上海市高中数学竞赛

合集下载

上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目上海高一高中数学竞赛一直是广大学生们备受关注的盛事。

每年都有无数的学生为了参加这场盛会而日夜苦学，奋发拼搏。

在竞赛中，学生们需要解答一系列高难度的数学题目，考验他们的数学思维能力和解题技巧。

今年的竞赛题目也不例外，以下是其中几道代表性的题目。

题目一：概率论某班级的学生进行了一次数学竞赛，共有60人参赛，其中45人擅长代数，30人擅长几何，18人既擅长代数又擅长几何。

随机选择一名参赛学生，请计算以下概率：a) 该学生至少擅长一门学科；b) 该学生只擅长代数或者只擅长几何；c) 该学生既不擅长代数也不擅长几何。

题目二：函数与方程已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(x+1) + f(x-1) = 3x + 2，其中 x 为实数。

请问：a) 函数 f(x) 的表达式是什么？b) 函数 f(x) 在定义域内的最大值是多少？题目三：三角函数已知正弦函数 f(x)=a*sin(kx+b)，其中 a>0，0<b<π，且 a、k、b 都是常数。

已知f(π/4) = 1 和f(π/6) = 1/2，请计算以下值：a) 常数 a 和 k 的值；b) 常数 b 的取值范围。

题目四：几何问题设 AB 和 CD 是平行线段，E 是 AB 上的一点，F 是 CD 上的一点，且 AE:EB = 2:1，CF:FD = 1:3。

连接 AF 和 BE，交于点 G。

请证明：AG=GB。

题目五：数列与级数已知数列 {an} 的通项公式为 an = n^2 + 3n，n∈N。

请计算以下级数的和：S = a1 + a2 + a3 + ... + a100以上是今年上海高一高中数学竞赛的一些典型题目。

这些题目涵盖了概率论、函数与方程、三角函数、几何问题以及数列与级数等多个数学知识点。

学生们需要在有限的时间内灵活运用各种解题方法，迅速找到解题思路，并给出准确的答案。

这不仅要求学生们有坚实的数学基础，还需要他们具备良好的逻辑思维和分析问题的能力。

上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单

上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（高中组）团体奖第一名：嘉定一中第二名：上外附中第三名：上师大附中第四名：位育中学第五名：育才中学第六名：市西中学第七名：民立中学第八名：闵行中学一等奖姚烨嘉定一中谢恺上海中学朱嘉珉格致中学郭浩民立中学陈濡青育才中学郑钢上外附中二等奖朱远骋大同中学吴源旻市西中学屠天惟交大附中陈俊彦格致中学顾文强南汇中学沈仁豪格致中学李亦承上师大附中倪庆洋上外附中韩笑纯上师大附中王明圣育才中学张尚骏位育中学宋晨华师大二附中张灏上师大附中吴源昊民立中学黄海上师大附中付博上师大附中邓彦桢上外附中李庚上师大附中胡嘉裕杨浦高级中学朱弘邑市西中学邵禹铭大境中学周斯桐交大附中李梅昕嘉定一中祁祺上师大附中陆冰嘉定一中钱昊向明中学李景上外附中孙彦潇嘉定一中顾理一上外附中姜宇龙上师大附中桑佳骏上外附中吴洁琼位育中学三等奖陆瑶崇明中学陈政晓杨浦高级中学陈天蛟交大附中李萌嘉定一中黄龙隆民立中学杨伟宁南模中学曹睿闵行中学郑龙七宝中学陈杰上外附中王辰杰七宝中学黄天怿上外附中樊菁华上师大附中李尔盛市西中学唐梦上外附中赵旖漪向明中学林佳昀上外附中姜凌霄育才中学王能市西中学汪杰华师大二附中潘力萌位育中学曹超阳上师大附中刘竹珺位育中学吴维阳位育中学陈鲁君育才中学王朱辰杨浦高级中学张钱奉贤中学金哲凡育才中学叶畋宇华师大二附中陈阵上外附中顾侃华师大二附中周天厦建平中学林玮嘉定一中盛浙湘交大附中刘紫辉嘉定一中林云翔七宝中学吕敏之建平中学江鋆晨上海中学王超建平中学龚鸣上外附中莫品西交大附中王幸一嘉定一中杨念禾进才中学强文华嘉定一中张天进才中学钱浩祺七宝中学朱惠进才中学董全位育中学程一舟晋元中学韩楚育才中学李赟闵行中学昌利圆华师大二附中丁晓峰南汇中学张琦嘉定一中周笛南汇中学万祎杰敬业中学陆风峰青浦高级中学应思缘位育中学杨威上大附中王睿博新中中学徐萍萍上南中学吴笑萦大同中学明捷上外附中李意天嘉定一中丁梦婕上外附中徐晨交大附中李天原市北中学武亦文上海中学徐楚市三女中刘晓勇上师大附中田纪原松江二中沈俊彦市西中学唐伊纳位育中学李佩易位育中学王云程吴淞中学盛文钦南模中学孙正弘西南位育丁霄云上师大附中吕睿杨浦高级中学林航向明中学王易育才中学严国辰中国中学2006年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营获奖名单最佳论文奖交大附中唐晓瞳孙峥诸玄麟华师大二附中毛亦鸥尤逸之昌利圆上外附中王骏旻张卓骏邓彦桢优秀论文奖晋元中学张颖斐程一舟江凌冰大境中学邵禹铭曹阳沈博文交大附中徐晨隋少龙唐希凡上师大附中付博王庶张灏南模中学刘翊杨伟宁盛文钦闵行中学曹睿陈枭扬赵辰新中中学华伟栋王睿博陈晓华民立中学黄龙隆王子卿顾远上外附中过昕怡林澍坤吕舒婷进才中学张鑫冯汇杰陈妍盼嘉定一中姚烨宋伟华杭炎菲论文奖中国中学严国辰李华蔡悯恺南汇中学顾文强曹纯灵金丽丽上师大附中祁祺薛雨辰邹天一上师大附中竺斌全庄咏文姚璐