山东省济南市历城第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
2020-2021学年高一数学(人教A版2019必修第一册)集合的基本运算重难点突破(解析版)
突破1.3 集合的基本运算重难点突破一、考情分析二、经验分享【知识点1、并集】 1．并集的概念一般地，由___________属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：___________（读作“A 并B ”），即{},AB x x A x B =∈∈或．用Venn 图表示如图所示：（1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A ，B 是何种关系，AB 恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．2．并集的性质对于任意两个集合A ，B ，根据并集的概念可得： （1）()A A B ⊆，()B A B ⊆； （2）A A A =；（3）AA ∅=； （4）AB BA =．【知识点2、交集】 1．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作：___________（读作“A 交B ”），即{|},AB x x A x B =∈∈且．用Venn 图表示如图所示：（1）A 与B 相交（有公共元素） （2）A B ⊂≠，则AB A = （3）A 与B 相离（A B =∅）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A 和集合B 中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）(),()A B A A B B ⊆⊆； （2）A A A =； （3）A∅=∅； （4）A B BA =．【知识点3、全集与补集】 1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集． 2．补集的概念对于一个集合A ，由全集U 中___________集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作UA ，即{},U A x x U x A =∈∉且．用Venn 图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是 全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个 概念．（2）若x U ∈，则x A ∈或Ux A ∈，二者必居其一．3．全集与补集的性质设全集为U ，集合A 是全集U 的一个子集，根据补集的定义可得： （1）U U =∅； （2）UU ∅=； （3）()UUA A =；（4）()UAA U =； （5）()UAA =∅．三、题型分析重难点1 并集及其运算例1．（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2,3} 【答案】C【解析】因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．故选C.（2）已知{}A 3,4=，B {1,=3，5}，则A B (⋃= ) A. {}3 B. {1,4，5}C. {1,2，3，4，5}D. {1,3，4，5}【答案】D 【解析】，3，，3，4，，故选D ．【变式训练1】．（多选题）若集合，，且，则m 的值可能为A. B. 0 C.D. 1【答案】ABD 【解析】集合，当时，当时，因为，所以，所以或，即或或0．故选ABD ．【变式训练2】．（多选题）已知2A {0}x x ax b =|2-+=，2B {(2)50}x x a x b =|6++++=，且1A B {}2=，则A B 中的元素是（ ）A ．-4B ． 1C ．D ．【答案】ABD 【解析】由已知得：①；②则1{4,}2A =-，11{,}32B =，11{4,,}32AB =-,故选ABD.【变式训练3】．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃=（ ）A ．{1}B ．{12}，C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，， 【答案】C【解析】集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C. 【变式训练4】．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【答案】A【解析】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-.故选：A.【变式训练5】．（2020徐州期中模拟）已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|21}B x x =-<≤，则A B =（ ）A ．{|12}x x -B ．{|22}x x -<C ．{|21}x x -<D ．{|22}x x -≤≤ 【答案】B【解析】}{|12},{|21A B x x x x =-≤≤=-<≤，{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选:B. 重难点2 交集及其运算例2．（1).（2020·济南市历城第二中学高一期末）设集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，则A B 等于（ ） A ．{}5,8 B ．{}3,,6C ．{}4,7D ．{}3,5,6,8【答案】A【解析】集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，又集合A 与集合B 中的公共元素为5,8，{}5,8A B ∴⋂=，故选A.（2).设集合{}1,2,4A =,{}1,2,3B = ，则A. {}1,2B. {}1,2,4C. {}2,3,4D. {}1,2,3,4【答案】A 【解析】集合{}1,2,4A =,集合{}1,2,3B =，∴集合A 与集合B 的共同元素为1和2,所以由集合交运算定义知,.故选: A【变式训练1】．集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =( ) A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a -=，解得2a =-.故选B ．【变式训练2】．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知集合(1,3]A =-，201x B xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[2,1)-B ．(]1,1-C ．(1,1)-D ．[2,3]-【答案】C 【解析】201x B xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，解201x x +≤-，得21x ，所以[)2,1B =-因为(]1,3A =-，所以()1,1A B ⋂=-，故选：C.【变式训练3】．（2019启东市期末）（多选题）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有( ) A ．AB B =B ．A B B =C ．()U A B =∅ D ．()U AB =∅【答案】BD ． 【解析】AB ，AB A ∴=，AB B =，()U C A B =≠∅，()U AC B =∅，故选：BD ．【变式训练4】．（（2020·广东省高三月考（理））（多选题）对任意A ，B ⊆R ，记A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，x ∉A ∩B }，并称A ⊕B 为集合A ，B 的对称差.例如，若A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A ⊕B ＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝B ，则A ＝∅ B ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝∅，则A ＝BC ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD ．存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ＝A R⊕B RE.存在A ，B ⊆R ，使得A B ⊕B A ≠⊕ 【答案】ABD【解析】根据定义[()][()]R R A B A B A B ⊕=，A.若A B B ⊕=，则RA B B =，R A B ⋂=∅，RA B B =RB A ⇒⊆，R A B ⋂=∅A B ⇒⊆，∴A =∅，A 正确； B.若A B ⊕=∅，则R AB =∅，R A B ⋂=∅，A B A B ==，B 正确； C. 若A B A ⊕⊆，则RA B =∅，RAB A ⊆，则B A ⊆，C 错；D.A B =时，A B ⊕=∅，()()R R A B A B ⊕=∅=⊕，D 正确；E.由定义，[()][()]R R A B A B A B ⊕=B A =⊕，E 错．故选：ABD ．重难点3 全集与补集及其运算例3.(1)（2020·湖南省长郡中学高一期末）已知集合U ＝{1，3，4，5，7，9}，A ＝{1，4，5}，则∁U A ＝（ ） A ．{3，9} B ．{7，9} C ．{5，7，9} D ．{3，7，9}【答案】D【解析】因为集合U ＝{1,3,4,5,7,9},A ＝{1,4,5},所以{3,7,9}UA =.故选:D .(2)．（多选题）已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则中的元素是（ ）A ．0B ．2C ．1D ．-2【答案】AC【解析】由集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，解得：{}|21A x x x =∈≥≤-Z 或，}{z 0,1C A =，故答案选AC.【变式训练1】．（2020·浙江省学军中学高一期中）设集合{}2S x x =>-，{}41T x x =-≤≤，则()RS T =________．【答案】{}42x x -≤≤-【解析】因为集合{}2S x x =>-，所以{}2RS x x =≤-，因为集合{}41T x x =-≤≤，所以(){}42RS T x x ⋂=-≤≤-故答案为：{}42x x -≤≤-【变式训练2】．（2019·广东省增城中学高一期中）设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-.（1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{2x x <或}3x ≥；（2）(),2-∞【解析】（1）解不等式242x x -≥-可得：2x ≥，{}2B x x ∴=≥又集合{}13A x x =-≤<， 故{}23A B x x ⋂=≤< 又U =R 从而(){|2U C A B x x ⋂=<或3}x ≥ （2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由C C =B ∪可得：B C ⊆ 故有2a < 即所求实数a 的取值范围是(),2-∞【变式训练3】．(江苏如皋中学期中)设全集I R =，已知集合2{|690}M x x x =++≤，2{|60}N x x x =+-=.（1）求()I C M N ；（2）记集合()I A C M N =，已知集合{|15,}B x a x a a R =-≤≤-∈，若BA A =，求实数a 的取值范围.【解析】：(1) 因为{}{}26903M x x x =++≤=-，{}{}2603,2N x x x =+-==-，所以{},3M x x R x =∈≠-且，从而{}()2M N =.(2){}()2A M N ==.由B A A =知B A ⊆，所以B =∅或{}2B =.若B =∅，则15a a ->-，解得3a >；若{}2B =，则1252a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =综上所述，所求实数a 的取值范围是[3,)+∞． 重难点4 交集、并集与补集混合运算例4．（1）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则 =（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3- 【答案】A 【解析】∵，∴.故选A.