高中数学圆地基本知识与分类练习
高三数学知识点大全及答案
高三数学知识点大全及答案高三是每个年轻学子都必须面对的重要阶段，也是决定大学录取的关键时期。
其中，数学作为一门重要的学科，占据了高考试卷中的很大比例。
为了帮助同学们更好地备战高考，本文将从基础知识到高级技巧，列举出高三数学必备知识点，并提供答案和解析。
一、数与代数1. 实数：实数包括有理数和无理数，有理数又分为整数、分数和小数。
例如，π、√2都是无理数。
2. 复数：复数由实部和虚部组成，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
3. 多项式：多项式是由常数与变量的乘积相加减所得到的代数表达式。
例如，3x^2+5x-2就是一个二次多项式。
4. 因式分解：因式分解是将一个多项式拆解为更简单的乘积形式。
例如，x^2+5x+6可以因式分解为(x+3)(x+2)。
5. 线性方程：线性方程是指未知数的最高次数为1的方程。
例如，2x+3=7就是一个线性方程。
6. 二次方程：二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
例如，x^2-5x+6=0就是一个二次方程。
解二次方程的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
二、平面几何1. 直线与角度：直线是没有弯曲的线段，可以用斜率来表示。
角度是由两条射线共享同一端点而形成的图形。
2. 三角形：三角形是由三条边和三个角组成的图形。
根据三边关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
3. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的对应边长成比例。
4. 圆和圆周率：圆是由一条不断延伸的弯曲线组成的图形，圆周率π≈3.14159，是一个无理数。
5. 平行线和垂直线：平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的斜率相等。
垂直线是指在同一平面内相交成直角的两条直线，它们的斜率互为负倒数。
三、立体几何1. 立体图形的表面积和体积：立体图形的表面积是指其所有表面的总面积，体积是指其所包围的空间容量。
2. 空间几何体：常见的空间几何体包括球体、圆柱、锥体和棱柱等。
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1． 圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹 )标准方程(x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2 (r ＞ 0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，(D 2＋圆心： －D ，－E，一般方程22E 2－ 4F ＞ 0)半径：1D 2＋E 2－ 4F22． 直线与圆的位置关系 (半径为 r ，圆心到直线的距离为 d)相离 相切相交图形方程＜ 0＝ 0＞ 0量观点 化几何d ＞ rd ＝ rd ＜ r观点3． 圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1， r 2， d ＝ |O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形|r 1－ r 2|＜ d ＜d ＞ r 1＋ r 2 d ＝ r 1＋ r 2 d ＝ |r 1－ r 2| d ＜ |r 1－ r 2| r 1＋ r 24.弦长的 2 种求法(1) 代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 ＞ 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2) 几何法：若弦心距为 d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝ 2 r 2－ d 2．1.圆 (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 6 与直线 2x＋ y－ 5＝ 0 的位置关系是 ()A ．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离2.若直线 x－ y＋ 1＝ 0 与圆 (x－a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围为 ________．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上到直线3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1的点的个数为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 43.过原点且与直线6x－ 3y＋ 1＝ 0平行的直线 l 被圆 x2＋ (y－3)2＝ 7所截得的弦长为________．4.若圆 C1： x2＋ y2＝ 1 与圆 C2： x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ m＝ 0 外切，则 m＝ ()A． 21B． 19C． 9D．－ 115.若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞ 0)的公共弦长为 2 3，则 a＝ ________．6.已知点 M 是直线 3x＋ 4y－ 2＝0 上的动点，点 N 为圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 上的动点，则 |MN |的最小值是 ()A ．9B． 1 5413C．5D．51与圆 x2＋ y2－ 2x＝ 15 相交于点 A，B，则弦 AB 的垂直平分线方程的斜7.若直线 y＝－ x－ 22截式为 ________．8.已知圆 M ：x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切D．相离9.已知圆 C 经过点 A(2，－ 1)，和直线x＋ y＝ 1 相切，且圆心在直线y＝－ 2x 上．(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．。
(完整版)高中数学-解三角形知识点归纳和分类习题测试,推荐文档
必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。
高中数学总复习知识点专题讲解与练习1集合、复数、逻辑
高中数学总复习知识点专题讲解与练习专题1集合、复数、逻辑一、单项选择题1．(2021·华大新高考联盟5月)已知集合M＝{(x，y)|x－y＝0}，N＝{(x，y)|y＝x3}，则M∩N 中元素的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析因为直线y＝x与曲线y＝x3交于(－1，－1)，(0，0)，(1，1)三点，所以M∩N中有3个元素．故选D.2.(2021·安徽六校联考)设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1＋2，x∈R}，集合Q＝{1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{4} B．{3，4}C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}答案 B解析本题考查集合的表示方法．因为全集为U＝R，集合P＝{x|x≤1＋2，x∈R}，Q ＝{1，2，3，4}，所以∁U P＝{x|x>1＋2，x∈R}，所以图中阴影部分表示的集合为(∁U P)∩Q ＝{3，4}．故选B.3．(2021·湖北八市联考)1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021年是中国共产党建党100周年．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B4．(2021·山东临沂一模)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，且|z |＝5，则1z－＝( )A.15＋25i B ．－15－25i C.15－25i D ．－15＋25i答案 D解析 由题意，设z ＝－1＋b i(b >0)，则|z |＝1＋b 2＝5，解得b ＝2，即z ＝－1＋2i ，所以1z －＝1－1－2i ＝－1＋2i （－1－2i ）（－1＋2i ）＝－1＋2i 5＝－15＋25i.故选D. 5．(2021·唐山市三模)已知i 是虚数单位，a ∈R ，若复数a －i 1－2i为纯虚数，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 答案 A解析 由题意a －i 1－2i ＝（a －i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －i ＋2a i ＋21＋4＝a ＋25＋2a －15i.