特殊三角形基本知识点
三角形及特殊三角形知识点(经典完整版)
三角形及特殊三角形知识点(经典完整版)
三角形及特殊三角形知识点（经典完整版）
三角形定义
三角形是一个由三条边和三个内角组成的图形。
根据边长关系，三角形可以分为以下三种情况：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
3. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
三角形内角和
三角形的三个内角之和始终为180度。
根据角度大小，三角形
可以进一步分类：
1. 直角三角形：一个内角为90度。
2. 钝角三角形：一个内角大于90度。
3. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
三角形特性
三角形还有一些重要属性和特性：
1. 垂心：垂心是三角形三条高的交点，即垂直于三边的线段的交点。
2. 重心：重心是三角形三条中线的交点，即三角形三个顶点与对边中点的连线的交点。
3. 外心：外心是三角形外接圆的圆心，即可以过三角形三个顶点的圆的圆心。
4. 内心：内心是三角形内切圆的圆心，即可以切三角形三个边的圆的圆心。
特殊三角形
除了普通的三角形外，还有一些特殊的三角形：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等，内角均为60度。
2. 等腰直角三角形：一个内角为90度，且两条直角边的长度相等。
3. 等腰钝角三角形：一个内角大于90度，且两条等腰边的长度相等。
4. 等腰锐角三角形：三个内角都小于90度，且两条等腰边的长度相等。
以上是关于三角形及特殊三角形的一些知识点。
掌握这些概念可以帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理好嘞，以下是为您整理的关于特殊三角形基本知识点：在我们学习数学的道路上，三角形就像是一群性格各异的小伙伴，其中有几个特别的家伙，那就是特殊三角形。
今天咱们就来好好唠唠它们。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形啊，就像是一个有两个“双胞胎”边的家伙。
这两条相等的边叫做腰，剩下的那条边叫做底边。
顶角呢，就是两腰的夹角，底角就是底边与腰的夹角。
而且等腰三角形有个很重要的特点，就是两底角相等。
我记得有一次在课堂上，老师让我们自己动手做一个等腰三角形。
我找了一张纸，小心翼翼地对折，然后沿着折痕剪下来，一个等腰三角形就出现在我眼前啦。
我拿着它，左看看右看看，心里别提多高兴了。
等腰三角形的性质在生活中也有很多应用呢。
比如说，我们常见的等腰三角形的衣架，它的两边长度相等，挂衣服的时候能保持平衡，不会让衣服歪歪扭扭的。
再来说说等边三角形。
等边三角形那可是三角形中的“小明星”，因为它的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是60 度。
想象一下，它就像一个完美的“三胞胎”，每一部分都一模一样。
有一次我在路上看到一个正六边形的地砖，我突然想到，把正六边形分成六个相等的部分，每个部分不就是一个等边三角形嘛！这让我更加深刻地理解了等边三角形的特点。
直角三角形也很特别。
它有一个角是直角，也就是 90 度。
直角所对的边叫做斜边，剩下的两条边叫做直角边。
著名的勾股定理就和直角三角形有关，那就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。
我记得有一次在家里装修，爸爸要做一个直角的架子。
他就拿着尺子和笔，在木板上量来量去，嘴里还念叨着勾股定理。
我在旁边好奇地看着，感觉数学在这一刻变得特别实用。
直角三角形在建筑中可是经常出现的。
比如说那些高楼大厦的框架，很多都是由直角三角形组成的，这样才能保证建筑的稳固和安全。
等腰直角三角形就更特别啦，它既是等腰三角形，又是直角三角形。
它的两个底角都是 45 度，斜边的长度是直角边长度的根号 2 倍。
特殊三角形知识点
特殊三角形知识点三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这些线段分别称为三角形的边。
三角形的分类有很多种形式，其中特殊三角形是指具有特殊性质的三角形。
在本文中，我们将重点介绍三种特殊三角形：等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
1. 等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
具体来说，等腰三角形的两条边的长度相等，而第三条边（底边）可以与两条相等的边不相等。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下事实：- 等腰三角形的两个底角（底边所对应的两个角）的度数相等。
- 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直上方的线段）与底边垂直，并且将底边分为两段长度相等的线段。
2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
等边三角形拥有以下性质：- 所有的内角都为60度。
- 任意两个角的和为120度。
- 等边三角形的高线、角平分线和中位线都重合，同时也是三角形的对称轴。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，该三角形的三个角都是相等的，每个角是60度，因此也是一种特殊的等腰三角形。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
具体来说，直角三角形的两个边可以称为直角边，而第三条边称为斜边。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，也就是著名的勾股定理。
直角三角形也可以通过三边的长度来进行分类：- 等腰直角三角形：两条直角边的长度相等。
- 等腰直角等边三角形：两条直角边的长度相等且等于斜边的长度。
总结：特殊三角形在几何学中具有重要的地位，它们的性质和特点可以帮助我们解决各种数学问题。
等腰三角形的两边相等，等边三角形的三边相等，直角三角形则具有特殊的角度和边长关系。
深入理解和熟练运用这些特殊三角形的知识对于数学学习和应用具有重要意义。
希望本文能够为读者提供有关特殊三角形的基本知识点，并帮助读者更好地理解和应用这些概念。
直角三角形知识点
直角三角形知识点直角三角形是一种特殊的三角形，其内部包含一个90度的直角。
本文将介绍直角三角形的定义、性质、勾股定理以及一些相关的例题。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形内部有一个角度是90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，与直角相邻的边称为直角边。
直角三角形的性质与常规三角形有着显著的不同。
二、直角三角形的性质1. 直角三角形中，直角边的长度相等。
2. 根据勾股定理，直角三角形中的斜边长度等于直角边长度的平方和的平方根。
3. 直角三角形的三个角度之和等于180度。
三、勾股定理勾股定理是直角三角形中最重要的定理之一，也是直角三角形应用最为广泛的原理。
勾股定理表述如下：直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。
公式表示为：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示直角三角形的两个直角边的长度。