（2）设集合{}2S x x =>-，{}41T x x =-≤≤，则________．【答案】{}42x x -≤≤-【解析】因为集合{}2S x x =>-，所以{}2RS x x =≤-，因为集合{}41T x x =-≤≤，所以(){}42RS T x x ⋂=-≤≤-故答案为：{}42x x -≤≤-【变式训练1】．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.【解析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a +1）x+a 2﹣1=0的两个根，故a =1； （2）∵A={x |x 2+4x =0，x ∈R}∴A={0，﹣4}， ∵B={x |x 2+2（a +1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=时，△=4（a +1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ； ②B≠时，当a =﹣1，此时B={0}，满足B ⊆A ；当a ＞﹣1时，x =0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a =1；综上所述a =1或a ≤﹣1.【变式训练2】．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，集合C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}．(1)试求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )； (2)试求实数a 的取值范围，使C ⊇(∁U A )∩(∁U B )．【解析】 U ＝R ，A ＝(－2，3)，B ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，故A ∩B ＝(2，3)，∁U A ＝ (－∞，－2]∪[3，＋∞)，∁U B ＝[－4，2]，(∁U A )∩(∁U B )＝[－4，－2]． ∵x 2－4ax ＋3a 2＜0，即(x －3a )(x －a )＜0，∴当a ＜0时，C ＝(3a ，a )；当a ＝0时，C ＝∅；当a >0时，C ＝(a ，3a )．(1)要使C ⊇(A ∩B )，结合数轴知0a 23a 3a ⎧⎪⎨⎪⎩＞，≤，≥，解得1≤a ≤2.(2)类似地，要使C ⊇(∁U A )∩(∁U B )，必有a 03a -4a -2⎧⎪⎨⎪⎩＜，≤，≥，解得－2≤a ≤－43.四、迁移应用1、（2020·浙江省学军中学高一期末）设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |0＜x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<.故选：A.2、（2020届江苏昆山调研）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B y y x x A ==-∈，则AB =______．【答案】{}1,2【解析】由题得{}1,0,1,2B =-，所以{1,2}AB =．故答案为：{}1,2．3、（2020届江苏四校期中联考）已知R 为实数集，集合{}1,0,1A =-，集合{}0B x x =≤，则RAB =______．【答案】{}1 【解析】{}0B x x =≤，{}0R B x x ∴=>，因此，{}1RAB =．故答案为：{}1．4、（2020届江苏盐城中学高三月考）设集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，若{}4A B ⋂=，则x =______ ． 【答案】4【解析】由题意，集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，因为{}4A B ⋂=，所以4A ∈，故4x =．故答案为4． 5. 设全集为R ,}{37A x x =≤<，}{510B x x =<<．求()R C A B ⋃. 【解析】因为}{37A x x =≤<，所以由补集定义知,}{73R C A x x x =≥<或, 因为}{510B x x =<<， 所以作图如下：由图可知,()}{35R C A B x x x ⋃=<>或.故答案为:{|3x x <或}5x > 6. 设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a取值范围.【解析】（1）解不等式242x x -≥-可得：2x ≥，{}2B x x ∴=≥ 又集合{}13A x x =-≤<， 故{}23A B x x ⋂=≤< 又U =R 从而(){|2U C A B x x ⋂=<或3}x ≥韩哥智慧之窗-精品文档韩哥智慧之窗-精品文档 1 （2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> ，由C C =B ∪可得：B C ⊆故有2a < 即所求实数a 的取值范围是(),2-∞7. 已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤. （1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足，，求实数a 的取值范围.【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤， 由C B B =得B C ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．。
2022-2023学年山东省济南市历城区历城高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市历城区历城第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）222:1y C x b -=(2,0)-CA ．BC ．D 0x =0y +=10x +-=10y +-=【答案】B【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，，又，解得.1,2a c ==222c a b =+b =所以双曲线的一条渐近线方程为.C by x a =-=0y +=故选：B.2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）22216x y a a +=+y a A ．B ．3a >2a <-C ．或D ．且3a >2a <-23a -<<0a ≠【答案】D【分析】依题意可得，即可求出参数的取值范围.206a a <<+【详解】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，22216x y a a +=+y 所以，即，解得且；206a a <<+()()230a a +-<23a -<<0a ≠故选：D3．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（ ）C 222x y +=(,3)A m m -A CA ．1B ．2C D 【答案】C【分析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，C AC再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆：，得圆，半径，C 222x y +=()0,0C r==所以点到圆A C =故选：C.4．如图，在四棱锥中，平面，M ，N 分别为，上的点，且P ABCD -PA ⊥ABCD PC PD ，，若，则的值为（ ）2= PM MC =PN ND =++ NM xAB y AD z AP x y z ++A ．B ．C ．1D ．23-2356【答案】B【分析】以为基底表示，由此求得，进而求得.{},,A B A D A PNM,,x y z x y z ++【详解】()12NM AM AN AC CM AD AP=-=+-+111322AB AD CP AD AP=++-- ()111232AB AD AP AC AP=++-- 11112332AB AD AP AC AP=++-- ()111236AB AD AB AD AP=+-+- ，211366AB AD AP =+-所以.2112,,,3663x y z x y z ===-++=故选：B5．已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t 的值为21:20l x y t ++=2:24230l x y t ++-=1l 2l （ ）A ．1B ．C ．D ．21213【答案】B【分析】利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性d t 即可求解.【详解】解：∵直线即为直线，∴直线直线．2:24230l x y t ++-=23202t x y -++=1//l 2l ∴与间的距离时取等号．1l 2l 2d 12t =∴当与间的距离最短时，t 的值为．1l 2l 12故答案选：B6．已知大小为的二面角棱上有两点A 、B ，，，，，若60︒l αβ--AC α⊂AC l ⊥BD β⊂BD l ⊥，，，则的长为（ ）3AC =3BD =7CD =AB A ．22B ．40C ．D 【答案】C【分析】过作且，连接、，易得通过线面垂直的判定定理A //AE BD AE BD =CE DE 60,CAE Ð=°可得平面，继而得到，即可求出答案ED ⊥AEC ED EC ⊥【详解】解：过作且，连接、，则四边形是平行四边形，A //AE BD AE BD =CE DE ABDE 因为所以平行四边形是矩形，,BD AB ⊥ABDE 因为，即，而，BD l ⊥AE l ⊥AC l ⊥则是二面角的平面角，即CAE ∠l αβ--60,CAE Ð=°因为，即为正三角形，所以，3BD AE AC ===ACE △3CE =因为，即，平面，ED AE ⊥l AC ⊥ED AC ⊥,,AE AC A AE AC ⋂=⊂AEC所以平面，因为平面，所以，ED ⊥AEC EC ⊂AEC ED EC ⊥所以在中，，所以Rt EDC ED ==AB ED ==故选：C7．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，若双曲线C 以O 1，O 3为焦点､以直线O 2O 4为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A B C ．D ．21311【答案】A【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式可得.e =【详解】如图建立直角坐标系，过向x 轴引垂线，垂足为A ，易知，4O 411O A =213O A =1113b a ∴=e ∴==故选：A8．已知点，动点满足，则的取值范围(40)(10)(43)A B C ---，，，，，P Q ，2PAQA PB QB==CP CQ+（ ）A ．B ．C ．D ．[1]16，[614]，[416]，【答案】B【分析】根据题意，求出点和的轨迹，结合平面向量的加法以及模长的计算，即可求解.P Q 【详解】设，(),P x y因，即，因此点在以原点为圆心，2为半径的圆上，2PA PB=2=224x y +=P O 同理可得点也在以原点为圆心，2为半径的圆上.Q O 又因，所以当和重合，且、、三点共线时，取得最2CP C CO O O Q P Q +=++P Q C O P CP CQ+ 值，因此，.()max2214CP CQOC +=+=()min226CP CQOC +=-= 故选：B.二、多选题9．已知空间中三点，，，O 是坐标原点，下列说法正确的是（ ）()0,1,0A ()1,2,1B --()1,3,1C -A ．点关于平面对称的点为B ．C Oxy (),,-131OB =C ．D ．AC OB ∥ OA OB ⊥【答案】BC【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标的概念判断A ；利用向量长度公式判断B ；利用共线向量的性质判断C ；利用向量垂直的性质判断D ．【详解】因为点关于平面对称的点为，所以A 错误；C Oxy ()1,3,1--因为B 正确；OB ==因为，，则，所以C 正确；()1,2,1AC =- ()1,2,1OB =-- AC OB =-因为，，则，所以D 错误．()0,1,0OA = ()1,2,1OB =-- 20OA OB ⋅=-≠故选：BC ．10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ）A ．直线BD 与A 1D 所成的角为45°B ．异面直线BD 与AD 1所成的角为60°C ．二面角A -B 1C -C 1D ．