上师大附中吴梦佳蔡霖腾暴一鸣上大附中徐晓承杨威成磊育才中学姜凌霄刘家瑞黄文莹闵行中学李赟钱威邵已航市西中学黄永兴宋坤骏吴源旻杨浦高级中学陈政晓胡嘉裕张英华新中中学庄旭邹亚光吴磊七宝中学林云翔郑龙王辰杰民立中学周桢郭浩胡怡童位育中学唐伊纳张茜茜沈忱忱位育中学董全吴洁琼刘竹珺上外附中丁梦婕明捷郑敏峰上外附中唐梦陈维扬进才中学袁野倪崇智李睿哲嘉定一中马陆郁悦朱晓燕2006年上海市中学生数学知识应用小论文竞赛获奖名单优秀论文奖关于小区探头安装的最优化研究（嘉定一中：姚烨）（指导教师：谢锡林、方云萍）何时服药问题（闵行中学：李赟、王敏）数学与金鱼（嘉定一中：王云嘉、林玮）（指导教师：方云萍、曹慧莉）关于再生纸的废纸回收率的研究（上外附中：丁梦婕、明捷）大型停车规划的研究（嘉定一中：孙彦潇）（指导教师：徐李叶）公交车线路重复循环（进才中学：朱惠）信息传播与市场预测（上海中学：谢恺）（指导教师：柯新立）化学中的多面体结构（大同中学：郁飞、周嘉琳）论文奖随机儿童歌曲旋律生成器的研究（上师大附中：祁祺）（指导教师：胡志敏）电梯对重最优质量与节能问题（嘉定一中：姚雍飞）应用数学解析太空移民的可行性（市北中学：李天原）（指导教师：周晓东）客运铁路沿线设站的讨论（育才中学：王易）斐波那契和鲁卡斯数列（华师大二附中：顾侃）关于季节性商品问题的研究（建平中学：吕敏之）（指导教师：杨建华）关于控制疾病与安排措施的简单研究（上师大附中：姜宇龙）（指导教师：胡志敏）空调+电扇=价廉物美度过夏季（闵行中学：徐若愚）世博地图（闵行中学：杨霄）便利店选址问题（位育中学：唐伊纳）（指导教师：左双奇）关于电脑组装机最省时的组装顺序（市西中学：吴源旻、胡宇航、黄永兴）（指导教师：李文璋、苏华）上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（初中组）市区组一等奖阮史玮市西初级刘章章位育初级中学李泱市西初级张宸元立达陈浩进华中学奚方舟立达赵冠澜卢湾中学赵玮泽延安初中吴圣融进华中学田子俊位育初级中学王恺上海市实验学校张扬上外附中二等奖姜贇烨市西初级严箴劼立达卫佳文立达朱建坤兰生复旦谈平平立达丁淑艳华初赵沛舟立达曹晋其华初陈明悦上海市实验学校吴殷哲华育中学邓予安建平西校戴碧玥世外中学陆昕清进华中学徐乾炜华育中学管扬明珠黄粟立达吴天齐中远实验学校程智浩进华中学朱元明向明中学柯雨田立达乐嘉文晋元附校李韵青华初沈怡昕进华中学周士杰西延安何笑添华初何立博进华中学卢金原进华中学汪之洲格致初级虞博雅东格致吴翔宇华初姚磊东格致三等奖张易文市西初级陈秉杰曹杨二中附校王祖元市西初级陶威华初胡家唯曹杨中学樊上华中远实验学校郭婧怡位育初级中学张思嫄复兴初级中学徐昊鹏风华初级中学周旖旎新北郊学校陈前进才实验李志强建平实验吴佳俊延安初中朱震华上海市实验学校罗亦文中远实验学校葛彦彬卢湾中学王云占上外附中邵朕君向明中学乔桑羽上海市实验学校杨晨凯复旦初中金冲复旦初中何译民办梅陇中学林之雨延安初中余俊豪久隆模范中学顾昱昊进华中学王佳玮久隆模范中学夏嘉程明珠蒋书奇闸北实验中学钱瀛卿明珠王逸宁东光明中学许翔华初何润泽复旦二附中方颖依华初胡冰吟沪东外国语施展翔位育初级中学顾佳琦教科院附中分校黄梦元位育初级中学傅天叶上外双语学校包一川浦华中学刘音翔华初陆逸波立达陈志炜世外中学郑俊洋华初李柯岑位育初级中学桑容延安初中卫毅超西南模（汇成）阮丰延安初中姚克成西南位育中学徐慧文民办梅陇中学高毅安建平西校严奕立达邬欣雷上海市实验学校洪文琍华初施天健竹园中学房屹东位育初级中学姜浩建平西校张泽宇位育初级中学赵思轶建平实验卢涛位育初级中学王斯捷建平实验冯仕立培佳双语奚晓君华夏西校董轶婷存志中学王翔凯慧中学程霖上外双语学校罗嘉玺五四中学郊区组一等奖王昊伟行知二中蔡怡磊行知二中高云天第一少年宫王朱彦桃李园实验唐卓开南汇二中谈静金盟中学顾申尧大公中学韩方航上宝中学二等奖王睿和衷中学郭伟健宝山实验学校张硕平行知二中石恺师大实验中学赵震行知二中杨钦元第一少年宫胡英杰行知二中徐佳豪和衷中学王渊上宝中学张立诚和衷中学柴逸飞金盟中学罗冠骅七宝二中王利博上宝中学王袆桃李园实验张任佶文绮中学钟容南汇二中黄逸凌文来中学成启昀金盟中学孙彬平乐中学龚驿梨民一中学三等奖寿时通和衷中学沈冠华怀少学校俞嘉卿和衷中学严天吉南汇二中沙朦和衷中学韩硕南汇一中徐灏金盟中学金唯一罗星中学谢超培师大实验中学袁陆罗星中学董杨交大二附中沈佚斐罗星中学张逸峰文来中学顾敏杰金盟中学王纬臻文来中学张忆玲平乐中学冯云平文来中学王瑜琼东门中学徐珂昂宝山实验学校蔡龚丹民一中学马丞砾凇谊中学茅宇杰民一中学沈依伟金盟中学顾明源复旦万科魏智勇航华中学高文庆闵行三中王家欣和衷中学施维舟七宝二中胡安妮虎林中学黄呈昱文来中学汪立健金盟中学朱鹏雄万祥学校程聪磊嘉一联中郁彦青南汇二中王珏和衷中学黄美凤亭新中学许昊文师大实验中学张皓枫泾中学黄佳宸堡镇中学沈欣颖中华中学冯家乐实验中学范嘉伟东门中学徐靓上宝中学倪春桦新河中学陆佳琦上宝中学陆秋宇民一中学刘心华师大实验中学金少也中华中学钱思瑶桃李园实验余欢莘松中学优秀组织奖黄浦区青少年活动中心宝山区青少年科技指导站闵行区青少年科技指导站五四中学优秀组织教师奖徐汇区青少年活动中心周平普陀区青少年中心叶仪琳浦东新区中小学科技指导站杨卫红宝山区青少年科技指导站周卫平崇明县青少年活动中心刘建平闵行区青少年科技指导站胡艳杨浦区青少年科技指导站周建军。