勾股定理在日常生活中有许多应用，例如测量直角三角形的边长，计算三角形的角度等。
四、直角三角形的应用举例1. 求斜边长度：根据已知直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。
2. 求角度大小：已知两个直角边的长度，可以利用三角函数中的正弦、余弦和正切等函数求出各个角度的大小。
3. 判断三角形是否为直角三角形：通过测量三个角度的大小，如果发现其中一个角度为90度，则可以判断为直角三角形。
五、例题解析1. 已知一个直角三角形的直角边长为3cm和4cm，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
2. 已知一个直角三角形的斜边长为10cm，直角边的长度为6cm，求另一个直角边的长度。
根据勾股定理，直角边的长度a或b = √(c² - 直角边的长度²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8cm。
特殊三角形(知识点汇总 浙教8上)
第2章特殊三角形一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点34.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、角的平分线：1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
四、等腰三角形1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）（3）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
①等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ①等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为①A ，底角为①B 、①C ，则①A=180°—2①B ，①B=①C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 。
特殊三角形
特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理一、三角形的定义及分类三角形是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
按照边的关系，三角形可分为不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）；按照角的大小，三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
二、特殊三角形之等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2、性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
三、特殊三角形之等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
等边三角形每一条边上的中线、高和所对角的平分线都三线合一。
3、判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
四、特殊三角形之直角三角形1、定义：有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
2、性质：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
在直角三角形中，两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、判定：如果三角形的三边 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、直角三角形中的特殊角度1、当一个直角三角形的一个锐角为 30°时，另一个锐角为 60°。
特殊三角形知识点及例题
特殊三角形知识点及例题三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角构成。
在三角形中，存在着一些特殊的三角形，它们具有一些特殊的性质和性质。
本文将介绍特殊三角形的知识点，并给出一些例题供读者练习。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的边长相等的三角形。
等边三角形具有以下特点：1. 三条边相等。
2. 三个角都是60度。
3. 对称轴是三条中线，也是三条高线，也是三条角平分线。
例题：1. 在等边三角形ABC中，AB=BC=CA=6cm，求三角形的高度。
解：由于等边三角形的高线与中线重合且相等，所以三角形的高高线长等于边长。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的边长相等的三角形。
等腰三角形具有以下特点：1. 两条边相等。
2. 两个底角（底边两侧的角）相等。
3. 对称轴是高线，也是角平分线。
例题：1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4cm，BC=6cm，求三角形的高度。
解：由等腰三角形的性质可知，高线与底边垂直且平分底角，所以可以利用勾股定理求解。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。
2. 两边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。
例题：1. 在直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=3cm，BC=4cm，求三角形的斜边长度。
解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。
四、等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。
等腰直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。
2. 两条直角边相等。
3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。
例题：1. 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=AC=5cm，求三角形的斜边长度。
解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。
五、等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。
等腰直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点考点及练习
浙教版数学八年级上册第二章?特殊三角形?复习一、知识构造本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、定理等知识，这些知识点之间的构造如以下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回忆1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰；等腰三角形两底角(即在同一个三角形中，等边对)；等腰三角形三线合一，这三线是指、、，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是图形，它的对称轴有条。