二面角A -B 1C -C 1【答案】BD【分析】先利用几何法找出题目中异面直线所成的角和二面角的平面角，再借助几何知识求出角度及正弦值，验证选项.【详解】正方体中，为等边三角形，直线BD 与A 1D 所成的角为60°，选项A 错误；1A BD ，异面直线BD 与AD 1所成的角等于BD 与BC 1所成的角，为等边三角形， ∴异11//AD BC 1C BD △面直线BD 与AD 1所成的角为60°，选项B 正确；BC 1与CB 1相交于点O ，连接AO 、AC 1，如图所示：正方体中，，O 为B 1C 的中点，∴，，二面角A -B 1C -C 1的1AB AC =111C B C C =1AO B C ⊥11C O B C ⊥平面角为，1AOC ∠不妨设正方体棱长为2，，，1AC =1C O =AO =由余弦定理，2221111cos 2AO C O AC AOC AO C O +-∠===⋅⋅∴A -B 1C -C 1，选项C 错误，选项D 正确.1sin AOC ∠=故选：BD11．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线恒过点（-3，-3）(3)4330()m x y m mR ++-+=∈B ．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1224x y +=:0l x y -=C ．圆与圆恰有三条公切线，则m =422120C :x y x ++=222480C :x y x y m +--+=D ．已知圆，过点P （3，4）向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB22:4C x y +=方程为3440x y +-=【答案】BCD【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A 选项，，()(3)433033430m x y m m x x y ++-+=⇒+++-=，所以定点为，A 错误.30334303x x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩()3,3-B 选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线，224x y +=2l 1=所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B 选项正确.224x y +=:0l x y -=C 选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，1C ()1,0-12C ()2,4=由于、有三条公切线，所以两个圆外切，所以，C 选1C 2C1=4m =项正确.D 选项，圆的圆心为原点，半径为.，以为直径的圆的方程为22:4C x y +=O 25OP =OP ，即，则所在直线方程为()22325224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭22340x y x y +--=AB ，.D 选项正确.()22224034x x x y y y +--+=--3440x y +-=故选：BCD12．数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.在平面∞∞∞直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”C .xOy 1(,0)F a -2(,0)F a 2(0)a a >∞已知点是“曲线”C 上一点，下列说法中正确的有（ ）()00,P x y ∞A ．“曲线”C 关于原点O 中心对称；∞B ．022a a y -≤≤C ．“曲线”C 上满足的点P 有两个；∞12PF PF =D ．的最大值为.PO【答案】ABD【分析】对A 中，设动点，求得曲线C 的轨迹方程，结合方程，可判定A 正确；由(,)C x y ，故，根据，得到，可判定B 正确；由()00,P x y 1212012PF F S F F y =⋅△212PF PF a ⋅=022a a y -≤≤，则在的中垂线为y 轴上，代入运算，可得判定C 不正确；由12PF PF =()00,P x y 12F F，结合余弦定理，化简得到，进而得到，12POF POF π∠+∠=2222122||2OP a PF PF +=+||OP ≤可判定D 正确.【详解】对A 中，设动点，可得C ，(,)C x y 2a =把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；(,)x y (,)x y --对B 中，因为，故，()00,P x y 12121212011sin 22PF F S PF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅△又，所以，212PF PF a ⋅=2120sin 2a F PF a y ∠=⋅即，故，故B 正确；012sin 22a ay F PF =∠≤022a a y -≤≤对C 中，若，则在的中垂线即y 轴上.12PF PF =()00,P x y 12F F 故此时，00x =2a =可得，即，仅有一个，故C 错误；00y =(0,0)P 对D 中，因为，故，12POF POF π∠+∠=12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅因为，，故.12OF OF a==212PF PF a ⋅=2222122||2OP a PF PF +=+即，所以.()22212122||22OP a PF PF PFPF +=-+⋅()22122||OP PF PF =-又，当且仅当P ，，共线时取等号.12122PF PF F F a-≤=1F 2F 故，即，解得，故D 正确.()222122||(2)OP PF PF a =-≤22|2OP a ≤||OP ≤故选:ABD .【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解．三、填空题13．从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所()0,1M -1y x =+在直线的方程为_________．【答案】20x y +=【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可求出反射光线的斜率，进而可求得反M 1y x =+A OA 射光线所在直线的方程.【详解】设点关于直线的对称点为，()0,1M -1y x =+(),A m n 则线段的中点在直线上，则，①AM 1,22m n B -⎛⎫ ⎪⎝⎭1y x =+1122n m -=+因为直线的斜率为，直线与直线垂直，则，②1y x =+1AM 1y x =+11AM n km +==-联立①②可得，即点，21m n =-⎧⎨=⎩()2,1A -因为反射光线过原点，所以，反射光线所在直线的斜率为，()0,0O 12OA k =-所以反射光线所在直线的方程为，即．12y x=-20x y +=故答案为：．20x y +=14．已知，B 是圆C ：上的任意一点，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .(1,0)F -()22116x y -+=则动点P 的轨迹方程为______.【答案】22143x y +=【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．【详解】解：圆，圆心为，半径为4，22:(1)16C x y -+=(1,0)因为线段的垂直平分线交于点，所以，BF BC P ||||PB PF =所以．||||||||||4||2+=+==>=PC PF PC PB BC FC 所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．P C F 22143x y +=故答案为：．22143x y +=15．抛物线与圆交于A 、B 两点，圆心，点为劣弧上不2:4E x y =()22:125M x y +-=()0,1M P AB 同于A 、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是B y PN N PMN ______．【答案】()10,12【分析】由题可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得P H ，故的周长为，联立圆与抛物线可得点坐标，可得的取值范||||MN NH =PMN ||5PH +,A B ||PH 围，可得答案.【详解】解：∵圆交，抛物线，()22:125M x y +-=2:4E x y =∴圆心也是抛物线的焦点，抛物线的准线为，(0,1)M 1y =-过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，P H ||||MN NH =故的周长，PMN ||||||||||||||5l NM NP MP NH NP MP PH =++=++=+由可得，()2224125x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩(4,4),(4,4)A B -又圆与轴正半轴交于，22:(1)25M x y +-=y (0,6)C 所以，46P y <<又因为，||1P PH y =+所以的取值范围为，||PH (5,7)所以的周长的取值范围为.PMN ||5PH +(10,12)故答案为：.(10,12)16．已知，是椭圆的左、右焦点，为曲线上一点，，1F 2F ()222210x y a b a b +=>>P 1260F PF ∠=︒的外接圆半径是内切圆半径的4倍．若该椭圆的离心率为，则______．12PF F △e e =【答案】23【分析】由正弦定理以及等面积法得出外接圆和内切圆半径，结合椭圆的定义以及题设条件得出离心率.【详解】设的外接圆半径，内切圆半径分别为，设，12PF F △,R r 1PF m =2PF n=则，依题意可知， 2m n a +=()121222PF F a c r S+==△即.在中，由余弦定理可知，mn =12PF F △2224m n mn c +-=得，得，()2243m n c mn+-=()2243a c mn -=()2243a c -=即又r=1144sin 60c r R ==⋅=︒.=23c e a ==故答案为：23四、解答题17．已知抛物线的焦点为F ，点在抛物线C 上．()2:20C y px p =>()1,2P (1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为，求直线l 的方程及()3,2M -．AB【答案】(1)，准线方程为()1,0F =1x -(2)；81y x =-+【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得方程解析式，根据抛物线性质，可得答案；（2）利用点差法，求得直线的斜率，代入中点，解得答案.【详解】（1）将点代入抛物线C ，得，∴∴，()1,2P 222p =2p =2:4C y x =∴，准线方程为；()1,0F =1x -（2）设，，∴，∴()11,A x y ()22,B x y 2114y x =2224y x =12121241y y x x y y -==--+∴直线l 的斜率为∴直线l 的方程：，∴，1k =-1y x =-+12628AB x x p =++=+=18．在平行四边形中，点，，平行四边形对角线的交点为．ABCD ()1,1A ()4,2B ABCD ()3,4M (1)求点的坐标以及直线的方程；,CD CD (2)求线段的中点到直线的距离．AM N CD 【答案】(1)，，()5,7C ()2,6D 3160x y -+=【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分，求得坐标，利用两点式求得直线ABCD ,C D 的方程；CD （2）求出线段的中点的坐标，利用点到直线的距离公式得出答案．AM N 【详解】（1）分别设点，，(),C a b (),D c d 因为平行四边形的对角线互相平分，ABCD 所以，解得，1432212422a cb d ++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩5,7,2,6a b c d ====所以，．()5,7C ()2,6D 所以直线的方程为，化简得．CD 676252y x --=--3160x y -+=（2）设，则，，即，(),N x y 1322x +==14522y +==52,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以到直线的距离N CD d 19．如图,在四棱锥中,底面,是直角梯形,,,P ABCD -PC ⊥ABCD ABCD AB AD ⊥//AB CD ,是的中点．