上海市全国高中数学联赛上海赛区得奖公示(三等奖)

学校上海市上海中学上海市大同中学上海市上海中学上海市上海中学复旦大学附属中学上海市上海中学上海市七宝中学华东师范大学第二附属中学上海交通大学附属中学闵行分校华东师范大学第二附属中学上海师范大学附属中学上海市实验学校上海市市北中学上海外国语大学附属外国语学校上海市曹杨第二中学上海交通大学附属中学嘉定分校上海市市北初级中学上海市市北初级中学上海市向明中学上海市位育中学上海市市北中学上海市市北中学上海外国语大学附属外国语学校上海市实验学校华东师范大学第二附属中学上海市实验学校上海市南洋模范中学华东师范大学第二附属中学紫竹校区上海市七宝中学上海市实验学校上海市市北中学上海市格致中学上海市闵行中学华东师范大学第二附属中学紫竹校区上海市七宝中学上海市上海中学东校上海市洋泾中学上海市进才中学上海市市北中学上海交通大学附属中学嘉定分校上海市曹杨第二中学上海市上海中学复旦大学附属中学上海交通大学附属中学上海交通大学附属中学
年级高三高三高一高三高三高二高三高三高三高二高三高二高三高二高三高三初二初二高三高三高三高三高一高二高三高二高二高三高三高二高三高三高三高三高二高二高三高二高三高三高三高一高三高二高二
性别男男男男女男男男女男男男男男男男男男男男男女男男女男男男男男男男男男男男男男男男男男男女男
获奖
三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖

上海市高中数学竞赛试题及参考答案

上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,,a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f 的值；（2）求证：(100)108f ≤．上海市高中数学竞赛答案1、42、923、114、(){},04-∞526、()()3,0,2,27、258、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=，故 ()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证（1）记t =)33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分）于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分）（2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解（1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足（b ），故4A >．而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分）（2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=-，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分）由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。

上海高二数学竞赛试题

上海高二数学竞赛试题上海高二数学竞赛是一项旨在提高学生数学素养和解决问题能力的重要赛事。

本次竞赛试题涵盖了高中数学的多个领域，包括代数、几何、概率统计等，题目设计旨在考察学生的逻辑推理、抽象思维和创新能力。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 若$ a $, $ b $为正整数，且$ a^2 + b^2 = 100 $，求$ a + b $的可能值。

A. 10B. 12C. 14D. 162. 已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 $，求$ f(-1) $的值。

A. -8B. -7C. -6D. -53. 某班有30名学生，其中男生和女生的比例为3:2。

若随机抽取一名学生，求抽到女生的概率。

A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.74. 已知圆的方程为$ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 $，求圆心到直线$ 2x + 3y - 7 = 0 $的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 55. 若$ \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} $，求$ \sin\theta \cdot \cos\theta $的值。

A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $B. 1C. $ \frac{1}{2} $D. 0二、填空题（每题4分，共20分）6. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$ 的值。

7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

8. 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（其中$a > b > 0$）与直线 $y = mx + c$ 相切的条件。

9. 若复数 $z = 1 - i$，求 $|z|^2$ 的值。

10. 已知向量 $\vec{a} = (2, -1)$ 和 $\vec{b} = (-3, 4)$，求向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的值。

上海中学数学竞赛课程、

上海中学数学竞赛课程、摘要：一、上海中学数学竞赛课程的概述二、上海中学数学竞赛课程的目标和意义三、上海中学数学竞赛课程的教学内容和教学方法四、上海中学数学竞赛课程的选拔和培养机制五、上海中学数学竞赛课程的成果和影响正文：上海中学数学竞赛课程是我国中学数学教育领域的一项重要课程，旨在培养具有数学特长和兴趣的学生，激发他们学习数学的热情，提高他们的数学素养和能力，为他们今后在数学领域的发展奠定坚实的基础。

一、上海中学数学竞赛课程的概述上海中学数学竞赛课程是在我国中学数学课程的基础上，针对数学特长生开设的一种特殊课程。

该课程以数学竞赛为主要教学内容，以提高学生的数学思维能力和解决问题的能力为目标。

课程的设计和教学都紧密结合数学竞赛的特点和要求，注重培养学生的独立思考和创新能力。

二、上海中学数学竞赛课程的目标和意义上海中学数学竞赛课程的主要目标是培养学生的数学兴趣和特长，提高他们的数学素养和能力，使他们能够在数学竞赛中取得优异成绩。

此外，该课程还有助于激发学生的学习兴趣，培养他们的学习习惯和自主学习能力，提高他们的综合素质。

三、上海中学数学竞赛课程的教学内容和教学方法上海中学数学竞赛课程的教学内容涵盖了数学竞赛的主要领域，如代数、几何、组合、数论等。

教学方法注重启发式教学，引导学生通过自主学习和探究来理解和掌握数学知识，培养他们的独立思考和创新能力。

四、上海中学数学竞赛课程的选拔和培养机制上海中学数学竞赛课程的选拔机制主要是通过选拔考试来选拔具有数学特长的学生。

对于选拔出的学生，学校会安排专门的数学竞赛教练进行培训和指导，帮助他们提高数学竞赛水平。

五、上海中学数学竞赛课程的成果和影响上海中学数学竞赛课程自开设以来，已经取得了丰硕的成果。

许多学生在课程的学习中取得了显著的进步，他们在各类数学竞赛中取得了优异的成绩，为我国数学教育事业做出了贡献。

上海市全国高中数学联赛上海赛区得奖公示(二等奖)

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
M217200046 M217200047 M217200048 M217200049 M217200050 M217200051 M217200052 M217200053 M217200054 M217200055 M217200056 M217200057 M217200058 M217200059 M217200060 M217200061 M217200062 M217200063 M217200064 M217200065 M217200066 M217200067 M217200068 M217200069 M217200070 M217200071 M217200072 M217200073 M217200074 M217200075 M217200076 M217200077 M217200078 M217200079 M217200080 M217200081 M217200082 M217200083 M217200084 M217200085 M217200086 M217200087 M217200088 M217200089 M217200090 M217200091
黄宸昊章辰皓刘嘉源李心诺张博洋唐迪炀刘欣洋李翰昶蔡哲飚孙致远施力文韩家乐唐国栋戎昉杰严帆边嘉晖王瑞辰张佳诚黄天洋肖旖萱朱嘉骏孙蒙张柏舟刘欣宇柳雍华宋逸云何文阳谢司南厉茗瞿天雍杨海辰张仕学徐嘉澄应蕴涵李晔伟朱则然葛方哲范歆远邵翌阳王朝扬沈达为张逸凡陆雪松张开元任丁尤铭浠