又因为a －i 1－2i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋25＝0，2a －15≠0，解得a ＝－2.故选A. 6．(2021·江西九江三校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x －tan x <0，可知命题p 是真命题．綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0.故选C.7．若向量a ＝(a －1，2)，b ＝(b ，4)，则“a ∥b ”是“a ＝1，b ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ∥b 可知4(a －1)－2b ＝0，即2a －b ＝2，推不出“a ＝1，b ＝0”；而a ＝1，b ＝0，满足2a －b ＝2，可推出“a ∥b ”．故选B.8．(2021·皖南八校第三次联考，理)设集合A ＝{x |y ＝log 2(x ＋1)}，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，且(∁R A )∩B ＝( )A ．∅B ．{－1}C ．(－1，1]D ．[－1，1]答案 B解析 A ＝(－1，＋∞)，B ＝[－1，1]，∁R A ＝(－∞，－1]，可得(∁R A )∩B ＝{－1}．故选B.9．(2021·重庆月考)已知复数z 的共轭复数是z －，若z －3z －＝1＋2i ，则|z |＝( ) A.22 B.12 C.52 D.52答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由题意，－2a ＋4b i ＝1＋2i ，则a ＝－12，b ＝12，所以|z |＝a 2＋b 2＝22.故选A.10．(2021·江淮十校质量检测，理)下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．sin 2x ＋2sin x ≥3(x ≠k π，k ∈Z )C ．函数f (x )＝2x －x 2有两个零点D ．a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件答案 D解析 当x ＝0时，没有正整数小于0，A 错误；当sin x ＝－1时，sin 2x ＋2sin x ＝－1，B错误；f (x )＝2x －x 2有三个零点(2，4，还有一个小于0)，C 错误；(这时就可选D)当a >1，b >1时，一定有ab >1，但当a ＝－2，b ＝－3时，ab ＝6>1也成立．故D 正确．11．若命题“∃x ∈R ，使得3x 2＋2ax ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)C．[－3，3] D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案 C解析命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤ 3.故选C.12．已知p：2xx－1＜1，q：(x－a)(x－3)＞0，p为q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 A解析根据题意，对于p：2xx－1＜1，解可得－1＜x＜1，即不等式的解集为(－1，1)．若p为q的充分不必要条件，则(－1，1)是不等式(x－a)(x－3)＞0解集的真子集．当a＞3时，解得q：x＞a或x＜3，满足条件；当a＜3时，解得q：x＞3或x＜a，即a≥1；当a＝3时，不等式化为(x－3)2>0，解得x>3或x<3满足条件，综上a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．故选A.二、多项选择题13．已知集合A＝{x∈N||x|≤3}，B＝{a，1}，若A∩B＝B，则实数a的值可以是() A．0 B．1 C．2 D．3答案ACD解析∵A∩B＝B，∴B⊆A，又A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{a ，1}，∴a ＝0，2，3.14．(2021·石家庄一模)设z 为复数，则下列命题中正确的是( )A ．|z |2＝z z －B ．z 2＝|z |2C ．若|z |＝1，则|z ＋i|的最大值为2D ．若|z －1|＝1，则0≤|z |≤2 答案 ACD解析 设复数z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )，|z |2＝a 2＋b 2，z ·z －＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，故A 正确；z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝a 2＋b 2，故B 错误；|z |＝1，表示z 对应的点Z 在单位圆上，|z ＋i|表示点z 对应的点与(0，－1)的距离．故|z ＋i|的最大值为2，故C 正确；|z －1|＝1表示z 对应的点Z 在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，|z |表示z 对应的点Z 与原点(0，0)的距离，故0≤|z |≤2，D 正确．故选ACD.15．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝0 C.a b >0 D.a b <0答案 AC三、填空题16．(2021·石家庄二质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝1－i 2 0211－i 2 018，则z 的虚部为________． 答案 －12解析 i 2 021＝i 4×505＋1＝i ，i 2 018＝i 4×504＋2＝i 2＝－1，∴复数z ＝1－i 2 0211－i 2 018＝1－i 1－（－1）＝12－12i ，则z 的虚部为－12.17．设函数f (x )＝(m 2－1)sin x cos x －cos 2x (m ∈R )，则“f (x )为偶函数”的一个充分不必要条件是________．答案 m ＝1(或m ＝－1)解析 f (x )＝(m 2－1)sin x cos x －cos 2x ＝m 2－12sin 2x －cos 2x (m ∈R )． 若m ＝±1，则f (x )＝－cos 2x 是偶函数，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )，所以m 2－12sin 2(－x )－cos 2(－x )＝m 2－12·sin 2x －cos 2x ，即(m 2－1)sin 2x ＝0对任意x ∈R 恒成立，所以m ＝±1.故“m ＝±1”是“f (x )为偶函数”的充要条件．所以“f (x )为偶函数”的一个充分不必要条件是m ＝1(也可以填m ＝－1)．18．已知下列命题：①到两定点(－1，0)，(1，0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；②∃x ∈N ，x 2－2x －1≤0；③已知a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，则“a ，b 为共线向量”是“m ＋n ＝6”的必要不充分条件．其中假命题有________．答案 ①③解析 对于命题①：到两定点(－1，0)，(1，0)距离之和等于1的点不存在，故命题①是假命题；对于命题②：解不等式x 2－2x －1≤0，得1－2≤x ≤1＋2，又∵x ∈N ，∴x ＝0或1或2，∴∃x ∈N ，使得x 2－2x －1≤0，故命题②是真命题；对于命题③：已知a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，若a ，b 为共线向量，则⎩⎨⎧2n ＝4，8＝2m ，∴⎩⎨⎧m ＝4，n ＝2，∴m＋n＝6，反之若m＋n＝6，则m不一定为4，n不一定为2，∴“a，b为共线向量”是“m＋n＝6”的充分不必要条件，∴命题③是假命题．19．【多选题】已知M，N为R的两个不等的非空子集，若M∩(∁R N)＝∅，则下列结论正确的是()A．∃x∈N，使得x∈M B．∃x∈N，使得x∉MC．∀x∈M，都有x∈N D．∀x∈N，都有x∈M答案ABC解析对于D，∵M∩(∁R N)＝∅，∴M是N的真子集或M，N相等，又M，N不相等且非空，∴M是N的非空真子集．∴不能保证∀x∈N，都有x∈M.20．设a，b均为单位向量，则“cos〈a，b〉<0”是“|a－b|＝|2a＋b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析记条件p：cos〈a，b〉<0，条件q：|a－b|＝|2a＋b|，|a－b|＝|2a＋b|左右平方得a2－2a·b＋b2＝4a2＋4a·b＋b2⇒3a2＝－6a·b，a，b均为单位向量，则3＝－6cos〈a，b〉，则|a－b|＝|2a＋b|可以推出cos〈a，b〉＝－12<0，但cos〈a，b〉<0不能得到cos〈a，b〉＝－12，即q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件．