222AB AD CD ===E PB(1)求证:平面平面;EAC ⊥PBC(2)若二面角,求直线与平面所成角的正弦值．P AC E --PA EAC 【答案】(1)证明见解析【分析】(1)先根据题中给出的数量关系和垂直关系,由线线垂直证得线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得面面垂直.(2)先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,然后分别求出平面和平面的法向量,根据二PAC EAC面角的坐标,最后求出与平面的法向量的夹角的余弦值P AC E --P PAEAC 的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值.PA EAC 【详解】（1）平面,平面,PC ⊥ ABCD AC ⊂ABCD ,AC PC ∴⊥,,,2AB = 1AD CD ==AB AD ⊥AC BC ∴==,222AC BC AB ∴+=,AC BC ∴⊥,,平面,BC PC C ⋂=BC PC ⊂PBC 平面,AC ∴⊥PBC 平面,AC ⊂ EAC 平面平面.∴EAC ⊥PBC （2）如图,以为原点,取中点,、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角坐C AB F CF CD CP标系,则,,(0,0,0)C (1,1,0)A (1,1,0).-B 设,则,(0,0,)(0)P a a >11(,,)222a E -设为平面的法向量,,,(),,m x y z = PAC (1,1,0)= CA (0,0,)= CP a ,即,00CA m CP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y az +=⎧⎨=⎩令,则.1x =(1,1,0)m =-设为平面的法向量,(,,)n x y z = EAC 则,即,00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩令,则.x a =(,,2)n a a =--，∴|cos m <|||||m n n m n ⋅>===解得 2.a =,∴(2,2,2)n =-- (1,1,2).=-PA 设直线与平面所成角为,PA EAC θ则sin cos ,||||PA n PA n PA n θ⋅===即直线与平面.PA EAC 20．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，22():21M x y -+=(1,)P t -:1l x =-P M 切点分别为．AB 、（1）若，求切线所在直线方程；1t =（2）求的最小值；AB（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．,PA PB y S T 、ST【答案】（1），；（2）31y =3410x y +-=min AB =【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值；,PM AB N MPA MAN ∠=∠（3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，k t ST可得最值．【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，()11y k x -=+10kx y k -++=则圆心到切线的距离，解得或，M 1d 0k =34-故所求切线方程为，；1y =3410x y +-=（2）连接交于点，,PM AB N 设，则，MPA MAN θ∠=∠=2cos 2cos AB AM θθ==在中，，Rt MAP ∆1sin AM PMPMθ==∵，∴，∴，∴3PM ≥()max 1sin 3θ=()min cos θ=min AB =（3）设切线方程为，即，的斜率为，()1y t k x -=+0kx y k t -++=,PA PB 12,k k故圆心到切线的距离，得，M 1d 228610k kt t -+-=∴，，1234k k t+=21218t k k -=在切线方程中令可得，0x =y k t =+故()()1212ST k t k t k k =+-+=-==∴，故的最小值为minST=0t =ST【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．21．已知椭圆经过点 ，过点的直线l 与椭圆C 2222:1(0)x y C a b a b +=>>(21)A ，(30)B ，交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为和 ，求证：为定值AM k AN k AM AN k k +【答案】(1)22163x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意结合椭圆的几何性质，列出方程组，求得答案;（2）设直线l 的方程为并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，代入化简(3)y k x =-的表达式，可得结论.AM AN k k +【详解】（1）由题意椭圆经过点 ，2222:1(0)x y C a b a b +=>>(21)A ，可得，解得，22222411a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩a b =故椭圆C 的方程为22163x y +=（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为，(3)y k x =-由，可得，22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(12)121860k x k x k +-+-=由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则，解得，42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->11k -<<设,则，1122(,),(,)M x y N x y 2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++，11(3)y k x =-22(3)y k x =-故121221121211(31)(2)(31)(2)22(2)(2)AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x -----+---+=+=----121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++，2244222k k -+==--即为定值.AM AN k k +22．如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角E ABC DE D ABC -2DE =ABC 6形，．5DB DC ==(1)求点到平面的距离；C ABD (2)点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．G AC DEG BCD【答案】(2)．12【分析】（1）取的中点，连接，，过点作，交于，进而证明点BC F EF DF E //EH BC AC H 在上，平面，即可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标法E AF BC ⊥DEF ,,EF EH ED 求解即可；（2）结合（1）求平面的法向量为，设，，进而求平面BCD (m =AG AC λ=()0,1λ∈的法向量，再根据向量方法求解即可.DEG 13,0u λ⎫=-⎪⎭ 【详解】（1）：取的中点，连接，．BC F EF DF 因为是三棱锥的高，即平面，DE D ABC -DE ⊥ABC 因为平面BC ⊂ABC 所以．DE BC ⊥因为，的中点为，5DB DC ==BC F 所以，DF BC ⊥因为平面,,DE DF D DE DF =⊂ DEF 所以平面，BC ⊥DEF 因为平面，EF ⊂DEF 所以．BC EF ⊥又因为是边长为的正三角形，的中点为ABC 6BC F 所以，，即点在上．BC AF ⊥E AF所以，，，AF =4DF ==EF ==AEAF EF =-=过点作，交于，则两两垂直，E //EH BC AC H ,,EFEH ED 所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，E EFEH ED,,x y z则，，，，()A ()3,0B -()C ()0,0,2D 所以，，，．()2BD =-()BA =-()0,6,0BC =设平面的法向量为，ABD()111,,n x y z =则，即，取．00BD n BA n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111132030y z y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩1x =32n ⎫=-⎪⎭ 所以，点到平面的距离为．CABDn BC n ⋅== （2）解：结合（1）得，，，，()A ()3,0B -()C ()0,0,2D 所以，，．()2BD =- ()0,6,0BC = 设平面的法向量为，BCD ()222,,m xy z =则，即，取，则．00BD m BCm ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222232060y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩21x =(m = 所以，，()AC =设，．AG AC λ= ()0,1λ∈所以，．()()(),0EG EA AC λλλ=+=+= 设平面的法向量为，DEG ()333,,u x y z = 则，即 取．00ED u EG u⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ (3332030z x yλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩3x =13,0u λ⎫=-⎪⎭ 所以，，当且仅当时，等号成立．1cos ,2u m u m u m ⋅==≤ 13λ=所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．DEG BCD 12。
基本不等式
基本不等式知识回顾1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)5．(1)已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．(2)已知0<x<1，则y ＝lg x ＋4lg x的最大值是________．(3)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值是________． (4)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值________． (5)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值是________．考点一．利用基本不等式求最值 1.凑系数（乘、除变量系数）.例1 已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 变式1.已知：103x <<，求函数()(13)f x x x =-的最大值变式2.设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是.2.凑项（加、减常数项）. 例2. 已知54x <，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.变式3.已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4变式4. （1）已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；（2）．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为______．3. 调整分子例3.（1）（2020届山东省枣庄市高二上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.例4.已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值变式7.