上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目近年来，数学竞赛在中国的中小学生中越来越受欢迎。

数学竞赛不仅能够提高学生的数学水平，还能培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

上海作为中国数学教育的重要城市，每年都会举办高一高中数学竞赛，吸引了众多学生的参与。

下面是一些上海高一高中数学竞赛的题目，让我们一起来挑战一下吧！题目一：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(3)的值。

解析：将x=3代入函数f(x)中，得到f(3) = 3^2 + 2×3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16。

题目二：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数列的第n项。

解析：设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的性质，有Sn = n/2 × (2a + (n-1)d)。

将Sn = 3n^2 + 2n代入，得到3n^2 + 2n = n/2 × (2a + (n-1)d)。

整理得到3n^2 + 2n = an^2 + (a-d)n + ad。

由此可得an = 3n^2 + 2n - an^2 - (a-d)n - ad。

整理得到an = 2n^2 + (2d-a)n + ad。

因此，该等差数列的第n项为an = 2n^2 + (2d-a)n + ad。

题目三：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x)的值。

解析：函数f(x)的导数f'(x)表示函数f(x)的斜率。

对于多项式函数，求导的方法是将每一项的指数乘以系数，并降低指数1。

根据这个规则，对于函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求导得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

题目四：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(-1)的值。

解析：将x=-1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1)= -1 - 3 + (-2) = -6。