故选B.1．已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B不可能是() A．{－1，1，4} B．{1，0，4}C ．{1，2，4}D ．{－2，1，4}答案 A解析 若A ∪B 含3个元素，则a ＝1或a ＝a 2或a 2＝4，当a ＝1时，不满足集合元素的互异性，当a ＝0，a ＝2或a ＝－2时满足题意．∴A ∪B 不可能是{－1，1，4}．故选A.2．(2021·山东临沂一模)已知全集U ＝A ∪B ＝(0，4]，A ∩∁U B ＝(2，4]，则集合B ＝( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(0，2]D ．(0，2)答案 C解析 因为U ＝A ∪B ＝(0，4]，A ∩∁U B ＝(2，4]，所以B ＝∁U (A ∩∁U B )＝(0，2]．故选C.3．已知集合M ＝{y |y ＝2x ＋1，x ∈R }，集合N ＝{x |－x 2＋5x ＋6>0}，则M ∩N ＝( )A ．(－2，3)B ．(0，6)C ．(6，＋∞)D ．(1，6)答案 D解析 ∵M ＝{y |y >1}，N ＝{x |－1<x <6}，∴M ∩N ＝(1，6)．故选D.4．(2021·长郡十五校联考(二))已知复数z 满足：z 2＝74＋6i(i 为虚数单位)，且z 在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z －的虚部为( )A ．2iB ．3 C.32 D.32i答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝74＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝74，2ab ＝6，∵a <0，b <0，∴a ＝－2，b ＝－32，∴z ＝－2－32i ，∴z －＝－2＋32i.故选C.5．(2021·潍坊市二模)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x －1)}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >－2，则A ∩B＝( )A ．∅B ．[1，4)C ．(1，4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 ∵A ＝{x |x >1}，B ＝{y |0<y <4}，∴A ∩B ＝(1，4)．故选C.6．(2021·湖南期中试卷)设(－1＋2i)x ＝y －1－6i ，x ，y ∈R ，则|x －y i|＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 B解析 因为(－1＋2i)x ＝y －1－6i ，所以⎩⎨⎧2x ＝－6，－x ＝y －1，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x －y i|＝|－3－4i|＝（－3）2＋（－4）2＝5.故选B.7．(2021·江淮十校质量检测，理)已知集合U ＝[－5，4]，A ＝{x |x2－2x ≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x ≤0，则(∁U A )∩B ＝( )A ．∅B ．[0，2]C ．[－2，0)D ．[－2，2]答案 C解析 由题知A ＝[0，2]，B ＝[－2，0)，所以A ∩B ＝∅，B ⊆(∁U A )，(∁U A )∩B ＝B ＝[－2，0)．故选C.8．(2021·长沙市一中模拟(一))若复数z ＝(1＋a i)·(1－i)的模等于2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1答案 D解析 因为z ＝(1＋a i)·(1－i)＝1－i ＋a i －a i 2＝(1＋a )＋(a －1)i ，则|z |＝（1＋a ）2＋（a －1）2＝2a 2＋2＝2，解得a ＝±1.9．(2021·哈师大第三次理考)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )．若A ＝{2，3，4，5}，B ＝{3，5，6}，则A *B 表示的6位字符串是( )A ．101010B ．011001C ．010101D ．000111答案 C10．(2021·东北三校第二次联考)定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．16B ．18C ．14D ．8答案 A解析 因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，所以A *B ＝{1，2，3，4，6}，所以A *B 的所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16.故选A.11．(2021·南昌市一模)已知角α是△ABC 的一个内角，则“sin α＝12”是“cos α＝32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为角α是△ABC 的一个内角，所以α∈(0，π)．由sin α＝12可得α＝π6或α＝5π6，此时cos α＝32或cos α＝－32.由cos α＝32可得α＝π6，此时sin α＝12.所以“sin α＝12”是“cosα＝32”的必要不充分条件．故选B.12．(2021·吉林五校联考)已知α⊥β，α∩β＝l，n⊂α，m⊂β，则“m⊥n”是“m⊥l”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析在如图所示的正方体中，设平面ABCD为α，平面ADD1A1为β，AD1为m，AB为n，AD为l，则n⊥β，而m⊂β，所以n⊥m，但是m与l不垂直，所以m⊥n不是m⊥l 的充分条件；因为α⊥β，α∩β＝l，m⊂β，m⊥l，则m⊥α，所以m⊥n，所以m⊥n 是m⊥l的必要条件．于是m⊥n是m⊥l的必要不充分条件．故选B.13．(2021·辽宁锦州第一次联考)若命题“∃x0∈R，使得x02＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3 C．－3≤a≤3 D．－1≤a≤1答案 B解析由特称命题“∃x0∈R，使得x02＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，可知该命题的否定“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题．则对于方程x2＋(a－1)x＋1＝0，有Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.故选B.14．【多选题】(2021·八省八校联考)下列命题中正确的是()A ．∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB ．∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13x C ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12 D ．∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x 答案 ABC解析 对于A ，分别画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图1所示，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，故A 正确．对于B ，分别画出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象如图2所示，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确．对于C ，分别画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象如图3所示，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确．对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误．故选ABC. 15．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 本题考查充分条件与必要条件、函数的奇偶性．当f (x )为R 上的奇函数时，若x 1＋x 2＝0，则有x 1＝－x 2，所以f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0；若f (x )＝0，则当x 1＝－1，x 2＝2时，f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2≠0，所以“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．