2．等腰三角形的判定：有边相等的三角形是等腰三角形；有相等的三角形是等腰三角形〔即在同一个三角形中，等角对〕。
注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质：等边三角形各条边，各内角，且都等于；等边三角形是图形，它有条对称轴。
4．等边三角形的判定：有边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是的三角形是等边三角形；有两个角都是的三角形是等边三角形；有一个角是的 三角形是等边三角形。
5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角；直角三角形斜边上的中线等于；直角三角形两直角边的平方和等于〔即勾股定理〕。
30°角所对的直角边等于斜边的6．直角三角形的判定：有一个角是的三角形是直角三角形；有两个角的三角形是直角三角形；两边的平方和等于的三角形是直角三角形。
一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。
7．直角三角形全等的判定：斜边和对应相等的两个直角三角形全等。
8．角平分线的性质：在角内部到角两边在这个角的平分线上。
三、重点解读1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。
一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2．等腰三角形的腰是在一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形〞；3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c〞就认定是斜边。
三角形与特殊三角形知识点归纳
三角形与特殊三角形（一）：【知识梳理】1.三角形中的主要线段（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．（2）中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．(4)中位线：连接三角形两边的中点的线段。
2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o． 3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4.特殊三角形（1）直角三角形性质①角的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：222a b c +=③边角关系：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭； ④09012C CE AB AE BE ⎫∠=⇒=⎬=⎭⑤2ch ab s ==； ⑥2c R =a+b-c 外接圆半径；内切圆半径r=2（2）等腰三角形性质①角的关系：∠A=∠B ；②边的关系：AC=BC ；③AC BC AD BDCD AB ACD BCD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩ ④轴对称图形，有一条对称轴。
（3）等边三角形性质①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB ；③AB AC BD CDAD BC BAD CAD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩；④轴对称图形，有三条对称轴。
（4）三角形中位线：12AD BD DE BCAE BE DE BC⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥ 5.特殊三角形的判定] 6.两个重要定理：（1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）二）：【课前练习】1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 crn ，6cm ，4cm C ．12 cm ，5 cm ，6 cm D ．2 cm ，3 cm ，6 cm2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC= a ，则（ ） A ．a =8 B ．a =4 C ．a =4或8 D ．4＜a<83.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ） A ．15cm B ．20cm C ．25 cm D ．20 cm 或25 cm4.一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_______.5.如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=6，AC=35，AD=2，∠D=90○，求CD 的长和四边形 ABCD 的面积．二：【经典考题剖析】1.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．2.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是__________3.已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、BC 的中点，F 是BE 的中点．若面ΔDEF 的面积是10，则ΔADC 的面积是多少？4.正三角形的边长为a ，则它的面积为_____.5.如图，DE 是△ABC 的中位线， F 是DE 的中点，BF 的延长线交 AC 于点H ，则AH ：HE 等于（ ）A ．l ：1B ．2：1C ．1：2D ．3：2DCABEDC B A三：【课后训练】1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．3.如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，∠ACD=50o，则∠CDE的度数是（）A．175° B．130° C．140° D．155°4.如图，△ABC中，∠C＝90○，点E在AC上，ED⊥AB，垂足为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：AC等于（）A．1：1 B．1： 2 C．1：2 D．1：45.在ΔABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（）A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜136.如图，直角梯形ABCD中,AB∥ CD，CB⊥AB，△ABD是等边三角形，若AB=2，则CD=_______，BC＝_________.7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．8. 已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．（1）求第三边BC的取值范围；（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长；（3）若第三边BC长为整数，求BC的长9.已知△ABC，(1)如图1－1－27，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=1902A ︒+∠；(2)如图1－1－28，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12A ∠；(3)如图1－1－29，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=1902A︒-∠。