2024年上海高三数学竞赛试题及答案

2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。

的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。

— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。

曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。

上海市中学生数学知识应用竞赛

第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第４页的答题卷上 1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（）. (A) 21 (B) 41 (C) 81 (D) 87 2.与411π-终边相同的角为（）.(A) 43π-(B) 4π- (C) 4π(D) 43π3．已知集合{}1916),(22=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是（）. (A)M S ≠⊂ (B)S M ≠⊂ (C)Φ=M S (D)M M S =4.函数x x x f ln 2)(2-=的增区间为（）.(A) ),0[+∞ (B))21,(-∞ (C) ),21(+∞ (D) ),0(+∞5.观察下列四个电路图，结论正确的是（）.(A) 图①中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； (B) 图②中开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； (C) 图③中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分且必要条件； (D) 图④中开关A 闭合是灯泡B 亮的不充分又不必要条件.6.设j i,是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的单位向量且②①③④j i AC ,j i AB4324+=+=，则ABC ∆的面积等于（）.(A) 15 (B) 10 (C) 7.5 (D) 57.()x f 与()x g 是定义在R 上的可导函数.若()()x g x f '='，则()x f 与()x g 满足（）. (A) ()()x g x f = (B)()()x g x f -是常数函数 (C) ()()0==x g x f (D) ()()x g x f +是常数函数.8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则θθ22cos sin -的值为（）. (A)2512-(B) 2524 (C) 257 (D) 257- 9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{}n a 是公比为q 、前ｎ项和为n S 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量：; ①21s s 与②32s a 与；③n a a 与1；④n a q 与中，一定能成为该数列的“基本量”的是（）.(A) ①② (B) ①④ (C) ③④ (D) ①②③10.已知直线n m 、及平面α,其中n m //,那么在平面α内到两条直线n m 、距离相等的点的集合可能为① 一条直线；② 一个平面；③ 一个点；④ 空集.其中正确的是（）. (A) ①②③； (B) ①②④； (C) ①④； (D) ②④．第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 请将答案填在第４页的答题卷中. 11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有()*n n ∈N 行，在这些数中非1的数字之和是_______.11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 ……………………12．若点距离的最小值到直线上的动点，则点为抛物线05102=++=y x P x y P 为（3分），此时点P 的坐标为（2分）.13.定义在R 上的函数()x f ，对任意实数x ，都有()()33+≤+x f x f和()()22+≥+x f x f ，且()11=f ，则()2005f 的值为_________.14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边DE 将其倾斜，随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律： .（要求：各种规律的表述要科学,准确.每答对1个给1分,本题满分5分）三、解答题：15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b 4，，求实数b a ,的值.16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos x sin f 的值.17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建ＢＰ)立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1= ，满足⊥n 平面SBC .求： ①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）；③点O 到平面SBC 的距离.18.（本题满分14分）设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a2 2-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.20（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.zＳＯ yA B Ｃx2005年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案二、填空题答案11. n n22- 12.)5,25(,425- 13.()2005f ＝200514. ⑴ 水面是矩形；⑵ 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； ⑶ 水面的大小是变化的，水面与平面CDEF 所成二面角越小，水面的面积越大； ⑷ 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等； ⑸ 侧面积不变； ⑹ 侧面中两组对面的面积之和相等； ⑺ 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； ⑻ AB+CD 为定值； ⑼ 如果长方体的倾斜程度为α时，则水面与与底面所成的角为90︒-α；⑽ 底面的面积＝水面的面积×cos （90︒-α）＝水面的面积×sin α； ⑾ 当倾斜程度增大，点A 在BD 之间时，A 与B 重合时，BD ＝2h （h 为水面原来的高度）； ⑿ 若容器的高度PD ＜２ｈ，当A 与B 重合时，水将溢出； ⒀ 点A 在BD 内部时，△ADC 的面积为定值 .三、解答题15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b ,4，求实数b a ,的值.法一：如图,在同一直角坐标系中，作出y ＝x （x ≥0）及y ＝ax ＋32 的大致图像，设y ＝ax ＋32 与Y 轴及y ＝x 分别交于A 、B 、C 点由条件及图像可知A （0,32），B （4，2），812234==+a a 得则令C （b, b ）（b ＞０）由BC AB k k =得 4204232--=--=b b a 3681==⇒b ,aＢＰ )法二：()023232<+-⇔+>x x a ax x依题意，上式等价于()()02<--b x x a∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+023212a b a b a∴⎪⎩⎪⎨⎧==3681b a16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f ,且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f 的值. 解：由cosx －sinx ＝523，可得cos （x+4π）＝53 且sin2x ＝257∴⎪⎭⎫⎝⎛+4215πx cos xsin ＝７又∵()x f y =是关于x ＝3对称的函数，∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f ＝ f （7）＝ f （-1）＝320…17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1= ，满足⊥n平面SBC .求： ①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③点O 到平面SBC 的距离.解：（Ⅰ）.如图: Ｃ（２,０,０），Ｓ（０,０,１），Ｏ（０,０,０），Ｂ（１,１,０）， ∴()()011102,,OB ,,SC =-=∴ 510=⋅=><252,COS OB SC 故异面直线SC 与OB 所成的角为510arccos ．(Ⅱ).①∵()()011111,,CB ,,SB -=-=由⊥n 平面SBC ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥⇒CBn SBn⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒0CB n SB n ⇒⎩⎨⎧=+-=-+0101p q p⇒⎩⎨⎧==21q p 故 ()211,,n =② （法一）过O 作OE ⊥BC 于E ，连SE ，则SE ⊥BC ，故BC ⊥面SOEzyzy过O 作OH ⊥SE 于H ，则OH ⊥面SBC ∵OE ＝2 ∴SE=336321=⨯=⋅=SE OE SO OH ∴点O 到平面SBC 的距离为36. （法二）（注：也可以利用法向量n 求解，相应给分） ③ 延长CB 与OA 交于F ，则OF ＝2 连FH ，则∠OFH 为所求角β此时66236=÷=βsin ，∴β＝66arcsin 为所求.18. （本题满分14分）设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a 22-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）(解法一)由 8=+b a知点M （x,y ）到两个定点F 1（0.-2）、F 2（0,2）的距离之和为8∴轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，它的方程是1161222=+y x (解法二)：由题意得()()8222222=+++-+y x y x两次平方得()[]()222824y y x -=-+整理得：1161222=+y x （Ⅱ）∵l 过y 轴上的点（0，3），若l 是y 轴时，则A 、B 两点是椭圆的顶点由 0=+=OB OA OP 知P 与O 重合这与四边形OAPB 是矩形矛盾， ∴直线l 是y 轴不可能当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的的方程是y ＝kx+3由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=116123kx y 22y x ()021183422=-++⇒kx x k此时()()()恒成立021*******>-++=k k ∆且23418k k x x B A +-=+,23421kx x B A +-=⋅ ∵OB OA OP +=，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l,使四边形OAPB 是矩形,则0=⋅⊥OB OA ,OB OA 即, 有0=+B A B A y y x x∴()()09312=++++B A B A x x k x x k∴()093418334211222=+⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+k k k k k ∴451652±=⇒=k k ∴当时，45±=k 存在直线l :345+±=y 使四边形OAPB 是矩形. 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.解：⑴ 全部并联，可靠度1-()420.＝0.9984＞0.85⑵ 每两个串联后再并联，可靠度()228.011--＝0.8704＞0.85⑶ 每两个并联后再串联，可靠度()22201.-＝0.9216＞0.85⑷ 三个串联后再与第四个并联，可靠度1-0.2()3801.-＝0.9024＞0.85⑸ 两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.22()2801.-＝0.9856＞0.8520．（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）. （Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.解：Ⅰ.求区域内部（不包括边界）的整点个数n a ,就是求不等式x ＋y ＜n 的正整数解，当x ＝1时，y ＝1,2,…,（n-2），共n-2个值，当x ＝2时，y ＝1,2,…,（n-3），共n-3个值，依此类推得：n a ＝1+2+…+（n-2）＝()()212--n n .求区域（包括边界）的整点个数n b ,就是求不等式x ＋y ≤n 的非负整数解，同上得：n b ＝（n+1）+n+…+2+1+＝()()212++n nⅡ. 对区域内部的n a 个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知：()()22133--==n n a n nA ，同理()()22122++==n n b n nB⑴ 当()()()()()()()()()()221421342142122122893++--------=>=>==n n n n n n n n n n n n B A时有()()()()2212143++>--n n n n 得1502152≥⇒⎭⎬⎫∈>+-n N n n n∴n ≥14时，n A ＞n B⑵ 当()()()()()()()()()()()()时2212154852212223310211021++----=<=<==----n n n n n n n n B A n n n n有()()()()221n 21-n 54++<-n n 得1202132≤⇒⎭⎬⎫∈<+-n N n n n∴n ≤12时，n A ＜n B ．最后，ｎ=13、14时，比较n A 与n B 的大小由10513661323==B ,A有 488631477106636613..lg A lg =⨯==6053130100105210513..lg B lg =⨯==A＜n B．所以n=13时，nA>n B同理，n=14时，nA＜n B．n≥14时，n A＞n B. 故3≤n≤13时，n。

2010年新知杯上海市高中数学竞赛

丽
＜＜
。
求这种ｎ的最小值．
中等数学
参考答案
一
、［，，，】１＿６【．．２］詈
＝
１
一
＝
一
【一）（—】２ｔｔ）了一ｔ）詈４＝３一２－）一（２＋．￡）３
．
由１４／０得一 ≤ ２＋ｘ— ＞，２ ≤６此时，．
故ｇ＝（）ｇ）（） Ⅱ — ．，（
２１第５０１年期
３１
其中，（为整系数多项式．ｑ）于是，
ｇＯ（、＝１２００：一１９１— １９９
＝
由平均不等式及积化和差得
Ａ ≥６Ｂ
Ⅱ （Ｘｇｏ．一ｉ（））
Ｑ
图４
当３４ａ０，都有１０３￣ ≤ｌ０时ｂ＜００种取法．０
故（＞）Ｐ了詈１
２（＋）（＋） …＋２３）６０＋２３＋２２３＋（＋３ｘ＋７ｌ０ｘ２３６ｘ０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一
设ＢＱ＝Ｏ则Ａ１．ＡＱ＝０一．Ｂ６。
反之，当，＝… ＝＝１时，＝已知等式显然成立．
故（
一
）
）五五翌：！
＋
ｆ２：！
３＿．｝．
一
４＋２＋２￣４／ｘ４—４２＋１
８
注意到
：
２一１
—２一１。
詈考＝０３＋ｌ≤≤）（，

上海市中学生数学知识应用竞赛高中

上海市中学生数学知识应用竞赛高中数学是一门抽象而精确的科学，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。