故选A.16．已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}，若A ∩B 只有4个子集，则a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0，1]D ．(0，1]答案 D分析 A ∩B 只有4个子集，则元素有两个．解析 集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}，A ∩B 只有4个子集，则A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1，2}，所以0<a ≤1.故选D.评说 结合数轴、动态演示，效果更佳，结果更明显．17．【多选题】“∀x ∈[1，2]，ax 2＋1≤0”为真命题的必要不充分条件是( )A ．a ≤－1B ．a ≤－14C．a≤－2 D．a≤0答案BD解析∵∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0，∴ax2≤－1，∴a＜0，∵x∈[1，2]，∴ax2∈[4a，a]，∴a≤－1，∴“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”⇒“a≤－1”，“a≤－1”⇒“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”．∴“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题的充分必要条件是a≤－1.故必要不充分条件为B、D.18．(2021·浙江适应性试卷)已知a，b∈R，则“a2>b2”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若a＝－2，b＝1，此时a2>b2成立，而a>|b|不成立，而a>|b|时，由不等式的性质，两边平方得，a2>b2，所以“a2>b2”是“a>|b|”的必要不充分条件．故选B.19．(2021·湖北十一校第二次联考)已知非空集合A，B满足以下两个条件：(1)A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则有序集合对(A，B)的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析若集合A中只有1个元素，则集合B中有3个元素，则1∉A，3∉B，即3∈A，1∈B，此时有1个有序集合对(A，B)；同理，若集合B中只有1个元素，则集合A中有3个元素，则3∈B ，1∈A ，此时有1个有序集合对(A ，B )；若集合A 中有2个元素，则集合B 中有2个元素，则2∉A ，且2∉B ，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A ，B )的个数为1＋1＝2.故选B.20．【多选题】下列说法正确的是( )A ．设a ，b 为两个非零向量，则“a ·b ＝|a |·|b |”是“a 与b 共线”的充分不必要条件B ．“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“a ·b <0”C ．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列”是“a n ＋12＝a n a n ＋2”的充要条件D ．在三角形ABC 中，“A >B ”的充要条件是“sin A >sin B ”答案 AD解析 若a ·b ＝|a |·|b |，则a 与b 方向相同；若a 与b 共线，则a 与b 方向相同或相反，不一定有a ·b ＝|a |·|b |，故A 正确；因为a ·b <0时，〈a ，b 〉∈(90°，180°]，所以“a ·b <0”是“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故B 错误；由“a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列”，可得“a n ＋12＝a n a n ＋2”成立，反之不成立，如a n ＋1＝a n ＝a n ＋2＝0，故C 错误；由A >B 得a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A >sin B ，反之也成立，故D 正确．故选AD.21．设p ：|x －a |≤3，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析 由|x －a |≤3，可得a －3≤x ≤a ＋3，即p ：a －3≤x ≤a ＋3.由(x ＋1)(2x －1)≥0，可得x≤－1或x≥12，即q：x≤－1或x≥12.因为p是q的充分不必要条件，所以a＋3≤－1或a－3≥12，解得a≤－4或a≥72.故a的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。
高中数学必修一专题训练 知识点+例题+练习
专题01 方程有解类问题【方法点拨】1. 求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离，两种方法的选择应视具体题目而定，不好说那种方法更优.2. 方程有解类应熟知的方法（分离函数）：函数()()()F x f x g x =−的零点就是函数()y f x =与函数()y g x =交点的横坐标，故常将方程有解、解的个数、根的分布问题，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点有交点、交点的个数、交点横坐标所在区间问题. 3. 方程有解类应熟知的基本知识、方法：（1）若f (x )的值域为A ，则方程f (x )=a 有解⇔a A ∈. （2）若f (x )，g (x )的值域分别为A ，B ，则有：①∀x 1∈D ， ∃x 2∈E ，使得f (x 1)=g (x 2)成立，则； ② ∃x 1∈D ，∃x 2∈E ，使得f (x 1)=g (x 2)成立，则.【典型例题】【例1】关于x 的一元二次方程21+(+1)0()2x m x m Z +=∈有两个根12x x 、，且满足12013x x <<<<，则实数m 的值是（ ）.A ．－2；B ．－3；C ．－5；D ．－6.【例2】关于x 的方程2213xm ⎛⎫=− ⎪⎝⎭有负根，则实数m 的取值范围是______________．A B ⊆AB ≠∅【例3】已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________．【巩固训练】1. 若关于x 的方程220x mx −+=在区间()1,4内有两个解，则实数m 的取值范围是_________.2.已知函数f (x )＝2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，函数g (x )＝kx －2k ＋2(k >0)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，若存在x 1∈⎣⎡⎦⎤0，12及x 2∈⎣⎡⎦⎤0，12，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．3.已知函数f (x )＝12x 2＋x ，g (x )＝ln(x ＋1)－a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝g (x 2) ，求实数a 的取值范围.4.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为__________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为__________．5.已知函数()372x f x x −−=+，()22g x x x =−，若存在实数(),2a ∈−∞−，使得()()0f a g b += 成立，则实数b 的取值范围是 。
2021年上海市新高二数学校本知识点梳理及习题汇编第一讲 数列
− } 的前 n 项和
2 =1
a2i﹣1≤k2﹣2k
（三）解答题
17.已知数列 { } 的前 项和为 ，满足
（1）求数列 { } 的通项公式；
（2）证明：
1+
1
1+
2
1 +⋯+
3
1
<
5 3
.
= + 2 − 2 ， ∈ ∗ ，且 2 = 6 .
-3-
18. （1）已知数列 { } 通项公式为 = ( +1) ，写出数列前 5 项.
，
由于公比 ∈ (0,1) ，
解得
{
3=4 5=1
，所以
5=
3 2 ，解得
=
1 2
.所以
= 5⋅
−5
=
(
1 2
)
−5
.
-6-
由于
= log2
=
log2
(
1 2
)
−5
=
5
−
.
所以
=
(4+5− 2
)
=
(9− ) ，
2
则
=|
|
=
|
(9− 2
)|
=
|9−
|
，
2
当 ≤ 9 时，
= 1+ 2+⋯+
= (17− ) = 17 − 2 .
