？它们的互相关系是什么？ 答：椭圆的长半轴 a 、短半轴ｂ、扁率 、第一偏心率 e 、第二偏心率 e 、辅助 量
6.正高、正常高和大地高如何定义的？三者有何关系： 答：正高：地面点沿垂线方向至大地水准面的距离，用 H 正 表示；地面点沿垂线方向至似大 地水准面的距离，用 H 常 表示；地面点沿法线方向至椭球面的距离，用 H 大 表示。三者的关 系为：
H 大 H 正常 。其中 为高程异常， N 为大地水准面差距。 H大 H正 N
X 0 , Y0 , Z 0
为平移参数； X , Y , Biblioteka 为旋转参数， m 为尺度变化参数。
第四章地球椭球数学变换
42
Fundation of Geodesy
2020/1/31
43
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15.6.2方向改化较精密公式
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首先为计算方向改正的数值，必须预先 知道点的平面坐标。然而要精确知道点 的平面坐标，却又要先算出方向改正值， 所以这是一个矛盾。解决这个矛盾的办 法，就要采用逐次趋近计算。
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2.由平面坐标x,y计算平面子午线收敛角γ 的公式
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15.6方向改化公式
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15.6.1方向改化近似公式的推导
在球面上四边形ABED的内角之和等于360°+ε 由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应 该相等，即
2) 将椭球面上起算边大地方位角归算 到高斯平面上相应边P’K’的坐标方位 角，这是通过计算该点的子午线收敛角 γ 及方向改化δ 实现的。
9
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3)将椭球面上各三角形内角归算到高斯 平面上的由相应直线组成的三角形内角。 这是通过计算各方向的曲率改化即方向 改化来实现的。
同正算一样，对投影函数提出三个条件：
(1)x坐标轴投影成中央子午线，是投影的 对称轴
(2)x (3)正形投影条件。
第四章地球椭球数学变换(9节)
高斯投影3°带， L＝３ｎ‘
3
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2019年9月5
日7时47分
4
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2019年9月5
日7时47分
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线， 并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，
以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影 为横坐标轴
15.3.1
(1) (2) (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。
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日7时47分
由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋 转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质， 即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央 子午线。 x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。
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15.6.2方向改化较精密公式
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15.2正形投影的一般条件
在正形投影中长度比与方向无关 15.2.1长度比的通用公式
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m2
ds dS
2
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在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线， 并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，
以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影 为横坐标轴
15.3.1
(1) (2) (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。
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由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋 转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质， 即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央 子午线。 x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。
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15.6.2方向改化较精密公式
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15.2正形投影的一般条件
在正形投影中长度比与方向无关 15.2.1长度比的通用公式
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日7时47分
m2
ds dS
2
地图数学投影变换的基本概念
A P ( , ) A' x' P'(x',y')
1
O B
' r
O'
B'
y'
O ' A' a OA
O' B' b OB
x' a
y ' b
x '2 y '2 变形椭圆方程： 2 2 1 a b
任一点的长度比： m r 即变形椭圆上P ' 点的向径 3. 投影变形 （1）长度变形 x' a r x '2 y '2 a cos
2.投影方程
x F1 ( L，B ) y F2 ( L，B )
F1，F2就是“一定的数学法则 ”
二、地图投影的变形 1. 长度比 P 1' P 2' m lim P 1 P2 0 P P 1 2
N X P2 p'2 p'1
P1
m
ds dS
S
一般情况下，长度比是一个变量，随点位、方向而变化。 2. 主方向和变形椭圆 主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中 最 大及最小长度比的方向，称为主方向。 C' C'
上节回顾
掌握概念地面观测值分类，方向值归算的三差改正，电磁波 边长归算公式。 掌握概念：大地元素、大地测量主题解算，大地测量主题正 算、大地测量主题反算，高斯平均引数正反算特点、白塞尔 大地测量主题解算的基本思想
本节主要内容
地图数学投影变换的基本概念 一、地图投影概述 二、地图投影的变形 1. 长度比 2. 主方向和变形椭圆 3. 投影变形 三、地图投影的分类 1.按变形性质分类 2. 按经纬网投影形状分类 3. 圆柱(椭圆柱)投影 四、高斯投影
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大地空间直角坐标（X，Y，Z）
ZP NH
地面点X坐标： OP1
L P0 G
Z
地面点Y坐标： P1P2 地面点Z坐标： PP2
X
O
P1
X Y
B P2
Y
KP
S
参考椭球