初中数学知识归纳特殊三角形及其性质
初中数学知识归纳特殊三角形及其性质三角形是初中数学中重要的基础概念之一，在数学学习中，我们不仅需要了解普通三角形的性质，还需要归纳特殊三角形及其性质。
本文将对常见的特殊三角形进行归纳总结，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形的性质。
1.等边三角形等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
在等边三角形中，有以下几个特点：（1）三条边相等，所以三个内角也是相等的，每个内角都是60°；（2）等边三角形的高、重心、外心和内心都重合于一个点；（3）等边三角形的每条高线同时也是三条中线、三条角平分线和三条中垂线。
2.等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，有以下几个特点：（1）两边相等，所以两个底角也是相等的；（2）等腰三角形的底边上的高线、中线和角平分线都是同一条线段；（3）等腰三角形的顶点到底边的距离等于底边的中点到底边的距离。
3.直角三角形直角三角形是指一个内角为直角的三角形。
在直角三角形中，有以下几个特点：（1）直角三角形的直角边与斜边之间满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方；（2）直角三角形的斜边上的高线等于直角边中的线段，可以将直角三角形分成两个相似的三角形；（3）直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和等于90°。
通过归纳总结特殊三角形及其性质，我们可以更好地理解三角形的特点和规律。
掌握这些性质不仅能够解决与特殊三角形相关的问题，还能够为后续学习提供更扎实的基础。
在解题过程中，我们可以灵活运用特殊三角形的性质，简化问题的求解步骤。
例如，在计算等腰三角形的高时，可以直接利用角平分线和底边的性质，而无需通过勾股定理来计算斜边的长度。
总之，特殊三角形的性质是初中数学学习中必须要掌握的知识点之一。
通过对等边三角形、等腰三角形和直角三角形的归纳总结，我们可以更好地理解三角形的特殊性质，提高解题的效率。
希望本文所述能够帮助你更好地掌握特殊三角形的性质，进一步提高数学学习的成绩。
特殊三角形知识点及习题
特殊三角形知识点及习题三角形是几何学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在三角形中，特殊三角形是一类具有特殊性质的三角形。
本文将介绍关于特殊三角形的知识点，并提供相关习题。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
特点是三个角度都相等，每个角度为60度。
等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都重合于同一条线段，且等边三角形的内切圆和外接圆半径相等。
求等边三角形的面积可使用海伦公式。
习题1：若等边三角形的边长为a，则该等边三角形的高、中线、角平分线的长度分别为多少？习题2：已知等边三角形的周长为18 cm，求其面积。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
特点是两个底角（底边两侧的角）相等，顶角（顶边两侧的角）与底角不相等。
等腰三角形的高线、中线、角平分线都重合于同一条线段，且等腰三角形的内切圆与底边相切于一点。
习题3：已知等腰三角形的底边长度为a，腰边长度为b，求该等腰三角形的顶角和面积。
习题4：已知等腰三角形的面积为16 cm²，底边长度为4 cm，求腰边的长度。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形的边分为三个部分：斜边、邻边和对边。
直角三角形中，邻边与对边满足勾股定理的关系，即邻边的平方加上对边的平方等于斜边的平方。
习题5：已知直角三角形的邻边长度为3 cm，对边长度为4 cm，求斜边的长度。
习题6：已知直角三角形的斜边长度为5 cm，对边长度为4 cm，求邻边的长度。
四、30-60-90三角形30-60-90三角形是指其中一个角为30度，另一个角为60度的三角形。
30-60-90三角形中，长边（斜边）的长度是中边（底边）长度的2倍，短边（高边）的长度是中边长度的根号3倍。
习题7：已知30-60-90三角形的中边长度为a，求其高边和斜边的长度。
习题8：已知30-60-90三角形的高边长度为3 cm，求斜边和中边的长度。
综上所述，特殊三角形具有一些独特的性质，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和30-60-90三角形等。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形的定义、性质及判定等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.（2）等边三角形的性质：①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形.（4）两个重要结论①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.两个重要结论的数学解释：已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则：①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.直角三角形1. 认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个内角组成。
在三角形中，有一些特殊的三角形具有独特的性质和特点。
本文将整理特殊三角形的基本知识点，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
一、等边三角形（Equilateral Triangle）等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
它具有以下特点：1. 所有的内角都是60度。
2. 任意两条角平分线，中点和顶点连线，三条线段相等。
3. 等边三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线、中位线都是同一条线段。
二、等腰三角形（Isosceles Triangle）等腰三角形是指有两条边的长度相等的三角形。
它具有以下特点：1. 两个底边的角度相等。
2. 等腰三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线、中位线都是同一条线段。
3. 等腰三角形的顶角为底角的一半。
三、直角三角形（Right Triangle）直角三角形是指有一个角为90度的三角形。