= log2 ，
10.在数列 {
} 中，
1
=
1 2
，
+1 −
=4
1 2−1
，则该数列的通项公式
= ________；数列 { } 中
2019-2020年高中数学重要知识点及典型例题新课标人教版
2019-2020年高中数学重要知识点及典型例题新课标人教版一、知识结构二、重要知识及典型例题 1、向量的相关概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量.用有向线段表示或小写字母a 、b 、c …表示. （2）向量的模：就是向量的长度(或称模)，记作｜｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. （3）零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用表示.两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.☆（4）平行向量（共线向量）.规定：零向量与任一向量都平行.（5=. 2、向量的运算（1）向量的加法：将两个向量的求和运算称为向量的加法“首尾相接”的两向量之和，法则适用于“共起点”的两向量之和推广：多边形法则：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=☆ 交换律： 结合律：重要不等式：两个非零向量与：|｜｜-｜｜|≤｜+｜≤｜｜+｜｜ （说明：与同向时取后“=”；与异向时取前“=”） 特别地：+=（与互为相反向量）（2）向量的减法：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-) ☆ △法则：（同始连终，指向被减）①作平移，共起点；②两尾连，指被减。
重要不等式：｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜≤｜｜+｜｜（说明：与同向时取前“=”；与异向时取后“=”） 3、实数与向量的积（1）实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：①｜λ｜=｜λ｜·｜｜;②当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.（2）运算律：设λ、μ为实数，那么：①λ(μa)=λμ；②(λ+μ) =λ+μ；③λ(+)=λ+λ4、平面向量基本定理如果，，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数λ1 、λ2使：=λ1+λ2 （，叫做一组基底） 向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，它们的结果仍为向量. 5、平面向量的坐标运算① 和与差：±=(x 1±x 2,y 1±y 2) ② 如果A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则= ③ 若=(x,y),则λ=(λx,λy)☆④ 如果=(x 1,y 1), =(x 2,y 2)( ≠)则∥ 6、线段的定比分点：点P 分有向线段① 向量式：=λ· ② 坐标式：1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y yy x x x x7、平面向量的数量积及运算律(1).概念① 两平面向量和的夹角：，是两非零向量，.☆②.两平面向是和的数量积(或内积)：数量·=｜｜·｜｜几何意义：向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cos θ的乘积.③.一个向量在另一向量方向上的投影：｜｜称为向量在的方向上的投影 （2）性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，① ·=·=｜｜； ☆★② ⊥·=0☆③ 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜; 特别地 ·=2=｜｜2或｜｜=.☆④ = (θ为，的夹角)；⑤｜·｜≤｜｜·｜｜ （3）.平面向量的数量积的运算律① 交换律：·=·；② 分配律：(+)· =·+·③ 数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R) （4）两向量的数量积与两数之间的乘法的区别①当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直. ②不满足消去律，即·=·=③不满足结合律，即 (·)≠(·)·， ☆ ★8、平面向量数量积的坐标表示①；②向量的模：若=(x,y),则｜｜= ③两点间距离公式：｜｜==④⊥；⑤夹角：=9、平移（1）平移公式：''''(,),(,),(,)P x y P x y PP h k =后前 ① =+(平移向量公式)☆ ② (平移的坐标公式)；变换公式 （2）题型：①(,)()()?a h k f x f x =−−−→=后前②(,)()?()a h k f x f x ==−−−→后前 （一设二找三代四换） ③(,)?()()a h k f x f x ==−−−−→后前（待定系数法、配凑法、逆推法）10、正弦定理 余弦定理（1）正弦定理、三角形面积公式（为外接圆半径）☆①===2R ；☆②S △=bcsinA=absinC=acsinB③变形：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；sin :sin :sin ::A B C a b c = =,=,=.应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化） （2）余弦定理在△ABC 中，有a 2=b 2+c 2-2bccosA;b 2=c 2+a 2-2accosB ；c 2=a 2+b 2-2abcosC ；变形：=；22()2(1cos )a b c bc A =+-+；22()2(1cos )a b c bc A =-+-；；2212cos a c c A b b b ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）正、余弦定理应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化）注意：A+B+C=π；0＜A ，B ，C ＜π；sin=sin=；(A+B)=11、解斜三角形应用举例（1）常用概念：仰角、俯角；方向角（北偏东60°，西南方向）、方位角；水平距离、垂直距离、坡面距离；坡度（坡比）、坡角 （2）解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元与未知元；③选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理，并注意运算的正确性； ④给出答案. 三、习题1、平面向量,1),2,2(),1,1(),,(),,(22=⋅=⋅====d b c a d c y x b y x a 若则这样的向量有（）A ．1个B ．2个C ．多个2个D ．不存在2．向量=（1，－2），向量与共线，且||=4||，则=（ ）A ．（－4，8）B ．（－4，8）或（4，－8）C ．（4，－8）D ．（8，4）或（4，8） 3．设是平面内任意的非零向量且相互不共线，给出下列命题中真命题是（ ） ① ； ② ； ③ 不与垂直；④22(32)(32)94a b a b a b +-=-A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④4．设向量=⋅︒︒=︒︒=b a b a 则),37cos ,53(cos ),67cos ,23(cos （ ）A ．B ．C ．－D ．－5．给定两个向量)2()2(),1,(),2,1(x -+==与若平行，则x 的值等于 （ ） A ．1 B ．C ．2D ．6．若e ，e ，且，则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形C ．等腰梯形D ．非等腰梯形7．已知关于x 的方程02sin2cos cos 22=+⋅-CB A x x 的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形 8．已知点A （2，1），B （0，2），C （－2，1），O （0，0）. 给出下面四个结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②； ③； ④，其中正确结论的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9. 已知| a | = | b | = 2, a ·b = -2, 且(a + b )⊥(a + b ), 则实数的值为（ ） (A) –1 (B) 1 (C) –2 (D) 210．已知向量a=（2，3），b=(1,2)，且(a+λb)⊥(a-b)，则λ等于( ) A ． B .- C.-3 D.311．给定两个向量)()(),1,2(),4,3(x -⊥+==若，则x 的等于 （ ）A ．－3B ．C ．3D ．－12．已知空间向量（1，0），（2，k ），，则k 的值为（ ） A ． B ． C ．D ．13．设向量(1,2),(1,1),(3,2)a b c =-=-=-，且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 14．在中，若为钝角，则的值（ ）A ．大于且小于B ．等于C ．大于D ．不能确定15．已知向量 a = (2,3) ,b = (-1,2), m a +n b 与a -2b 共线，则等于 ( ) Ａ. B.2 C. - D.-216．设O 为坐标原点，若点P 到x 轴、y 轴的距离之和既不大于2，又不小于1，则的取值范围是 .17．已知非零向量、满足，则与夹角的大小为 ． 18． 向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于_____.19．设为非零向量，下列命题中： ①||=||有相等的模； ②||=||+||的方向相同； ③||+||>||的夹角为锐角； ④||=||－||| 其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）。
人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
新人教版高中数学（必修二）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习空间几何体的结构【学习目标】1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2．认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3．能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构．【要点梳理】【空间几何体的结构394899 棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为1111ABCD A B C D -、11111ABCDE A B C D E -、111111ABCDEF A B C D E F -；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱1A C 或棱柱1D B 等；五棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 等；六棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 、棱柱1AE 等．4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．【空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S ABCD ．要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．【空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱/OO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．要点四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．【空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台1111ABCD A B C D -；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台OO '；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为R 的球的一个截面圆半径为r ，球心与截面圆的圆心的距离为d ，则有d =要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1．判断下列说法是否正确．（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【解析】（1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形．（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．故（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定．举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（）A．1 B．2个C．3个D．4个【答案】C【空间几何体的结构394899 同步练习】【变式2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不一定例2．