（2020·山东省聊城二中高一月考）已知1,0,0x y y x +=>≠，则121x x y ++的值可能是（ ） A ．12B ．14C ．34D ．54变式8.（2020届山东师范大学附中高二月考）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．65.消元法例5．（1）若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是________． （2） 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．变式9.(2020·天津模拟)已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为________．变式10.已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则1222+++b b a a 的最小值为_______. 考点二．利用基本不等式证明不等式A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋ab≥2变式2．已知a 、b 、c 为正数，a ＋b ＋c ＝1，且不全相等，求证：1a ＋1b ＋1c>9.变式3．若a 、b +∈R ，1=+b a ，求证：4))((≥++b b a a ． 变式4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 考点三.基本不等式的综合应用例1（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma ba b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．9变式1.（2020·济南市历城第二中学高一期末）已知正数a ，b 满足1910a b ab+++=，则+a b 的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5变式2.（河南省新乡市高二年级上学期期末考试）已知a b <，则1b a b a b a-++--的最小值为（ ）A. 3B. 2C. 4D. 1变式3.（河南省林州市第一中学高二上学期期末考试）已知0x >， 0y >， 23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ）A. 322-B. 221+C.21- D. 21+变式4.（浙江省亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测）已知，则的最小值为__________．变式5.（2020·上海华师大二附中高一期末）,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值 为________.考点四.利用基本不等式解决实际问题例1．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （变式1.（2020·济南市历城第二中学高一期末）有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.变式2．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数） （1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义．课后习题一．单选1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b5．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)7．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )8．已知函数f(x)＝x ＋px －1(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( )A ．2B .94C ．4D .989．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8二．多选题11．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ． 28lg 2ab >D ． lg6b a ->12．有以下四个结论：①()lg lg100=；②()lg ln 0e =；③若ln e x =，则2x e =；④()ln lg10=．其中正确的是（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④13．已知正实数,a b 满足4a b =，2log 3a b +=，则a b +的值可以为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．614．设,,a b c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac += B ．ab bc ac += C ．221c a b =+ D ．121c b a=- 三．填空题15．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为 16．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．17．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．18．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4； ④a 2＋9＞6a ，其中恒成立的是________(填序号)．四．解答题19．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．(2)已知x ＜3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值．(3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值；20. 如右图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解析：∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤⎝⎛⎭⎫422＝4，∴1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.答案：B 2．设a ，b ，c ，d ，m ，n 均为正实数，p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则( ) A ．p ≤q B ．p ≥q C ．p <q D ．p >q解析：p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )·⎝⎛⎭⎫b m ＋d n ＝ab ＋cd ＋nbc m ＋mad n . ∵a ，b ，c ，d ，m ，n 均为正实数，∴nbc m ＋madn≥2abcd ，∴q 2≥p 2从而p ≤q .答案：A3．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x ＝a ＋2a ＋1，等号成立当且仅当a ·x y ＝y x即可，所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，求得a ≥2或a ≤－4(舍)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：C4．已知0<x <13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值为________．解析：∵0<x <13，∴1－3x >0，∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋1－3x 22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时等号成立．∴当x ＝16时，函数取最大值112. 答案：1125．(1)已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．(2)已知0<x<1，则y ＝lg x ＋4lg x的最大值是________．(3)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值是________． (4)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值________． (5)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值是________．解： (1)∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝52＋⎝⎛⎭⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立)．故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.(2)∵0<x<1，∴lg x<0，－lg x>0，∴－y ＝－lg x ＋⎝⎛⎭⎫4－lg x ≥2（－lg x ）×⎝⎛⎭⎫4－lg x ＝4， 当且仅当－lg x ＝4－lg x，即x ＝1100时，等号成立，故y max ＝－4.(3)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(4)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(5)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ×9x y ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，等号成立． 考点一．利用基本不等式求最值 1.凑系数（乘、除变量系数）.例1 已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．变式1.已知：103x <<，求函数()(13)f x x x =-的最大值 解析：∵3(13)1x x +-=为定值，且103x <<，则130x ->，可用均值不等式法∵103x <<，∴130x ->，2113131()(13)3(13)()33212x x f x x x x x +-=-=⋅⋅-≤=， 当且仅当3(13)x x =-，即16x =时，max 1()12f x =．变式2.设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是. [解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
山东省济南市历城第二中学高一第一学期期末考试生物试卷
山东省济南市历城第二中学高一第一学期期末考试生物试卷一、单选题1．下列有关显微镜使用的实验操作，错误的是（）A．使用高倍镜观察时，应轻轻转动细准焦螺旋，直到看清物像为止B．若物像偏于左上方，需向右下方移动装片方能在视野中央看清物像C．在低倍镜下观察清楚后，换高倍镜观察，把要放大的物像移到视野中央D．转动转换器换高倍镜，高倍镜下视野较暗，应调大光圈，换凹面反光镜2．如图为与有丝分裂相关的坐标曲线。
下列相关说法不正确的是（）A．若纵坐标表示一条染色体中 DNA 的含量，则c-d过程细胞中 DNA含量不变B．若纵坐标表示一个细胞中DNA 的含量，则c点时一条染色体中DNA的含量与a点相同C．若纵坐标表示一条染色体中DNA的含量，则a-c过程染色体数目不变D．若纵坐标表示一个细胞中 DNA 的含量，则a-c过程染色体数目不变3．下列关于高等植物叶绿体中光合色素的叙述，不正确的是A．提取色素研磨时加入少许CaC03,可防止叶绿素被破坏B．叶绿体中的色素能够溶解在有机溶剂乙醇中C．利用层析法可分离4种光合色素D．植物呈现绿色是由于叶绿素能有效地吸收绿光4．如图表示动物细胞内物质转化的部分过程，以下有关叙述不正确的是（）A．图中的[H]主要在线粒体内产生B．图中物质①是O2C．用18O标记葡萄糖，产物水中检测不到放射性D．图示过程会释放热能5．下列实验中，加入试剂后不能产生特定颜色的是（）A．取成熟香蕉匀浆，用斐林试剂加热检测还原糖B．黑暗中放置24h的天竺葵叶片，用碘液检测淀粉C．口腔上皮细胞经健那绿染色后，在显微镜下观察线粒体D．花生子叶经苏丹III染色后，在显微镜下观察脂肪颗粒6．下列有关生物膜系统的叙述中，正确的是（）A．细胞膜、小肠黏膜等都属于细胞的生物膜系统B．所有的酶都附着在生物膜上C．分泌蛋白合成和运输过程中，内质网膜面积减小，细胞膜的面积增大D．生物膜的组成成分和结构都是一样的7．将植物栽培在适宜的光照、温度和充足的CO2条件下，如果在2h时，将环境中某一条件改变，此时，叶肉细胞中的C3、C5、ATP含量变化如图。
