上海市高中数学竞赛

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说明：解答本试题不得使用计算器

一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分）

1.方程组2

71211x x y x y ++⎧=⎪⎨+=⎪⎩的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 .

3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r =

4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则

AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C

的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 .

6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组.

7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 .

8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获

胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 .

二、解答题：

9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x ,

使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }.

10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且

AM =6,MB =4,AN =4,NC =3,∠MQN =90°.求∠A 的大小.

11. （本题满分为16分）对整数k ,定义集合S k ={n |50k ≤n ≤50(k +1),n ∈Z },问S 0,S 1,S 2,……,S 599这600个集合中,有多少个集合不含完全平方数？

12. （本题满分为16分）求所有大于1的正整数n ,使得对任意正实数x 1,x 2,…,x n ,都有不等式 (x 1+x 2+…+x n )2≥n (x 1x 2 +x 2x 3+…+x n -1x n +x n x 1).

A

Q M C B N