有下面五个命题：（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 A【解析】本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件．命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面==EF=1，三条侧棱都相等，是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，DE DF但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．【答案】不正确．【解析】如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．例3．判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？【解析】三个图都不是台体．（1）AA 1，DD 1交于一点，而BB 1，CC 1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1不平行，故也不是台体；（3）中应⊙O 与⊙O 1不平行，故也不是台体．【总结升华】判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面．即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直．举一反三：【变式1】判断如下图所示的几何体是不是台体？为什么？【答案】 ①②③都不是台体．【解析】因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体；虽然②是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体．只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．④是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO 底面的平面截圆锥SO 而得的．类型二：几何体中的基本计算例4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【答案】14 cm ，，7 cm 和21 cm ．【解析】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm ，延长1AA 交1OO 的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°． ∴SO ＝AO ＝3x cm ，12OO x cm =．∴ 1(62)2392x x x +⋅=，解得x ＝7，∴圆台的高114OO cm =，母线长1l cm ==，底面半径分别为7 cm 和21 cm ． 【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可．【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．【解析】设圆锥的高为h，上、下底半径为,r R．则1013r hR h-==，解得15h=．类型三、简单几何体的组合体例5．指出下图中的图形是由哪些简单几何体构成的．【解析】分割原图，使它们的每一部分构成简单几何体．（1）是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的；（2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的．【总结升华】判定实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．举一反三：【变式1】如下图，观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出它们的主要结构特征．【答案】图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征．图（2）是一个四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．图（3）是由一个三棱柱和一个底面与该三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征．【变式2】如下图（1）是由图（2）中的平面图形（）旋转得到的．【答案】A【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形成的几何体，一般是先作出这个平面图形的各顶点（如果是半圆形，则取垂直于这条直线的半径的端点）关于这条直线的对称点，再把这些相互对称的两点用圆弧连接起来，也就得出相应的几何体，进而便可判定其是由哪些简单的几何体所组成的几何体．类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6．请画出下图所示的几何体的表面展开图．【解析】将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．表面展开图如下图所示．【总结升华】要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的计算问题．例7．根据下图所给的平面图形，画出立体图形．【解析】将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示．【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系．举一反三：【变式1】（2016 广东雷州市月考）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．【思路点拨】根据折叠前、后的图形情况，结合线面垂直的判定定理，得出该多面体是直三棱锥．【答案】直三棱锥【解析】在正方形ABCD中，AB⊥BF，AD⊥DE，折叠后的图形B，C，D三点重合，∴三棱锥A—CEF中，AC⊥CE，AC⊥CF，CF∩CF=C，∴AC⊥平面CEF，三棱锥A—CEF是直三棱锥．故答案为：直三棱锥．【巩固练习】1．一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成（）．A．棱锥B．四棱柱C．正四棱柱D．长方体E F G（不与顶点重合），过此三点作长方体的截面，那么2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点,,这个截面的形状是（）．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能3．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的4.下列图形不是正方体表面展开图的是（）．5．下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截嘶一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截断一定是一个圆面．其中正确的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．36．一个直角梯形以较长底为轴进行旋转，得到的几何体是（）A．一个圆台B．一个圆锥C．由两个圆锥组成的组合体D．由一个圆锥一个圆柱组成的组合体7．（2016春河北石家庄期末）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°8．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．9．,A B 为球面上相异两点，则通过,A B 两点可作的球大圆有 个．10．（2016春 安徽宿松县月考）一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足2b ac =，求这个长方体所有棱长之和．11．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，求过各侧棱中点的截面面积．12．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为1S 、2S ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h ，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).【答案与解析】1．【答案】B【解析】由棱柱定义可知，选B ．2．【答案】A【解析】 连结,,E F G 三点，用余弦定理证明知，这个三角形是锐角三角形．3．【答案】D【解析】两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A 错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B 不正确，C 不符合棱台的定义，所以应选D ．4．【答案】C【解析】 由展开图折回去形不成正方体可知选C ．5．【答案】C【解析】 ①②正确，③中截面也可以是一个三角形或椭圆等．6．【答案】D【解析】由圆柱和圆锥的定义可知，该图形是一个圆锥和圆柱．7．【答案】C【解析】一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC 的各边均为正方形的对角线长，△ABC 为等边三角形，∴∠ABC 的度数为60°．故选C ．8．【答案】49．【答案】一个或无穷多个10．【答案】32cm【解析】∵长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，∴abc =8，∵它的全面得32 cm 2，∴2(ab +bc +ca )=32，∵2b ac =，∴b =2，ac =4，a +c =6，∴这个长方体所有棱长之和为4(a +b +c )=32（cm ）．11．2【解析】如右图，△A ＇B ＇C ＇为所求的截面图形，由三角形中位线性质定理，得△A ＇B ＇C ＇∽△ABC ，且对应边长之比为1∶2．【答案】 ∴2''1124A B C ABC S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．又∵2ABC S a ∆=，∴22'''14A B C S a ∆==．12．，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为l ==斜高为h ==空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．5．平行投影的性质（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、空间几何体的三视图【空间几何体的三视图与直观图395059 三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【空间几何体的三视图与直观图395059 斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的。
2023年高中数学必修知识点加例题加课后习题
1.2 空间几何体的三视图和直观图 1、中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2、三视图
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度 和长度；
2
2
∴x= 2 （cm），即内接正方体棱长为 2 cm.
课后练习 一、选择题
1.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不也许的是
A. 四边形
B. 三角形
C. 五边形
D. 六边形
2.一个棱长为 的正四周体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸
盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为
A. 1
B.
C. 2
D. 3
平面 ABC 内的轨迹是
A. 双曲线
B. 椭圆
C. 圆
D. 直线
8.如图，以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把
和
折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
；
；
三棱锥
是正三棱锥；
平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直． 其中对的的是
A.
B.
C.
9.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线
（2）画底面. 以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN = 4cm；在
3
y 轴上取线段 PQ，使 PQ = 2 cm. 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过 点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A，B，C，D，四边 形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. （3）画侧棱. 过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平 行线上分别截取 2 cm 长的线段 A′A，B′B，C′C，D′D. （4）成图，顺次连接 A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被 挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.