在上海市中学生数学知识应用竞赛高中中，学生们将在这个舞台上展示他们对数学知识的理解与应用能力。

本文将介绍竞赛的内容、意义和提高竞赛成绩的方法。

上海市中学生数学知识应用竞赛高中的内容涵盖了高中阶段的数学知识体系。

这些知识包括代数、几何、概率与统计等多个领域。

竞赛题目会涉及到不同的数学概念和方法，要求学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。

通过这种形式的竞赛，学生们可以更好地理解和掌握数学知识。

上海市中学生数学知识应用竞赛高中对学生的意义重大。

首先，竞赛可以激发学生学习数学的兴趣。

数学竞赛的题目往往具有一定的难度，需要学生们动脑筋去解决。

这种挑战性的题目可以激发学生们对数学的兴趣，促使他们主动去学习和探索。

那么，如何提高在上海市中学生数学知识应用竞赛高中中的成绩呢？首先，学生们需要全面复习数学知识。

竞赛题目涉及的知识点较为广泛，所以学生们需要对各个知识点进行系统的复习，掌握基本概念和方法。

其次，学生们需要进行大量的练习。

通过大量的练习，学生们可以熟悉不同类型的题目，提高解题技巧和速度。

同时，练习也可以帮助学生们发现自己的薄弱环节，及时进行弥补。

此外，学生们还可以参加模拟竞赛，提前熟悉竞赛的形式和要求，增加竞赛经验。

最后，学生们需要保持良好的心态。

竞赛是一种对学生能力的综合考察，学生们不应过分焦虑和压力过大，要保持自信和冷静，以达到最佳状态。

上海市中学生数学知识应用竞赛高中是一项重要的学科竞赛活动，对学生的数学学习和发展具有积极的推动作用。

通过参加竞赛，学生们不仅可以提高数学水平，还可以培养思维能力和创新意识。

希望广大学生们能够积极参与这项竞赛，不断提升自己的数学素养，为将来的学习和发展打下坚实的基础。

上海市中学生数学竞赛真题

上海市中学生数学竞赛真题一、选择题1. 答案：A2. 答案：B3. 答案：C4. 答案：D5. 答案：B二、填空题1. 答案：272. 答案：363. 答案：404. 答案：155. 答案：8三、计算题1. 答案：112解析：将4的倍数表示为4k，5的倍数表示为5m。

由于2002是最小公倍数，所以4k+5m=2002。

求得k=333，m=267，则4k+5m=4*333+5*267=112。

2. 答案：24解析：设三个数分别为x、y、z，由题意可得x+y+z=9，x^2+y^2+z^2=45。

通过计算可以得出x=3，y=2，z=4，所以x*y*z=3*2*4=24。

3. 答案：6解析：根据题意，可以列出不等式4x+2y≤18，x+y≥6。

通过计算可以得出最大值为6。

4. 答案：21解析：设捞上来的小鱼数量为x，由题意可得x/3-2/5x=21。

通过计算可以得出x=70，所以小鱼的直观数量为21。

5. 答案：8解析：分子大于分母时，可以通过除法将整数部分的数除掉，得到真分数。

最后的结果为8/1=8。

四、应用题1. 计算追赶问题的时间解析：根据题意，张三的速度为8m/s，李四的速度为6m/s。

令追赶时间为t，则张三走过的距离为8t，李四走过的距离为6t。

由于他们追赶成功时两人距离为500m，所以8t-6t=500，求得t=250。

所以追赶成功所需要的时间为250秒。

2. 设计三角形的边长解析：根据题意，三个数字都是2的倍数，并且大于2。

所以可以选择边长为6，8，10的三角形。

3. 计算三角形的面积解析：根据题意，可以使用海伦公式计算三角形的面积。

设三边长分别为a，b，c，则半周长s=(a+b+c)/2。

根据海伦公式，三角形的面积为sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，代入数值计算可得面积为15。

4. 计算梯形的面积解析：根据题意，上底为5cm，下底为12cm，高为8cm。

根据梯形面积公式，面积为(上底+下底)*高/2= (5+12)*8/2= 136/2= 68。

上海市2023全国高中生数学竞赛成绩

一、概述2023年全国高中生数学竞赛是一场具有重要意义的比赛，它旨在展现我国高中生数学水平，激发学生对数学的兴趣，促进数学教育的发展。

作为上海市的一部分，上海市的参赛学生取得了一定的成绩。

本文将就上海市2023年全国高中生数学竞赛的成绩进行分析和总结。

二、总体情况1. 参赛人数2023年上海市共有230所高中学校报名参加了全国高中生数学竞赛，参赛人数达到了5000人。

这一数字较往年有所增加，反映出对数学竞赛的关注度逐渐提高。

2. 平均成绩上海市各高中学校在数学竞赛中取得了较为可观的成绩，平均分达到了85分。

这表明我市高中生整体数学水平较高，经过了严格的数学训练和教育。

三、优秀成绩分析1. 学生个人成绩在5000名参赛学生中，有100名学生在竞赛中取得了满分的成绩。

他们在数学知识储备和解题能力上均表现出色，充分展现了上海市高中生的数学实力。

2. 学校成绩上海市的多所学校在本次数学竞赛中取得了优异成绩，其中包括复旦中学、华东师范大学附属中学、上海中学等知名学府。

这些学校在数学教育上投入了大量的人力物力，成绩的取得也是对他们努力的肯定。

四、存在问题及对策1. 问题分析尽管上海市在全国高中生数学竞赛中取得了不俗的成绩，但也存在一些问题。

一些学校的数学教育仍然偏重死记硬背，缺乏对数学知识的深入理解和应用能力。

2. 对策建议为了进一步提高上海市高中生的数学水平，在数学教育上应该注重培养学生的创新思维和问题解决能力。

可以通过加强数学竞赛的组织，举办数学讲座和活动等形式，激发学生对数学的兴趣，促进数学水平的提高。

五、结语上海市在2023年全国高中生数学竞赛中取得了令人满意的成绩，这是对我市数学教育工作的一大肯定。

但同时也需要意识到存在的问题，采取有效对策，不断提高学生的数学水平，为我市的数学教育事业作出更大的贡献。

六、深化数学教育改革1. 加强教师队伍建设数学教育的质量和水平离不开教师的专业素养和教学水平。

上海市需要加大对数学教师的培训和支持力度，提高他们的教学水平和教学方法。

上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目第一题：函数的性质及运算1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，求函数 f(x) 的单调递增区间和单调递减区间。