它具有以下特点：1. 直角三角形的两条边相互垂直，被称为直角边和斜边。
2. 两个锐角的和为90度。
3. 根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。
四、等腰直角三角形（Isosceles Right Triangle）等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。
它具有以下特点：1. 有一个角为90度。
2. 两个底边的角度相等。
3. 两个直角边的长度相等。
五、30-60-90特殊直角三角形（30-60-90 Special Right Triangle）30-60-90特殊直角三角形是指角度分别为30度、60度和90度的直角三角形。
它具有以下特点：1. 边长比例为1：√3：2。
2. 边长关系如下：斜边=2倍短边，长边=√3倍短边。
六、45-45-90特殊直角三角形（45-45-90 Special Right Triangle）45-45-90特殊直角三角形是指角度分别为45度、45度和90度的直角三角形。
八上第一章 认识三角形和第二章 特殊三角形-知识点
1考点一、认识三角形1、三角形中的主要线段：角平分线（角平分线+∥等腰三角形）；中线；高线；2、三角形的稳定性应用：需要稳定的东西一般都制成三角形的形状；3、三角形的分类（1）三角形按边的关系分类如下：不等边三角形：三边都不相等三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）三角形按角的关系分类如下：特殊的三角形：等腰直角三角形；它是两条直角边相等的直角三角形；直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形分类讨论：锐角，钝角△钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）4、三角形的三边关系定理及推论（1）定理：三角形任何两边之和大于第三边；（2）推论：三角形任何两边之差小于第三边；（3）作用：判断三条已知线段能否组成三角形；当已知两边时，可确定第三边的范围；证明线段不等关系；已知最大边时，只需较小两边的和大于最大边即可；若不确定最大边时，满足两边的差＜第三边＜两边的和．5、三角形的内角和定理及推论（1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；（2）推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角；6、三角形的面积S=×底×高；；(S ，C 是△的面积，周长；r 是内切圆半径)；考点二、全等三角形1、全等三角形的概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形；2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；3、全等三角形的表示注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；全等用符号“≌”表示，读作“全等于”；如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”；4、三角形全等的判定：“SSS ”；“SAS ”（两边必须是夹角），“HL ”（Rt △，斜边与一直角边）；“ASA ”，“AAS ”；一定不能证全等：SSA ；要特别注意：是否有公共边及公共角；6、相关知识（1）线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（SAS ）．（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（AAS ）．注意：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．考点三、常用逻辑用语命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.一个命题分为“条件”和“结论”两部分，由条件推出结论，通常条件在前，结论在后.“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.2考点一、图形的轴对称1、轴对称图形的概念：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．这条直线叫做对称轴；图形中能够完全重合的两个点称为对称点．2、轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．3、图形的轴对称：一般地，由一个图形变成另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴．4、图形的轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形．考点二、等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形；等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（“在同一个三角形中，等边对等角”）（性质定理1）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合（性质定理2）．简称“等腰三角形三线合一”①AB=AC ；②BD=CD ；③∠BAD=∠CAD ；④AD ⊥CD ；四个中有两个成立，另外两个一定成立．（3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴．（4）等腰三角形两腰上的中线（高线）相等，等腰三角形两底角的平分线相等．3、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．简单地说，在同一个三角形中，等角对等边．（2）利用三线合一证明等腰三角形．考点三、等边三角形1、等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．（是特殊的等腰三角形）2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三边相等，三个内角都相等且等于60°；（2）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（3）等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一．3、等边三角形的判定定理：（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义法）．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（判定定理1）．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（判定定理2）．考点四、直角三角形1、直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt △”表示．2、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．∵∠ACB=90°，AD=DB ，∴DA=DB=DC ；（3）∵∠ACB=90°，DB=DC ，∴DA=DB=DC ；（同角的余角相等）（推论1）．（4）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（短边为勾，长边为股，斜边为弦）．3、直角三角形的判定定理：（1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（定义）．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．（3）三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形（推论2）．∵DA=DB=DC ，∴∠ACB=90°；（4）勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．。