高一高二数学知识点和例题
高一高二数学知识点和例题一、集合与函数1. 集合的表示与运算- 集合的表示方法：列举法、描述法、等价关系法- 集合的运算：并集、交集、差集、补集2. 函数与映射关系- 函数的定义与性质：定义域、值域、单射、满射、一一对应- 函数的表示与运算：函数关系式、函数图像、复合函数、反函数二、解析几何1. 平面直角坐标系- 坐标的概念：点的坐标、坐标轴- 点、直线、圆的方程：一般式、标准式、截距式2. 空间坐标系- 点、直线、平面的方程：点坐标、一般式、截距式三、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义：等差数列、等比数列、等差数列、通项公式- 数列的性质：公差、首项、末项、项数、和数2. 数学归纳法- 数学归纳法的证明步骤- 数学归纳法在实际问题中的应用四、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件与样本空间- 概率的计算公式：样本点数法、古典概型法、几何概型法2. 统计与统计图- 数据的收集与整理- 统计图的绘制和解读：频数分布表、条形图、折线图、饼图五、三角函数1. 三角函数的定义与性质- 弧度制与度数制的转换- 三角函数的定义及其关系：正弦函数、余弦函数、正切函数2. 三角函数的图像与性质- 三角函数的周期与对称性- 三角函数的变换：平移、伸缩、翻转六、导数与微分1. 导数的定义与性质- 导数的定义：可导性、切线斜率- 导数的性质：四则运算法则、复合函数求导法则2. 微分与应用- 微分的定义与性质：微分近似、微分中值定理- 导数在几何、物理、经济等领域的应用七、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的定义与性质- 二次函数的标准式与一般式- 二次函数的图像与性质：顶点、对称轴、增减性、极值2. 一元二次方程的解法- 一元二次方程的根与求解方法：因式分解法、配方法、求根公式八、立体几何1. 空间中的直线与面- 直线的位置关系与方向向量- 平面的位置关系与法向量2. 空间中的图形体积与表面积计算- 立体图形的体积公式与表面积公式- 等腰直角三角形的性质与判断方法这些是高一高二数学的主要知识点和例题，通过学习这些内容，可以建立起扎实的数学基础，并为进一步学习提供良好的基础。
高中数学数列基础知识点和综合练习(含答案)新人教A版必修5
明的性质解题 .
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“
a,a+m,a+2m（或
a-m,a,a+m）” ② 三 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq 2( 或 a ， a,aq ) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 四 数 为 q
⑥若 { a n} 是公差为 d 的等差数列 ,
1° . 若 n 为奇数，则 Sn na中 且S奇 S偶 a中 (注 : a中指中项 ,即a中 an 1, 而 S 奇、 S偶 指所有奇数项、所有偶
2
数项的和）；
nd
2° . 若 n 为偶数，则 S偶 S奇
.
2
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差
（ 1）求证： { a n} 是等差数列；
（ 2）若数列 { bn }满足 :
b1 3b2 5b3
(2n 1)bn 2 n 1a n 6
求证： { bn } 是等比数列 .
2Sn n( an 1)
①
[ 解析 ] （ 1）
2Sn 1 (n 1)( an 1 1) ②
②－①得 2an (n 1)a n 1 nan 1 (n 1)a n 1 nan 1,
125 1 125 5 25,
m a与m a均为正整数 ,且m a m a,
ma 1
ma2
m a 125 m a 25
解得 a 62或a 12(不合 ), 所求四数为 47， 57，67， 77
[ 评析 ] 巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是 主要方法 .
高中数学基础知识及基本题型汇总(有答案)
A B Oxy -122C高中数学基础知识汇编及基本题型汇总必修1—集合与函数基础知识【基础知识】①();();()Cu A B CuA CuB Cu A B CuA CuB A B A B A A B B ==⊆⇔== ②AB A ⊆或A B B ⊆；A A B ⊆或B A B ⊆.③A 集合中有n 个元素时,其子集个数:2n; 真子集个数: 21n -; 非空真子集个数:22n-. 【基本题型回顾】例：1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =( A )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 2.集合2{|log (1)},{|A y y x B x y ==-=，则AB =( D )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(,1]-∞D ．(,2]-∞ 3. 设集合M={y|y=|2cos x —2sinx|,x ∈R},N={x||x —1i,i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为（ C ）A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]4.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是( C )A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤ 5.设A 、B 、C 是三个集合,若AB BC =,则有(D )A. A B =B. C B ⊆C. B A ⊆D. A C ⊆选修2-1—常用逻辑【基础知识】简易逻辑部分掌握联结词四种命题(两组等价命题);反证法步骤; 命题关系中的充要条件(理解倒装式和等价转换思想的应用);例：1. 已知p 和q 是两个命题,如果p 是q 的充分不必要条件,那么非p 是非q 的( B ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“12m =是直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的( B ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.使不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是( C )A. 0x <B. 0x ≥C. {1,3,5}x ∈-D. 12x ≤或3x ≥4.不等式12x x +≥成立的一个必要不充分条件是（ D ）A ．(0,)+∞B ．（0，1）C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞必修1函数【基础知识】1)映射概念:集合A 中的每一个元素在集合B 中有唯一的元素和它对应; 函数概念:每一个x 都有唯一的y 和它对应.2)理解函数三要素:解析式,定义域,值域.【基本题型回顾】1）理解复合函数中“换”的基本思想，必需保证范围相同； 2）识记给定区间“二次函数”和“对勾函数”值域的求法；例:1.设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()xxf e x e =+，则()f x =ln x x +.2.若函数()f x 满足2()log f x x=+()f x 的解析式是（ B ）A. 2log xB. 2log x -C. 2x- D. 2x - 3.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是(B)A ．[0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)4.设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x f >的解集是（ B ）A ．(3,1)(3,)-+∞B ．(3,1)(2,)-+∞C ．(1,1)(3,)-+∞D ．(,3)(1,3)-∞-【基础知识3——函数单调性】1)利用图像判断(撇增捺减);2) 函数单调性证明方法：同增异减; 注:此方法不常用，得到单调区间常用导函数完成 3)1212()(()())0x x f x f x -->或12120()()x x f x f x ->-等价于单增;1212()(()())0x x f x f x --<或12120()()x x f x f x -<-等价于单减;4)复合函数单调性判断方法:同增异减;识记下列单调性：2;;;;log ;sin ,cos ,tan .x x a k y kx b y ax bx c y y a y y x y x y x x=+=++======1x y x =+.【基本题型回顾】1） 注意图像画法的几种形式：负指数化正指数，分数指数化根式；给X 加绝对值号及给整体加绝对值图像画法。
高中数学必修五知识点与练习题(K12教育文档)
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(二）数列(三)不等式新课标人教版必修5高中数学 综合检测试卷1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（ ）A ．4B ．34C ．9D ．182、数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S 〉48成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103、若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（ ） A ．a =﹣8 b =﹣10 B ．a =﹣4 b =﹣9 C ．a =﹣1 b =9 D ．a =﹣1 b =24、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形 5、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1的项是（ ）A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第六项6、在等比数列{}n a 中,117a a ⋅=6,144a a +=5，则1020a a 等于（ ） A ．32 B ．23 C ．23或32 D ．﹣32或﹣237、△ABC 中,已知()()a b c b c a bc +++-=,则A 的度数等于( )A ．120 B ．60 C ．150 D ．30 8、数列{}n a 中,1a =15，2331-=+n n a a （*N n ∈），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A ．2221a aB ．2322a aC ．2423a aD ．2524a a9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年,这个厂的总产值为（ )A ．41.1B ．51.1C ．610(1.11)⨯-D ． 511(1.11)⨯- 10、已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于( )A ．2B ．2-πC ．4D ．24-π11、在△ABC 中,已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= 12．函数2lg(12)y x x =+-的定义域是 13．数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈，则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。
高中数学必修2知识点与练习题(K12教育文档)
高中数学必修2知识点与练习题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修2知识点与练习题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学必修2各章知识点总结第一章空间几何体一、柱、锥、台、球的结构特征二、空间几何体的三视图和直观图1、三视图：正视图---从前往后；侧视图-—-从左往右;俯视图——-从上往下。
2、画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。
3、直观图:斜二测画法。
4、斜二测画法的步骤:（1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;（2)平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；(3)画法要写好。
5、用斜二测画法画出长方体的步骤：(1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图二、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积（1)、棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和（2）、圆柱的表面积 S=2πl+πr2（3)、圆锥的表面积S=2πl+πr2（4)、圆台的表面积S=πrl+πr2+πRL+πR 2(5）、球的表面积S=4πR22、空间几何体的体积(1）、柱体的体积：hV⨯=S底1(2）、锥体的体积：h=V⨯S底3(3)、台体的体积：h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ （4)、球体的体积：334R V π= 第二章 直线与平面的位置关系一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面含义：平面是无限延展的2、平面的画法及表示(1）、平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长。
高中数学必修4知识点及其配套习题(K12教育文档)
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高中数学必修4知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ,周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变,符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ;其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
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高一数学期中复习之一——圆
一．基本知识之关于圆的方程
1. 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x .特殊地， 当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.