解析：为了确定函数 f(x) 的单调性，我们需要求出 f'(x) 的符号。

首先求出 f'(x)，然后我们将 f'(x) = 0 的解代入 f(x)，再根据求出的f'(x) 的符号表，确定 f(x) 的单调性。

计算 f'(x) 得到 f'(x) = 3x^2 - 3。

令 f'(x) = 0，解得 x = 1 或 x = -1。

将 x = -1 代入 f(x)，得到 f(-1) = -2，将 x = 1 代入 f(x)，得到 f(1) = 0。

因此，我们得到以下符号表：x | -∞ | -1 | 1 | +∞f'(x) | - | + | - | +根据符号表，我们可以得出以下结论：1. 当 x < -1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在 (-∞, -1) 区间是单调递减的。

2. 当 -1 < x < 1 时，f'(x) > 0，即 f(x) 在 (-1, 1) 区间是单调递增的。

3. 当 x > 1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在(1, +∞) 区间是单调递减的。

综上所述，函数 f(x) 的单调递增区间为 ( -1, 1 )，单调递减区间为( -∞, -1 ) 和( 1, +∞ )。

第二题：二次函数与一元二次方程2. 已知二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6)，且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。

求函数 f(x) 的解析式。

解析：由题意可知，点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6) 在二次函数的图像上，并且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。

2011年新知杯上海市高中数学竞赛

故ｎ＝３满足题意．当ｎ＝４时，等式为不（ｌ＋３）≥ （１＋２＋３＋１＋２＋４ＸＸ）２４
车戈一２一４．（ｌ＋３） ≥０
十３・＝＿口西０
Ｃ
（）６乙胜，乙胜，甲胜，甲胜．
Ｐ
其概率依次为１
寺１．、１、故求概是＋＋＝．所的率｛詈３１１
、
１
１
、
、
图３
由ＢＯ：Ｏ知Ｃ，

二、．９当＞０时
４≥２
・：４；
Ｂ，Ａ．Ｐ＝Ｎ＝．Ｐ／ＣＢＣ３／因点Ｍ在ＮＰ的垂直平分线上，以，所
§
：ｉＣ＋ｓｉＡ，ｎ
＝ｓ＋ｓｎＢｉＡｎｉ．
Ｘ３＝－ ’
４，
故原式＝．２
；
５．一１．
设Ａ（，）Ｂ（ａ０，口＋１０，线Ｐ，）直Ａ与Ｑ８的交点为Ｒ（，）ｘ）．，
．
显然，
ＡＭ＝６，Ｂ＝４，ＭＡＮ＝４，ＮＣ＝３，ＭＯＮ＝
曰ＤＣ
Ａ
３知是圆分ｌ第象．肘椭十＝在一限已
的弧上一动点，ＭＮ上Ｙ轴，足为垂当
ＡＭＯＮ面积最大时，内切圆半径ｒ其＝
ｔ１＋）＝ａｉ￡ｂ＋ｇｔ２ｓｎ＋２＝（）＋，＋是奇函数．６
由 ①② 得＝＋，一式、解口２詈・ｙ