2019-2020学年山东省济南市历城二中高一(上)期末英语试卷
2019-2020学年山东省济南市历城二中高一（上）期末英语试卷1.（问答题，1分）What time is it now？A．7：15．B．6：40．C．7：45．2.（问答题，1分）What does the man think of the woman's hat？A．It's very good.B．It doesn't go well with her dress.C．He likes the style of it.3.（问答题，1分）How can the woman get Kate's phone number？A．She can get the new number by calling the old one.B．The man will get the new number for her.C．Kate is still using the old one,so she can call the old one.4.（问答题，1分）How did the woman feel about the books'price？A．She thought they were expensive.B．She thought they were cheap.C．She could give some dollars back to the man.5.（问答题，1分）What is the problem？A．The woman doesn't like orange juice.B．The man was looking for orange juice.C．The man broke the container of juice.6.（问答题，3分）（1）What is the man doing now？A． He is fishing.B． He is preparing for fishing.C． He is taking photos.（2）What's the woman's hobby？A．She likes making home movies.B．She likes fishing.C．She likes taking photos.（3）What will the woman probably do in the future？A．To buy a movie camera.B．To learn to fish.C．To change her hobby.7.（问答题，3分）（1）What is the 21st century？A． It is a newspaper.B． It is a book.C． It is a TV program.（2）What can we know about the 21st century from this conversation？A．It sells well.B．Not so many people know about it.C．It can not help students work hard.（3）What will the woman probably do after the conversation？A．Buy the 21st century from a bookstore.B．Borrow it from the man.C．She won't read it.8.（问答题，3分）（1）Where does this conversation most likely take place？A． In the street.B． At the woman's home.C． Over the phone.（2）What is the woman going to do tonight？A． Help her sister with English.B． Meet her friend at the station.C． Go to an exhibition with her parents.（3）When can the woman most probably go to see a film with the man？A． Tonight.B． This weekend.C． Sometime next week.9.（问答题，3分）（1）How does the woman feel at the beginning of the conversation？A． Happy.B． Sad.C． Tired.（2）What does the man suggest the woman do？A． Have a rest.B． Have a cigarette.C． Have a talk with him.（3）What's the probable result of the conversation？A．The man will give up smoking.B．The man will continue to smoke.C．The man will listen to the woman's advice.10.（问答题，3分）（1）Where are millions of "Cokes" sold every day？A． Almost everywhere in the world.B． In most European countries.C． Some parts of the world.（2）What do the Americans think of coke？A． It's a drink for young people.B． Almost everyone likes it in the USA．C． It is only drunk on certain occasions.（3）When did the first supermarket appear in the USA？A． In the 1930s.B． In the 1920s.C． In 1930．11.（填空题，6分）Can you imagine a cloud floating in the middle of your room？ Do you want to know what it feels like to fly like a bird？ Find your answers in Time Magazine's 25 "Best Inventions"． Here, we have picked out the most interesting 4 to share with you.Talking GlovesEver felt confused by the sign language used by disabled people？ Here is the "helping hand"you need. Four Ukrainian students have created a pair of gloves that helps people with hearing and speech problems communicate with others. The gloves are equipped with sensors that recognize sign language and translate it into text on a smartphone. Then the smartphone changes the text to spoken words.Google GlassesGoogle Glasses are like a computer built into the frame of a pair of glasses. With its 1.3-centimeter display, the glasses allow you to surf the Internet and make calls without even lifting a finger. The glasses also have a camera and GPS mapping system. Users can take and share photos, check maps and surf the Internet just by looking up, down, left and right.Indoor CloudsIt's not virtual.That's a real world.Dutch artist Smilde managed to create a small but perfect white cloud in the middle of a room using a fog machine.But it required careful planning-the temperature, humidity（湿度）and lighting all had to be just right.Once everything was ready, the cloud formed in the air with the machine.But it only lasted for a short while.WingsuitsThe suit fulfills your dreams of flying like a bird.Well, not exactly flying, but gliding（滑翔）through the air.It increases the surface area of the human body, which makes it easier for people to float in the air. Fliers wearing wingsuits can glide one kilometer in about 30 seconds.（1）Who will probably be the users of "Talking Gloves"？___A．Disabled peopleB． Normal people.C． Trained people.D． Working people.（2）How can users of Google Glasses surf the Internet？___A． By moving the mouse.B． By tapping the keyboard.C． By pressing the button.D． By moving the eyeballs.（3）Which of the following can help you fly？___A． Talking Gloves.B． Google Glasses.C． Wingsuits.D． Indoor Clouds.12.（填空题，8分）Almost all cultures celebrate the end of one year and the beginning of another in some way. Different cultures celebrate the beginning of a new year in different ways, and at different times on the calendar.In Western countries, people usually celebrate New Year at midnight on December 31st or January 1st.People may go to parties, sometimes dressed in formal clothes, and they may drink champagne（香槟）at midnight. During the first minutes of the new year, people cheer and wish each other happiness for the year ahead.But some cultures prefer to celebrate the new year by waking up early to watch the sunrise.They welcome the new year with the first light of the sunrise.Many cultures also do special things to get rid of bad luck at the beginning of a new year.For example, in Ecuador, families make a big doll from old clothes. The doll is filled with old newspapers and firecrackers. At midnight, these dolls are burned to show the bad things from the past year are gone and the new year can start afresh（重新）．