2. 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，其中0422>-+F E D .
圆心为点,2
2D E ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，半径2
r =
，
3. 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：
①2
x 项2
y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+AF E D .
4. 圆C ：222
()()x a y b r -+-=的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin cos r b y r a x (θ为参数). 特殊地，222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θsin cos r y r x (θ
为参数).
5. 圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++= 交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ), 当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 二．基本知识之关于直线与圆的位置关系 1. 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直
线与圆的位置关系满足以下关系：
2. 直线截圆所得弦长的计算方法：
①利用弦长计算公式：设直线y kx b =+与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，
则弦AB =
=；
②利用垂径定理和勾股定理：AB =其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离). 3. 圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系：
三．分类例题练习 1. 关于圆的方程：
例1：求满足下列各条件圆的方程：
(1)以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆； (2)与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆； (3)求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程；
(4)求与圆52
2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.
解：（1）22
1012510x y x y +--+=
（2）2
2
(13)(13)169x y -+-=或2
2
(5)(5)25x y -+-= （3）2
2
(2)(1)10x y -+-= （4）2
2
(3)(6)20x y ++-= 2. 关于点和圆的位置
例2：(1)已知点) 12 , 15 (a a P +在圆169)1(2
2
=+-y x 的部,求a 的取值围.
(2)直线220x y k --=与直线230x y k --=的交点在圆2
2
25x y +=上，求k 的值.
(3)已知直线01=--by ax 与圆:O 2
2
1x y +=相交，问点),(b a 的圆O 位置关系如何？
解：(1)11a -<<； (2)1k =±； (3)圆外
3. 圆上的点的用法
例3：(1)已知实数x 、y 满足方程2
2
410x y x +-+=.分别求
y x ，y x -，及22
x y +的最大值和最小值. (2)平面上两点()1,0A -、()1,0B ，在圆C ：()()22
344x y -+-=上取一点P ，
求使22
AP BP +取得最小值时点P 的坐标.
(3)圆2
2
2430x y x y +++-=上到直线10x y ++=
的点共有 个. (4)求圆01222
2
=+--+y x y x 上的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值.
4. 关于直线和圆的位置
例4：(1)求圆042
2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程.
(2)求过点()2,3P 的圆2
2
4x y +=的切线方程.
(3)已知直线l 过点）
，（02-，当直线l 与圆x y x 22
2
=+有两个交点时，其斜率k 的取值围. (4)已知直线l ：y x b =+与曲线C ：y =b 的取值围. (5)已知直线l ：2830mx y m ---=和圆2
2
:6
12200C x y x y +-++=；
①
m R ∈时，证明l 与C 总相交； ②m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长.
(5) ①直线l ：2830mx y m ---=恒过的点(4,3)-在圆C 之，故对m R ∈有l 与C 总相交；； 5. 关于圆与圆的位置
例5：(1)判断两圆0124622=++-+y x y x 和⎩⎨
⎧+=+-=θ
θ
sin 62cos 61y x (θ为参数)的位置关系.
(2) 已知圆1C ⊙：2
2
2280x y x y +++-=与2C ⊙：2
2
210240x y x y +-+-=相交于,A B 两点，
①求公共弦AB 所在的直线方程；②求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程； ③求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程.
解：（1）相交
(2) ①公共弦AB 所在的直线方程为：240x y -+=；
②圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程为：2
2
(3)(3)10x y ++-=；
③经过,A B 两点且面积最小的圆的方程为：2
2
(2)(1)5x y ++-=.
6. 关于对称问题
例6：(1)求圆5)2(2
2
=++y x 关于原点()0,0对称的圆的方程.
(2)求圆22
2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程.
(3)点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，反射光线与圆2
2
:4470C x y x y +--+=
相切，求光线l 所在直线方程. (4)直线x m
y 2
=
与圆0422=-+++ny mx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，求弦MN 的长.
解：（1）2
2
(2)5x y -+=； （2）2
2
(7)(1)1x y +++=
（3）3430x y +-=和4330x y ++=；（4）2,2,4m n ==-弦长为 7.关于轨迹
例7：(1)已知O 为原点，定点(4,0)Q ，点P 是圆2
2
4x y +=上一动点.
①求线段PQ 中点的轨迹方程；②设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程. (2)过圆22
:4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆的切线l ，M 为l 上任意一点，再过M 作圆的
另一切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求三角形MAQ 的垂心的轨迹方程.
(3)已知圆2
2
:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，
求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.
(4)过圆2
24x y +=一点)1,1(A 作一弦交圆于C B 、两点,过点C B 、分别作圆的切线PC PB 、，
两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.
（4）40x y +-=
详细答案图片版：注意解法不唯一
标准
文案。