中考总复习：特殊三角形--知识讲解(提高)
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
第二章特殊三角形的有关知识(知识整理)
FEDCBAFEDCBA第二章特殊三角形的有关知识一、等腰三角形1.性质（两腰相等；两底角相等；三线合一；轴对称图形；两腰上的高线相等；两底角的角平线相等；底边上任意一点到两腰的距离是一个定值）例题1. 等腰三角形的一个外角等于110°,它的三个内角应该为 ．例题2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o ，则顶角的度数为（ ）例题3.在等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，则底边上的高AD = ．例题4.在等腰△ABC 中，AD 是底边上的高，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DF ⊥AC ，垂足为点F ，若AE =3.2则AF = .2.判定（同一个三角形中，等角对等边；三线合一逆命题） 例题5．已知AB ＝AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．例题6.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90o ，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交AC 于D ，过C 作BD 垂线交BD 的延长线于E ，交BA 的延长线于F ，求证：BD ＝2CE ．二、直角三角形1.性质（勾股定理、两锐角互余、斜边上的中线、30度所对的直角边是斜边的一半；斜边上的高线）例题7.在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA =80°，则∠A = ． 例题8.在锐角△ABC 中，BE 、CF 是高，点M 、N 分别是BC 、EF 的中点，试判断MN 与EF 有何关系并加以说明。
（10分）C2.直角三角形全等（HL ）例题9.如图，已知∠B =∠D =90°,AC =EF ,BF =CD ，AC 与EF 相交于点G ，则FG =CG ．3.直角三角形的边角计算例题9.有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，090ADC ∠=，AB=13米，BC=12米，求这块地的面积。
（6分）例题10.已知直角三角形的一直角边长是4直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形之和是10形）面积之和的是（ ）(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 例题11.如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ， AC =C ，A ，B 依次在相互平 行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 2，l 3之间的距离 为7 ，那么 l 1，l 2之间的距离为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2三、角平线及中垂线 1.中垂线定理及逆定理 2.角平线定理及逆定理例题12..如图，△ABC 中，∠C=Rt ∠，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ∶DC=2∶1，BC=7.8cm ，D 到AB 的距离为 cm. 四、认识特殊的三角形（等边三角形、等腰直角三角形） 例题13．等边三角形的边长为a ，它的面积 ．例题14.．如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上，且AD=CE ，BE 和CD 相交于点P 。
特殊三角形知识点总结
特殊三角形知识点总结特殊三角形是指在三角形中具有特殊性质的三角形，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
这些特殊三角形在数学中具有重要的地位和应用，在几何学、三角学等学科中都有广泛的运用。
我们来看等边三角形。
等边三角形是指三条边的长度相等的三角形，也可以理解为三个角都是60度的三角形。
等边三角形具有以下特点：三个内角都是60度；三个边长相等；三条高线、中线和角平分线重合；等边三角形的外接圆和内切圆都与三角形的边相切。
等边三角形在几何学中常用于建筑设计、工程测量等领域，具有稳定性和对称性。
接下来，我们探讨等腰三角形。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，也可以理解为两个角相等的三角形。
等腰三角形具有以下特点：两个底角相等；两条底边相等；两条底边上的高线相等；等腰三角形的顶角是两个底角的平分角。
等腰三角形在几何学中经常出现，并且具有许多重要的性质和应用。
例如，在三角函数中，等腰三角形可以用于计算三角函数值；在三角形的相似性质中，等腰三角形是常用的模型。
我们研究直角三角形。
直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
直角三角形具有以下特点：一个角是直角；两个直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）；直角三角形的高线、中线和角平分线有特殊性质。
直角三角形是最基本的三角形之一，在三角函数中有重要的应用。
例如，正弦、余弦和正切等三角函数是通过直角三角形的边长比值来定义的。
直角三角形也在物理学和工程学中有广泛的应用，例如用于测量高度、计算力的分解等。
特殊三角形在数学中具有重要的地位和应用，不仅有丰富的性质和特点，还在实际问题中有广泛的应用。
通过研究特殊三角形，可以帮助我们深入理解三角形的性质和三角函数的应用，为解决实际问题提供数学工具和方法。
因此，我们应该加强对特殊三角形的学习和理解，提高数学应用能力和解决问题的能力。
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习本章主要研究了等腰三角形、直角三角形和特殊三角形的性质和判定，其中包括了勾股定理和HL定理等知识。
等腰三角形的两腰相等，两底角也相等，三线合一，是对称图形，有一条对称轴。
等边三角形三边相等，三个内角也相等，是正多边形，有三条对称轴。
直角三角形有一个直角和两个锐角，斜边上的中线等于斜边的一半，两直角边的平方和等于斜边的平方，可以用勾股定理判断。
角平分线是指从角的顶点到对边的线段，它可以被平分线所穿过。
等腰三角形的判定方法是有两边相等或两角相等。