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
一、定义 3、几点补充说明
一个参考椭球（大小+
定位）可以确定一套大地 坐标系和一套大地空间直 角坐标系，这些坐标系之 间必有一定的关系，坐标 系的关系也即同一点的两 套坐标之间的关系。
基本面和基本线。
2、参考椭球（reference ellipsoid）
参数之间的关系
北极N、南极S 子午面、子午圈（线） 赤道面、赤道 平行圈（线、纬圈） 大地纬度B
P
P0 B K
2、参考椭球（reference ellipsoid）
参数之间的关系
长半径
a
短半径
b
几
极曲率半径
a2 c
何 参 扁率
我国采用的地球椭球参数表
椭球名称 克拉索夫斯基
IUGG-1975 WGS-84 GRS80
年代 1940 1975 1996 1980
a(m) 6378245 6378140 6378137 6378137
α 1∶298.3 1∶298.257 1∶298.257223563 1∶298.2572
1、地球椭球（earth ellipsoid） 大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。
相对参考椭球的坐标系
也称为参心坐标系、相对 坐标系，相对总地球椭球 的坐标系也称为地心坐标 系、绝对坐标系。
ZP NH
L P0 G
Z
X
O
P1
X Y
B P2
Y
KP
S
参考椭球
球面直角三角形的纳白尔规则 参考椭球定义及其作用 参考椭球几何参数间的相互关系 地球椭球、参考椭球、正常椭球、
总地球椭球的区别与联系
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
二、法线长公式（normal length）
1、椭球面上点的法线长公式
y
ZP H
P0 G
OB
Q
Y
X
KP
x
S
参考椭球
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
二、法线长公式（normal length）
1、椭球面上点的法线长公式
dy tan(90 B) cotB dx
b
ab
a
数
第一偏心率 e a 2 b2
a
第二偏心率 e a 2 b2
b
第一辅助函数W
W 1 e2 sin 2 B
V 1 e2 cos2 B
第二辅助函数W
2、参考椭球（reference ellipsoid）
参数之间的关系
b a 1 e2 , a b 1 e2 a c 1 e2 ,c a 1 e2 e e 1 e2 ,e e 1 e2 W V 1 e2 ,V W 1 e2
克拉索夫斯基椭球
近似估算
a = 6 387 245.00000m b = 6 356 863.01877m c = 6 399 698.90178m
a b c 6400km
1: 300
e2 e2 0.007 1:150
α = 1∶298.3=0.00335 23298 6926
e2= 0.00669 34216 2297
e2= 0.00673 85254 1468
2、参考椭球（reference ellipsoid）
定义：具有确定的几何参数和定位的地球椭球。
长半径
a
短半径
b
地
极曲率半径
a2 c
球 椭 扁率
b
ab
a
参
定
考
位
椭
球
第一偏心率 e a 2 b2
球
a
第二偏心率 e a 2 b2
b
参考椭球定位
P NH
地面点大地经度：L，
0o~360o或0o~±180o
地面点大地维度：B，
0o~±90o 地面点大地高：H，
L P0 G
OB L KP
可正可负。
S
参考椭球
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
一、定义
1、大地坐标系（geodetic coordinate system）
两种表示地面点大地坐标的方法
原点及轴向
原点：椭球中心O Z 轴：与椭球短轴重合，
ZP NH
P0 G
指 向北极方向
OB
X轴：指向起始大地子午
X
L KP
Y
面与椭球赤道的交点方向
Y轴：构成右手坐标系
S
参考椭球
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
一、定义
2、大地空间直角坐标系（space rectangular coordinate system）
Reference Ellipsoid
1、地球椭球（earth ellipsoid） 大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。
长半径
a
短半径
b
几
极曲率半径
a2 c
何
参
扁率
b
ab
a
数
第一偏心率
e a2 b2
a
第二偏心率
e a2 b2 b
1、地球椭球（earth ellipsoid） 大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。
1、椭球面上点的法线长公式
x
a
cosB a cosB
1 e2 sin 2 B
W
y
a(1 e2 ) sin B a(1 e2 ) sin B
1 e2 sin 2 B
W
y
P0 ( x ,y)
x y
P0KP cosB P0Q sin B
N
cos
B
a P0K P N W P0Q N (1 e2 )
一、定义
3、几点补充说明
地面点沿法线在参考椭
ZP NH
球面上都有一个投影点，这 两点的B、L相同，如果知
L P0 G
Z
道了投影点的B、L，也就 知道了地面点的水平坐标，
X
O
P1
X Y
B P2
KP
Y
这是今后在椭球面上推算地
面点B、L的思想。
S
参考椭球
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
一、定义 3、几点补充说明
ZP NH
L P0 G
Z
X
O
P1
X Y
B P2
Y
KP
S
参考椭球
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
一、定义 3、几点补充说明
大地测量学中，所说的
地面点的大地坐标和大地 空间直角坐标都隐含着一 个参考椭球，没有参考椭 球也就没有这些坐标。
ZP NH
L P0 G
Z
X
O
P1
X Y
B P2
Y
KP
S
参考椭球
PP3 (N H)sin B
三、同一参考椭球下大地坐标与空间直P2P角3 坐Ne标2 s的in 转B 换
1、（B，L，H）→（X，Y，Z）
X OP2 cosL
Y
OP2
sin
L
Z PP3-P2P3
X (N H ) cos B cos L
ndation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy
大地测量学基础
Foundation of Geodesy
大地测量学基础 ndation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy
单位球
3、球面三角形公式（单位球）
边的余弦公式（四元素）
c o s a c o s b c o s c sin b sin c c o s A
角的余弦公式（四元素）
c
co s A co s B co s C sin B sin C co s a
B
正余弦公式（五元素）
sin a cos B sin c cos b cos c sin b cos A sin a cos C sin b cos c cos b sin c cos A sin A cos b sin C cos B cos C sin B cos a sin A cos c sin B cos C cos B sin C cos c
一、定义
1、大地坐标系（geodetic coordinate system）
大地坐标（B，L，H）
P N
测站法线：PKP 测站大地子午面：NP0S
P0 G
O
KP
S
参考椭球
4.2 大地坐标系与大地空间直角坐标系
一、定义
1、大地坐标系（geodetic coordinate system）
大地坐标（B，L，H）
Foundation of Geodesy
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
（1）
4.0 球面三角学的基本知识
Basic of Spherical Trigonometry
1、球面三角形 (spherical triangle)
A b
c O C