Other common traditions to keep away bad luck in a new year include throwing things into rivers or the ocean, or saying special things on the first day of the new year.Other New Year traditions are followed to bring good luck in the new year. One widespread Spanish tradition for good luck is to eat grapes on New Year's Day. The more grapes a person eats, the more good luck the person will have in the new year. In France, people eat pancakes for good luck at New Year. In the United States, some people eat black-eyed peas for good luck-but to get good luck for a whole year you have to eat 365 of them！（1）Which of the following can be the best title of the text？___A． The meaning of "Happy New Year!"B． Several different New Year traditionsC． What to eat on New Year's DayD． Why people dress up nicely on New Year's Day（2）What do you know from the first two paragraphs？___A． Different cultures celebrate the beginning and ending of a year in the same way.B． The Western people celebrate the New Year only by watching the sunrise.C． People hold parties, wear new clothes and drink champagne for a whole day.D． People around the world celebrate the New Year at different times.（3）In some cultures, why do people throw things into rivers or oceans？___A． To bring good luck.B． To avoid bad luck.C． To forget everything.D． To plan for the next year.（4）Which of following is CORRECT if people want to escape bad luck and wish for good luck？___A． Friends tell something special to each otherB． Families make big dolls filled with old clothesC． Some people get up early to watch the sunriseD． Europeans eat 365 grapes on New Year's Day13.（填空题，6分）Dale Carnegie（戴尔•卡耐基） was an American writer and lecturer, and the developer of famous courses in self-improvement, salesmanship, corporate training, public speaking and interpersonal skills.Born in 1888 in Maryville,Missouri,Carnegie was a poor farmer's boy.His family moved to Belton,Missouri when he was a small child.In his teens, though still having to get up at 4 a.m. every day to milk his parents' cows, he managed to obtain an education at the State Teacher's College in Warrensburg.His first job after college was selling correspondence courses.He moved on to selling bacon, soap, and lard（猪油）for Armour＆Company.After saving ﹩500， Dale Carnegie quit sales in 1911 in order to achieve a lifelong dream of becoming a lecturer.He ended up instead attending the American Academy of Dramatic Arts in New York, but found little success as an ter he got the idea to teach public speaking.Inhis first session, he suggested that students speak about"something that made them angry"，and discovered the technique that made speakers unafraid to address a public audience.Fromits beginning, the Dale Carnegie Course developed.Carnegie had made use of the average American's desire to have more self-confidence.Perhaps one of Carnegie's most successful marketing moves was to change the spelling of hislast name from"Carnagey"to Carnegie, at a time when Andrew Carnegie was a widely recognized name.Carnegie's works include Lincoln the Unknown （1932）， Public Speaking and Influencing Men in Business （1937）， and How to Stop Worrying and Start Living （1948）． Hisgreatest achievement, however, was when Simon ＆． Schuster published How to Win Friends and Influence People. The book was a bestseller from 1936． By the time of Carnegie's death, the book had sold five million copies in 31 languages, and there had been 450，000 graduates of his Dale Carnegie Institute.Carnegie died at his home in New York in 1955．（1）What do you think of Dale Carnegie's childhood？___A． Difficult.B． Joyful.C． Lonely.D． Boring.（2）Which of the following is important for Dale Carnegie？___A． Encouraging one to trust himself.B． Helping people to get wealthy.C． Teaching people speaking skills.D． Advising people to live happily.（3）Why did Dale Carnegie change his last name？___A． To get more help and support.B． To replace Andrew Carnegie.C． To become more famous.D． To avoid misunderstanding.14.（填空题，20分）An eightyearold child heard her parents talking about her little brother. All she knew was that he was very sick and they had no money left. When she heard her daddy say to her （1）___ mother with desperation（绝望），"（2）___ a miracle（奇迹） can save him now."The little girl went to her bedroom and took out her piggy bank. She（3）___ all the change out on the floor and counted it carefully. Then she（4）___ her way six blocks to the local drugstore（药店）．"And what do you want？"asked the chemist."It's （5）___ my little brother," the girl answered back. "He's really, really sick and I want to buy a（6）___ ． His name is Andrew and he has something（7）___ growing inside his head and my daddy says only a miracle can save him.""We don't （8）___ miracles here,child.I'm sorry," the chemist said,smiling（9）___ at the little girl. In the shop was a（10）___ customer. He stooped（弯腰） down and asked the littlegirl, "What kind of miracle does your brother （11）___ ？""I don't know," she replied. "He's really sick and daddy says he needs a（n）（12）___ ．But my daddy can't pay for it, so I have brought my （13）___ ．""How much do you have？" asked the man."On e dollar and eleven cents,（14）___ I can try and get some more," she answered quietly. "Well, what a coincidence（巧合），" smiled the man. "A dollar and eleven cents-the （15）___ price of a miracle for your little brother. （16）___ me to where you live. I wa nt to see your brother and （17）___ your parents."That welldressed man was Dr. Carlton Armstrong, a surgeon. The operation in the hospital was completed without（18）___ and it wasn't long before Andrew was（19）___ again and doing well.The little girl was happy. She knew exactly how much the miracle cost-one dollar and eleven cents plus the （20）___ of a little child.