武汉大学电路分析-8

u (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) = Re( 2 U 1 e ) + Re( 2 U 2 e jωt ) = Re( 2 U 1 e
交流电
1. What is AC?
ψ/ ω
i
T
O
t
2. What is first， AC or DC？ 3. Why is AC?
a) Gegerator b) Voltage Transformer
第8章
z 重点：
相量法
1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式；
z 复数运算 (1)加减运算——采用代数形式 若 则 Im A2
图解法
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
若 0
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
A1=|A1| θ 1 ，A2=|A2| θ 2
= A1 A2 ∠θ 1 + θ 2
乘法：模相乘，角相加。
i , Im , I
U=380V，
Um≈537V。
8.1 复数
1. 复数及运算
z 复数A的表示形式 Im b 0 a A
A=a+jb
(j = − 1 为虚数单位 )
Im b Re 0 A |A|
θ
jθ
a
Re
A = a + jb
A =| A | e =| A | ∠θ
jθ
A =| A | e
A =| A | e jθ =| A | (cosθ + j sin θ ) = a + jb
• 作业（P187）：5， 8、9、11、14 （P218）：1，3，5
8.2
1. 正弦量
瞬时值表达式：
正弦量
i 波形： T O t
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
正弦量为周期函数
ψ/ ω
f(t)=f ( t+κΤ)
周期T (period)和频率f (frequency) :
1 f = T
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
Im
at t=t0
O
Re
0
t0
t
Rotation at ω rad/s
3. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) = 2 U 1 cos(ω t + Ψ 1 ) = Re( 2 U 1 e jω t ) u2 ( t ) = 2 U 2 cos(ω t + Ψ 2 ) = Re( 2 U 2 e jω t )
除法：模相除，角相减。
(3) 旋转因子： 复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ Im
A• ejθ
θ A Re
0
A• ejθ 相当于A逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。
故把 ejθ 称为旋转因子。
几种不同θ值时的旋转因子
Im
& + jI
0
& I
Re
& − jI
θ=
π
2 2 2 π j− π π π 2 θ=− , e = cos( − ) + j sin( − ) = − j 2 2 2 j±π θ = ± π , e = cos( ± π ) + j sin( ± π ) = −1
ϕ = 30 0 − ( −105 0 ) = 135 0
( 3) u1 ( t ) = 10 cos(100π t + 30 0 ) u2 ( t ) = 10 cos( 200π t + 45 0 ) (4) i1 ( t ) = 5 cos(100π t − 30 )
0
ω1 ≠ ω 2
不能比较相位差
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) = ∑ Ak cos( kωt + θ k )
k =1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
(1)幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
def
1 T
∫
T
Hale Waihona Puke 0u ( t )dt
2
1 I= T
Q
∫
T
0
2 Im cos 2 ( ω t + Ψ ) dt
T
∫
T
0
cos ( ω t + Ψ ) dt = ∫
2
0
1 + cos 2(ω t + Ψ ) 1 dt = t 2 2
T 0
1 = T 2
1 2 T Im ∴ I= Im ⋅ = = 0.707 I m T 2 2
i (t ) = U m (1 R ) 2 + (ωC ) 2 cos(ω t + Ψ u arctg (ωRC ))
The branch voltage and current change at the same angular frequency!!!
求解正弦量的三要素
(1) 角频率ω
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
( 2) i1 ( t ) = 10 cos(100π t + 30 0 ) i2 ( t ) = 10 sin(100π t − 15 0 )
ϕ = 3π 4 − ( − π 2) = 5π 4 > 0 ϕ = 2π − 5π 4 = 3π 4
i2 ( t ) = 10 cos(100πt − 105 0 )
则:
A1 ⋅ A2 = A1 e jθ1 ⋅ A2 e jθ 2 = A1 A2 e j (θ 1 +θ 2 )
A1 | A1 | ∠ θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j( θ 1−θ 2 ) = = = e jθ 2 A2 | A2 | ∠ θ 2 | A2 | e | A2 | | A1 | = θ1 −θ 2 | A2 |
i2 ( t ) = 3 cos(100πt − 150 0 )
ϕ = −30 0 − ( −150 0 ) = 120 0
i2 ( t ) = −3 cos(100π t + 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。 z 物 理 意 义 周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I
R
交流i
R
W = RI T
2
W = ∫ Ri ( t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I= i (t )dt ∫ T 0
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值： z 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(ω t+Ψ )
U=
The branch voltage and current change at the same angular frequency!!!
Im b 0 A |A|
(2) 幅值Im (3) 初相位ψ
θ
jθ
a
Re
A =| A | e =| A | ∠θ
2. 正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义
j( ωt + Ψ )
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u( t ) = 2U cos(ω t + θ ) ⇔ U = U∠θ
•
A (t ) =
2 Ie
复常数
jψ
e jω t =
2 I&e j ω t
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
u(t) P
ψ at t=0
How about this one? i(t)
+
Two pains!
u(t)
_
R
C
L
…
…
Rn-2 Cn-2
Ln-1 Cn-1
Ln Rn
i( t ) = i1( t ) + i 2 ( t ) + i3 ( t )＋...＋i n ( t ) = ?
du ( t ) iC (t ) = C =? dt 1 t i L (t) = udξ = ? L −∞
ω = 2π f = 2π T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2π tωt
(3) 初相位(initial phase angle) ψ 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
ψ /ω ψ
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
i
一般规定：|ψ |≤π 。 0
z 正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路（正弦 稳态电路）称为正弦电路或交流电 路。(Sinusoidal Steady-State)
z 研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。