上海市2023全国高中生数学竞赛成绩

上海市2023全国高中生数学竞赛成绩2023年全国高中生数学竞赛是一场备受期待的盛会，也是我作为一名高中生的重要挑战之一。

这场竞赛在上海市举行，吸引了全国各地的优秀高中生参与。

下面我将通过一些重要方面来描述这场竞赛的成绩。

首先，我们来看看这场竞赛的参与人数。

作为一个全国范围的比赛，各地区的高中生都积极报名参赛。

据统计，共有近三千名学生报名参加，创造了历年来的新纪录。

这表明，数学在中国的重要性不断得到认可，越来越多的学生愿意投入到这个领域。

同时，也证明了中国教育水平的提高，尤其是在数学方面。

其次，我们来看看这场竞赛的试题难度。

根据专家评审，这次竞赛的试题难度相较往年有所提升。

试题涵盖了数学的各个领域，既有理论性的推导题，也有实际应用题。

尤其是其中的几道难题，给参赛选手们带来了很大的挑战。

但总体来说，这些试题的设计还是合理的，符合高中数学知识的教学范围。

这也体现了竞赛组织者的专业水准和对参赛选手的尊重。

再次，我们来看看这场竞赛的成绩情况。

成绩公布后，学生们都非常关注自己的成绩。

据了解，有相当数量的选手取得了优异的成绩，其中不乏一些尖子生。

他们的成绩反映了他们对数学的深刻理解和解题技巧的熟练应用。

同时，也有一些选手取得了中等水平的成绩，这也是不可忽视的进步。

在这样的竞赛环境中，学生们不仅能够锻炼自己的数学思维能力，也能够从其他选手的表现中汲取经验，为自己的学习提供良好的借鉴。

最后，我们来看看这场竞赛对学生的意义。

参加全国高中生数学竞赛可以让学生们更深入地了解数学的魅力。

这场竞赛不仅仅是一场比赛，更是一个学习和交流的平台。

通过与其他优秀选手的对决，学生们能够更好地认识自己的不足和潜力，从而激发自己更大的学习动力。

同时，这场竞赛也为一些具有数学天赋的学生提供了展示自己才华的舞台，有助于他们进一步发展自己的数学能力。

综上所述，2023年上海市举办的全国高中生数学竞赛成绩令人瞩目。

参赛人数众多，试题难度提高，成绩优秀。

2022年上海市高中数学竞赛试题及答案

上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 旳图象与函数()f x 旳图象有关y 轴对称，函数()2f x 旳图象与函数()1f x 旳图象有关直线1y =对称，则函数()2f x 旳解析式为．答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+解在函数()y f x =旳体现式中用x -替代x ，得()21f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =旳体现式中用2y -替代y ，得()22 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2223w z z =-在复平面上相应旳动点W 所示曲线旳一般方程是．答案：221.25y x += 解设,z a bi w x yi =+=+，则221a b +=，()()()()()()()()()222222222222333210.a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi ab abi -+=+-=+-++-=+--=-+从而22,10x a b y ab =-=，于是()22222224 1.25y x a b a b +=-+= 3.有关x 旳方程arctan 2arctan 26x xπ--=旳解是．答案：2log x = 解由于()()tan arctan 2tan arctan 2221xx x x --⋅=⋅=，因此arctan 2arctan 22x x π-+=，解得arctan 2,arctan 236xx ππ-==，则22log x x ==4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子旳六个面上旳数字为1,2,3,4,5,6，则同步掷这四颗骰子使得四颗骰子向上旳数旳乘积等于36，共有种也许．答案：48．解四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：（1）两个1，两个6，这种情形共246C =种也许；（2）两个2，两个3，这种情形共246C =种也许；（3）两个3，一种1，一种4，这种情形共214212C C =种也许；（4），1,2,3,6各一种，这种情形共4424A =种也许．综上，共有66122448+++=种也许． 5.已知函数()()()()1cos ,202xf x xg x a a π==-≠，若存在[]12,0,1x x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 旳取值范畴为．答案；13,00,.22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦解易知[]0,1x ∈时，()[]1,1.f x ∈-只需求a 旳取值范畴，使得()g x 能取到[]1,1-中旳值．（1）当0a >时，()g x 单调递增，由于()12g x >-，故只需()01g ≤，解得30.2a <≤ （2）当0a <时，()g x 单调递减，由于()12g x <-，故只需()01g ≥-，解得10.2a -≤<6.如图，有16间小三角形旳房间，甲、乙两人被随机地分别安顿在不同旳小三角形房间，那么她们在不相邻（指没有公共边）房间旳概率是（用分数表达）．答案：17.20解法一如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻旳房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻旳房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻旳房间恰有三间，从而满足条件旳安顿措施共有()()()316261637164204⨯-+⨯-+⨯-=种．从而所求概率为20417.161520=⨯解法二我们从背面考虑问题，如图2，每一对相邻房间相应着一条黄色旳邻边，故所求概率为18231711.16152020⨯-=-=⨯7.在空间，四个不共线旳向量,,,OA OB OC OD ，它们两两旳夹角都是α，则α旳大小是．答案：1arccos .3π-解如图，ABCD 为正四周体，角α即为AOD ∠，设,E M 分别为BC 和AD 旳中点，则,AE DE OA OD ==，则中心O 在EM 上，从而O 为△ADE 旳垂心，11sin sin cos .33EH ODE EAH DOH AE ∠=∠==⇒∠= 因此，1arccos .3απ=-8.已知330,0,1b a b α>>+=，则a b +旳取值范畴为．答案：(．解注意到()204a b ab +<≤，及()()()()2332213,a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤=+=+-+=++-⎣⎦我们有()()33114a b a b +≤<+，因此1a b <+≤ 二、解答题（本题满分60分，每题15分）9.如图，已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1旳正五边形ABCDE ．求证：五边形11111A B C D E 中至少有一条边旳长度不不不小于cos .5π证设1111111111,,,,,,,,,E A AA A B BB B C CC C D DD D E EE 旳长分别为12121,,,,,a ab bc 21212,,,,,cd de e 则()()()()()()()()()()12121212121221212121 5.a ab bc cd de e a e a b b c c d d e +++++++++=+++++++++=由平均数原理，1212121212,,,,a a b b c c d d e e +++++中必有一种不小于1，不妨设121a a +≥，则2110.a a ≥-≥此时()()22222111212111122111212322cos121cos 5522221cos 21cos 21cos 1555211221cos 1cos 5225121cos cos .255A E a a a a a a a a a a a a πππππππππ=+-≥+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭因此，11cos.5A E π≥命题得证．10.设,p q 和r 是素数，且|1,|1,|1p qr q rp r pq ---，求pqr 旳所有也许旳值．解由题设可得()()()|111pqr qr rp pq ---，由于()()()()2221111,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-因此，| 1.pqr pq qr rp ++-于是11111pq qr rp pqr p q r pqr++-=++-为正整数．记1111k p q r pqr =++-，注意到,,2p q r ≥，则32k <从而 1.k = 由对称性，不妨设.p q r ≤≤ 若3p ≥，则1111k p q r<++≤，矛盾，故 2.p = 若3q >，则5q ≥，12125k =+<，矛盾．若2q =，则11111224k r r ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，也矛盾．故 3.q = 最后，由11111236r r=++-，得 5.r = 综上，30.pqr =11.已知数列{}n a 满足递推关系()*11123n n n a a n N +=-+∈，求所有1a 旳值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列．解由11123n n n a a +=-+得，1113332n n n n a a +++=-+，令3n n n b a =，则1136363,2525n n n n b b b b ++⎛⎫=-+⇒-=-- ⎪⎝⎭从而，11663,552n n b b -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1111111116633335522121535212221.25352n n n n n n n n n nb a a a a T -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+--⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 若125a ≠，注意到213-<，则当2/31521log 25n a ⎛⎫>+-⎪⎝⎭时，T 与125a -同号，但112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭正负交替，从而n a 正负交替，{}n a 不为单调数列．当125a =时，12153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭为递减数列．综上，当且仅当125a =时，{}n a 为单调数列． 12.已知等边三角形ABC 旳边长为5，延长BA 至点P ，使得9AP =，D 是线段BC 上一点（涉及端点）．直线AD 与△BPC 旳外接圆交于,E F 两点，其中.EA ED < （1）设BD x =，试将EA DF -表达为有关x 旳函数()f x ；（2）求()f x 旳最小值．解（1）设,,u EA v AD w DF ===，则().f x u w =- 在△ABD 中，由余弦定理，得v == 在△PBC 旳外接圆中运用相交弦定理，得()()()5945,5.u v w u v w x x +=⨯=+=-两式相减，得()2545,v u w x x -=-+故())2254505.x x f x u w x v -+=-==≤≤（2）设0t =≥，则()222020t f x t t t +===+≥=当且仅当20t t=时等号成立，此时t ==解得52x ±=因此，当52x =()f x 取到最小值。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

上海市高中数学竞赛
说明：解答本试题不得使用计算器
一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分）
1.方程组2
71211x x y x y ++⎧=⎪⎨+=⎪⎩的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 .
3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r =
4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则
AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C
的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 .
6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有组.
7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 .
8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获
胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 .
二、解答题：
9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x ,
使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }.
10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且
AM =6,MB =4,AN =4,NC =3,∠MQN =90°.求∠A 的大小.
11. （本题满分为16分）对整数k ,定义集合S k ={n |50k ≤n ≤50(k +1),n ∈Z },问S 0,S 1,S 2,……,S 599这600个集合中,有多少个集合不含完全平方数？
12. （本题满分为16分）求所有大于1的正整数n ,使得对任意正实数x 1,x 2,…,x n ,都有不等式 (x 1+x 2+…+x n )2≥n (x 1x 2 +x 2x 3+…+x n -1x n +x n x 1).
A
Q M C B N。