（1）A． helpless B．hopeful C．tearful D．kind（2）A．Only B．Just C． Simply D．More than （3）A．drew B．poured C．put D． pulled （4）A．followed B． found C．took D．made（5）A．to B．as C．for D．on（6）A．hope B．doctor C．favor D．miracle （7）A． extra B．small C．bad D．impossible （8）A． sell B．offer C．have D．store（9）A．gently B．sadly C．strangely D．coldly （10）A．well-dressed B．kind-hearted C．well-behaved D．good-looking（11）A．have B． care C．need D．like（12）A． a doctor B．an operation C．a surgeon D．a kindness （13）A．savings B．wishes C．ideas D．suggestions （14）A．since B．as C．after D．but（15）A．same B．exact C．proper D．necessary （16）A．Show B．Help C．Follow D． Take （17）A．help B．meet C．persuade D． encourage （18）A．difficulty B．delay C．charge D．result （19）A．happy B．well C．strong D．home （20）A．cleverness B．faith C．courage D．devotion 15.（填空题，15分）In much of Asia, especially the so-called "rice bowl" cultures of China, Japan, Korea,（1）___ Vietnam, food is usually eaten with chopsticks（筷子）．Chopsticks are usually two long, thin pieces of wood or bamboo. They can also be made of plastic, animal bone or metal. Sometimes chopsticks are quite artistic. Truly elegant chopsticksmight（2）___ （make）of gold and silver with Chinese characters. Skilled workers also combine various hardwoods and metal（3）___ （create）special designs.The Chinese have used chopsticks for five thousand years. People probably cooked their foodin large pots,（4）___ （use） twigs（树枝） to remove it. Over time,（5）___ the population grew, people began cutting food into small pieces so it would cook more quickly. Food in small pieces could be eaten easily with twigs, which（6）___ （gradual）turned into chopsticks.Some people think that the great Chinese scholar Confucius,（7）___ lived from roughly 551 to 479 B．C．， influenced the（8）___ （develop） of chopsticks. Confucius believed knives would remind people of killings and（9）___ （be） too violent for use at the table.Chopsticks are not used everywhere in Asia. In India, for example, most people traditionally eat（10）___ their hands.16.（问答题，25分）假如你叫李华，有一位来自英国的朋友Mike.他与父母一道来到了中国．初来乍到，他发现自己在家时所学的汉语根本就不够用．因此，他给你发来一封电子邮件，向你请教如何提高汉语听说能力．请根据下面的提示，给他回一封邮件．邮件的内容包含如下要点：1．邮件已收到，理解他所遇到的问题．2．提出如下建议：在课内课外要多说汉语，应尽可能与同学交流，不要担心犯错误；在家看电视时，多注意节目主持人的发音，以便提高听力水平．3．祝愿他学习取得进步．注意：1．内容应包括以上要点，可适当增加细节，以使内容连贯；2．词数：100词左右．Dear Mike,______________．Yours sincerely,Li Hua。
山东省济南市历城第二中学2022高一生物上学期期末考试试题
A． 麦芽糖在动植物细胞中都能检测到 B． 单糖、二糖和多糖在细胞内可以相互转化
C． 糖类物质都是细胞内的能源物质 D． 糖类物质在细胞内不能贮存
8．生活在沙漠地带的仙人掌叶肉细胞中，占干重和鲜重最多的化合物分别是( )
A.蛋白质、核酸 B.蛋白质、脂类 C.蛋白质、水 D.核酸、水
(1)用双缩脲试剂将上述4 种溶液区分为两组，其中不发生颜色反应的一组是________和________。用双缩脲试剂检测时，应先加入_______（填“A 液”或“B 液”）。
(2)用___________（填所给试剂名称）区分不发生颜色反应的一组溶液。
(3)进一步区分（1）中发生颜色反应一组溶液的方法及流程：
（3）9月份叶绿素含量下降非常明显，但光合速率下降趋势反而变缓，据图分析可能的原因是_________。
（4）用纸层析法对叶片光合色素进行分离实验，与7月的色素带相比，10月的色素带中从上到下第________条带的宽度明显变窄。
4．在“观察根尖分生区组织细胞的有丝分裂”实验中，某同学绘制了有丝分裂的相关图像和不同时期染色体、核DNA分子的数量关系柱状图，请回答下列相关问题：
C．丙酮酸分解为CO2和[H] D．ADP与磷酸结合生成ATP
28．下列有关细胞呼吸原理在生产、生活实践中运用的解释，正确的是（ ）
A．种子需要晒干后储存，主要是抑制种子细胞的无氧呼吸
B．稻田需要定期排水，主要是促进水稻根细胞的无氧呼吸
C．农田进行中耕松土，主要是促进植物根细胞的有氧呼吸
D．用透气纱布包扎伤口，主要是促进组织细胞的有氧呼吸
（3）若图一细胞发生了图二的变化过程，则氨基酸从肾小管管腔进入细胞的跨膜运输方式是______________，Na+从肾小管管腔进入细胞______________（消耗/不消耗）ATP，Na+从细胞中进入肾小管周围组织液消耗的ATP来源于图一细胞中的场所是______________________。（填序号）图二中的P的合成场所是图一中的______________（填序号）。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
山东省济南市历城第二中学2022-2023学年高一上学期期末考试 地理含解析
高一线上教学质量评估（地理）（答案在最后）本试卷满分100分考试用时90分钟一、选择题：本题共25小题，每小题2分，共50分。
每小题只有一个选项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分。
北京时间2021年11月23日7时45分，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将高分三号02星发射升空，在轨道高度为755千米。
高分三号卫星是中国高分专项工程的一颗高分辨率遥感卫星。
据此完成1-2小题。
1.下列天体系统不包括高分三号02星的是（）A.地月系B.太阳系C.银河系D.河外星系2.高分三号02星所在的大气层（）A.大气气压低、密度小B.存在臭氧层C.天气现象复杂多变D.适合飞机飞行下面是中国科学院国家天文台太阳活动预报中心报道的两则太阳活动综述（耀斑级别由低到高分别是A、B、C、M、X）。
据此完成3-4小题。
3.黑子和耀斑分别位于（）A.色球层、光球层B.光球层、色球层C.光球层、日冕层D.日冕层、光球层4.与9月14日相比，10月14日（）A.地磁场更为平静B.太阳风活动剧烈C.卫星通信中断频繁D.极光影响至赤道地区在地质时期，地球表面经历了几次冰川广布的大冰期气候，大冰期之间相隔约2-3亿年，为相对温暖的间冰期。
图示意地质时期的气候变化。
据此完成5-7小题。
5.下列地质时期处于大冰期的是（）A.寒武纪B.第四纪C.白垩纪D.侏罗纪6.下列关于中生代的说法，正确的是（）A.盘古大陆轮廓初现B.恐龙灭绝C.大气中出现氧气D.海洋生物退化7.我国华北地区煤层具有分布广、储量丰和质量好等优点，其含煤地层中发现有蕨类植物化石，据此推断华北地区煤层最可能形成于（）A.古近纪B.侏罗—白垩纪C.寒武纪D.石炭—二叠纪小明到我国南方某喀斯特地貌风景区旅游（下图），他从游客服务中心出发，先车后沿小径参观了当地著名的溶洞景观。
据此完成8-9小题。
全科免费下载公众号-《高中僧课堂》8.游客服务中心与溶洞之间的高度差是多少（）A.60—100米B.60—120米C.80—100米D.80—120米9.小明在溶洞内可观察到（）A.残丘B.峰林C.石柱D.孤峰下图为北半球部分地区（阴影部分为海洋，非阴影部分为陆地）某时刻近地面等压线图（单位：hPa）。
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山东省济南市历城第二中学2019-2020学年高一上
学期期末数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，集合，则等于（）A．B．C．D．
2. 已知命题,，则（）
A．，B．，
C．，D．，
3. 如果角的终边经过点，则（）
C．D．
A．B．
4. 若函数，则f(f(10)=
A．lg101 B．2 C．1 D．0
5. 设是定义在上的奇函数，当时，，则
（）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
6. 关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0
的解集为（）
A．（1，2）B．（﹣1，2）
C．D．
7. 当时，的图象与的图象是（）
A．
B．
C．
D．
8. 已知，则角的终边在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9. 若函数(,且)在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（）
A．B．C．或2 D．或
10. 已知，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．
11. 求函数的单调增区间（）
A．B．C．D．
12. 已知正数，满足，则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13. 已知则的取值范围为_________.
14. 若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为．
15. 已知函数的零点位于区间内，则实数的取值范围是________.
16. 给出下列四个命题：
①的对称轴为；
②函数的最大值为2；
③；
④函数在区间上单调递增．
其中正确命题的序号为__________．
三、解答题
17. 计算：（1）；
（2）已知，求．
18. 设全集为，，．
(1)求；
(2)若，，求实数的取值范围．
19. 有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才
可取得最大的面积?并求此面积.
20. 已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）若，求的值域.。