但需要注意的是，有两腰相等的三角形不一定是等腰三角形。
等边三角形的判定方法是三边相等或三个角都是60度。
直角三角形的判定方法是有一个角是90度或两个角相加等于90度或两直角边的平方和等于斜边的平方。
最后，需要注意的是，一条边上的中线等于该边长度的一半并不一定能直接判断某三角形是直角三角形，但可以在解题时提供帮助。
直角三角形全等的判定方法是斜边和一个锐角对应相等。
角平分线可以被平分线穿过，这个性质可以在解题时使用。
研究特殊三角形时，需要明确性质与判定的区别，不能混淆。
一般来说，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系则是性质。
等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰。
因此，在判定一个三角形是等腰三角形时，不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”。
直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便。
勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系。
解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。
另外，不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5.HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效。
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特殊三角形基本知识点整理
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特殊三角形的定义、性质及判定
三角形类型定义性质判定
等腰三角形有两条边相等的三角
形是等腰三角形，其
中相等的两条边分别
叫做腰，另一条边叫
做底边，两腰的夹角
叫顶角，腰和底边的
夹角为底角
1、等腰三角形是对称图形，顶
角平分线所在直线为它的
对称轴
2、等腰三角形两底角相等，即
在同一个等腰三角形中，等
边对等角
3、等腰三角形的顶角平分线，
底边上的中线和高线互相
重合，简称等腰三角形的三
线合一
1、（定义法）有两
条边相等的三角形
是等腰三角形
2、如果一个三角形
有两个角相等，那
么这个三角形是等
腰三角形，即，在
同一个三角形中，
等角对等边
等边三角形三条边都相等的三角
形是等边三角形，它
是特殊的等腰三角
形，也叫正三角形
1、等边三角形的内角都相等，
且为60°
2、等边三角形是轴对称图形，
且有三条对称轴
3、等边三角形每条边上的中
线，高线和所对角的角平分
线三线合一，他们所在的直
线都是等边三角形的对称
轴
1、三条边都相等
的三角形是等
边三角形
2、三个内角都等
于60°的三角
形是等边三角
形
3、有一个角是
60°的等腰三
角形是等边三
角形
直角三角形有一个角是直角的三
角形是直角三角形，
即“R t△”
1、直角三角形的两锐角互余
2、直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半
3、直角三角形中30°角所对
的直角边等于斜边的一半
4、直角三角形中两条直角边
的平方和等于斜边的平方
（勾股定理）
1、有一个角是直
角的三角形是
直角三角形
2、有两个角互余
的三角形是直
角三角形
3、如果一个三角
形中两条边的
平方和等于第
三条边的平
方，那么这个
三角形是直角
三角形（勾股
定理逆定理）
等腰三角形
1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3. 等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4. 等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5. 等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.
（2）等边三角形的性质：
①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；
②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；
④三个角都相等的三角形是等边三角形.
（4）两个重要结论
①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半.
②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.
两个重要结论的数学解释：
已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则：
①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；
②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.
直角三角形
1. 认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点：
1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。
图3
B C
A
勾股定理及逆定理 一、勾股定理及其证明
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）
222c b a =+∴
证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.
a
b b
b b a a a
c c c c
二、勾股定理的应用：
（1）已知两边（或两边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系； （3）证明线段的平方关系； （4）作长为n 的线段. 三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+那么这个三角形是直角三角形.
1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成； 2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
1．先找出最大边（如c ）；
2．计算2c 与22b a +，并验证是否相等.
若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形.
若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形.
注意：（1）△ABC 中，若222c b a =+，则∠C=90°；而222a c b =+时，则∠A=
90°；222b c a =+时，则∠B=90°.
（2）若222c b a <+，则∠C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形. 若222c b a >+，则∠C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形.
三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.。